高三数学检测试卷及参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是：A. √2B. πC. -3D. 无理数2. 函数y=2x-1的图像是：A. 一次函数图像B. 二次函数图像C. 指数函数图像D. 对数函数图像3. 已知等差数列{an}的第一项a1=3，公差d=2，则第10项an的值为：A. 19B. 21C. 23D. 254. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°5. 若复数z满足|z-1|=2，则复数z在复平面上的几何意义是：A. z到点(1,0)的距离为2B. z到点(0,1)的距离为2C. z到点(1,1)的距离为2D. z到点(0,0)的距离为26. 下列函数中，是奇函数的是：A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^57. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 78. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于y轴的对称点坐标是：A. (2,-3)B. (-2,3)C. (-2,-3)D. (2,3)9. 若log2(x+1)=3，则x的值为：A. 2B. 3C. 4D. 510. 下列不等式中，正确的是：A. 3x > 2xB. 3x < 2xC. 3x ≤ 2xD. 3x ≥ 2x二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知等比数列{an}的第一项a1=1，公比q=2，则第n项an=______。

12. 在△ABC中，若∠A=60°，b=8，c=10，则a=______。

13. 函数y=2^x的图像与y=2^(-x)的图像关于______对称。

14. 若复数z=3+4i，则|z|=______。

15. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，d=3，则S10=______。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在实数范围内是单调递增的是（）A. y = -x^2 + 2xB. y = x^3 - 3xC. y = 2^xD. y = log2(x)答案：C解析：选项A和B都是二次函数，开口向下，存在最大值，不是单调递增。

选项D 是底数为2的对数函数，在定义域内是单调递增的，但题目要求在实数范围内，所以排除。

选项C是指数函数，底数大于1，在整个实数范围内都是单调递增的。

2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则第10项an=（）A. 19B. 21C. 23D. 25答案：B解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，代入a1=1，d=2，n=10，得an = 1 + (10-1)×2 = 21。

3. 若复数z满足|z-2i|=|z+1|，则复数z在复平面内的对应点在（）A. x轴上B. y轴上C. 第一象限D. 第二象限答案：A解析：根据复数的模的定义，|z-2i|表示点z到点(0,2)的距离，|z+1|表示点z到点(-1,0)的距离。

若这两个距离相等，则点z位于这两点的垂直平分线上，即y轴上。

但由于|z-2i|是z到y轴的距离，|z+1|是z到x轴的距离，所以点z在x轴上。

4. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 0，f(-1) = 0，则函数的图像与x轴的交点坐标为（）A. (1,0)，(-1,0)B. (0,1)，(0,-1)C. (0,0)，(1,0)D. (-1,0)，(0,0)答案：A解析：由f(1) = 0和f(-1) = 0可知，1和-1是函数的根，因此函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)和(-1,0)。

5. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-3,1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (-1,2)B. (-1,1)C. (1,2)D. (1,1)答案：A解析：线段AB的中点坐标为两个端点坐标的算术平均值，即中点坐标为((2-3)/2, (3+1)/2) = (-1,2)。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在x=1处取得极值，则该极值是（）A. 最大值B. 最小值C. 无极值D. 无法确定答案：A解析：首先求导f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x = 1或x = -1。

再求二阶导数f''(x) = 6x，将x = 1代入f''(x)，得f''(1) = 6 > 0，因此f(x)在x=1处取得极小值。

2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = （）A. 23B. 25C. 27D. 29答案：C解析：由等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得an = 3 + (10 - 1)×2 = 3 + 18 = 21。

3. 若复数z = 1 + bi（b∈R），且|z| = √2，则b的值为（）A. 1B. -1C. √2D. -√2答案：A解析：由复数的模的定义，得|z| = √(1^2 + b^2) = √2，解得b = ±1。

因为题目中未指定b的正负，所以答案为A。

4. 若不等式|x| + |y| ≤ 1表示的区域为D，则D的面积为（）A. 1B. 2C. πD. 4答案：B解析：不等式|x| + |y| ≤ 1表示的区域D是一个以原点为中心的正方形，边长为2，所以D的面积为2×2=4。

5. 已知函数f(x) = log2(x - 1) + log2(3 - x)，则f(x)的定义域为（）A. (1, 3)B. (1, 2)C. (2, 3)D. (1, 2)∪(2, 3)答案：D解析：由对数函数的定义，得x - 1 > 0且3 - x > 0，解得1 < x < 3。

新高三数学测试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，则f(3)的值为：A. -1B. 1C. 9D. 11答案：B2. 已知等差数列{a_n}中，a_1 = 2，公差d = 3，求a_5的值。

A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A3. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)答案：A4. 函数y = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-1, 1]B. [-√2, √2]C. [0, 2]D. [1, 2]答案：B5. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B =：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案：B6. 已知向量a = (3, 4)，b = (-4, 3)，则向量a与向量b的夹角θ满足：A. cosθ = 1/7B. cosθ = -1/7C. cosθ = 7/√50D. cosθ = -7/√50答案：A7. 函数y = x^3 - 3x^2 + 4x的导数y'为：A. 3x^2 - 6x + 4B. x^2 - 3x + 4C. 3x^2 - 6x + 1D. x^2 - 3x + 2答案：A8. 已知复数z = 2 + 3i，求|z|的值。

A. √13B. √19C. √7D. √17答案：A9. 已知双曲线方程为x^2/9 - y^2/16 = 1，求其渐近线方程。

A. y = ±(4/3)xB. y = ±(3/4)xC. y = ±(16/9)xD. y = ±(9/16)x答案：A10. 已知等比数列{b_n}中，b_1 = 2，公比q = 2，求b_4的值。

A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = _______。

QOF 2F 1P yx高三数学质量检测试卷一、填空题（本大题共14小题：每小题5分：共70分）１. 已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆：则实数m 的值为 .２. 若复数i i a i z (),)(2(--=为虚数单位）为纯虚数：则实数a 的值为 .３. 长方形ABCD 中：：AB ＝2：BC ＝1：O 为AB 的中点：在长方形ABCD 内随机取一点：取到的点到O 的距离大于1 的概率为___________.４．执行右边的程序框图：若15p =：则输出的n = .５．设,a b 为不重合的两条直线：,αβ为不重合的两个平面：给出下列命题： （1）若a ∥α且b ∥α：则a ∥b ：（2）若a α⊥且b α⊥：则a ∥b ： （3）若a ∥α且a ∥β：则α∥β：（4）若a α⊥且a β⊥：则α∥β． 上面命题中：所有真命题．．．的序号是 ． ６．如图是某学校学生体重的频率分布直方图：已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3：第2小组 的频数为10：则抽取的学生人数是 .７．若函数y=cos ωx (ω>0)在(0：2π)上是单调函数：则实数ω的取值范围是____________.８．已知扇形的圆心角为2α（定值）：半径为R （定值）：分别按图一、二作扇形的内接矩形：若按图一作出的矩形面积的最大值为21tan 2R α：则按图二作出的矩形面积的最大值为 .９．已知点P 在直线x+2y-1=0上：点Q 在直线x+2y+3=0上：PQ 的中点为M （x 0：y 0）：且y 0>x 0+2：则y x 的取值范围为 。

