信息与通信工程学院
（小论文）
专业：信息与通信工程
2017年10月
看病排队分析
摘要:排队问题是生活中比较常见而且比较难解决的问题，因此研究如何解决排队问题对于生活有很大帮助。本文通过研究看病排队这一具体问题分析，来分析排队这一类的问题。看病排队问题的实质是解决需求和供给之间的关系，如何合理分配医疗资源是解决这个问题的关键。通过对实际看病过程中的排队数据进行分析来搭建相应的数学模型，利用数学模型来分析这一类问题是研究排队问题的一种常见思路。排队问题的模型有很多，这里采用泊松过程来进行分析。对数据进行处理来验证使用泊松过程解决看病排队问题的合理性。主要实用MATLAB这款数据处理软件进行数据分析，通过图形直观的显示验证结果。
关键词：泊松过程MATLAB
一、研究背景
排队等待是我们每个人都要经历的，比如等待交款、等候就餐、等电梯、等公交等。患者不同于健康人，患者的病情是拖不起的，同时排队等待对患者的身心不利，也会产生人群聚集而不利于系统的预防工作，“非典”疫情是使老百姓也充分意识到系统排队等待的一些弊端。随着人们防病意识的增加、生活节奏的加快和对医疗服务水平要求之高，排队等待的组织管理问题尤显重要。系统如果使患者等待，将会导致患者不满意或可能失去患者，甚至发生交叉感染。因此，患者排队等待问题是应该引起系统管理者高度重视的问题。
看病排队等待问题在生活中是不可避免的。等待绝对不发生的唯一条件是，规定患者在固定的时间间隔到达，而且服务时间是一定的。由于医疗服务能力与需求不可能完全匹配，比如多数系统受成本、设施、人员等客观条件的限制，不能轻易增加设备和人员，以适应和配合患者的需求变化，或者医疗需求较难预测而医疗服务能力缺乏相应的弹性。由于患者到达系统的时间是随机的，接受服务所需要的时间也是随机的，即使预约患者按照约定时间到达系统，但由于医生对疾病诊治时间的不确定性，后面的患者也不得不等待。所以排队是医疗服务过程中不可避免的就诊过程，特别是在大系统接受就诊，排队等待时间（特别是排队挂号、候诊、交款、等待检查）占就诊时间的很大部分。
在不可避免排队等待的情况下，怎样充分利用医疗资源对于解决排队等候排队有很大帮助。因此研究分析患者看病排队等候问题有利于分析患者看病需求和系统医疗资源的切合点，达到患者和系统都满意。排队论就是解决排队等待问题的一门学科，又称为等待线问题、随机服务系统理论等，是运筹学的一个分支。排队论的基本思量是由丹麦数学家、电气工程师爱而郎1909年将概率论应用于自动电话设计问题中，从而开创了排队论这一应用数学学科，并且为排队论建立了许多基本的原则。排队论通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或某些指标最优。本文由于受时间和水平的限制，不能对排队等待问题做深入的研究，仅根据所学随机过程这门课，对于排队这个问题用泊松过程来研究的理论验证。
二、基本原理
1、对研究排队系统来说，最关心排队系统的一些数量指标，主要包括：
（1）单位时间到达系统的患者数的期望值，即单位时间内的患者到达率，记作λ，而1/λ表示相邻两个患者到达的平均时间间隔。
（2）单位时间内服务患者数的期望值，即单位时间内患者的平均离去率，记作μ，而1/μ表示每个患者的平均服务时间。
（3）在时刻t系统中恰好有n个患者的概率是P n(t)，显然P0(t)为系统空闲率。
（4）系统内的平均患者数，即正在接受诊断的患者与排队等候的患者数之和，也称为队长，记作L。通常需要队长的分布和前二阶矩。
（5）系统内排队等待的平均患者数称为等待队长，记作L q。等待队长与队长的关系是等待队长不包括正在接受服务的患者数。
（6）患者从进入系统到接受诊断完离开系统的平均时间称为患者在系统中花费的时间或平均逗留时间，记作W。
（7）患者在系统内排队等待的平均时间称为患者花费在排队系统中的平均等待时间，一般记作W q。平均等待时间与平均逗留时间的关系是平均等待时间不包括被服务所花费的时间。
以上7个指标主要从患者出发提出的技术指标，而从服务机构角度来说，还关心以下几个技术指标。 （8）单位时间内被服务的患者数称为系统的绝对通过能力。
（9）单位时间被服务患者数与请求诊断患者数之比称为系统的相对通过能力。
（10）空闲的服务机构从有患者到达时起一直到系统没有患者时为止这段时间称为忙期。
（11）系统从开始没有患者起到一直系统有患者时为止这段时间称为闲期。闲期与忙期是相对应的。 （12）对于有n 个服务台的系统，从系统开始有k 个患者在等待服务时起一直到有一个服务台空闲时为止这段时间称为系统的k 阶繁忙期。而零阶繁忙期又称为繁忙期。
（13）对于损失制的排队系统中、系统的满员概率称为系统的损失率。
2、根据排队系统的表示方法，我们将到达医院等待服务的患者的人数设定为服从泊松分布，患者相继到达时间和服务时间都服从负指数分布，其具有无记忆性。我们将相应的排队数学模型表示为如下图[1]
：
M/M/N 系统即服务机构有N 个服务台，而患者源的数量无限。设M/M/N 系统的输入过程(){};0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，每个服务台的服务时间B 是都服从参数μ的负指数分布。患者到达时间和工作人员服务时间相互独立。根据模型，患者的到来遵循参数λ为的泊松过程，即任意两个患者到来的时间间隔遵循参数为λ的负指数分布：我们都知道在医院里都是取号按到达的先后顺序依次接受服务的，所以可以将之等同于患者排成一个队列按到达的先后顺序依次接受服务。在本文的模型中，一共有N 个服务窗口，假设每个服务窗口服务一次的时间遵循参数为μ的负指数分布，各个服务窗口之间是相互独立的，且服务窗口与患者的到达时间也是相互独立的。
那么以相应关系给出所需要的全部数量指标符号[2]
：
L ：平均队长，表示系统中的患者数，是排队等候的患者数和正在挂号的患者数总和。
p L ：平均列队长，表示系统中排队等候的患者数。
K ：平均占用服务台数，即正在挂号的患者数。
W ：平均逗留时间，包括等待时间和挂号时间。
p W ：平均等待时间，也称平均排队等待时间。
0P ：系统到达平衡时，所有服务台空闲的概率。
λ：患者到达的平均速率，即单位时间内平均到达的患者数。
μ：平均挂号速率，即单位时间内挂号完毕离去的患者数。
ρ：服务强度，表示每个窗口单位时间内的平均挂号时间，且只有当1ρ<的时候才不会排成无限的队列。
我们可以根据上述转移关系图得到M/M/N 系统相关转移计算公式，如下：
()()()()101111=1 1n n n n n n P P n P P n P n m m P P m P μλμλλμμλλμ+-+-??
