2020南京市一中高三数学周练一试卷含参考答案

江苏省南京市十校2020届高三下学期5月调研数学试题一、填空题1. 已知集合{}2|20,{|1}A x x x B x x =-<=<，则AB =______________.【答案】(,2)-∞ 【解析】 【分析】利用一元二次不等式解法求得集合A ，根据并集定义可求得结果. 【详解】(){}()200,2A x x x =-<=，{}()1,1B x x =<=-∞，(),2A B ∴=-∞.故答案为：(),2-∞.【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.2. 已知复数(2)(1)z a i i =++的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z =_____________.【答案】4i - 【解析】 【分析】根据复数乘法运算和实部定义可构造方程求得a ，进而根据共轭复数定义得到结果. 【详解】()()()()2122z a i i a a i =++=-++的实部为0，20a ∴-=，解得：2a =，4z i ∴=，4z i ∴=-.故答案为：4i -.【点睛】本题考查共轭复数的求解问题，涉及到复数的乘法运算和复数实部的定义，属于基础题.3. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．【答案】143【解析】试题分析：因为方差越小成绩越稳定，所以方差较小为乙组同学，方差为2222(2)(1)(3)1492,33x s -+-+===考点：方差4. 运行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为_____________.【答案】25 【解析】 【分析】运行代码，根据循环结构依次运算即可得到结果.【详解】运行代码，输入0S =，1I =，满足10I <，循环； 则011S =+=，123I =+=，满足10I <，循环； 则134S =+=，325I =+=，满足10I <，循环； 则459S =+=，527I =+=，满足10I <，循环；则9716S =+=，729I =+=，满足10I <，循环；则16925S =+=，9211I =+=，不满足10I <，结束循环，输出25S =. 故答案为：25.【点睛】本题考查根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为_____________. 【答案】710【解析】 【分析】利用组合数的知识计算出所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】从5名同学中任选2名学生，共有2510C =种选法，至多有一名男生的情况有211223167C C C +=+=种选法，∴至多有一名男生的概率710p =. 故答案为：710. 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数的应用，属于基础题. 6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5102S S =，则5151054S S S S +=-_____________.【答案】8- 【解析】 【分析】由等比数列片段和性质可得到5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，根据等比数列性质可推导得到15534S S =，代入所求式子可整理得到结果. 【详解】由5102S S =得：()5510510552222S S S S S S S -=-=-=-，此时由等比数列性质知：5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，设其公比为q ，105512S S q S -∴==-， ()151010551124S S S S S ∴-=--=，1510551344S S S S ∴=+=，515551055543812S S S S S S S S ++∴==---. 故答案为：8-.【点睛】本题考查等比数列片段和性质的应用，属于中档题.7. 函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若()13f =，则()()()1250f f f ++⋅⋅⋅+=_____________.【答案】3 【解析】 【分析】由抽象函数关系式可确定()f x 关于1x =对称，结合函数为奇函数可知()f x 是周期为4的周期函数，由此可确定各个函数值，代入可求得结果. 【详解】()()2f x f x =-，()f x ∴关于1x =对称，又()f x 为奇函数，()f x ∴是周期为4的周期函数，()()()()159493f f f f ∴===⋅⋅⋅==，()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f ∴=，()()()()024500f f f f ∴===⋅⋅⋅==，()()113f f -=-=-，()()()()()13711473f f f f f ∴-====⋅⋅⋅==-，()()()()12340f f f f ∴+++=()()()()()1250012123f f f f f ++⋅⋅⋅+=⨯++=∴.故答案为：3.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题；关键是能够通过对称性与周期性的关系确定函数的周期，进而确定函数值的变化特点.8. 将函数()2sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则ϕ的最小值为_____________. 【答案】12π【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简函数为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据三角函数左右平移原则可得到平移后的解析式，进而根据奇偶性构造方程求得ϕ. 【详解】()2sin sin 2sin cos 63623f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin cos sin 2663x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x ∴向左平移ϕ个单位得：()sin 223f x x πϕϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()f x ϕ+为偶函数，()232k k Z ππϕπ∴+=+∈，解得：()122k k Z ππϕ=+∈， 又0ϕ>，ϕ∴的最小值为12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查利用正弦型函数的奇偶性求解参数值的问题，涉及到利用诱导公式和二倍角公式化简三角函数、三角函数的平移变换等知识，属于三角函数部分知识的综合应用问题.9. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12F F ，，过2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A B ，两点，若1232F F =，则双曲线的渐近线方程为_____________. 【答案】2y x = 【解析】 【分析】利用通径长和焦距的关系可构造,a c 齐次方程，从而求得离心率e ，利用2221be a-=可求得渐近线斜率，进而得到结果.【详解】AB x ⊥轴且直线AB 过焦点2F ，AB ∴为通径，则22b AB a=，1232F F =，)222332c a b c a-∴==223230c ac a --=，23230e e∴--=，解得：3e=，又2221bea-=，222ba∴=，2ba∴=，∴双曲线渐近线方程为2by x xa=±=±.故答案为：2y x=±.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，涉及到双曲线通径长、离心率的应用，考查了双曲线的几何性质，属于基础题.10. 如图，五边形ABCDE由两部分组成，ABE△是以角B为直角的直角三角形，四边形BCDE为正方形，现将该图形以AC为轴旋转一周，构成一个新的几何体.若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为_____________.3【解析】【分析】利用圆锥圆柱侧面积相等可构造方程3h r=，代入圆锥和圆柱体积公式即可求得结果. 【详解】设正方形BCDE的边长为r，AB长为h，则圆锥的侧面积221S r r hπ=+222S rπ=，由12S S得：2222r r h rππ+=，解得：3h r=，∴圆锥和圆柱的体积之比为23133r hrππ⋅=3【点睛】本题考查圆锥和圆柱的侧面积与体积的相关问题的求解，关键是能够利用圆锥和圆柱侧面积相等构造方程求得圆锥的高与底面半径之间的关系.11. 在平行四边形ABCD 中，6,3AD AB ==，160,2DAB DE EC ∠==，12BF FC =，若2FG GE =，则AG BD ⋅=__________.【答案】21 【解析】 【分析】根据图示和平面向量基本定理，得到BD AD AB =-，5799=+AD AG AB ，然后得出22752999⋅=-⋅-AG BD A B AD B A AD ，代入数据即可. 【详解】如图所示：因为12DE EC =，12BF FC =，所以22223333=+=-=-FE FC CE BC DC AD AB ，又2FG GE =，1233=++=++AG AB BF FG AB AD FE 125732239933⎛⎫=++=+ ⎝-⎪⎭AD AB AD AB AD AB ，又BD AD AB =-，所以()225775299999⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅ ⎪⎝-⎭AG BD AB AD AB A AD AD AD B AB ，6,3AD AB ==，60DAB ∠=，所以609cos ⋅⋅==AB A AD AD B ，代入数据可得752369921999=⨯-⨯-⨯=AG . 故答案为：21【点睛】本题主要考查平面基本定理，以及平面向量数量积的求法，解题的关键是选择适当的基底，用基底表示出所求向量.12. 已知在锐角ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.