10．如图：已知12,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点：点P 在椭圆C 上：线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ：且点Q 为线段2PF 的中点：则椭圆C 的离心率为 .11．等腰三角形ABC 的腰AC 上的中线BD 的长为3：则△ABC 的面积的最大值为 .2α2α图一第8题图图二12．给定正整数)2(≥n n 按右图方式构成三角形数表：第一行依次写上数1：2：3：……n ：在下面一行的每相邻两个数 的正中间上方写上这两个数之和：得到上面一行的数（比 下一行少一个数）：依次类推：最后一行（第n 行）只有一 一个数. 例如n =6时数表如图所示：则当n =2010时最后一 行的数是 .13．已知函数是定义在(0,)+∞上的单调增函数：当n *∈N 时：()f n *∈N ：若[()]3f f n n =：则f (5)的值等于 ．14．已知f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)：g(x)=f[f(x)]①若f(x)无零点：则g(x)>0对∀x ∈R 成立： ②若f(x)有且只有一个零点：则g(x)必有两个零点：③若方程f(x)=0有两个不等实根：则方程g(x)=0不可能无解。

2024-2025学年度十月月度检测数学试题（答案在最后）时限：120分钟满分：150分命题人：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{1,1}-B.{(1,1),(1,1)}- C.(0,)+∞ D.(0,1)【答案】B 【解析】【分析】先解方程组，得出点的坐标即可得出交集.【详解】,1y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得1,1x y =⎧⎨=⎩，或1,1x y =-⎧⎨=⎩，所以{(1,1),(1,1)}A B =- ，故选：B ．2.已知函数()*(2),nf x x n =-∈N ，则“1n =”是“()f x 是增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由当21,n k k =+∈N 时，′≥0，可得()(2)nf x x =-是增函数，即可得到答案.【详解】由()(2)nf x x =-，得()1(2)n f x n x --'=，则当21,n k k =+∈N 时，′≥0，()(2)nf x x =-是增函数，当1n =时，可得()f x 是增函数；当()f x 是增函数时，21,n k k =+∈N ，故“1n =”是“()f x 是增函数”的充分不必要条件.3.函数()sin cos f x a x b x =+图像的一条对称轴为π3x =，则a b =（）A.B. C.3D.3-【答案】A 【解析】【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出a b.【详解】由()()sin cos 0f x a x b x ω=+>的图象关于π3x =对称，可知：2π(0)(3f f =，即sin0cos0=s 3o 2π3i 2πn c s a b a b ++，则a b=故选：A ．4.已知随机变量()2~2,N ξσ，且(1)()P P a ξξ≤=≥，则19(0)x a xa x+<<-的最小值为（）A.5B.112 C.203D.163【答案】D 【解析】【分析】根据正态分布的对称性求得a ，利用基本不等式求得正确答案.【详解】根据正态分布的知识得12243a a +=⨯=⇒=，则03,30x x <-，19119139(3)103333x x x x x a x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭1161033⎛≥+= ⎝，当且仅当393x x x x -=-，即34x =时取等.故选：D5.已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象关于原点对称，则()f x 的图象的对称轴可以为（）．A.π12x = B.π6x =C.π3x =D.5π12x =【答案】D【分析】根据题意找到函数的对称点得()π03f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，结合特殊值法计算得a =角公式化简得()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最后整体替换计算得到结果；【详解】由题意可得()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，即对任意x ∈R ，有()π03f x f x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，取0x =，可得()π300322a f f ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，即a =．故()πsin22sin 23f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，可得()f x 的图象的对称轴为5ππ122k x =+，k ∈Z ．故选：D ．6.设37a =，ln 2b =，3sin 7c =，则（）A.b c a >>B.a c b>> C.a b c>> D.b a c>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()πsin (0)2f x x x x =-<<，利用导数探讨单调性并比较,a c ，再利用对数函数单调性比较大小即得.【详解】当π02x <<时，令()sin f x x x =-，求导得()1cos 0f x x '=->，则函数()f x 在π(0,)2上单调递增，有()(0)0f x f >=，即有sin x x >，因此33sin 77a c =>=，显然13ln 2ln 27b a =>=>=，所以b a c >>.故选：D7.已知函数()222cos (sin cos )(0)f x x x x ωωωω=-->的图象关于直线π12x =轴对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】先由三角恒等变换化简解析式，再由对称轴方程解得36,2k k ω=+∈Z ，再由()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值得ω范围，建立不等式求解可得.【详解】()()2222cos sin 2sin cos cos f x x x x x x ωωωωω=--+22cos sin21cos2sin2x x x x ωωωω=+-=+π24x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于直线π12x =轴对称，所以πππ1264f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故ππππ,642k k ω+=+∈Z ，即36,2k k ω=+∈Z ，当ππ22π42x m ω+=-+，m ∈Z ，0ω>,即当3ππ,8m x m ωω=-+∈Z 时，函数()f x 取得最小值，当1m =时，5π8x ω=为y 轴右侧第1条对称轴.因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤，故由3150628k <+≤，解得11416k -<≤，k ∈Z故0k =，得32ω=．故选：C.8.定义在R上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭，()12024e f =．若()()0f x f x '+->，则不等式()11e xf x +>的解集是（）A.()3,+∞ B.(),3-∞ C.()1,+∞ D.(),1-∞【答案】C【解析】【分析】由()f x 是奇函数，可得()f x '是偶函数，得到()()0f x f x +'>，令()()e xg x f x =，得到()0g x '>，得出()g x 在R 上单调递增，再由()302f x f x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，求得()f x 的周期为3的周期函数，根据()12024ef =，得到()2e g =，把不等式转化为()()12g x g +>，结合函数的单调性，即可求解.【详解】因为()f x 是奇函数，可得()f x '是偶函数，又因为()()0f x f x '+->，所以()()0f x f x +'>，令()()e x g x f x =，可得()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在R 上单调递增，因为()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭且()f x 是奇函数，可得()()23f x f x f x ⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭，则()()3333[()()222f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 的周期为3的周期函数，因为()()()12024674322e f f f =⨯+==，所以()212e e eg =⨯=，则不等式()11e xf x +>，即为()1e 1e xf x ++>，即()()12g x g +>，又因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，解得1x >，所以不等式()11ex f x +>的解集为()1,+∞．故选：C ．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列等式成立的是（）A.()21sin15cos152︒-︒=B.22sin 22.5cos 22.52︒-︒=-C.1cos28cos32cos62cos582︒︒-︒︒=-D.(3tan10cos502︒︒=-【答案】AB 【解析】【分析】应用倍角正余弦、和差角正余弦公式及诱导公式化简求值，即可判断各项的正误.【详解】A ：()21sin15cos1512sin15cos151sin 302︒-︒=-︒︒=-︒=，成立；B：22sin 22.5cos 22.5cos 452︒-︒=-︒=-，成立；C ：cos 28cos32cos62cos58cos 28cos32sin 28sin 32cos(2832)︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒+︒1cos602=︒=，不成立；D：(sin102sin 50cos50sin100tan10cos50cos50cos10cos10cos10︒-︒-︒︒-︒︒-︒=⋅︒=︒︒︒cos101cos10︒=-=-︒，不成立.故选：AB10.已知抛物线()2:20C y px p =>，过C 的焦点F 作直线:1l x ty =+，若C 与l 交于,A B 两点，2AF FB =，则下列结论正确的有（）A.2p =B.3AF =C.t =或-D.线段AB 中点的横坐标为54【答案】ABD 【解析】【分析】由直线:1l x ty =+，可知焦点1,0，得p 的值和抛物线方程，可判断A 选项；直线方程代入抛物线方程，由韦达定理结合2AF FB =，求出,A B 两点坐标和t 的值，结合韦达定理和弦长公式判断选项BCD.【详解】抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 在x 轴上，过F 作直线:1l x ty =+，可知1,0，则12p=，得2p =，A 选项正确；抛物线方程为24y x =，直线l 的方程代入抛物线方程，得2440y ty --=.设1,1，2,2，由韦达定理有124y y t +=，124y y =-，2AF FB =，得122y y=-，解得12y y =-=12y y ==，124y y t=+，则4t =或4t =-，C 选项错误；则1212,2x x ==，线段AB 中点的横坐标为121252242x x ++==，D 选项正确；12192222AB x x p =++=++=，2293332AF AB ==⨯=，B 选项正确.故选：ABD.11.已知()00,P x y 是曲线33:C x y y x +=-上的一点，则下列选项中正确的是（）A.曲线C 的图象关于原点对称B.对任意0x ∈R ，直线0x x =与曲线C 有唯一交点PC.对任意[]01,1y ∈-，恒有012x <D.曲线C 在11y -≤≤的部分与y 轴围成图形的面积小于π4【答案】ACD 【解析】【分析】将x ，y 替换为x -，y -计算即可判断A ；取0x =，可判断有三个交点即可判断B ；利用函数3y x x =-的单调性来得出300y y -的取值范围，再结合()3f x x x =+的单调性进行求解即可判断C ；利用图象的对称性和半圆的面积进行比较即可判断D ．【详解】A ．对于33x y y x +=-，将x ，y 替换为x -，y -，所得等式与原来等价，故A 正确；B ．取0x =，可以求得0y =，1y =，1y =-均可，故B 错误；C ．由330000x x y y +=-，[]01,1y ∈-，函数3y x x =-，故213y x '=-，令2130y x '=-=，解得：13x =±，在1,3x ⎡∈--⎢⎣⎦，,13⎤⎥⎣⎦时，0'<y ，函数单调递减，在,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，0'>y ，函数单调递增，所以300,99y y ⎡-∈-⎢⎣⎦，又因为()3f x x x =+是增函数，15289f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，所以有012x <，故C 正确；D ．当[]00,1y ∈时，3300000x x y y +=-≥，又320002x x x +≥，32000022y y y y -≤-，所以22000x y y ≤-．曲线22x y y =-与y 轴围成半圆，又曲线C 的图象关于原点对称，则曲线C 与y 轴围成图形的面积小于π4，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且πcos2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】π12-【解析】【分析】化简三角函数式，求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由πcos2cos 4αα⎛⎫=+⎪⎝⎭，得()22cos sin cos sin 2αααα-=-.因为π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，则cos sin 2αα+=，则1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.由π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得πππ,444α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，则ππ46α+=，解得π12α=-.故答案为：π12-.13.海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75︒，距离为A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30︒，距离为海里C 处，货轮由A 处向正北航行到D 处时看灯塔B 在东偏南30︒，则灯塔C 与D 处之间的距离为______海里．【答案】【解析】【分析】由正弦定理和余弦定理求解即可．【详解】如图：由题意75DAB ∠=︒，903060ADB ∠=-︒=︒，所以180756045DBA ∠=︒-︒-︒=︒，在ABD △中，由正弦定理sin sin AD AB ABD ADB =∠∠，即306sin 45sin 60AD =︒︒，所以60AD =，在ADC △中，30DAC ∠=︒，所以20CD =.故答案为：14.若存在实数m ，使得对于任意的[],x a b ∈，不等式2πsin cos 2sin 4m x x x m ⎛⎫+≤-⋅ ⎪⎝⎭恒成立，则b a -取得最大值时，sin2a b+=__________．【答案】2【解析】【分析】以m 为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得1sin 22x ≤，解不等式结合题意得[]()7ππ,π,π,1212a b k k k ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，由此可得答案.