2011—2012学年度上学期高三理科数学周练试卷（十）
考试范围：函数 数列 三角 向量 概率
一．选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分） 1．若向量),2,4(),1,1(),1,1(=-==则c 等于（ ）
A. +3
B. -3
C. 3+-
D. 3+ 2．若向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，则→a 与→b 一定满足 （ ）
A ．→a 与→b 的夹角等于α－β
B ．→a ⊥→b
C ．→a ∥→b
D ．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )
3. 3．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+
与()
2b a -- 共线，则λ= （ ）
A ．0
B ．－1
C ．－2
D ．0.5
4．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→
＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则 向量P 1P 2→
长度的最大值是（ ）
A ． 2
B ． 3
C ．3 2
D ．2 3 5．6．在OAB ∆中，OA a = ，OB b = ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=
，则实数λ等 于（ ） A ．()a b a a b
⋅-- B ．2
()a a b a b
⋅-- C ．()a b a a b ⋅-- D ．()a a b a b
⋅--
6．使)2cos(3)2sin()(ϕϕ+++=x x x f 为奇函数，且在]4
,
0[π
上是减函数的ϕ的一个值（ ）
A ．3
π
B ．32π
C ．34π
D ．35π
7. 已知非零向量AB 与AC 满足().0AB AC BC AB
AC
+= 且1..2
AB AC AB AC
=
则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形 8. ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，=++且||||AB OA =，则向量CA 在方向上的投影为 （ ） A.3 B.3 C.3- D.3-
9. 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→
(μ∈R )，且1λ＋1
μ
＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，
则下面说法正确的是( )
A ．C 可能是线段A
B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．C 、
D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上
10.已知函数f （x ）＝cos （ωx ＋ϕ）（x ∈R ）的图像的一部分如下图所示，其中ω＞0，｜ϕ｜<2
π，
为了得到函数f （x ）的图像，只要将函数 g （x ）＝22cos sin 22
x x
－（x ∈R ）的图像上所有的点（ ） A ．向右平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变
B ．向右平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C ．向左平移3
π
个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变
D ．向左平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
二．填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分） 11．已知：0<α<
π2，-π
2
<β<0，cos(α-β)=35且tan α=34，则sin β=_____________.
12.函数()⎪⎭
⎫
⎝
⎛
<
<-=40sin cos sin πx x x x y 的最大值是 。 13.在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →
＝_______.
14.已知△ABC 的面积是30，其内角A 、B 、C 所对边的长分别为,,a b c ，且满足12
cos 13A =
，
1c b -=，则a = ．
15．给出下列命题：①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12
；
②若α、β为锐角，tan(α＋β)＝12，tan β＝13，则α＋2β＝π
4
；
③函数y=cos (2x -3π)的一条对称轴是x=π3
2
;
④πϕ2
3
=是函数y=sin(2x+ϕ)为偶函数的一个充分不必要条件.
其中真命题的序号是________．
三．解答题（本大题共5小题，每题12分，共60分）
16.已知向量),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos x x b x x a -==]2
,2[),2cos ,2sin (ππ-∈-=x x x c 且 （1）求||b a +;
（2）求函数f (x )=的||2b a c a ++⋅单调增区间.
17.从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动。 （1）求所选3人中恰有一名男生的概率；
（2）求所选3人中男生人数ξ的分布列，并求ξ的期望。
18.在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，向量)2,(c a b m -=，)cos ,(cos C B n =，
且// . (1)求角B 的大小； (2)设)0(sin )2
cos()(>+-=ωωωx B
x x f ，
且)(x f 的最小正周期为π，求)(x f 在区间]2
,0[π
上的最大值和最小值.
19.数列}{n a 的前n 项和记为n S ,t a =1,点1(,)n n S a +在直线21y x =+上,N n *
∈．
(Ⅰ)当实数t 为何值时,数列}{n a 是等比数列？ (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设31log n n b a +=,n T 是数列1
1
{}n n b b +⋅的前n 项和,求2011T 的值．
20.设函数2
1()ln .2
f x x ax bx =-- （1）当1
2
a b ==
时，求)(x f 的最大值； （2）令21()()2a
F x f x ax bx x =+++，（03x <≤），其图象上任意一点00(,)P x y 处
切线的斜率k ≤2
1
恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）当0a =，1b =-，方程2
2()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．