++=+≤≤??
+=+?
这里要求
1, 1
i i P ρ∞
==≤∑[1]
.
在本文的模型中，医院服务窗口数量一方面要考虑患者者的需求，另一方面也要考虑自身人力消耗的
因素。所以我们最后的目标是求出在不同的患者量λ的情况下的最佳窗口数目N ．。即得到两者的一个确定的表达式 ，下面对该模型的进行理论求解。设患者到达的速率为N ，服务的速率为μ，窗口数为N ，记k 状态为队伍里有k 个人等待时的状态。则有k 状态时的患者到达率为k λλ=，k 状态时的服务率为
,,k k k N k μμμμμ
≥?
将某时刻存在k 个患者排队的概率设为k P ，即得到11k k k k P P μλ--=的平衡方程。将其进行整理如下：
1
1=
k k k k P P λμ--
采用递推法，递推先关表达式得到下述结果：
()()0
/,!=/,!k k k
k N P k k P P k N N λμμλμμ-?
???≥??[3]
我们将上式归一化处理得到相关求和结果：
()
()
1
//1+!
!k
k
N k
k N k
k k N
P P P
k N N λμλμ-∞
-====∑∑
∑
给定系统的服务强度为=1n λ
ρμ
<[3] 3、平均队长L
系统中患者的平均数即平均队长为：
()10
11=!!n n k
k k k k k n k kn L kP n P k n ρρ∞
-∞
=-=??=+????
∑∑∑
()()()()()102
11=1!!1n k n k np n n P k n ρρρρ-=??+-??????+??--????
∑
4、平均列队长q L
若存在排队等待的患者，就说明系统中患者数大于服务台数量，因此有N 个患者在接受服务时，排队等候的患者数为()k N -。那么系统中排队患者的平均数即为等待列队长，即：
()q k k N
L k N P ∞
==-∑
()
()
0/=!
k
k N
k N
P k N N
N λμ∞
-=-∑
()()0
=//!k k k N k N k N P k N N N N N λμλμ∞∞
-==??
-????
∑∑ ()()()1
2
/=/1!N P N N λμλμ+--
5、平均占用服务台数K
根据上述数量指标解释：
q K L L =-
()()()100=!!1n n
n k n n n P k n ρρρρ-=??????+????-????????
∑
=n λ
ρμ
=
6、患者等待时间q W 的分布
()
()()10
2
//1!
N q
q L P W N N λμλ
λλμ+=
=
--
()()()1
2
/=1/!
N P N NN λμλλμ+- ()()()0
2
//1!
N
P N N λμμλμ=--[2]
将相应结果带入医院M/M/N 系统数学模型中：
()()()02
//1!
N
q P W N N λμμλμ=--
()()()()()()()1
10///=/1!!
1/!N
N
k
N k N N k N N λμλμλμμλμλμ--=??
+
? ?---??
∑[2]
根据上述算式，可以通过确定的平均速率λ和平均服务速率μ，进行计算q W 来确定服务台窗口数量。
7、平均逗留时间W
在系统平稳条件满足的情况下，患者在系统逗留时间W 包括等待时间q W 和接受服务时间B 两个部分，由于等待时间q W 和接受服务时间B 是相互统计独立的，因此q W W B =+
接受服务时间B 服从指数分布，它的概率密度函数()t
B f t e μμ-=，求得B 的均值和方差如下
[]1=
E B μ
，[][]22
21=D B E B E B μ
??-=??
所以可以得到：
[][]()2
11N q P E W E W E B ρμ
λρ??=+=
+??-
=
()[]2
1=1N E X P ρλλμλρ??+??-????
[][]()()
242
2
2111N N q P P D W D W D B ρρμλρ--??????=+=+??- 因此可以得到逗留时间W 的分布函数为
()
()()()()()()()()0 01 01 0 1t t N W t n t t N t
t F e n tP e n t P e e e n t n μμμλμμμμλμμμλμρμλμ------??
≤??
=--=+>??
??-???--
≠+>?---?