【详解】因为2πsin cos 2sin 4m x x x m ⎛⎫+≤-⋅ ⎪⎝⎭恒成立，即2π2sin sin cos 04m x m x x ⎛⎫--⋅+≤ ⎪⎝⎭恒成立，若存在实数m ，使得上式成立，则2πΔ4sin 4sin cos 04x x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭，则πΔ22cos 22sin 222sin 22sin 224sin 202x x x x x ⎛⎫=---=--=-≥ ⎪⎝⎭，可得1sin 22x ≤，可得7ππ2π22π,66k x k k -≤≤+∈Z ，解得7ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ，由[]()7ππ,π,π,1212a b k k k ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，则b a -取得最大值时()7πππ,π,1212a k bk k =-=+∈Z ，此时()7ππππ1212sin sin ,222k k a b k -+++==∈Z .故答案为：2.【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以m 为变量，转化为存在性问题分析求解.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数()π4sin cos 6f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R .（1）求函数()f x 的单调减区间;（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】（1）π2ππ,π,63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）()min 2f x =-，()max 1f x =【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；（2）由x 的范围求得π26x +的范围，再根据正弦函数的性质即可得解.【小问1详解】解：()2π314sin cos 4sin cos sin cos 2sin 622f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1πcos212sin2cos212sin 21226x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ3π2π22π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得π2πππ63k x k +≤≤+，所以函数()f x 的单调减区间为π2ππ,π,63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】解：因为π02x ≤≤，所以ππ7π2666x +≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，于是π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()21f x -≤≤，当且仅当π2x =时，()f x 取最小值()min π22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取最大值()max π16f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.16.已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx =---在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1-.（1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1b =（2）证明见解析（3）(,1]-∞【解析】【分析】（1）先求导函数再写出切线方程代入点得出参数值；（2）求出导函数1()2ln 2f x x x x'=+--，再根据导函数求出()(1)10f x f ''≥=>即可证明单调性；（3）根据函数解析式分1x =和1x >两种情况化简转化为ln x x a -≥恒成立，再求()ln (1)h x x x x =->的单调性得出最值即可求出参数范围.【小问1详解】()f x 的定义域为1(0,),()2ln()2f x x bx x'+∞=+--，故(1)1ln f b '=-，又(1)0f =，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1ln )(1)y b x =--，将点(0,1)-代入得1ln 1b -=，解得1b =．【小问2详解】由（1）知2()(1)ln f x x x x x =---，则1()2ln 2f x x x x'=+--，令1()()2ln 2g x f x x x x '==+--，则22221121(1)(21)()2x x x x g x x x x x---+'=--==，当01x <<时，()0,()g x g x <'单调递减；当1x >时，()0,()g x g x >'单调递增，所以()(1)10f x f ''≥=>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．【小问3详解】对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，即对1,(1)(1)ln (1)x x x x x a x ∀≥---≥-恒成立，当1x =时，上式显然恒成立；当1x >时，上式转化为ln x x a -≥恒成立，设()ln (1)h x x x x =->，则11()10x h x x x'-=-=>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增；所以()(1)1h x h >=，故1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞．17.在ABC V 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．（1）2b a =+，4c a =+，是否存在正整数a *N ，且ABC V 为钝角三角形？若存在，求出a ；若不存在，说明理由．（2）若4,a b c D ===为BC 的中点，E ，F 分别在线段,AB AC 上，且90EDF ︒∠=，CDF θ∠=()090θ︒︒<<，求DEF 面积S 的最小值及此时对应的θ的值．【答案】（1）存在,4a =（2）12-【解析】【分析】（1）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值；（2）由正弦定理可得出()sin 60DF θ=+︒，()sin 150DE θ=︒-，再利用三角形的面积公式和两角和与差的正弦公式化简即可求得结果.【小问1详解】假设存在正整数a 满足题设．ABC V 为钝角三角形，因为a b c <<，所以C 为钝角，根据题设，2b a =+，4c a =+，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=,所以()222(2)(4)1cos 022a a a C a a ++-+-<=<+，得24120a a --<，解得26a -<<．因为**a ∈N N ，所以1a =或4a =，当1a =时，ABC V 不存在，故存在4a =满足题设．所以4a =【小问2详解】如图，因为()90,090EDF CDF θθ∠=︒∠=︒<<︒，所以90BDE θ∠=︒-．在CDF V 中，因为()2sin60sin 60DF θ=︒+︒，所以()3sin 60DF θ=+︒在BDE V 中，因为()2sin 60sin 150DE θ=︒︒-，所以()sin 150DE θ=︒-．所以()()132sin 60sin 150S θθ=⨯+︒︒-，设()()()sin 60sin 150f θθθ=+︒︒-，()090θ︒<<︒，所以11()sin cos cos sin 2222f θθθθθ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭2213cos cos sin 444θθθθ+=++化简可得：()1sin 242f θθ=+所以1122S =-当45θ=︒时，S取得最小值12-18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率22e =，点,P Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ 的边PQ上的中线长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程；（3）直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=（2）220x y -+-或220x y ++=（3）8【解析】【分析】（1）根据POQ △的边PQ上中线为2得PQ ==，再联立2222,2c e a b c a ===+即可求解；（2）设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立直线AB 与椭圆方程得1212,x x x x +，再由11AF BF ⊥，即110AF BF ⋅= ，最后代入即可求解；（3）设直线1l 的方程为(1)y k x =+,则直线2l 的方程为1(1)2y x k =-+，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =- 整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.【小问1详解】由题意，因为(,0),(0,)P a Q b ，POQ △为直角三角形，所以PQ ==.又2222,2c e a b c a ===+，所以1,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】由（1）知，1(1,0)F -,显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，2222(12)8820k x k x k +++-=，所以22222(8)4(12)(82)8(12)0k k k k ∆=-+-=->，即2102k <<.且22121222882,1212k k x x x x k k-+=-=++，因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅= ，所以1122(1,)(1,)0x y x y ------=，即12121210x x x x y y ++++=，所以1212121(2)(2)0x x x x k x k x +++++⋅+=，整理得2221212(12)()(1)140k x x k x x k ++++++=，即22222228(1)(82)(12)()1401212k k k k k k k +-+-+++=++，化简得2410k -=，即12k =±满足条件，所以直线AB 的方程为1(2)2y x =+或1(2)2y x =-+，即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=.【小问3详解】由题意，2(1,0)F ,设直线1l 的方程为(1)y k x =+,3344(,),(,)C x y D x y ，则直线2l 的方程为1(1)2y x k=-+，5566(,),(,)E x y F x y ，联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222)202142(-=+-+x k x k k ，所以22343422422,1212k k x x x x k k -+==++所以23422,212M x x k x k +==+2(1)12M M k y k x k =-=-+所以2222(,)1212k k M k k -++，同理联立22121(1)2x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩消去y 得222(12)2140k x x k +-+-=，所以2565622214,1212k x x x x k k -+==++所以5621,212N x x x k +==+21(1)212N N k y x k k =--=+所以221(,)1212k N k k ++，即MN 的中点1(,0)2T .所以221121||11||||||12412212282||||OMN M N k k S OT y y k k k k =-==⨯=⨯+++ ，当且仅当12||||k k =，即22k =±时取等号，所以OMN的面积最大值为8.【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线12,l l 与椭圆方程，求出,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =- 整理后利用基本不等式得到面积的最值..19.正整数集{}1,2,3,,3A m m m m n =++++ ，其中,m n +∈∈N N .将集合A 拆分成n 个三元子集，这n 个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合A 是“三元可拆集”.（1）若1,3m n ==，判断集合A 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；（2）若0,6m n ==，证明：集合A 不是“三元可拆集”；（3）若16n =，是否存在m 使得集合A 是“三元可拆集”，若存在，请求出m 的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.【答案】（1）是，拆法见解析（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）{}2,3,4,,10A = ，可拆成{}{}{}10,7,39,5,48,6,2､､或{}10,6,4､{}{}9,7,28,5,3､；（2）三元可拆集”中所有元素和为偶数，A 中所有元素和为19181712⨯=，与和为偶数矛盾；（3）可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,a a a a ，利用等差数列求和得到1231616648a a a a m ++++≤+ ，结合1231624588a a a a m ++++=+ ，得到不等式，求出152m ≤，当7m =时写出相应的集合A 以及具体拆法，得到答案.【小问1详解】是，{}2,3,4,,10A = ，可拆成{}{}{}10,7,39,5,48,6,2､､或{}10,6,4､{}{}9,7,28,5,3､；【小问2详解】对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数，则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；而{}1,2,3,4,,18A = ，A 中所有元素和为19181712⨯=，与和为偶数矛盾，所以集合A 不是“三元可拆集”；【小问3详解】{}1,2,3,,48A m m m m =++++ 有48个元素，可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,a a a a ，则()()()()1231648474633a a a a m m m m ++++≤++++++++ ()28116166482m m +⨯==+；另一方面，A 中所有元素和为()249484811762m m +⨯=+，所以212316481176245882m a a a a m +++++==+ ，所以2458816648m m +≤+，解得152m ≤，即7m ≤；当7m =时，{}8,9,10,,55A = ，可拆为{}{}55,40,1554,38,16､､{}{}{}{}{}{}53,39,1452,35,1751,31,2050,37,1349,25,2448,26,22､､､､､､{}{}{}{}{}{}47,29,1846,27,1945,34,1144,23,2143,33,1042,30,12､､､､､､{}{}41,32,9,36,28,8（拆法不唯一）；综上所述，m 的最大值是7.【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，数列知识等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年湖南省益阳市高三年级教学质量检测数学试卷的。

