清华大学随机过程作业 答案

1.1 证明：∵1111,,,,,A F F F F ∈ΩΦ∈ΩΩ∈Φ∈Ω-Φ∈ΩΦ∈ 且∴1F 是事件域。

∵222,,,,cA A F F A F A A ∈Ω∈Ω∈-Φ∈=Ω-∴22222,,,,c c A F A F A F A F A F ∈-Φ∈-Φ∈Ω-∈Ω-∈ 且2,ccA A A A F ΦΩ=ΩΦΩ∈ ∴2F 是事件域。

且12F F ∈。

∵2ΩΩ∈∴3F Ω∈∴3F 是事件域。

且23F F ∈∴123,,F F F 皆为事件域且123F F F ∈∈。

1.2一次投掷三颗均匀骰子可能出现的点数ω为(),,,,,,16,16,16i j k i R j R k R i j k ∈∈∈≤≤≤≤≤≤∴样本空间()61,,6=,,n i j k i j k =≤≤Ω事件(){},,|,,i j k A i j k ωω==，,,,1,,6i R j R k R i j k ∈∈∈≤≤ 事件域2F Ω= 概率测度(),,1P 216i j k A =，,,,1,,6i R j R k R i j k ∈∈∈≤≤ 则(),,F P Ω为所求的概率空间。

1.3 证明：（1）由公理可知()0P Φ=（2）有概率测度的可列可加性将第n+1个集合往后都取为空集，即可得结论()11n nk k k k P A P A ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑ （3）∵,,A B F A B ∈⊂ ∴B A F -∈,()A B A -=Φ由概率测度的可列可加性可得：()()()()P B P A B A P A P B A =+-=+-即()()()P B A P B P A -=-有概率测度的非负性可得()()()0P B P A P B A -=-≥，即()()P B P A ≥ （4）若B =Ω,由（3）则有()()1P A P A =- （5）∵()()()()121212P A A P A P A P A A +=+- 假设()()()()()11211111m m m k k i j i j k m k i j m i j k m k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭∑∑∑ 成立，则()()()()()()()()()11111111111111211111+1m m m m k k m m k m k k k k k mm k iji j k k i j mi j k mm m m m k k m k i j i k i j mP A P A A P A P A P A A P A P A P A A P A A A P A A A P A A P A P A A P A A ++++====+=≤<≤≤<<≤++=+=≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-+∑∑∑∑∑()()()()()()()()()()()()1121111121111212111111111n j k m i j k mm i j m i j k m m m i j m i j k m m m k i j i j k m k i j m i j k m A P A A A P A A A P A A A A P A A A A P A P A A P A A A P A A A +≤<<≤++++≤<≤≤<<≤+++=≤<≤+≤<<≤+-+-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭=-+-+-∑∑∑∑∑∑也成立由数学归纳法可知()()()()()11211111n n n k k i j i j k n k i j n i j k n k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭∑∑∑()()()()()()111122212123231231n nn n k k k k k k k k n n n k k k k k k nk k nk k P A P A A P A P A P A A P A P A P A P A A P A A P A P A P A P A =========⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭≤≤∑1.4 （1）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21040114P AB P A P B P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P AB P A P B P AB P A P A B P A P A P A ≤-≤-≤≤-≤-=-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦≤-≤（2）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()if =1else if =P AB P BC P AB P BC P AB P AC P A B C P ABC P AB P BC P AC P A B C P ABC P BC P A B C P AB P BC P AB P BC --+=++-+=++-≤+≤--- 可由这个式子的轮换对称性证明这种情况（3）()()()()()()()()()()11111111111n nk k k k n nn nk k k k k k k k nk k nk k A A A AP A P A P A P A n P A P A n P A P A P A n ========⊂∴⊃⎛⎫≤≤=-=- ⎪⎝⎭-≤-∴≥--∑∑∑∑∑1.5()1(1)k nkk A P X k n--== 1.6由全概率公式()()()()()()()()()()()()100112211110101=1424P Y X P Y P X P Y P X P Y P X P Y P Y P Y e -≥=≥=+≥=+≥==+-=+-=-=-1.7 证明： 显然()()()()111111122,,,,,,0n n n n n F x x F x x F y x P x X y x X x X ∆=-=≤≤≤≤≥假设()()121111222,,,,,,,0i n i i i i i n n F x x P x X y x X y x X y x X x X ∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≤≤≥ 成立 从而()()()()12+11111222111112221111122211122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0i i n i i i i i n n i i i i i n n i i i i i n n F x x P x X y x X y x X y x X x X P x X y x X y x X y y X x X P x X y x X y x X y x X x X +++++++++∆∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≤≤-≤≤≤≤≤≤≤≤=≤≤≤≤≤≤≤≤≥ （分布函数对于每一变元单调不减）也成立有数学归纳法可知()()121111222,,,,0n n n n n F x x P x X y x X y x X y ∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≥1.8()()()()()()()()()()()''''''',,0','x y x y x x y x y x y x y x y x x y y h x y eeh x y eeeee e e e x x y y -+-+-+-+-+-+----∆=-∆∆=---=--≥≤≤所以h 是二元单调不减函数。