8、系统通过能力
由于M/M/N 系统的患者数量无限制，因此它属于等待制的排队系统，即到达系统中的患者迟早得到服务台服务，因此系统损失率L P 为=0L P
系统相对通过能力Q 为=11L Q P -= 系统绝对通过能力A 为==A Q λλ
三、仿真分析
通过对以上数据了解分析，这里使用Matlab 编程对比仿真结果和理论结果，以证明理论推导的，正确性代码见附录1、2、3。
我们对仿真实验进行如下设计：设模拟的总人数为n ，服务窗口数为N ，首先利用一个4N ?的矩阵来记录每个人的信息。其中第一行表示到达时刻，第二行表示服务时间长度，第三行表示等待时间长度，第四行表示离开时刻。其中到达时刻和服务时间长度可由己知的,λμ求得。易知离开的时刻=到达的时刻+服务时间长度+等待时间长度。用长度为N 的Serve_State 表示每个窗口的接受服务的人的离开时刻。前N 个人到达后不需要等待，故等待时间为零。从第N+1个人开始，先由Serve_State 求出N 个窗口中的提早结束服务的窗口，如果结束服务的时刻小于患者到来的时刻，则该患者的等待时间为零：如果结束服务的时刻大于患者到来的时刻，则二者之差为该患者的等待时间。同时更新该窗的接受服务的人的离开时刻。在求出所有患者的等待时间后，对其求平均值，得到最后要求的平均等待时间。
初始值设定：服务窗口数N=5，模拟总人数n=500,服务速率mu=4,患者到达速率lambda=100。 我们对患者到达速率和服务台工作速率分别进行50仿真实验，取其中一组图像展示如下：
图1 患者到达速率仿真结果和理论结果
图2 服务速率仿真结果与理论结果分别对如上实验结果求解均方误差MSE，结果如下图所示：
图3 患者到达速率均方误差
图4 服务台工作速率均方误差
结论：
根据数值结果，我们可以看出此模型推算出的相关参数的患者到达速率和服务台工作速率的5仿真结果大致相似，拟合程度较高。同时计算50次仿真的均方误差曲线数值较小，说明预测模型描述实验数据具有比较好的精确度。模型符合实验结果要求，针对此类问题可作出合理规划满足实际情况。
四、参考文献
[1]何选森.随机过程与排队论.长沙:湖南大学出版社.
[2]罗鹏飞,张文明.随机信号分析与处理.北京:清华大学出版社,2006.
[3]王梓坤.随机过程通论.北京:北京师范大学出版社,1996.
五、附录
1、main.m
%主要程序：对仿真结果和理论结果进行对比，证明理论推导的正确性
N=5;%服务窗口数
n=500;%模拟实际人数
mu=4;%服务速率
lambda=1:0.5:20;%对参数患者到达速率lambda进行扫描
y1=zeros(1,length(lambda));%储存排队仿真结果
y2=zeros(1,length(lambda));%储存排队理论结果
for t=1:50
for i=1:length(lambda)
y1(i)=MMN(lambda(i),mu,n,N);
y2(i)=time(lambda(i),mu,N);
end
a(t)=mse(y1,y2);%计算均方误差
end
figure
plot(lambda,y1,'r','LineWidth',2);
hold on
plot(lambda,y2,'c','LineWidth',2);
xlabel('患者到达速率')
legend('仿真结果','理论结果');
title('仿真结果与理论结果对比');
figure
plot(a,'y');
legend('患者到达速率mse');
lambda=100;
mu=20:0.5:40;%对服务速率mu进行扫描
y1=zeros(1,length(mu));%储存排队仿真结果
y2=zeros(1,length(mu));%储存排队理论结果
for j=1:50
for i=1:length(mu)
y1(i)=MMN(lambda,mu(i),n,N);
y2(i)=time(lambda,mu(i),N);
end
b(j)=mse(y1,y2);
end
figure
plot(mu,y1,'b','LineWidth',2);
hold on
plot(mu,y2,'g','LineWidth',2);
xlabel('服务速率')
legend('仿真结果','理论结果');
title('仿真结果与理论结果对比)');
figure
plot(b,'m');
legend('服务速率mse');
2、MMN.m
%MMN模型
function y=MMN(lambda,mu,n,N)
%lambda患者到达速率 mu服务速率 n仿真患者数目 N服务台数
%用4*n的矩阵分别记录每位患者到达时间、服务时间、等待时间和离开时间state=zeros(4,n);
state(1,:)=exprnd(1/lambda,1,n);%患者到达时间服从指数分布
temp=cumsum(state(1,:));
state(1,:)=temp;
state(2,:)=exprnd(1/mu,1,n);%患者接受服务时间服从指数分布
state(3,1:N)=zeros(1,N);%前N个人不用等直接可以进行挂号
state(4,1:N)=sum(state(1:3,1:N));%前N个人离开时间
serve_state=zeros(1,N);%记录窗口结束服务的时刻
serve_state=state(4,1:N);%初始化
for k=N+1:n%讨论N+1个人以以后的患者
[m,position]=min(serve_state);%最早服务完的时间及窗口号
if(state(1,k)>m)%患者到来时有空闲窗口可以提供服务
state(3,k)=0;
else
state(3,k)=m-state(1,k);%不满足条件计算两者时间差
end
state(4,k)=sum(state(1:3,k));%得到服务时间
serve_state(position)=state(4,k);%更新服务窗口
end
y=sum(state(3,:))/n;
disp('到达时间')
disp(state(1,:))
disp('服务时间')
disp(state(2,:))
disp('等待时间')
disp(state(3,:))
disp('离开时间')
disp(state(4,:))
3、time.m
%理论推导出排队中的平均等待时间Wq
function Wq=time(lambda,mu,n)
rho=lambda/mu;
rho2=rho/n;
sum=0;
for k=0:n-1
sum=sum+rho^k/factorial(k);
end
Po=(rho^n/(factorial(n)*(1-rho2))+sum)^(-1);
Wq=rho^n*Po/(factorial(n-1)*mu*(n-rho)^2);
%Lq=(n*rho2)^n*rho2*Po/(factorial(n)*(1-rho2))
%Wq等价于Wq=(n*rho2)^n*Po/(factorial(n)*mu*(1-rho2))