1.若复数z 满足，则( )A. B.C. 1D. 52.已知集合，，则为( )A. B. 或C.或D.或3.双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，相对于三角函数，双曲函数具有良好的可解性.现有双曲正弦函数，双曲余弦函数，则是( )A. 奇函数B. 偶函数C. 周期函数D. 在R 上单调递减4.函数的部分图象大致是( )A. B.C. D.5.已知椭圆的焦点为，，直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，当三角形为直角三角形时，椭圆C 的离心率e 等于( )A. B. C. D.6.金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是( )A. B. C.D.7.已知，，，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.8.已知直线l 与曲线相交，交点依次为D 、E 、F ，且，则直线l的方程为( )A.B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.给定事件A ，B ，C ，且，则下列选项正确的是( )A. B. 若，且A ，B 互斥，则A ，B 不可能相互独立 C. 若，则A ，B 互为对立事件D. 若，则A ，B ，C 两两独立10.如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且，，现将沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( )A. B. 存在点P，使得C. 存在点P，使得D. 三棱锥的体积最大值为11.如图，有一列曲线，，，，，且是边长为6的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边长为，周长为，则下列说法正确的是( )A. B.C. 在中D. 在中12.定义在上的函数的导函数为，，，，则下列不等式中一定成立的是( )A. B.C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年锦州市普通高中高三质量检测数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列维恩图能正确表示集合{}0,1,2M =，{}220N x x x =-=关系的是（）A. B. C. D.2.已知复数z 满足i 1i z +=-，z 在复平面内对应的点为(),Z x y ，则（）A.()2212x y -+= B.()2212x y ++=C.()2212x y +-= D.()2212x y ++=3.甲、乙两位选手在某次射击比赛中的成绩（每个成绩上面点的个数表示这个成绩出现的次数）如图所示，则下列说法不正确的是（）第3题图A.甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数B.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差D.甲成绩的方差小于乙成绩的方差4.设α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（）A.若m α⊥，m n ⊥，则n α∥B.若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥C.若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n⊥D.若m αβ= ，l βγ= ，n αγ= ，则n l m ∥∥5.数列{}n a 的通项公式为n a =50项中最大项是（）A.1a B.44a C.45a D.50a 6.已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，Q 为线段AB 的中点，M 为抛物线C 上任意一点，若MF MQ +的最小值为6，则p =（）A.2B.3C.6D.7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 为线段BD 上的一动点，若()0,0AF xAE yDC x y =+≥≥，则()()2321x y --的最大值为（）第7题图A.12B.34C.1D.28.若0.0001sin0.0001a =+，ln1.0001b =，0.00011.0001c e =-，则（）A.a b c>> B.b a c>> C.c a b >> D.a c b>>二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，如图是函数()y xf x ='的图像，则下列说法正确的是（）第9题图A.函数()f x 的减区间是()2,0-，()2,+∞B.函数()f x 的减区间是(),2-∞-，()2,+∞C.2-是函数()f x 的极小值点D.2是函数()f x 的极小值点10.已知曲线()32222:4C x y x y +=，则（）A.C 过原点B.C 关于原点对称C.C 只有两条对称轴D.()(){}(){}22,,,1x y x y C x y x y ∈⊆+≤∣∣11.设随机变量X 的分布列如下表所示：X 12345678910P1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 则下列命题正确的是（）A.当{}n a 为等差数列时，5615a a +=B.数列{}n a 的通项公式可能为1281272n nna =⨯C.当数列{}n a 满足12n n a =（1n =，2，…，9）时，10912a =D.当数列{}n a 满足()2k P X k k a ≤=（1k =，2，…，9，10）时，()11101n a n n =+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为3:2.若圆柱的体积为16π，则该球的内接正方体体积为______.13.已知α，β是锐角，且4cos 5α=，()16cos 65αβ+=-，则cos β的值为______.14.已知1a ，2a ，3a ，{}41,2,3,4a ∈，()1234,,,N a a a a 为1a ，2a ，3a ，4a 中不同数字的种类，如()1,1,4,33N =，()2,4,4,22N =，()1,2,2,1与()1,2,1,2视为不同的排列，则()1234,,,a a a a 的不同排列有______个（用数字作答）；所有的排列所得()1234,,,N a a a a 的平均值为______.（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本要满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是梭BC ，1AA 的中点.第15题图（1）在棱1BB 上找一点F ，使得平面DEF ∥平面11A B C ，并证明你的结论：（2）若13AA =，ABC △是边长为2的等边三角形，1A D AD =，BC DE ⊥，求二面角111B A A C --的余弦值.16.（本题满分15分）已知)3sin ,cos m x x ωω=，()()cos ,cos 0,n x x x ωωω=->∈R ，()12f x m n =⋅- ，且()f x 的图像上相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求函数()f x 的年调递增区间；（2）若锐角ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b =，()0f B =，求ABC △面积的取值范围.17.（本题满分15分）某学校举办一场毽球比赛.已知毽球比赛的规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方.甲队教练现在对甲、乙两队得到发球权与得分的相关性进行分析，根据以往比赛结果得到下表所示的数据：甲队得分乙队得分合计甲队发球302050乙队发球104050合计4060100（1）根据调查数据回答，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为发球权与得分有关吗?（2）用以往频率估计概率，且第一回合是甲队发球，设第n 回合是甲队发球的概率为n p .（i ）求数列{}n p 的通项公式；（ii ）设3155n n q p =-，证明：()()11112sin sin 175ni i i i i q q q q ++=--<∑.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++；()2P X k α=≥0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.82818.（本题满分17分）已知G 是圆()22:112T x y ++=上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为()1,0，线段GH 的垂直平分线交TG于点R ，动点R 的轨迹为C .（1）求曲线C 的方程；（2）设P 是曲线C 上任一点，延长OP 至点Q ，使OQ =，点Q 的轨迹为曲线E .（i ）求曲线E 的方程；（ii ）M ，N 为C 上两点，若OQ OM ON =+，则四边形OMQN 的面积是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.19.（本题满分17分）定义：设()000,P x y 是二元函数(),z f x y =定义域内的点，若0y y =，极限()()00000,,limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限是函数(),z f x y =在()000,P x y 关于x 的偏导数，记为()00,x f x y '.同理()()()0000000,,,limy y f x y y f x y f x y y∆→+∆-'=∆.类比一元函数导数几何意义，偏导数()00,x f x y '就是平面0y y =上曲线()0,,z f x y y y ⎧=⎨=⎩在点()()()000000,,,Q x y z z f x y =的切线斜率，平面()()()()0000000,,x y z z f x y x x f x y y y ''-=-+-是曲面(),z f x y =在点()000,,x y z 的切平面.已知曲面()30xyz a a =>.（1）若2a =，求曲面在点()2,1,4的切平面方程；（2）求证：曲面上任意点()000,,x y z 的切平面与三个坐标面围成的四面体体积是定值，并求出这个定值.2024年锦州市普通高中高三质量检测数学（参考答案及评分标准）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

