一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：
试求:在时,求。
解：
当时，＝
＝
设离散型随机变量X服从几何分布：
试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：
所以：
袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每
一个确定的t
对应随机变量
X(t)
t
3
t
e
如果对
如果对
t时取得红球
t时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族
.
设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为
试证明为宽平稳过程。
解：（1）
与无关
（2）
，
所以
（3）
只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
设随机过程X(t)U cos2t U E(U)5，D(U)5.求：
，其中是随机变量，且
（
1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数.
设有两个随机过程X(t)Ut2Y(t)Ut3,U随机变量，且D(U)5.
，其中是
试求它们的互协方差函数。
设A,B,X(t)At3B t T(,)的均值
是两个随机变量试求随机过程，
函数和自相关函数.A,B,~(1,4),~(0,2),()(,)
若相互独立且A N B U则m X t及R X t1t
2为多少？
一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）
解：令N(t)表示(0,t)时间内的体检人数，则N(t)为参数为30的
poisson过程。以小时为单位。则E(N(1))30。
40k
(30) P(N(1)40)e
k!
k030
。
在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强
度分别为1，2，当1路公共汽车有N人乘坐后出发；2路公共汽车
1
在有N2人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客
到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当N1=N，1=
2
2时，计算上述概率。
解：
法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为
1、2的
poisson过程，令它们为T表示N1(t)=
N1(t)、N2(t)。
N
1N的发生时1
刻，T表示N2(t)=
N
2N的发生时刻。
2
N
1
1N1
f t t t
()1exp() T1111
N N
(1)! 1
1
N
2
N1 2
f t t t
()2exp() T2222
N
2
(N1)!
2
N N
12
N1N1
12
f(t,t)f(t|t)f(t)t exp(t)t exp(t)
12 T,T12T|T12T2111222
N N N N N(N1)!(N1)!
12122
12
N N
t
12 2
1N12N1 P(T T)dt t exp(t)t exp(t)dt
12 N N21112221
12(N1)!(N1)!
00
12
（2）当N=
1N、1=
2
2时，
P(T T)P(T T)
N N N N
1212
1
2
法二：（1）乘车到来的人数可以看作参数为1+
2的泊松过程。令Z1、Z2分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时
间间隔。则Z1、Z2分别服从参数为1、2的指数分布，现在来求
当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。
z
2
p P(Z Z)dz exp(z)exp(z)dz
1221112221
00
1。
12
故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概
率为1-p
2
12
上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度1+
2的泊松过程时，乘客分别以1的概
概率乘坐公共汽车1，以
2
1212
率乘坐公共汽车2。
将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：
N N1
12
N11N2k N
(1=1()1()1
k1
k N
1
1212
（2）当N=
1N、1=
2
2时
2N12N1
1111 N1k N1k1
P路汽车比2路汽车先出发）C C
(1=()()
k1k1
2222 k N k N
设{N(t),t0}，(i1,2,L,n)是n个相互独立的Poisson过程，参数分别为i
i(i1,2,L,n)。记T为全部n个过程中，第一个事件发生的时刻。