第三章 随机过程 A 简答题： 3-1 写出一维随机变量函数的均值、二维随机变量函数的联合概率密度（雅克比行列式）的定义式。 3-2 写出广义平稳（即宽平稳）随机过程的判断条件，写出各态历经随机过程的判断条件。 3-3 平稳随机过程的自相关函数有哪些性质功率谱密度有哪些性质自相关函数与功率谱密度之间有什么关系 3-4 高斯过程主要有哪些性质 3-5 随机过程通过线性系统时，输出与输入功率谱密度之间的关系如何 3-6 写出窄带随机过程的两种表达式。 3-7 窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何 3-8 窄带高斯过程的包络、正弦波加窄带高斯噪声的合成包络分别服从什么分布 3-9 写出高斯白噪声的功率谱密度和自相关函数的表达式，并分别解释“高斯”及“白”的含义。 3-10 写出带限高斯白噪声功率的计算式。 B 计算题： 一、补充习题 3-1 设()()cos(2)c y t x t f t πθ=?+，其中()x t 与θ统计独立，()x t 为0均值的平稳随机过程，自相关函数与功率谱密度分别为：(),()x x R P τω。 ①若θ在（0，2π）均匀分布，求y()t 的均值，自相关函数和功率谱密度。 ②若θ为常数，求y()t 的均值，自相关函数和功率谱密度。 3-2 已知()n t 是均值为0的白噪声，其双边功率谱密度为：0 ()2 N P ω= 双，通过下图()a 所示的相干解调器。图中窄带滤波器（中心频率为c ω）和低通滤波器的传递函数1()H ω及2()H ω示于图()b ，图()c 。
试求：①图中()i n t （窄带噪声）、()p n t 及0()n t 的噪声功率谱。 ②给出0()n t 的噪声自相关函数及其噪声功率值。 3-3 设()i n t 为窄带高斯平稳随机过程，其均值为0，方差为2 n σ，信号[cos ()]c i A t n t ω+经过下图所示电路后输出为()y t ，()()()y t u t v t =+，其中()u t 是与cos c A t ω对应的函数，()v t 是与()i n t 对应的输出。假设()c n t 及()s n t 的带宽等于低通滤波器的通频带。 求()u t 和()v t 的平均功率之比。
通信原理作业答案
第1题 若对某一信号用DSB 进行传输，设加至接收机的调制信号()m t 之功率谱密度为 2()0m m m m m f n f f f P f f f ?≤? =??>? 试求： （1） 接收机的输入信号功率； （2） 接收机的输出信号功率； （3） 若叠加于DSB 信号的白噪声具有双边功率谱密度为 2 n ，设解调器的输出端接有截止频率为m f 的理想低通滤波器，那么，输出信噪功率比是多少？ 解： （1） 设DSB 已调信号()()cos DSB c s t m t t ω=，则接收机的输入信号功率为 22 2 22111()()cos ()(1cos 2)()()d 2222 m m i DSB c n f S s t m t t m t ct m t Pm f f ωω+∞ -∞===+===? （2） 相干解调，乘以同频同相的载波信号后，信号为 21 ()cos ()cos ()(1cos )2 DSB c c c s t t m t t m t t ωωω== + 经过低通滤波器后，输出为 1 ()()2 o s t m t = 输出功率为 211 ()428 m m o i n f S m t S === （3） 调制信号频谱在[,]m m f f -上有值，其他频率为零，已调信号在[,]c m c m f f f f ±-±+上有值，其他频率为零，所以解调器前端带通滤波器的通带为[,]c m c m f f f f ±-±+输入噪声功率为 02222 i m m n N f n f = = 经过低通滤波器后白噪声为窄代白噪声，可表示为 ()()sin ()cos s c c c n t n t t n t t ωω=+ 其中(),()s c N t N t 为独立同分布随机过程，均值为零，方差为σ。所以
第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ?? ?? ? ，；， 。
00 11101222 11
第三章 马尔科夫过程 1、将一颗筛子扔多次。记X n 为第n 次扔正面出现的点数，问{X(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率矩阵。又记Y n 为前n 次扔出正面出现点数的总和，问{Y(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率矩阵。 解：1)由已知可得，每次扔筛子正面出现的点数与以前的状态无关。 故X(n)是马尔科夫链。 E={1,2,3,4,5,6} ,其一步转移概率为: P ij = P ij =P{X(n+1)=j ∣X(n)=i }=1/6 (i=1,2,…,6,j=1,2,…,6) ∴转移矩阵为 2)由已知可得，每前n 次扔正面出现点数的总和是相互独立的。即每次n 次扔正面出现点数的总和与以前状态无关，故Y(n)为马尔科夫链。 其一步转移概率为 其中 2、一个质点在直线上做随机游动，一步向右的概率为p , (0 《概率论与数理统计》论文题目：正态分布及其应用 学院：航天学院 专业：空间科学与技术 姓名：黄海京 学号：1131850108 正态分布及其应用 摘要：正态分布（normal distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布，以及确定医学参考值范围，药品规格，用量等。可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量。 关键词：正态分布， 一、正态分布的由来 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。 二、正态分布的特性 1. 正太分布的曲线特征 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。 （1）集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 （2）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 （3）均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 《随机过程》课程教学大纲 课程编号：02200021 课程名称：随机过程 英文名称：Stochastic Processes 课程类别：选修课 总学时：72 讲课学时：68 习题课学时：4 学分: 4 适用对象：数学与应用数学、信息与计算科学专业 先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计 一、课程简介 随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，它的基本知识和方法不仅为数学、概率统计专业所必需，也为工程技术、生物信息及经济领域的应用和研究所需要。