山东省莱州市莱州一中2025届高三数学第一次质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |log 2x ≥0}，B ={x |x 2+x−6<0}，则(∁R A )∩B 等于( )A. {x |−3<x <1}B. {x |−2<x <2}C. {x |2≤x <3}D. {x |x <2}2.已知实数a ，b ，c ，则下列命题中正确的是( )A. 若a >b ，则ac >bcB. 若a >b >0，c <0，则c a >c bC. 若a >b >c ，a +b +c =0，则c a−c <c b−cD. 若a >b >0，c <0，则b−c a−c <b a3.函数f (x )=2sin |x |−1x 3的部分图象是( )A. B.C. D.4.已知函数f(x)=ln x−a 2x 2−2x 存在单调递减区间，则a 的取值范围是( )A. [−1,+∞)B. (−1,+∞)C. (−∞,−1)D. (−∞,−1]5.若sin (α−π3)= 55，则sin (2α+5π6)的值为( )A. 2 55 B. −2 55 C. 35 D. −356.已知a =20.5,b =log 25,c =log 410,则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <c <a7.在▵ABC 中，点D,E 是线段BC 上的两个动点，且AD +AE =xAB +y 2AC ，则1x +2y 的最小值为()．A. 23B. 43C. 2D. 88.已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x−a)(x−b)(x−2a−b)≥0，则 ( )A. a <0B. a >0C. b <0D. b >0二、多选题：本题共3小题，共18分。

高中数学试题检测及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-2x+1，则f(1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列的前三项分别为3，5，7，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 43. 圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+25=0，该圆的半径为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B为：A. {1}B. {2}C. {2,3}D. {3,4}5. 函数y=2x+3的反函数为：A. y=(1/2)x-3/2B. y=(1/2)x+3/2C. y=2x-3D. y=2x+36. 已知直线l的方程为y=2x+1，点P(2,3)在直线l上，则直线l的斜率为：A. 2B. 3C. 4D. 57. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的导数为：A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知复数z满足z^2=-1，则z的值为：A. iB. -iC. i 或 -iD. 1 或 -19. 抛物线y^2=4x的焦点坐标为：A. (0,0)B. (1,0)C. (2,0)D. (0,2)10. 函数y=x^3-6x^2+9x+1的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的顶点坐标为______。

2. 等比数列的前三项为2，4，8，该数列的公比为______。

3. 已知三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为______。

4. 函数y=x^2-2x+1的图像与x轴的交点坐标为______。

5. 已知直线l的方程为x-2y+1=0，点P(1,2)到直线l的距离为______。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求该函数的单调区间。

2. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+25=0，求该圆的圆心坐标和半径。

高三9月数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数的概念与性质、一元函数的导数及其应用、平面向量、三角函数与解三角形。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若向量，，且，则（ ）A ．B ．8C ．D ．23．已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若，则（ ）A ．B ．CD ．5．已知是奇函数，且在上单调递减，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数的部分图象如图所示，则（）{}1,2,3M =-{}1,0,2,5N =-M N = {}1,2-{}1,2,3-{}1,0,2,5-{}1,0,2,3,5-()1,2a =- ()1,2b m =+ ()a b a +⊥m =8-2-()f x x α=α()f x [)0,+∞π1sin 83α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭79-79()f x ()f x ()2,+∞()()440f f -->()()440f f -+>()()340f f -+>()()340f f -+<()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><()2f =A ．B ．C ．D ．7．“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部在同一平面内的两个测量基点与．现测得，，在点测得雕塑顶端的仰角为，在点测得雕塑顶端的仰角为，则雕塑的高度（）A ．47.6mB ．35.7mC ．23.8mD ．11.9m8．已知函数，．当时，恒成立，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则（）A ．在上单调递减B ．在上单调递增C ．有3个零点D ．直线与的图象仅有1个公共点10．记的内角的对边分别为，且，，的面积为的周长可能为（ ）A ．8B．C ．9D ．11．已知函数，则下列结论正确的是（）A ．的图像关于轴对称1-2-B C D 30CBD ∠=︒23.8m CD =C A 45︒D A30︒AB =()()ln 11f x x a x =-++()()21g x a x =+1x ≥()()20f x g x +≥a ()0,1()1,+∞(]0,1[)1,+∞()()()2623f x x x =--()f x ()0,1()f x ()1,2()f x 3y =-()f x ABC △,,A B C ,,a b c sin sin 5sin a B c A A +=1bc b c =++ABC △ABC △5+5+()sin cos f x x x x =++()f x yB ．的图象关于点对称C ．的图象关于直线对称D ．是的极大值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，，则______．13．已知，，且______的最小值为______．14．对于任意的，函数满足，函数满足．若，，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值；（2）求的单调区间与最大值．16．（15分）在中，角的对边分别为．已知．（1）求角的大小；（2）若；（3）若，求的值．17．（15分）已知函数（1）求函数的解析式；（2）若函数在上单调，求的取值范围．18．（17分）()f x ππ,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭()f x π2x =π2x =()f x ()tan 4αβ+=()tan 3αβ-=-tan2β=0a >0b >2ab ==,x y ∈R ()f x ()()()()2f x y f x y f x f y ++-=()g x ()()()g x y g x g y +=()21f =-()38g =()()2024g f =()ln f x x x x a =--()y f x =()()1,1f 2y bx =+a b ()f x ABC △,,A B C ,,a b c sin cos 0b A a B -=B c =b =ac =tan A ()()211,0,122211,0.ax a x f x ax a x a x ⎧+<⎪+=⎨⎪+-++≥⎩()f x ()f x R a已知函数．（1）将化成的形式；（2）求的单调区间；（3）若在上的值域为，求的取值范围．19．（17分）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点．（1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由．（2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点．①求的取值范围；②证明：．()2cos f x x x x =+()f x ()()()cos 0,0,πf x A x B A ωϕωϕ=++>><()f x ()f x π,4αα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦[],a b b a -()f x [],a b ()1212,x x a x x b <<<()()()1f b f a f x b a-='-()()()2f b f a f x b a-='-()f x [],a b 12,x x ()f x [],a b ()3231f x x x =-+[]1,3-()21ln 2f x x x x ax =--0m n >>()()f m f n =()f x [],n m 12,x x ()f x [],n m a 122x x a +>+高三9月数学试卷参考答案1．D ．2．B 由题意得．因为，所以，即．3．A 当是正偶数时，的值域为．当的值域为，但不是正偶数．故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件．4．D 由题意可得．5．D 因为是奇函数，所以，则，，所以A ，B 均错误．因为在上单调递减，所以，则，得，C 错误，D 正确．6．B 由，得，．由图可知，则，得，又，所以．由图可知，得．综上，，得7．C 设，则，，在中，由余弦定理得，即，得．8．D 令，则．若，则在上恒成立，则在上单调递减，则，不符合题意．若，则当时，，单调递减，则，不符合题意．若，则在上恒成立，则在上单调递增，即，符合题意．故的取值范围为．9．ACD 由题意得．当或时，，{}1,0,2,3,5M N =- (),4a b m += ()a b a +⊥ ()80a b a m +⋅=-+=8m =α()f x [)0,+∞()f x =()f x [)0,+∞αα()f x [)0,+∞22πππ17cos 2cos 212sin 1244839ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ()()44f f -=-()()440f f -+=()()()4424f f f --=-()f x ()2,+∞()()34f f >()()()334f f f =-->()()340f f -+<732222T =-=4T =2ππ2T ω==33πsin 024f A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3ππ2π4k k ϕ+=+∈Z ()π2π4k k ϕ=+∈Z πϕ<π4ϕ=()π0sin 4f A ==2A =()ππ2sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()π22sin π4f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭m AB x =m BC x =m tan30xBD ︒==BCD △2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠222223.833x x x =+-23.8x =()()()()()222ln 2121h x f x g x x a x ax a x =+=-++++≥()()()()2112212x ax h x a ax x x--=-='++0a ≤()0h x '≤[)1,+∞()h x [)1,+∞()()10h x h ≤=01a <<11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '<()h x ()()10h x h ≤=1a ≥()0h x '≥[)1,+∞()h x [)1,+∞()()10h x h ≥=a [)1,+∞()()()()()222326612f x x x x x x =-+-=+-'1x <-2x >()0f x '>单调递增；当时，，单调递减．故A 正确，B 错误．的极大值为，的极小值为，所以有3个零点，直线与的图象仅有1个公共点，C ，D 正确．10．AB 由正弦定理得，得，则．由，得，得．由余弦定理，得或17，即，所以的周长为8或．11．BD易知，故A 错误；，所以的图象关于点对称，故B 正确；，故C 错误；，则，并结合的图象（图略），可知是的极大值点，故D 正确．12． ．13．1；8，则，当且仅当即时，等号成立．14．2 令，得，则或（舍去）．令，得，则，则，则，则．因为，所以，则，从而．()f x 12x -<<()0f x '<()f x ()f x ()125f -=()f x ()22f =-()f x 3y =-()f x 5ab ac a +=5b c +=16bc b c =++=1sin 2ABC S bc A ==△sin A =1cos 3A =±2222cos a b c bc A =+-()2222cos 9a b c bc bc A =+--=3a =ABC △5+()()f x f x -≠-()πππππsin cos sin cos 22222f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+--+--+++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ππ,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()()()πsin πcos ππsin cos πf x x x x x x x f x -=-+-+-=-+-≠()πcos sin 114f x x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭'π02f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝()y f x ='π2x =()f x 711-()()()()()tan tan 7tan2tan 1tan tan 11αβαββαβαβαβαβ+--⎡⎤=+--==-⎣⎦++-1=+=448+=≥+==416a b ==0y =()()()220f x f f x =()01f =()0f x =1x y ==()()()220210f f f ⎡⎤+==⎣⎦()10f =()()110f x f x ++-=()()4f x f x +=()()202401f f ==()()()g x y g x g y +=()()()()332118g g g g ⎡⎤===⎣⎦()12g =()()()202412g f g ==15．