若3cos a b C =，则111tan tan tan A B C++的最小值为_____________. 27【解析】 【分析】利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可求得tan 2tan C B =，利用()tan tan A B C =-+和两角和差正切公式可得到23tan tan 12tan BA B=--，代入所求式子后可化简为关于tan B 的函数，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】3cos a b C =，由正弦定理可得：sin 3sin cos A B C =，()sin sin sin cos cos sin 3sin cos A B C B C B C B C ∴=+=+=，cos sin 2sin cos B C B C ∴=，tan 2tan C B ∴=， A B C π++=，()()()2tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 12tan B C BA B C B C B C Bπ+∴=-+=-+=-=---，221112tan 1114tan 7tan tan tan 3tan tan 2tan 6tan B B A B C B B B B-+∴++=++=2tan 736tan BB =+，ABC 为锐角三角形，0,2B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()tan 0,B ∴∈+∞，2tan 72tan 727236tan 36tan 3B B B B ∴+≥⋅=（当且仅当2tan 736tan B B =，即7tan 2B =时取等号）， 111tan tan tan A B C ∴++27. 27. 【点睛】本题考查解三角形中的最值问题的求解，涉及到正弦定理边化角、两角和差正弦和正切公式的应用等知识；关键是能够利用一个变量表示出所求式子，进而得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得和的最小值.13. 已知圆22:4O x y+=点()2,2A，直线l与圆O交于P Q，两点，点E在直线l上且满足2PQ QE→→=.若22248AE AP+=，则弦PQ中点M的横坐标的取值范围为_____________. 【答案】1717---+⎝⎭【解析】【分析】①当直线l斜率不存在时，易求得0Mx=；②当直线l斜率存在时，设其方程为y kx m=+，利用直线与圆有交点可求得2244m k<+；将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据2PQ QE→→=和22248AE AP+=可整理得到12x x+，12x x，12y y+，12y y满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得244m km m=-；当0m=时，知0Mx=；当0m≠时，可将Mx 表示为关于k的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.【详解】设(),M MM x y，①当直线l斜率不存在时，直线方程为:0l x=，此时()0,2P-，()0,2Q，2PQ QE→→=，()0,4E∴，2448AE∴=+=，241620AP=+=，满足22248AE AP+=，此时0Mx=；②当直线l斜率存在时，设其方程为：y kx m=+，l与圆O有两个不同交点，221mk<+，即2244m k<+()*，由224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：()2221240k x kmx m +++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,E x y则12221km x x k +=-+，212241m x x k-=+， ()1212122221my y kx m kx m k x x m k ∴+=+++=++=+， ()()()222212121212241m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+. 2PQ QE →→=，()()21210202,2,x x y y x x y y ∴--=--，解得：2102103232x x x y y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 由22248AE AP +=得：()()2222212111332222224822x x y y x y --⎛⎫⎛⎫-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()()()221212121212129924242496x x y y x x y y x x y y +++---+++=，22222242442238832111m m k m kmk k k---∴--=+++，整理得：244m km m =-， 当0m =时，1202M x x x +==； 当0m ≠时，44m k =-，代入()*式得：()224444k k -<+，4747k -+<<， 212222441442111M x x km k k kx k k k +-+∴==-==-+⨯+++， 4713->-，()1442121M x k k∴=-+⨯++-+， 4747k -+<<时，()211y k k =+++单调递增，∴()442121y k k=-+++-+在474733⎛ ⎝⎭上单调递减， 1717,22M x ⎛--+∴∈ ⎝⎭， 综上所述：弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为1717---+⎝⎭. 故答案：1717---+⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率k 的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域；本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求.14. 函数()()32()321xf x x a x a e =-+⋅-的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)(]1,00,1-⋃ 【解析】 【分析】先分析得当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<，记()3232g x x a x a =-+，利用导数分析()g x 的单调性，结合函数的特殊值，且函数图象经过三个象限，分类讨论求解a 的取值范围即可.【详解】当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<；且()00=f ， 记()3232g x x a x a =-+，则()22'33g x x a =-，①当0a =时，0g x恒成立，所以()g x 在R 上单调递增，又()00g =，所以当0x >时，()0gx >，()0f x >；当0x <时，()0g x <，()0f x >.所以()f x 的图象经过第一、二两个象限，不符合题意； ②当0a >时，令0g x，得x a =±.当(),x a ∈-∞-和(),+∞a 时，0g x ，()g x 单调递增；当(),x a a ∈-时，0g x，()g x 单调递减.因为函数()()()1xf xg x e =⋅-的图象经过三个象限，函数yg x 的极大值为()3220g a a a -=+>，则该函数的极小值为()()32 22210g a a a a a =-+=-≥，解得11a -≤≤，此时，01a <≤；③当0a <时，令()'0g x =，得x a =±. 当(),x a ∈-∞和(),a -+∞时，0g x，()g x 单调递增；当(),x a a ∈-时，()'0g x <，()g x 单调递减. 因为函数()()()1xf xg x e =⋅-的图象经过三个象限，函数yg x 的极小值()3220g a a a -=+<，则该函数的极大值为()()3222210g a a a a a -=+=-≤，0a <，解得10a -≤<.综上所述，实数a 的取值范围是[)(]1,00,1-⋃. 故答案为：[)(]1,00,1-⋃.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的图象，综合性较强，属于难题. 二、解答题15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若2a =，3c =，求()sin A C -的值. 【答案】（1）3π （2）53【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式整理可得tan B ，进而得到结果； （2）利用余弦定理和正弦定理解三角形求得b 和sin A ，由大边对大角的特点可知A 为锐角，得到cos A ，根据二倍角公式得到sin 2,cos 2A A ，利用()2sin sin 23A C A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用两角和差正弦公式可求得结果. 【详解】（1）2sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴由正弦定理得：2sin sin sin sin 3A B A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，2sin sin 3B B π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， 31sin sin 22B B B ∴=+，即31cos sin 22B B =，tan 3B ∴=， ()0,B π∈，3B π∴=.