本课程介绍随 机过程研究领域的一些基础而重要的知识和技能。 二、课程性质、目的和任务 随机过程是概率论的后续课程，具有比概率理论更加实用的应用方面，处理问题也更加贴近实际情况。通过这门课程的学习，使学生了解随机过程的基本概念，掌握最常见而又有重要应用 价值的诸如Poisson过程、更新过程、Markov过程、Brown运动的基本性质，能够处理基本的随 机算法。提高学生利用概率理论数学模型解决随机问题的能力。通过本课程的学习，可以让数学 专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。 三、课程基本要求 通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的一般概念，知道常见的几类随机过程的定义、背景和性质；掌握泊松过程的定义与基本性质，了解它的实际背景，熟悉它的若干推广；掌握更 新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，了解更新定理及其应用，知道更新过程的若干 推广；掌握离散时间的马尔可夫链的基本概念，熟练掌握转移概率、状态分类与性质，熟悉极限 分布、平稳分布与状态空间的分解，了解分枝过程；掌握连续时间的马尔可夫链的定义、柯尔莫 哥洛夫方程；掌握布朗运动的定义与基本性质，熟悉随机积分的定义与基本性质，了解扩散过程 与伊藤公式，会求解一些简单的随机微分方程。 四、教学内容及要求 第一章预备知识 §1.概率空间；§2.随机变量和分布函数；§3.数字特征、矩母函数和特征函数；§4. 条件概率、条件期望和独立性；§5.收敛性 教学要求：本章主要是对概率论课程的复习和巩固，为后续学习做准备。 第二章随机过程的基本概念和类型 作业1 1．什么是白噪声？白噪声有何特点？ 答：白噪声是均值为0，自相关函数为冲击响应的随机过程。 白噪声的功率谱为常数。 2. 一个离散时间的随机信号由两个正弦波信号叠加而成，即()x t =1sin()A t ω+ 2cos()B t ω，i ω=2i f π，i =1，2，其中幅值A 和B 为独立的高斯随机变量，具有以下概率密度 221/(2)()a A f a σ-= ，222/(2)()b B f a σ-= 求离散时间信号()x t 为严格平稳随机信号的条件。 解：由于()x t 为两个正弦信号的线性叠加，因此()x t 也是正弦信号。又因为 {()}E x t =1{sin()}E A t ω+ 2{cos()}E B t ω=0 {()}D x t =1{sin()}D A t ω+ 2{cos()}D B t ω=2211sin ()t σω+2 222cos ()t σω 所以，()x t 的概率密度函数可以表示为 2222 21122/2[sin ()cos ()] (,)x t t f x t σωσω-+= 若1σ=2σ=σ，1ω=2ω，则{()}D x t =2 σ 此时的()x t 的概率密度函数可以表示为 22/2(,)x f x t σ-= 因此(,)f x t 将与t 无关，因此()x t 为严格平稳的条件为1σ=2σ，1ω=2ω 作业2 1. 在一个3发射4接收的MIMO 无线通信系统中，系统在白噪声的环境下采用训练序列估计信道00h ，10h 和20h ，其中ij h 表示用户i 的数据发射到天线j 时经过的单径信道，训练序列的块长为16，请用最小二乘估计方法估计这三个信道。 解：信道0H =[00h , 10h , 20h ]T , 第0个用户的发射数据为0X =[0,0x , 0,1x , …0,15x ]T 第1个用户的发射数据为1X =[1,0x , 1,1x , …1,15x ]T 第2个用户的发射数据为2X =[2,0x , 2,1x , …2,15x ]T 则我们在第0个天线处接收到的数据为 0Y =0XH +N 其中X =[0X , 1X , 2X ], N 为白噪声向量 因此最后的0H 的最小二乘估计表达式为 0?H =0+X Y 作业3 1．若一条件概率密度函数为高斯分布，则采用该分布函数所获得的绝对损失型、二次型和 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 自适应控制结课作业 班级： 组员： 2016年1月 目录 1 遗忘因子递推最小二乘法 (1) 1.1最小二乘理论 (1) 1.2带遗忘因子的递推最小二乘法 (1) 1.2.1白噪声与白噪声序列 (1) 1.2.2遗忘因子递推最小二乘法 (2) 2.2仿真实例 (3) 2 广义最小方差自校正控制 (5) 2.1广义最小方差自校正控制 (5) 2.2仿真实例 (6) 3 参考模型自适应控制 (9) 3.1参考模型自适应控制 (9) 3.2仿真实例 (12) 3.2.1数值积分 (12) 3.2.2仿真结果 (12) 参考文献 (16) 1 遗忘因子递推最小二乘法 1.1最小二乘理论 最小二乘最早的想法是高斯在1795年预测行星和彗星运动轨道时提出来的，“未知量的最大可能的值是这样一个数值，它使各次实际观测和计算值之间的差值的平方乘以度量其精确度的数值以后的和为最小”。这一估计方法原理简单，不需要随机变量的任何统计特性，目前已经成为动态系统辨识的主要手段。最小二乘辨识方法使其能得到一个在最小方差意义上与实验数据最好拟合的数学模型。由最小二乘法获得的估计在一定条件下有最佳的统计特性，即统计结果是无偏的、一致的和有效的。 1.2带遗忘因子的递推最小二乘法 1.2.1白噪声与白噪声序列 系统辨识中所用到的数据通常含有噪声。从工程实际出发，这种噪声往往可以视为具有理想谱密度的平稳随机过程。白噪声是一种最简单的随机过程，是由一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程。白噪声的数学描述如下：如果随机过程()t ξ均值为0，自相关函数为2()σδτ，即 2()()R ξτσδτ= 式中，()δτ为单位脉冲函数(亦称为Dirac 函数)，即 ,0 ()0,0τδττ∞=?=? ≠?，且-()1d δττ∞ ∞ =? 则称该随机过程为白噪声，其离散形式是白噪声序列。 如果随机序列{}()V k 均值为零，且两两互不相关，即对应的相关函数为： 2,0 ()[()()]0,0v n R n E v k v k n n σ?==+=?=? 则这种随机序列称为白噪声序列。其谱密度函数为常数2(2)σπ。白噪声序列的功率在π-到π的全频段内均匀分布。 建立系统的数学模型时，如果模型结构正确，则模型参数辨识的精度将直接依赖于输入信号，因此合理选用辨识输入信号是保证能否获得理想的辨识结果的 作业1（随机过程的基本概念） 1、对于给定的随机过程{(),}X t t T ∈及实数x ，定义随机过程 1,()()0,()X t x Y t X t x ≤?=? >?，t T ∈ 请将{(),}Y t t T ∈的均值函数和相关函数用{(),}X t t T ∈的一维和二维分布函数表示。 2、设(),Z t X Yt t R =+?