解：（1），所以．又，所以，则．（2）的定义域为．，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．16．解：（1）由正弦定理得．因为，所以，则，即．因为，所以．（2）根据余弦定理得，解得或（舍去），故．（3）方法一．由，得，即．，得．方法二．根据余弦定理得，则．，，()()1ln 1ln f x x x '=-+=-()10f b '==()11f a =-12a -=1a =-()f x ()0,+∞()ln f x x'=-01x <<()0fx '>1x >()0f x '<()f x ()0,1()1,+∞()f x ()11f a =-sin sin sin cos 0B AA B -=()0,πA ∈sin 0A ≠sin cos 0B B -=tan 1B =()0,πB ∈π4B =252a =+-3a =1-3a =c =sin C A =πsin 4A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A A A +=A A =1tan 3A =22222222cos 85b a c acB a a a =+-=+-=b =222cos 2b c a A bc +-===sin A ==故．17．解：（1）令，得，则得即（2）当时，在上不单调．当在上单调递增时，得．当在上单调递减时，得．综上，的取值范围为．18．解：（1）．（2）由，得，所以的单调递增区间为．由，得，所以的单调递减区间为．sin 1tan cos 3A A A ==1t x =+1x t =-()()()()()2111,10,2212111,10,a t a t f t a t a t a t ⎧-+-<⎪=⎨⎪-+--++-≥⎩()21,1,22,1,at t f t at t t ⎧<⎪=⎨⎪-+≥⎩()21,1,22, 1.ax x f x ax x x ⎧<⎪=⎨⎪-+≥⎩0a =()0,1,2,1x f x x x <⎧=⎨-+≥⎩R ()f x R 0,11,2112,2a aa a ⎧⎪>⎪-⎪-≤⎨⎪⎪≤-+⎪⎩12a ≥()f x R 0,11,2112,2a a a a ⎧⎪<⎪-⎪-≤⎨⎪⎪≥-+⎪⎩2a ≤-a (]1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭()1cos22xf x x x x +=+=++π2cos 24x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2π22π,4k x k k -+≤-≤∈Z 3ππππ,88k x k k -+≤≤+∈Z ()f x 3πππ,π,88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z π2π2π2π,4k x k k ≤-≤+∈Z π5πππ,88k x k k +≤≤+∈Z ()f x π5ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（3）由题意得的最小正周期，由（2）可知图象的对称轴为直线．若在上单调，则，得，则．由，得，则，所以．若在上不单调，则在上的图象上必定有一个最高点或最低点，且在上的图象无论经过任何一个最高点或任何一个最低点，的取值范围均相同．假设在上的图象的最高点为，则当，即时，，此时取得最小值，且最小值是．易得，则，所以．综上，的取值范围为．19．（1）解：函数是上的“双中值函数”．理由如下：因为，所以．()f x 2ππ2T ==()fx ππ,82kx k =+∈Z ()f x π,4αα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ππ82ππππ,4822k k αα⎧≥+⎪⎪⎨⎪+≤++⎪⎩，k ∈Z ππ3ππ,8282k k k α+≤≤+∈Z ()πππ2cos 22cos 2444b a ff αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααππ3ππ,8282k k k α+≤≤+∈Z π3ππ2π,44k k k α+≤≤+∈Z sin2α⎤∈⎥⎦2,b a α⎡-∈⎣()f x π,4αα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()f x π,4αα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()f x π,4αα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦b a -()f x π,4αα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦π,28A ⎛+ ⎝2b =+ππ248αα++=⨯0α=()0a f ==b a -2-ππ84a f ⎛⎫>+=⎪⎝⎭2b a -<)22b a ⎡-∈-⎣b a -2⎡⎣()f x []1,3-()3231f x x x =-+()236f x x x '=-因为，，所以．令，得，即，解得．因为，所以是上的“双中值函数”．（2）①解：因为，所以．因为是上的“双中值函数”，所以．由题意可得．设，则．当时，，则为减函数，即为减函数；当时，，则为增函数，即为增函数．故．因为，所以，所以，即的取值范围为．②证明：不妨设，则，，即，．要证，即证．设，则．设，则，所以在上单调递增，所以，所以，则在上单调递减．因为，所以，即．因为，所以．()31f =()13f -=-()()()31131f f --=--()1f x '=2361x x -=23610x x --=x =13-<<<()f x []1,3-()()f m f n =()()0f m f n m n-=-()f x [],n m ()()120f x f x ''==()ln 1f x x x a '=---()()ln 1g x f x x x a ==---'()111x g x x x'-=-=()0,1x ∈()0g x '<()g x ()f x '()1,x ∈+∞()0g x '>()g x ()f x '()()min 1f x f a ='=-'()()120f x f x ''==0a -<0a >a ()0,+∞1201x x <<<11ln 10x x a ---=22ln 10x x a ---=11ln 1x x a -=+22ln 1x x a -=+122x x a +>+21121ln x a x x >+-=-()()()()()1ln 1ln 1ln 01h x g x g x x x x =--=-+-<<()()()11011ln h x x x x =-<<-'()()()1ln 01x x x x ϕ=-<<()ln 0x x ϕ'=->()x ϕ()0,1()()011x ϕϕ<<=()()1101ln h x x x -'=-<()h x ()0,1()()()1110h g g =-=()0h x >()()1ln g x g x >-101x <<()()111ln g x g x >-因为，所以．因为，所以．由①可知在上单调递增，所以，即得证．()()120g x g x ==()()211ln g x g x >-101x <<11ln 1x ->()g x ()1,+∞211ln x x >-122x x a +>+。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1的图像与x轴的交点个数是：A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面内的几何位置是：A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限3. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 3，a3 = 9，则数列的公差d是：A. 2B. 3C. 4D. 64. 下列命题中，正确的是：A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，都有x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，都有x^4 ≥ 0D. 对于任意实数x，都有x^5 ≥ 05. 若函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a的取值范围是：A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 06. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是：A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 3)D. (2, 2)7. 若log2(x - 1) + log2(x + 1) = 3，则x的取值范围是：A. x > 1B. x > 3C. x < 1D. x < 38. 若等比数列{an}的前三项分别为a1, a2, a3，且a1 + a2 + a3 = 14，a1 a3 = 64，则该数列的公比q是：A. 2B. 4C. 8D. 169. 已知函数y = f(x)在区间[0, 2]上单调递增，且f(0) = 1，f(2) = 4，则不等式f(x) > 2的解集是：A. (0, 2)B. (0, 1)C. (1, 2)D. (1, +∞)10. 若平面直角坐标系中，点A(2, 3)，B(-3, 4)，则向量AB的模长是：A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题5分，共50分）11. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的实部为______。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像的对称轴为（）A. x = 2B. x = 1C. x = 3D. x = 4解析：函数f(x) = x^2 - 4x + 3是一个二次函数，其标准形式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。