（2）由余弦定理得：2222cos 4912cos73b ac ac B π=+-=+-=，7b ∴=，由正弦定理得：sin 21sin 7a B A b ==，a c <，A ∴为锐角，27cos A ∴=， 43sin 22sin cos 7A A A ∴==，21cos 22cos 17A A =-=.A B C π++=，233C A A πππ∴=--=-， ()222sin sin 2sin 2cos cos 2sin 333A C A A A πππ⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭431135327⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查解三角形和三角恒等变换知识的综合应用问题，涉及到正弦定理边化角、正余弦定理解三角形、两角和差公式和二倍角公式的应用等知识，考查了学生的运算求解能力.16. 如图,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧面11BCC B 是矩形，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，M 是棱1CC 上的一点.（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求证：M 是棱1CC 中点. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可证得BC ⊥平面11ACC A ，由线面垂直性质可证得结论； （2）连接1A B 交1AB 于点H ，可知112NH BB =且1//NH BB ，根据平行关系可知,CM NH 共面，利用线面平行的性质可证得//CN MH ，从而得到四边形CNHM 为平行四边形，由长度关系可证得结论. 【详解】（1）侧面11BCC B 是矩形，1BC CC ∴⊥又平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B CC =，BC ⊂平面11BCC B ，BC ∴⊥面11ACC A ，又AM ⊂面11ACC A ，BC AM ⊥∴.（2）连接1A B 交1AB 于点H ，连接,MH NH ，四边形11ABB A 为平行四边形，H ∴为1AB 中点，又N 为AB 中点，1//NH BB ∴且112NH BB =，11//BB CC ，//NH CM ∴，,CM NH ∴共面，//CN 平面1AB M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM 平面1AB MMH =，//CN MH ∴，∴四边形CNHM 为平行四边形，111122CM NH BB CC ∴===，即M 是棱1CC 中点. 【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、由线面平行关系证明其他结论的问题，涉及到线面垂直和面面垂直的判定与性质、线面平行的性质定理的应用，属于常考题型. 17. 疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，30OA =米，50AB =米，6COD π∠=，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角3EOF π∠=，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上.设FOC θ∠=.（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；（2）求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值. 【答案】（1）()12509150050253tan S πθθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，3tan 35θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）34【解析】 【分析】（1）分别求得扇形EOC 和四边形OCBF 的面积，加和得到()S θ，根据矩形长和宽可确定tan θ最小值，进而确定tan θ的范围；（2）设()925tan h θθθ=+，利用导数可求得()h θ的单调性，通过求得()min h θ可求得()max S θ，并确定所求的θ的正切值.【详解】（1）扇形EOC 的面积为211250501250233ππθθ⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭. 四边形OCBF 的面积为13045030503015002tan tan θθ⨯-⨯⨯=-,∴阴影部分的面积为()12509150050253tan S πθθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭. 0,3πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中03tan 5θ=，3tan ,35θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.（2）设()925tan h θθθ=+，则()22229sin 9cos 92525sin sin h θθθθθ--'=+=-， 令()0h θ'=，解得：3sin 5θ=，33tan ,345θ⎡⎤∴=∈⎢⎥⎣⎦， 设其解为1θ，即13tan 4θ=，则()h θ在[)01,θθ上单调递减，在1,3πθ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()()1min h h θθ∴=，()()1max 12501500503S h πθθ∴=+-，此时13tan 4θ=∴监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34. 【点睛】本题考查建立合适的函数模型求解实际问题，涉及到利用导数求解函数的最值的问题，关键是能够通过导数求得函数的单调性和最值点，考查学生对于函数和导数知识的实际应用的能力.18. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，点,A B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线1PF 的倾斜角为4π，12=PF ，已知椭圆的离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设,M N 为椭圆上异于,A B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=（2）163【解析】 【分析】（1）根据离心率可求得2a c =，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得c ，进而确定b ，由此得到椭圆方程；（2）设AM 方程为()2y k x =+，将直线与椭圆方程联立，可结合韦达定理求得M 点坐标，同理可得N 点坐标，由()12142S y y =⨯⨯-整理可得关于k 的函数的形式，利用对号函数可求得S 的最大值. 【详解】（1）椭圆C 的离心率2c e a ==，2a c ∴=， 设椭圆右焦点为2F ，连接2PF ，则21222PF a PF a =-=-，在12F PF △中，由余弦定理得：2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅∠，即()22224442a c c -=+-，又2a c =()22442222c c c ∴+-=- 解得：2c =2a ∴=，222b a c =-=∴椭圆C 的方程为22142x y+=. （2）由（1）知：()2,0A -，()2,0B ，设直线AM 斜率为k ，则直线AM 方程为()2y k x =+，由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()2222128840k x k x k +++-=，则()()4226441284160k kk∆=-+-=>，设()11,M x y ，则21284212k x k --=+，2122412k x k-∴=+，12412k y k ∴=+，222244,1212k kM k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭， 由2BN AM k k =可得直线BN 方程为()22y k x =-，同理可求得：2221628,1818k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 由对称性，不妨设0k >，则四边形AMBN 的面积：()()()()312222224414842212181218k k kk S y y k k k k +⎛⎫=⨯⨯-=+= ⎪++++⎝⎭2221112442442442411112116108244214k k k k k k k k k k k k k k k k k k⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+， 令14t k k=+，则1244t k k≥⋅=（当且仅当14k k =，即12k =时取等号）， 24241621342S t t ∴=≤=++，S ∴的最大值为163. 【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用的问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中四边形面积最值的求解问题；求解面积最值的关键是能够将面积表示为关于某一变量的函数的形式，利用对号函数求得四边形面积的最大值.19. 已知函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，()xg x e =.（1）若1a b ==，1c =-，求函数()()()f x h xg x =在1x =处的切线方程；（2）若1a =，且1x =是函数()()()m x f x g x =的一个极值点，确定()m x 的单调区间； （3）若2b a =，2c =且对任意0x ≥，()()22f x x g x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）210x ey --=；（2）当4b <-时，()m x 的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；当4b >-时，()m x 的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --；（3）(],2-∞. 