第二章 平稳过程2. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。

试证 （1）若t T ∈，而{}12T = ，，，则(){}12X t t = ，，，是平稳过程； （2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){}0X t t ≥，不是平稳过程。

证明：由题意，U 的分布密度为：()10220u f u ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==⎡⎤⎣⎦()()2220001111sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t ππππππππ=⋅==-=--⎰⎰.相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2200111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du ππτττππ⎛⎫=⋅+⋅=⋅-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰ ()()2220001111cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t πππττττππττ⎡⎤=-+-=-+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰()()11sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ=-+++.（1）若t T ∈，而{}12T = ，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关，二者均与t 无关，因此，(){}12X t t = ，，，是平稳过程。

（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，时，()X m t 可能取到不是常数的值，所取到的值与t 有关，()X R τ取到的值也与t 有关，因此，(){}0X t t ≥，不是平稳过程。

3. 设随机过程()()0cos X t A t ωΦ=+，t -∞<<+∞其中0ω是常数，A 和Φ是独立随机变量。

第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

随机过程作业第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。

求X(t)的一维和二维分布。

解 先求一维分布。

当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。

这亦是随机过程X(t)的一维分布。

再求二维分布。

当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。

则其线性变换也服从正态分布。

且所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵 的二维正态分布。

P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数(2) 二维分布函数解 (1) 先求所以222211211)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,0)(t t t EX +=+===212121211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222121211111t t t t t t )3π,0x x F )2πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4F x π。

X()cos ,442A A ππ==显然，三值，，易知它仅取2232 22{()42P X π=={cos 42P A π==1P{A 1},3==31}223)4({ ,31 }2)4({====ππX P X P 同理，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<= 2 23 x 1,2 23x 2 ,32 2 x 22 ,3122 x 0 )4; ( ，πx F进而有P18例题1：具有随机初相位的简谐波 其中a 与 是正常数，而 服从在区间[0，2 ]上的均匀分布， 求X(t)的数学期望方差和相关函数。

随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。

解 因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解 对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。

随机过程复习题一、填空题：1．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，)()]()([12123t t t X t X E -=-，则15486}6)5(,4)3(,2)1({-====e X X X P ,618}4)3(|6)5({-===e X X P2. 已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(412141，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43410313131043411)(P 则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P 3．强度λ的泊松过程的协方差函数},min{),(t s t s C X λ= 4．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， 则)]()([)(πωδπωδπω-++=X S5.对于平稳过程X (t)若)()]()([)()(τττX R t X t X E t X t X =+>=+<以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。

6.已知平稳过程)(t X 的谱密度为23242++=ωωωω)(S ，则)(t X 的均方值=2222- 7. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，Θ为),(π20上服从均匀分布的随机变量，则0)(>=<t X ，ωττcos 2)()(2a t X t X >=+<8．设马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的状态空间}1,0{=I ，则一步转移概率矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9.01.01.09.0P ，初始分布为)31,32()0(=p ，则2X 的分布律为 (2)P = (0.547,0.453)，234(1,1,0)________P X X X ====0.099.设...)2,1,0(=n Xn是只有两个状态的齐次马氏链，其n步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n nD C n P 21311)(，则n n C D ==nn 21,31二、计算与证明：1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为31，晴天转雨天的概率为21，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，nX 表示第n 天的状态（0或1）。