∈，其中随机变量X ，Y 相互独立且都服从2(0,)N σ，证明 {(),}Z t t R ?∈是正态过程，并求其相关函数。 3、设{(),0}W t t ≥是参数为2 σ的Wiener 过程，求下列过程的协方差函数： （1）{(),0}W t At t +≥，其中A 为常数； （2）{(),0}W t Xt t +≥，其中(0,1)X N ，且与{(),0}W t t ≥相互独立； （3）2{(),0}t aW t a ≥，其中a 为正常数； （4）1 {(),0}tW t t ≥ 作业2（泊松过程） 1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。 2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<， (()|())()(1),0,1,,k k n k n s s P N s k N t n C k n t t -===-= 作业3 （更新过程） 1 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = 服从参数为λ的指数分布，则 (t),0N t ≥是服从参数为λ的Poisson 分布。 2 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？ 若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个 任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 南昌航空大学硕士研究生2009 / 2010学年第一学期考试卷 1. 求随机相位正弦波()cos()X t a t ωθ=+，(,)t ∈-∞+∞，的均值函数，方差函数和自相关函数。其中θ是在（-л，л）内均匀分布的随机变量 2.()X t 是泊松过程，求出泊松过程的均值函数(),X m t 方差函数()X D t ，相关函数(,)X R s t 协方差函数(,)X B s t . 3.设顾客到达商场的速率为2人/分钟，求: (i)在10分钟内顾客达到数的均值； (ii) 在10分钟内顾客达到数的方差； (iii)在10分钟内至少一个顾客达到的概率； (iv)在10分钟内到达顾客不超过3人的概率。(12分) 4.利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程cos ,(){ 2,, t X t t π=出现正面，出现正面， (,)t ∈-∞+∞ 求:(i)()X t 的一维分布函数1(,),(,1);2F x F x (ii)()X t 的二维分布函数121(,,1);2F x x (iii)()X t 的均值函数(),(1),X X m t m 方差函数(),(1)X X D t D .(16分) 5.设移民到某地区的居民户数是一泊松过程，平均每周有2户定居，如果每户的人口数是随机变量，一户4口人的概率是1/6,一户3口人的概率是1/3,一户2口人的概率是1/3,一户1口人的概率是1/6,并且 每户的人口数是相互独立的，求2周内移民到该地区的人口数的期望和方 6.设{,1}n X n ≥为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和概率转移矩阵为 01 {},1,2,3,4.4 i p P X i i ==== 11114444111144441111444411114444?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? , 求(i)201{4|1,14}P X X X ==<<,(ii) 21{4|14}P X X =<<(12分) 7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨明天也下雨的概率为0.7,今天无雨明天有雨的概率为0.4，规定有雨的天气状态为0，无雨的天气状态为1.求周一下雨周四也下雨的概率。 8.设{1,2,3,4}I =，其一步转移概率矩阵为: 现代流动测试技术 大作业 姓名： 学号： 班级： 电话： 时间：2016 第一次作业 1）孔板流量计测量的基本原理是什么？对于液体、气体和蒸汽流动，如何布置测点？ 基本原理：充满管道的流体流经管道的节流装置时，在节流件附近造成局部收缩，流速增加，在上下游两侧产生静压差。在已知有关参数的条件下，根据流动连续性原理和伯努利方程可以推导出差压与流量之间的关系而求得流量。公式如下： 4v q d π α== 其中： C －流出系数 无量纲 d －工作条件下节流件的节流孔或喉部直径 D －工作条件下上游管道内径 qv －体积流量 m3/s β－直径比d/D 无量纲 ρ—流体的密度Kg/m3 测量液体时，测点应布置在中下部，应为液体未必充满全管，因此不可以布置的太靠上。 测量气体时，测点应布置在管道的中上部，以防止气体中密度较大的颗粒或者杂质对测量产生干扰。 测量水蒸气时，测点应该布置在中下部。 2）简述红外测温仪的使用方法、应用领域、优缺点和技术发展趋势。 使用方法：红外测温仪只能测量表面温度，无法测量内部温度；安装地点尽量避免有强磁场的地方；现场环境温度高时，一定要加保护套，并保证水源的供应；现场灰尘、水汽较大时，应有洁净的气源进行吹扫，保证镜头的洁净；红外探头前不应有障碍物，注意环境条件：蒸汽、尘土、烟雾等，它阻挡仪器的光学系统而影响精确测温；信号传输线一定要用屏蔽电缆。 应用领域：首先，在危险性大、无法接触的环境和场合下，红外测温仪可以作为首选，比如： 1）食品领域：烧面管理及贮存温度 2）电气领域：检查有故障的变压器，电气面板和接头 3）汽车工业领域：诊断气缸和加热/冷却系统 4）HVAC 领域：监视空气分层，供/回记录，炉体性能。 5）其他领域：许多工程，基地和改造应用等领域均有使用。 优点：可测运动、旋转的物体；直接测量物料的温度；可透过测量窗口进行测量；远距离测量；维护量小。 缺点：对测量周围的环境要求较高，避免强磁场，探头前不应有障碍物，信号传输线要用屏蔽电缆，当环境很恶劣时红外探头应进行保护。 发展趋势：红外热像仪，可对有热变化表面进行扫描测温，确定其温度分布图像，迅速检测出隐藏的温差。便携化，小型化也是其发展趋势。 3）简述LDV 和热线的测速原理及使用方法。 第三章随机过程作业 1.设A、B是独立同分布的随机变量，求随机过程的 均值函数、自相关函数和协方差函数。 2.设是独立增量过程，且，方差函数为。记随机过程 ，、为常数，。 （1）证明是独立增量随机过程； （2）求的方差函数和协方差函数。 3.设随机过程，其中是相互独立的随机变量且均值为 0、方差为1，求的协方差函数。 4.设U是随机变量，随机过程. (1) 是严平稳过程吗为什么 (2) 如果，证明：的自相关函数是常数。 5.设随机过程,其中U与V独立同分布 。 (1) 是平稳过程吗为什么 (2) 是严平稳过程吗为什么 6.设随机变量的分布密度为, 令, 试求的一维概率分布密度及。 7.