【解析】 【分析】（1）求得()1h 和()1h '后，即可利用导数的几何意义得到所求的切线方程；（2）根据极值点的定义可确定23c b =--，由此可得()()()31x m x x b x e '=++-⋅，分别在4b <-和4b >-两种情况下根据导函数的正负确定原函数的单调区间；（3）将恒成立的不等式化为()()222220x sx ax ax x e =++-+≤，①当0a ≤时，由()0s x '≤恒成立可知()()00s x s ≤=，满足题意；②当0a >时，由02a <≤时()0s x '≤可知()()00sx s ≤=，满足题意；由零点存在定理可验证出23a <≤和3a >时存在()()00s x s >=的区间，不满足题意；综合几种情况可得最终结果. 【详解】（1）当1a b ==，1c =-时，()21xx x h x e+-=， 则()11h e =，()()()2212x x x x x x h x e e--+-++'==，()21h e '∴=， ()h x ∴在1x =处的切线方程为()121y x e e-=-，即210x ey --=.（2）当1a =时，()()2xm x x bx c e =++⋅，()()()()22xm x x b x b c e '∴=++++⋅，1x =是()m x 的一个极值点，()()1230m b c e '∴=++=，23c b ∴=--， ()()()()()()22331x x m x x b x b e x b x e '∴=++-+⋅=++-⋅，令()0m x '=，解得：11x =，23x b =--，1x =是一个极值点，31b ∴--≠，即4b ≠-，①当31b -->，即4b <-时，若(),1x ∈-∞和()3,b --+∞，()0m x '>；若()1,3x b ∈--，()0m x '<，()m x ∴的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；②当31b --<，即4b >-时， 若(),3x b ∈-∞--和()1,+∞，()0m x '>；若()3,1x b ∈--，()0m x '<，()m x ∴的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --；综上所述：当4b <-时，()m x 的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；当4b >-时，()m x 的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --.（3）当2b a =，2c =时，()()22222xf x ax ax xg x e++=≤+对任意0x ≥恒成立， 即()222220x ax ax x e ++-+≤对任意0x ≥恒成立.令()()22222x sx ax ax x e =++-+，则()()()()222222124x x x s x ax a e x e a x x e '=+--+=+-+，()()()2224226x x x s x a e x e a x e ''=--+=-+，()()()22628x x x s x e x e x e '''=--+=-+，①当0a ≤时，对任意0x ≥，()0s x '≤恒成立，()s x ∴在[)0,+∞上单调递减，()()00s x s ∴≤=，满足题意；②当0a >时， 当0x ≥时，()0s x '''<，()s x ''∴在[)0,+∞上单调递减，()()026s x s a ''''∴≤=-，⑴当03a <≤时，()0s x ''≤，()s x '∴在[)0,+∞上单调递减，()()024s x s a ''∴≤=-，i.当02a <≤时，()0s x '≤，()s x ∴在[)0,+∞上单调递减，()()00s x s ∴≤=，满足题意；ii.当23a <≤时，由()00s '>，()1461260s a e e '=-≤-<，()00,1x ∴∃∈，使得()00s x '=，则()s x 在()00,x 上单调递增， ∴当()00,x x ∈时，()()00s x s >=，不满足题意；⑵当3a >时，由()0260s a ''=->，当x →+∞时，()s x ''→-∞，()10,x ∴∃∈+∞，使得()10s x ''=，()0s x ''∴>在()10,x 上恒成立，()s x '∴在()10,x 上单调递增，()()0240s x s a ''∴>=->， ()s x ∴在()10,x 上单调递增，()()00s x s ∴>=，不满足题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、讨论含参数函数的单调区间、恒成立问题的求解；本题中恒成立问题的求解关键是能够通过分类讨论的方式，结合零点存在定理，确定函数的单调性，进而得到参数的取值范围.20. 设数列{}n a （任意项都不为零）的前n 项和为n S ，首项为1，对于任意n *∈N ，满足12n n n a a S +⋅=. （1）数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在(),,k m n Nk m n *∈<<使得,,kmn a aa 成等比数列，且4216,,k m n a a a 成等差数列？若存在，试求k m n ++的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列{}b ，()1,21,,2,0n n n a n k k N b q n k k N q *-*⎧=-∈⎪=⎨=∈>⎪⎩，若由{}n b 的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值. 【答案】（1）()n a n n N *=∈；（2）存在，7k m n ++=；（3）8 【解析】【分析】（1）代入1n =求得2a ，利用1n n n a S S -=-可验证出奇数项和偶数项分别成等差数列，由此得到21n a -和2n a ，进而得到n a ； （2）假设存在(),,k m n N k m n *∈<<满足题意，利用等差中项和等比中项的定义可构造方程组，得到221621kn k =-，由28n >可求得k 的范围，结合k *∈N 得到k ，进而求出,m n ；（3）将问题转化为当n 为偶数时，()()ln 1ln 1ln 11n n q n n -+<<--，构造函数()ln xf x x =和()()()ln 21x g x x x+=≥，可利用导数说明()f x 与()g x 的单调性，进而确定q 的取值，同时得到n 的范围，从而求得结果. 【详解】（1）数列{}n a 是非零数列，0n a ∴≠.当1n =时，12112a a a S ==，22a ∴=； 当2n ≥且n *∈N 时，11122n n n nn n n a a a a a S S +--=-=-，112n n a a +-∴-=，{}21n a -∴是首项为1，公差为2的等差数列，{}2n a 是首项为2，公差为2的等差数列， ()2112121n a a n n -∴=+-=-，()22212n a a n n =+-=， ()n a n n N *∴=∈.（2）设存在(),,k m n Nk m n *∈<<，满足题意，,,k m n a a a 成等比数列，2m kn ∴=；4216,,k m n a a a 成等差数列，42216m k n ∴=+，消去m 可得：222216k n k n =+，221621kn k ∴=-，k m n <<，3n ∴≥，216821k k ∴>-，解得：130k +<< k N *∈，1k ∴=，4n ∴=，2m =，7k m n ∴++=.（3）若{}n b 是单调递增数列，则n 为偶数时，111n n qn --<<+恒成立，两边取自然对数化简可得：()()ln 1ln 1ln 11n n q n n -+<<--，显然1q >， 设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=， ∴当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()f x ∴在x e =处取得极大值，∴当4n ≥时，()ln 11n n --是递减数列，又ln1ln313<，ln 33∴是()ln 11n n --的最大值， ln 3ln 3q ∴>； 设()()()ln 21x g x x x+=≥，则()()()222ln 21ln 2220x x x x x g x x x -+--+++'==<， ()ln 11n n +∴-是递减数列，当6n =时，ln 7ln 353>，当8n =时，ln 9ln 373<， ∴当26n ≤≤时，存在133q >，使得111n n q n --<<+恒成立；当8n =时，11n qn -<+不成立，∴至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.【点睛】本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难题.21. 求椭圆22:1164x y C +=在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C '的方程. 【答案】221x y += 【解析】 分析】设(),P x y 是曲线C '上的任一点，根据对应变换原则可求得椭圆C 上的点()1,P x y ''满足42x xy y ''=⎧⎨=⎩，代入椭圆C 方程即可得到结果. 【详解】设(),P x y 是曲线C '上的任一点，它是椭圆22:1164x y C +=上的点()1,P x y ''在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应变换作用下的对应点，则10441022x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即42x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，42x x y y '=∴='⎧⎨⎩，代入221164x y +=得：221x y +=. 即曲线C '的方程为221x y +=.【点睛】本题考查根据矩阵对应变换求解曲线方程的问题，属于常考题型. 22. 在极坐标系中,已知圆C 经过点2,4P π⎫⎪⎭，圆心为直线3sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程. 【答案】2cos ρθ= 【解析】 【分析】将直线方程和P 点化为直角坐标，由此得到所求圆的直角坐标方程，再化回极坐标方程即可.