第2章-随机过程习题及答案

1、随机过程0,tBtAtX，其中A和B是独立随机变量，分别服从正态分布1,0N。求tX的一维和二维分布。

答案：一维分布为 21,0tN

二维分布是数学期望矢量为0,0，协方差阵为222121211111tttttt的二维正态分布

2、设随机过程)(tX只有两条样本曲线

tawtXcos),(1

tatawtXcos)cos(),(2， t

其中常数 0a，且 32)(1wP，31)(2wP。试求)(tX的一维分布函数)0(；xF，)4(；xF和二维分布函数)4,0,(21；xxF。

答案：axaxaaxxF22,12222,3122,0)4(；

axaxaxaxaaxaaxaxaxxxF22122,2222312204,0;,2121212121和当和和当或当

3、设一随机过程 X(t)=Acos(wt+Ф), t∈R，其中A和w都是常数，Ф~U[-π,π]。试求：(1) X(t)的一维分布；(2) X(t)的数字特征。

答案：（1）一维概率密度为

RtAtxAtxAtxftX,,0)(,)(1))((22)(其它

（2）RttmX0)(

RtsstwAtsCX,)(cos2),(2

RtAttCtDXX2),()(2

4、设随机过程)(tX与)(tY，Tt不相关，试用它们的均值函数与协方差函数来表示随机过程)()()()()()(tctYtbtXtatZ，Tt的均值函数和自协方差函数，其中)(ta、)(tb和)(tc是普通的函数。

答案：)()()()()()(tctmtbtmtatmyXz Tt

),()()(),()()(),(2121212121ttCtbtbttCtatattCYXZ Ttt21,

.

. 1．设随机变量X服从参数为的泊松分布，则X的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为

的同一指数分布。

4．设nW,n1是与泊松过程X(t),t0对应的一个等待时间序列，则nW服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量时取得白球如果时取得红球如果tttettX,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ijP=(p)，n步转移矩阵(n)(n)ijP(p)，二者之间的关系为 。

7．设nX,n0为马氏链，状态空间I，初始概率i0pP(X=i)，绝对概率jnp(n)PXj，n步转移概率(n)ijp，三者之间的关系为 。

8．设}),({0ttX是泊松过程，且对于任意012tt则{(5)6|(3)4}______PXX

9．更新方程0tKtHtKtsdFs解的一般形式为 。

10．记,0nEXatMMt对一切，当时，t+a 。

得 分 评卷

人 二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）

1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BCA)=P(BA)P(CAB)。

2.设{X(t),t0}是独立增量过程, 且X(0)=0, 证明{X(t),t0}是一个马尔科夫过程。

3.设nX,n0为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n0,1

.

.

4.设N(t),t0是强度为的泊松过程，kY,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与N(t),t0独立，令N(t)kk=1X(t)=Y,t0，证明：若21E(Y<)，则1EX(t)tEY。

共6页第1页 共6页 第2页 1．设随机变量X服从参数为的泊松分布，则X的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为

的同一指数分布。

4．设nW,n1是与泊松过程X(t),t0对应的一个等待时间序列，则nW服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量时取得白球如果时取得红球如果tttettX,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ijP=(p)，n步转移矩阵(n)(n)ijP(p)，二者之间的关系为 。

7．设nX,n0为马氏链，状态空间I，初始概率i0pP(X=i)，绝对概率jnp(n)PXj，n步转移概率(n)ijp，三者之间的关系为 。

8．设}),({0ttX是泊松过程，且对于任意012tt则{(5)6|(3)4}______PXX

9．更新方程0tKtHtKtsdFs解的一般形式为 。

10．记,0nEXatMMt对一切，当时，t+a 。

得 分 评卷

人 二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）

1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BCA)=P(BA)P(CAB)。

2.设{X(t),t0}是独立增量过程, 且X(0)=0, 证明{X(t),t0}是一个马尔科夫过程。

3.设nX,n0为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n0,1

随机过程课后习题答案

随机过程课后习题答案

随机过程是概率论和数理统计中的一个重要分支，研究的是随机事件在时间上的演变规律。在学习随机过程的过程中，习题是不可或缺的一部分。通过解习题，我们可以更好地理解和掌握随机过程的基本概念和性质。下面是一些随机过程课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自协方差函数为Cov[X(t), X(t+h)] =

e^(-2|h|)，求该过程的自相关函数。

解：首先，自协方差函数Cov[X(t), X(t+h)]可以通过自相关函数R(t, h)来表示，即Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - E[X(t)]E[X(t+h)]。由于该过程是平稳过程，所以E[X(t)]和E[X(t+h)]是常数，可以将其记为μ。

因此，Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - μ^2。

根据题目中给出的自协方差函数，我们有e^(-2|h|) = R(t, h) - μ^2。

将μ^2移到等式左边，得到R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。

所以，该过程的自相关函数为R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。

2. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自相关函数为R(t, h) = e^(-3|h|)，求该过程的均值和方差。

解：由于该过程是平稳过程，所以均值和方差是常数，可以将均值记为μ，方差记为σ^2。

根据平稳过程的性质，自相关函数R(t, h)可以表示为R(h) = E[X(t)X(t+h)] =

E[X(0)X(h)]。

根据题目中给出的自相关函数，我们有R(h) = e^(-3|h|)。 将t取为0，得到R(h) = E[X(0)X(h)] = μ^2。

所以，该过程的均值为μ。

根据平稳过程的性质，方差可以表示为Var[X(t)] = R(0) - μ^2。

将t取为0，得到Var[X(t)] = R(0) - μ^2 = e^(-3*0) - μ^2 = 1 - μ^2。