若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令 试求：的一维分布函数 8.设随机过程, 其中是相互独立的随 机变量 , 且, 试求的均值与协方差函数 . 9.设其中为常数 , 随机变量 , 令 , 试求 :和 。 10.设有随机过程，并设x是一实数，定义另一个随机过程 试证的均值和自相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。11.设有随机过程,，其中为均匀分布 于间的随机变量，即试证： （1）自相关函数 （2）协相关函数 12.质点在直线上作随机游动，即在时质点可以在轴上往右或往左作 一个单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为，往左移动一个单位距离的概率为，即 ，且各次游动是相互统计独立的。经过n 次游动，质点所处的位置为。 （1）的均值； （2）求的相关函数和自协方差函数和。 13.设，其中服从上的均匀分布。试证 : 是宽平稳序列。 14.设其中服从上的均匀分布. 试 证 :既不是宽平稳也不是严平稳过程 . 15.设随机过程和都不是平稳的，且 其中和是均值为零的相互独立的平稳过程，它们有相同的相关函数，求证 是平稳过程。 16.设是均值为零的平稳随机过程。试 证 : 仍是一平稳随机过程 , 其中为复常数，为整数。 17.若平稳过程满足条件，则称是周 期为的平稳过程。试证是周期为的平稳过程的充分必要条件是其自相关函数必为周期等于的周期函数。 基于主成分分析的人脸识别 目录 基于主成分分析的人脸识别 (1) 1 引言 (2) 1.1 PCA简介 (2) 一、主成分的一般定义 (3) 二、主成分的性质 (3) 三、主成分的数目的选取 (4) 1.2 人脸识别概述 (4) 2 基本理论及方法 (5) 3 人脸识别的具体实现 (6) 3.1 读入图像数据库 (6) 3.2 计算特征空间 (7) 3.3 人脸识别 (9) 4 对实验算法的综合评价 (11) 5 结论 (11) 6、参考文献 (11) 7、附录 (12) 1、代码说明： (12) 2、实验感想 (12) 摘要：本文利用基于主成分分析(Principal ComponentAnalysis，PCA)进行人脸识别。该过程主要分为三个阶段，第一个阶段利用训练样本集构建特征脸空间；第二个阶段是训练阶段，主要是将训练图像投影到特征脸子空间上；第三个阶段是识别阶段，将测试样本集投影到特征脸子空间，然后与投影后的训练图像相比较，距离最小的为识别结果。本方法具有简单、快速和易行等特点,能从整体上反映人脸图像的灰度相关性具有一定的实用价值。 关键词：人脸识别；PCA；识别方式 1 引言 PCA 是一种对数据进行分析的技术，最重要的应用是对原有数据进行简化。正如它的名字：主元分析，这种方法可以有效的找出数据中最“主要”的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。它的优点是简单，而且无参数限制，可以方便的应用与各个场合，根据矩阵的行数与列数的区别于差异，PCA 又可以划分为D —PCA （Distributed PCA [1]和C —PCA （Collective PCA ）[2]。 1.1 PCA 简介 PCA 方法，也被叫做特征脸方法(eigenfaces)，是一种基于整幅人脸图像的识别算法，被广泛用于降维，在人脸识别领域也表现突出。一个N ×N 的二维脸部图片可以看成是N 的一个一维向量，一张112×92的图片可以看成是一个10，304维的向量，同时也可以看成是一个10，304维空间中一点。图片映射到这个巨大的空间后，由于人脸的构造相对来说比较接近，因此，可以用一个相应的低维子空间来表示。我们把这个子空间叫做“脸空间”。PCA 的主要思想就是找到能够最好地说明图片在图片空间中的分布情况的那些向量。这些向量能够定义“脸空间”，每个向量的长度为N ，描述一张N ×N 的图片，并且是原始脸部图片的一个线性组合。对于一副M*N 的人脸图像，将其每列相连构成一个大小为D=M*N 维的列向量。D 就是人脸图像的维数，也即是图像空间的维数。设n 是训练样本的数目；X j 表示第j 幅人脸图像形成的人脸向量，则所需样本的协方差矩阵为： S r =1()()N T j i j x u x u =--∑ (1) 其中u 为训练样本的平均图像向量： u =1 1n j j x n =∑(2) 令A=[x 1-u x 2-u ……x n -u],则有S r =AA T ,其维数为D*D 。 1.Players A and B take turns in answering trivia questions, starting with player A answering the ?rst question. Each time A answers a question, she has probability p 1 of getting it right. Each time B plays, he has probability p 2 of getting it right. (a)If A answers m questions, what is the PMF of the number of questions she gets right? The r.v.is Bin(m,p 1),so the PMF is m k p k 1(1 p 1)m k for k 2{0,1,...,m }.(b)If A answers m times and B answers n times,what is the PMF of the total number of questions they get right (you can leave your answer as a sum)?Describe exactly when/whether this is a Binomial distribution. Let T be the total number of questions they get right.To get a total of k questions right,it must be that A got 0and B got k ,or A got 1and B got k 1,etc.These are disjoint events so the PMF is P (T =k )=k X j =0?m j ◆p j 1(1 p 1)m j ?n k j ◆p k j 2(1 p 2)n (k j )for k 2{0,1,...,m +n },with the usual convention that n k is 0for k >n . This is the Bin(m +n,p )distribution if p 1=p 2=p ,as shown in class (using the story for the Binomial,or using Vandermonde’s identity).For p 1=p 2,it’s not a Binomial distribution,since the trials have di ?erent probabilities of success;having some trials with one probability of success and other trials with another probability of success isn’t equivalent to having trials with some “e ?ective”probability of success.