【详解】由直线3sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：133sin cos 2ρθθ=， ∴330x y +=，∴直线与x 轴交点为()1,0，又P 的直角坐标为()1,1，∴圆C 的半径1r =，∴圆C 的方程为：()2211x y -+=，即2220x y x +-=，22cos 0ρρθ∴-=，0ρ∴=或2cos ρθ=，又0ρ=表示极点，也在圆上，∴圆C 的极坐标方程为：2cos ρθ=.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于基础题.23. 已知正数,,a b c 满足1abc =，求()()()222a b c +++的最小值. 【答案】27 【解析】 【分析】根据()()()()()()222111111a b c a b c +++=++++++，利用基本不等式可求得结果. 【详解】()()()()()()33332221111113332727a b c a b c a b c abc +++=++++++≥⋅⋅==（当且仅当1a b c ===时取等号），()()()222a b c ∴+++的最小值为27.【点睛】本题考查利用基本不等式求积的最小值的问题，关键是能够将所求式子配凑成符合基本不等式的形式.24. 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M N ，分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）求异面直线1A M 与1C E 所成角的余弦值； （2）求二面角1A MA N --的平面角的正弦值. 【答案】（17342）105【解析】 【分析】（1）根据菱形的特点可证得DE AD ⊥，则以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果； （2）利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）直四棱柱1111ABCD A B C D-的底面是菱形，60BAD∠=，E为BC的中点，DE BC∴⊥，又//AD BC，DE AD∴⊥.则以D为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，则()12,0,4A，()3,2M,()13,4C-，()3,0E，()113,2A M→∴=--，()11,0,4C E→=-，111111734cos,2217A M C EA M C EA M C E→→→→→→⋅∴<>===⨯⋅，∴异面直线1A M与1C E734.（2）由（1）得：()1,0,2N，()2,0,0A，则()10,0,4A A→=-，()13,2A M→=--，()13,2A N→=--，()0,3,0MN→=-，设(),,m x y z→=为平面1A MA的法向量，则1132040m A M x zm A A z⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y=，则3x0z=，)3,1,0m→∴=；设(),,n p q r→=为平面1A MN的法向量，则130320n MN qn A N p q r⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令1r=-，则2p=，0q=，()2,0,1n→∴=-；2315cos,25m nm nm n→→→→→→⋅∴<>===⋅∴二面角1A MA N--21510155⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭.【点睛】本题考查空间向量法求解立体几何中的异面直线所成角、二面角的问题，考查学生的运算和求解能力，属于常考题型.25. 已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222nn n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =.（1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.【答案】（1）1m =，12a =；（2）猜想：()2n n N a n *=∈，证明见解析【解析】 【分析】（1）代入2n =可构造方程求得m ，代入1n =得到1a ； （2）根据数列中的项可猜想()2nn N a n *=∈，利用数学归纳法，结合组合数的运算与性质可证得结论.【详解】（1）123123232222n n n n n n n n C C C C a m ++++=++++⋅⋅⋅+，123423424C C a m m ∴=++=+=，解得：1m =，121122C a m m ∴=+=+=.（2）由12a =，24a =，38a =可猜想：()2n n N a n *=∈.证明：①当1n =时，由（1）知结论成立；②假设n k =时，结论成立，则有12312323122222k k k k k k k k k C C C C a ++++=++++⋅⋅⋅+=，那么当1n k =+时，123111121311123112222k k k k k k k kC C C C a ++++++++++++=++++⋅⋅⋅+. 由111k k kn n n C C C +++=+得：10213211112233111231122222k k k k k k k k k k k k k k k k kkC C C C C C C C C a -++++++++++++++++++=++++⋅⋅⋅++0121112311231222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++++++=++++⋅⋅⋅++=12110231111211222222k k k k k k k k k k k k C C C C C -++++++++-⎛⎫++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭1211023111111211222222k k k kk k k k k k k kk k k C C C C C C -+++++-+++++-⎛⎫+=++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭又()()()()()()()()()()11111121!2221!21!112!1!1!1!1!1!2k k k kk k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++++++====+++++ 1211023111111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -+++++-++++++-+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+++ ⎪⎝⎭，于是11122kk k a a ++=+，112k k a ++∴=，故1n k =+时结论也成立. 由①②得，()2nn N a n *=∈.【点睛】本题以数列为载体，重点考查了组合数的运算与性质，涉及到利用数学归纳法证明数列通项公式的问题；本题计算量较大，要求学生对于组合数的运算性质有较好的掌握.。

2020年江苏省南京市高淳县第一中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面向量,满足,,与的夹角为120°,若,则实数m的值为( )A．3 B．2 C．D．1参考答案：A2. 已知且，，则（）A. ﹣1B. ﹣lg3C. 0D. 1参考答案：A【分析】根据题意，由函数的解析式可得，可解得a、b的值，即可得的值，进而可计算得答案．【详解】解：根据题意，且，，则，解可得，则，则.故选：A【点睛】本题考查了分段函数求函数值的问题，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论.3. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A．2 B．C．D．参考答案：D略4. 函数的零点个数是（）A．1 B．2 C．3D．4参考答案：C5.参考答案：A略6. 的展开式的常数项是A．2 B．3 C．-2 D．-3参考答案：B7. 已知集合A={x|2x2﹣7x≥0}，B={x|x＞3}，则集合A∩B=（）A．（3，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，0}]∪[，+∞）D．（﹣∞，0]∪（3，+∞）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（2x﹣7）≥0，解得：x≤0或x≥，即A=（﹣∞，0]∪[，+∞），∵B=（3，+∞），∴A∩B=[，+∞），故选：B．8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图得出该几何体是圆锥的，三棱锥，高为，r=1，运用给出的数据，计算答案即可．解答：解；某几何体的三视图如图得出该几何体是圆锥的，三棱锥，高为，r=1，底面积为：×π×12=，×=×=，故选：A点评：本题考查了运用三视图恢复空间几何体的能力，三棱锥，圆锥的体积公式，属于中档题．9. 过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F，作圆x2+y2=的一条切线，切点为E，延长FE与双曲线的右支交于点P，若E是线段FP的中点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的特点知原点O为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF，通过勾股定理得到a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．【解答】解：如图，记右焦点为F′，则O为FF′的中点，∵E为PF的中点，∴OE为△FF′P的中位线，∴PF′=2OE=a，∵E为切点，∴OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∵点P在双曲线上，∴PF﹣PF′=2a，∴PF=PF′+2a=3a，在Rt△PFF′中，有：PF2+PF′2=FF′2，∴9a2+a2=4c2，即10a2=4c2，∴离心率e===，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c 的关系，注意解题方法的积累，属于中档题．