盐城市伍佑中学
2019—2020学年春学期高三网上助学周练检测
数学试题 3.13
考试时间：120分钟 总分：160分 命题人：陈忠
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．
1. 已知A ＝[0，1]，B ＝{x|ln x ≤1}，则A ∩B ＝________．
2. 若复数z ＝(1＋3i)2，其中i 为虚数单位，则z 的模为________．
3. 已知数据x 1，x 2，…，x n (n ≥2)的标准差为则数据x 1，x 2，…，x n (n ≥2)的均值为________．
4. 在区间[－1, 2]内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是________．
5. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果的集合为________．
6. 已知双曲线C ：x 24
－y 2
＝1的左焦点为F 1，P 为分支上一
点．若P 到左准线的距离为d ＝9
5
，则PF 1的长为________.
7. 若函数f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在闭区间⎣
⎡⎦⎤0，π
3上的最大
值为2，则ω的值为_____．
8.若f(x)＝e x －a
e x ＋a
·sin x 为偶函数，且定义域不为R ，则a 的值为________．
9.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________．
10.在△ABC 中，边BC ，CA ，AB 上的高分别是h a ，h b ，h c ，且h a ∶h b ∶h c ＝6∶4∶3，则tan C ＝__________．
11.设max{x ，y}＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x ＜y ，
若定义域为R 的函数f(x)，g(x)满足：f(x)＋g(x)＝2x
x 2＋1，
则max{f(x)，g(x)}的最小值为________．
12.如图，已知△ABC 中，BC ＝2，以BC 为直径的圆分别与AB ，AC
交于M ，N ，MC 与NB 交于G.若BM →·BC →
＝2，则∠BGC ＝105°，则CN →·BC →
＝________．
13.函数f(x)＝（x －1）
2ln x
在区间[α，2](1＜α＜2)上的最大值是________.
14.若二次函数f(x)＝x 2－ax ＋2a －1存在零点，且零点是整数，则实数a 的值的集合为_____．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →
＝(8＋m ，m)．
(1) 当m ＝－19
4
时，求证：点A ，B ，C 是一个直角三角形的顶点；
(2) 在△ABC 中，若∠ABC>π
2
，试求实数m 的取值范围．
16. (本小题满分14分)
如图，直三棱柱ABCA 1B 1C 1的各条棱长均为2，D ，E 分别为棱B 1C 1，AC 的中点，O 是侧面ABB 1A 1的中心，过D 作DG ⊥A 1B 1于G ，过E 作EF ⊥AB 于F ，连结GF.求证：
(1) G ，O ，F 三点在一条直线上； (2) DE ∥平面ABB 1A 1.
在正项数列{b n }中，若4(1－q)(b 1＋b 2＋…＋b n )＝1－q n (∀n ∈N *，q ≠1)，b 8＝8b 5. (1) 求{b n }的通项公式；
(2) 若数列{a n }满足a n ＝log 2b n ，数列{a n } 的前n 项的和为S n ，求数列{nS n }的最小项的值．
18. (本小题满分16分)
某开发商在对某小区进行规划时，准备设计一个圆形的活动中心．为达到提高小区居民的满意度，进行如下设计：在圆内接四边形ABCD 中，△ABD 所在的区域作为绿化区域，△BCD 所在的区域建一个儿童游乐场，其余的为休闲区域，以上三种区域的建造费用由国家贴补．图中BC ＝60 m ，CD ＝40 m.
(1) 若BD ＝207 m ，AD ＝2AB ，求休闲区域的面积；
(2) 若AD ＝40 m ，设∠BCD ＝θ∈(0，π2)，经验表明：当S △ABD
tan θ
≥40时，该圆形活动中
心的舒适度指数最高．试求该圆形活动中心的舒适度指数最高时cos θ的取值范围．
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，A 1，A 2为椭圆C 的左、右顶点，椭圆的右焦点为F ，
椭圆C 的离心率为e.
(1) 设y ＝kx 的倾斜角为θ，直线y ＝kx 与椭圆交于D ，E 两点，DF ⊥EF ，e ＝1
2
，求
cos 2θ4＋sin 2θ
3
的值； (2) 设过点F 且斜率为1的直线与椭圆交于P ，Q(其中P ，Q 分别在x 轴的上、下方)，当S △PA 2F S △QA 1F
的最小值为12时，求证：e 2－3(1＋2)e ＋2≥0.
20. (本题满分16分)
已知函数f(x)＝e －
x (x 2＋ax －2a 2＋3a)．
(1) 若f(x)在区间[0，2]上有极值，求a 的取值范围；
(2) 若a ≥－6，讨论方程f(x)＝（2a ＋4）ln （x ＋1）－2a 2＋3a
e x
在区间(0，2]的实根个数.