(c)Suppose that the ?rst player to answer correctly wins the game (with no prede-termined maximum number of questions that can be asked).Find the probability that A wins the game. Let r =P (A wins).Conditioning on the results of the ?rst question for each player,we have r =p 1+(1 p 1)p 2·0+(1 p 1)(1 p 2)r, which gives r =p 11 (1 p 1)(1 p 2)=p 1p 1+p 2 p 1p 2 .1 SI 241 Probability & Stochastic Processes, Fall 2016 Homework 3 Solutions 随机过程2016 作业及答案 4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？ 对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是 k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=) (0)()(t N k k t t t S 使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E == 对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下， n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。不过就他们的和n t t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以 2))((2)2)(())((2 2)())(|)((2 0t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E n k k λ= ===- =-==∑=从而有 4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。定义风险率)(t λ如下) (1) ()(t F t f t -= λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。定义随机过程 )(t N 如下}),,..,max(:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=- 这里A #表示集合A 中的元素个数。如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。 随机信号分析大作业 一、实验目的 基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。 二、实验内容及实验原理 1，基于随机过程的莱斯表达式 00()()cos ()sin y t a t t b t t ωω=- (3.1) 2，实验过程框图如下： 3，理想低通滤波器如图所示： 图1 理想低通滤波器 ()20 A H ?ω ?ω≤ ?ω=? ??其它 (3.2) 设白噪声的物理谱0=X G N ω（） ,则系统输出的物理谱为 2 2 0=()=20 Y X N A G H G ?ω ?0≤ω≤ ?ωωω???（）（） 其它 (3.3) 输出的自相关函数为: 1 ()()cos 2Y Y R G d τωωτωπ ∞ = ? /2 200 1cos 2N A d ωωτωπ ?= ? (3.4) 2 0sin 242 N A ωτωωτπ ??=? ? 可知输出的自相关函数()Y R τ是一个振荡函数。计算高斯白噪声x(t)、限带白噪声()a t 、()b t 及窄带随机过程()y t 的均值，并绘出随机过程各个随机过程的自相关函数，功率谱密度图形。 三、MATLAB 实验程序 function random(p,R,C) %产生一个p 个点的随机过程 %--------------------------高斯窄带随机过程代码--------------------------% n=1:p; w=linspace(-pi,pi,p); wn=1/2*pi*R*C; [b,a]=butter(1,wn,'low'); %产生低通滤波器 Xt=randn(1,p); %产生p 个点均值为0方差为1的随机数，即高斯白噪声 at=filter(b,a,Xt); %让高斯白噪声通过低通滤波器 y_at=at.*cos(w.*n); %产生随机过程a （t ） y_bt=at.*sin(w.*n); %产生随机过程b （t ） yt=y_at-y_bt; %产生一个p 个点的高斯窄带随机过程 subplot(211) plot(yt) title('高斯窄带随机过程y(t)') subplot(212) pdf_ft=ksdensity(yt) ; plot(pdf_ft) title('y(t)的概率密度图') disp('均值如下') E_Xt=mean(y_at) E_at=mean(y_at) E_bt=mean(y_bt) E_ft=mean(yt) %-----------------------自相关函数代码如下--------------------------% figure(2) R_Xt=xcorr(Xt); %高斯白噪声X(t)的自相关函数 R_at=xcorr(at); %限带白噪声的自相关函数 R_y_at=xcorr(y_at); %随机过程a(t).coswt 的自相关函数 R_y_bt=xcorr(y_bt); %随机过程b(t).coswt 的自相关函数 R_ft=xcorr(yt);概率论课程期末论文大作业
随机过程
作业答案
随机过程习题答案A
自适应控制大作业
随机过程作业(全部)
随机过程习题和答案
随机过程作业
最新现代流动测试技术大作业
第三章随机过程作业
随机过程第一次大作业(THU)
随机过程2016作业及答案3
随机过程及其应用-清华大学
随机信号分析大作业
相关主题
文本预览