10. （5分）设函数y=f（x）是定义在R上以1为周期的函数，若g（x）=f（x）﹣2x在区间[2，3]上的值域为[﹣2，6]，则函数g（x）在[﹣12，12]上的值域为（）B由g（x）在区间[2，3]上的值域为[﹣2，6]，可设g（x0）=﹣2，g（x1）=6，x0，x1∈[2，3]，g（x0）=f（x0）﹣2x0=﹣2，∵y=f（x）是定义在R上以1为周期的函数，∴g（x0+n）=f（x0+n）﹣2（x0+n）=f（x0）﹣2x0﹣2n=﹣2﹣2n．同理g（x1+n）=6﹣2n，12﹣3=9，于是g（x）在[﹣12，12]上的最小值是﹣2﹣2×9=﹣20；﹣12﹣2=﹣14，于是g（x）在[﹣12，12]上的最大值是6﹣2（﹣14）=34．∴函数g（x）在[﹣12，12]上的值域为[﹣20，34]．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 平面直角坐标系下直线的方程为Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)，请类比空间直角坐标系下平面的方程为_____________________________.参考答案：Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C2≠0).平面直角坐标系下直线的方程为Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)，请类比空间直角坐标系下平面的方程为Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C2≠0).12. 函数的定义域是▲ .参考答案：13. 化简的结果为__________.参考答案：25略14. 已知的值等于 .参考答案：15. 已知实数，，满足，，则的最小值是____________.参考答案：略16. 已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 .参考答案：17. 设为数列的前项和，且，则．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．236． 37．2n ＋1－2 8．62 9．8310．[2，4] 11．6 12． [－2，＋∞) 13．－9414．38二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)证明：(1)取PC 中点G ，连接DG 、FG ．在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ．因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ， ······························································ 2分所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG ． ············································································· 4分 又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ． ······································································ 6分 (2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ． ··································································· 10分 因为P A ⊂平面P AD ，所以CD ⊥P A ． ·················································· 12分 又因为P A ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以P A ⊥平面PCD ． 因为P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD ． ·································· 14分16．(本小题满分14分)解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12． ··································· 2分因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3， ························································· 4分所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3． ······························· 6分(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45． ········ 8分因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210， ······················· 10分所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22． ····· 12分又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4． ····································································· 14分17．(本小题满分14分)解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy ． 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)． ···························································· 2分(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ．因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ，即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55． 化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去）， ·············································· 4分 所以OC ＝405．因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0． ······················· 6分因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85， 所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险．答：若快艇立即出发有触礁的危险． ······················································· 8分 (2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ． 设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k |12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12． ············································· 10分由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ． 由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505， ······························································· 12分此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时． ···························································· 14分18．(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ·························································· 2分(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． ··········· 4分 设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32， 所以M (－1，±32)． ········································································ 6分 (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2． ···················································· 8分因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)． ·································································· 10分因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，化得4m 2＝4k 2＋1．① ········································································ 12分 因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0． 因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② ················· 14分 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112． ····················································· 16分 19． (本小题满分16分)解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)． ··················································· 2分 (2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4． ························································· 4分 方法1由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x (x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2．①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减，所以f (a )＞f (2)，不符题意． ··························································· 6分 ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )＜f (2)，满足题意．综上，a 的取值范围为(2，4)． ························································ 8分方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e aa ．因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e a a(4－a )．设函数g (x )＝e xx (4－x )－e 2， 0＜x ＜4． ·················································· 6分因为g'(x )＝e x·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减．又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)．所以，a 的取值范围为(2，4)． ··························································· 8分 (3)证明：设切点为(x 0，f (x 0))，则f'(x 0)＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2，所以切线方程为y －ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(x －x 0)．由0－ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(0－x 0)，化简得x 03－(a ＋3)x 02＋3ax 0－a ＝0． ···················································· 10分 设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h'(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a ． 因为△＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x )＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨x 1＜x 2． 因为所以函数h (x )最多有三个零点． ························································· 12分 因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a ＜0，h (1)＝a －2＞0，h (2)＝a －4＜0，h (5)＝50－11a ＞0， 所以h (0)h (1)＜0，h (1)h (2)＜0，h (2)h (5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点． 综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点． ············································· 16分20．(本小题满分16分)解：(1) 因为{a n }的“L 数列”为{12n }，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N *，即a n ＋1a n ＝2n ，所以n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n -1)＋(n －2)＋…＋1＝2n (n －1)2．又a 1＝1符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n (n －1)2，n ∈N *． ·················· 2分(2)因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1． 方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2．因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立， 即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立． ············································ 4分因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)，所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0．当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意． ··········· 6分 当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0，综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ························································· 8分 方法2令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意． ···················· 6分当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ························································· 8分(3)存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下：因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋p k，k ∈N*， ·············································· 10分所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n)． 又因为p ＞1，所以1－1p ＞0，所以n p ＜S n ＜n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1p n －1＋1p n )，即n p ＜S n ＜n p ＋1p ·[1－(1p )n ]． ································································· 14分 因为1p ·[1－(1p )n ]＜1p ，所以n p ＜S n ＜n ＋1p．设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p，且c n ＜S n ＜c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意． ······················································· 16分南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ．··································································· 2分 因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0． ········································································· 4分 (2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2， ·············· 6分 所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36， 所以，点Q ′的坐标为(－3，6)． ························································ 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)得直线l 方程为x －3y ＋3＝0． ············· 2分曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－ 3 sin θ＋3|2 ······························ 4分＝|2cos(θ＋π3)＋1＋3|2． ········································································ 6分当θ＋π3＝2k π，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时， ·················································· 8分曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32． ········································ 10分C ．选修4—5：不等式选讲 证明：因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]． ·································· 4分 若a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0． ···························································· 6分 若a ＜b 时，a ＜b ，从而(a )5＜(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]＞0． ···························································· 8分 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． ····························································· 10分 22．（本小题满分10分）解：(1)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ．又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的 空间直角坐标系A —xyz ．设AA 1＝t (t ＞0)，又AB ＝3，AC ＝4，则A (0，0，0)，C 1(0，4，t )，B 1(3，0，t )，C (0，4，0)，所以AC 1→＝(0，4，t )，B 1C →＝(－3，4，－t )． ·············································· 2分 因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4，所以AA 1的长为4． ············································································· 4分 (2)由(1)知B (3，0，0)，C (0，4，0)，A 1(0，0，4)， 所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0．取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量． 又因为AB ⊥面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos ＜n ，AB →＞＝AB →·n |AB →|·|n |＝123·42＋32＋32＝434， ····································· 6分所以sin ＜n ，AB →＞＝317．设P (3，0，m )，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m )． 因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos ＜CP →，AB →＞＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93·32＋(－4)2＋m 2＝3m 2＋25， 所以直线PC 与平面AA 1C 1C 的所成角的正弦值为3m 2＋25． ·························· 8分 因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等， 所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等 ． ········································································································ 10分 23．（本小题满分10分）解：(1)根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35．所以P 1＝25×25＋C 12×(25)2×35＝425＋24125＝44125． ········································ 2分(2)证明：累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C nn ×(25)n ＋1；前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C nn ＋1×(25)n ＋1×35；······································································································ 4分 ……前2n －1 次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1；前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n2n ×(25)n ＋1×(35)n ；则P n ＝C n n ×(25)n ＋1＋C n n ＋1×(25)n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1＋C n2n ×(25)n ＋1×(35)n＝(25)n ＋1×[C n n ＋C n n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(35)n －1＋C n2n ×(35)n ] ＝(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]， ························ 6分因此P n ＋1－P n ＝(25)n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1]－(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ] ＝(25)n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1]。

2019—2020学年第二学期5月高三联合调研数学参考答案及评分标准说明：1. 本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考査内容 比照评分标准制订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题（本大题共14小题，每小题S 分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内）15・（本小题满分14分）rC解:⑴在*c 中,由正弦定理爲=謳，及如曲=收：项,°得 sin B sin 4 = sin A sin(-^- 一 B), 由 A G (0,^)时，sin/>0,可得 sin 8 = sin("展开得sin B = sin 千cos8 — cos 苧sin B ,即sing = ^3 cosB 又由B s (0»兀)，得sin > 0,从而c os H 工0 , 从而早J tan B = V3，可得B= 5.7T⑵在剧C 中,由余弦定理如= 2,C = S§, cr 4-<?2 - laccosB = 7 ,故 b =答题纸的指定位置上）3.—4.2531.(—8,2)2-4i7.3 8.苔 9.y = ±y/2x,o4 "-21—1项—1 羿)|4.[一1,0川(0,1]3“)'得屏, 2项代2由 = 得 sin/f — JJ ，解得 sinA = .因为 GVC ,故 cos A =.sin A sin B ——J7v7因此s* = E OS A =埠，"=2宀 T = ：.A-C=A-所以 sin(/4 -C) = sin(2 4 —= sin 2/1 cos - cos 2A sin 号4^3 z h 1 V3 5 后 7 2 7 214 .........................16・（本小题满分14分）证明：（1）因为侧面BCC.B.是矩形 所以 BC ± cq ...................... 2分又 面ACC 』丄面3CC 占，面ACC {A } A 面8CG 句=CG ，BC u 面 所以2C 丄面4CG4 4分又AM u 面刀CC/[ 所以BC1AM..................... 6分（2）法一：取中点H,联纬NH,HM因为N 是的中点所以在 \ABB }中 NHUBB, NH =、BB 、 又因为在三棱柱ABC-A^Q 中 所以 BBJICC.且 BB } = CC, 又M 棱CQ 上的一点.所以CM//NH所以共面 ............................ 10分 又CN 〃平面AB }M CN u 面CNHM 面CNHM C 面刀=MH所以CN <MH所以四边形CW//M 为平行四边形 .............. 12分 所以 CM //Nil CM = NH 所以 CM=\B B 】=、CC[ 所以M 是棱CG 中点............ 14分14分11分法二：因为在二棱柱ABC-A^C^所以BB'/CC"旦 BB、= CQ因为CM 丨 IBB、CM(Z W\ABB{A} BB】u ~^\ABB}A X所以CM H^ABB}A} ........................................... 8分所以过麗簡可作平面a交直线于点H则CA/u面。