由f(x) = x^2 - 4x + 3可知，h = 2，k = -1，因此对称轴为x = 2。

答案为A。

2. 在△ABC中，a = 3，b = 4，c = 5，则sinA + sinB + sinC的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 12解析：根据正弦定理，sinA = a/c，sinB = b/c，sinC = c/a。

代入已知数据，得sinA = 3/5，sinB = 4/5，sinC = 5/3。

因此，sinA + sinB + sinC = 3/5 + 4/5 + 5/3 = 6。

答案为A。

3. 下列不等式中，正确的是（）A. x^2 + 1 > 0B. x^2 - 1 < 0C. x^2 + 1 < 0D. x^2 - 1 > 0解析：对于任何实数x，x^2总是非负的，因此x^2 + 1 > 0恒成立。

而x^2 - 1< 0表示x在(-1, 1)区间内，x^2 - 1 > 0表示x在(-∞, -1)和(1, +∞)区间内。

因此，正确答案为A。

4. 设复数z = a + bi（a, b∈R），若|z - 1| = |z + 1|，则a + b的值为（）A. 0B. 2C. -2D. 4解析：复数z = a + bi，|z - 1| = |a - 1 + bi|，|z + 1| = |a + 1 + bi|。

由|z - 1| = |z + 1|，得(a - 1)^2 + b^2 = (a + 1)^2 + b^2。

展开后简化，得a = 0。

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √2B. -√3C. 0.1010010001...D. -π2. 函数y = 2x - 3的图像是（）A. 经过一、二、三象限B. 经过一、二、四象限C. 经过一、三、四象限D. 经过一、二、四象限3. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，公差d = 2，则a10 = （）A. 17B. 19C. 21D. 234. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面内的对应点位于（）A. 虚轴上B. 实轴上C. 第一象限D. 第二象限5. 下列命题中，正确的是（）A. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f(a) < f(b)B. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(a) < f(b)C. 若函数f(x)在区间[a, b]上可导，则f(a) < f(b)D. 若函数f(x)在区间[a, b]上存在极值，则f(a) < f(b)6. 下列各图中，函数y = f(x)的图像是（）A.B.C.D.7. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列{an}的前n项和S_n = （）A. n^2B. n^2 + nC. n^2 - nD. n^2 + 2n8. 若向量a = (2, -3)，向量b = (3, 2)，则向量a与向量b的数量积为（）A. -1B. 1C. 5D. -59. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^2 - 3D. x^2 + 310. 若等比数列{an}中，a1 = 2，公比q = 3，则an = （）A. 2 3^(n-1)B. 2 3^nC. 6 3^(n-1)D. 6 3^n二、填空题（每小题5分，共25分）11. 函数y = log2(x - 1)的定义域是______。

大理州2025届高中毕业生第一次复习统一检测数学（全卷四个大题，共19个小题，共8页；满分150分，考试用时120分钟）考生注意：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号､姓名､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题共58分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合(){}30A x x x =-<，{}013B x x =<-<，则A B =I （ ）A. {}34x x -<< B. {}10x x -<< C. {}13x x << D. {}43x x -<<【答案】C 【解析】【分析】先解不等式，然后根据集合交集的定义即可.【详解】由于(){}{}3003A x x x x x =-<=<<，{}{}01314B x x x x =<-<=<<，故{}13A B x x Ç=<<.故选：C.2. 已知复数z 满足()()i 1i 3i z --=+，则z 的共轭复数z 在复平面中的对应点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】求出复数z 后可求z ，从而可得复数z 在复平面中的对应点，故可得正确的选项.【详解】()()3i 1i 3ii i 13i 1i 2z +++=+=+=+-，故13i z =-，其对应的点为()1,3-，该点在第四象限，故选：D.3. 在△ABC 中，D 是BC 上一点，满足3BD DC =uuu r uuu r，M 是AD 的中点，若BM BA BC l m =+uuuu r uuu r uuu r ，则l m +=（ ）A.54B. 1C.78D.58【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.【详解】由题可知，11122222AM AD BM BA BD BA BM BA BD =Þ-=-Þ=+uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r，()3334BD DC BC BD BD BC ==-Þ=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ,所以有11132228BM BA BD BA BC =+=+uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以13,28l m ==，得78l m +=.故选：C4. 下图是我国20182023:年纯电动汽车销量统计情况，则下列说法错误的是（ ）A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆C. 2020年销量高于这六年销量的平均值D. 这六年增长率最大的为2019年至2020年【答案】C 【解析】【分析】根据条形图数据一一分析即可.【详解】对于A ，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A 正确；对于B ，因为0.66 3.6´=，将所有汽车销量数据从小到大排序，所以销量的第60百分位数为第4个数据，即536.5，故B 正确；对于C ，这六年销量的平均数为97.2111.5291.6536.568.5756.8410.35291.66+++++=>，故C 错误；对于D ，因为2019年至2020年的增长率为291.6111.51.6111.5-»，超过其他年份的增长率，故D 正确.故选：C ．5. 已知等比数列{}n a 中，132a a +=，4616a a +=，则1012a a +=（ ）A. 26 B. 32 C. 512 D. 1024【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，联立2112a a q +=，351116a q a q +=，解出2q =，125a =，代入110121911a a q q a a +=+，即可得到答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为132a a +=，4616a a +=，所以2112a a q +=，351116a q a q +=，由()231116a a q q+=，则38q =，得2q =，解得125a =，所以()19119111012122210245a q a a a q ==+++=.故选：D.6. 已知2sin 3a a +=，则πcos 23a æö-=ç÷èø（ ）A. 6365-B. 79-C.2425D.45【答案】B 【解析】【分析】首先根据辅助角公式化简并求解πsin 3a æö+ç÷èø的值，然后根据余弦二倍角公式求解2πcos 23a æö+ç÷èø的值，最后利用诱导公式求解πcos 23a æö-ç÷èø的值即可.【详解】由于2sin 3a a =，可得：π2sin 2sin 33a a a æö+=+=ç÷èø，即π1sin 33a æö+=ç÷èø，又由于22ππ7cos 212sin 339a a æöæö+=-+=ç÷ç÷èøèø，π2π2π7cos 2cos 2πcos 23339a a a éùæöæöæö-=+-=-+=-ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû.故选：B.7. 抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，则4AF BF +的最小值为（ ）A. 5 B. 9C. 8D. 10【答案】B 【解析】【分析】利用抛物线的焦点弦性质可得112AF BF p+=，利用基本不等式即可求得4AF BF +的最小值.【详解】由抛物线焦点弦性质可得1121AF BF p +==，则1BF AF BF =-，所以441BF AF BF BF BF +=+-，令m BF =，1m >，所以()114441411m m AF BF m m m m -++=+=+-+--()1541591m m =+-+³+=-，当且仅当()1411m m -=-，即32m =时等号成立.所以4AF BF +的最小值为9.故选：B.8. 一个三角形纸板的三个顶点为,,,3,A B C AB BC AC ===，以AB 边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转180o ，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（ ）A.5π6B. πC.5π3D. 2π【答案】A 【解析】【分析】几何体为两个半圆锥构成，根据圆锥的体积可求该几何体的体积.【详解】222cos 2AC AB BC A AC AB +-===´A 为三角形内角，故sin A =，故sin 1CD AC A ===，故2AD ==，故1DB =，故几何体的体积为()22115π1π2π1236´´´+´=故选：A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知函数()2sin 216πf x x m æö=+++ç÷èø在区间π0,2éùêëû上的最大值为4，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. 1m =C. ()f x 在区间ππ,36éù-êúëû上单调递减D. 点π,212æö-ç÷èø是()f x 图象的一个对称中心【答案】ABD 【解析】【分析】根据正弦函数的图象与性质，逐项判断即可.【详解】因为()2sin 216πf x x m æö=+++ç÷èø，选项A ，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；选项B ，由π0,2x éùÎêúëû，知ππ7π2,666x éù+Îêúëû，所以1sin 2,162πx æöéù+Î-ç÷êúèøëû，所以()f x 的最大值为3m +，而34m +=得1m =，故B 正确；选项C ，由ππ,36x éùÎ-êúëû得πππ2,622x éù+Î-êúëû，所以()f x 在ππ,36éù-êúëû上单调递增，故C 错误；选项D ，令π2π,6x k k +=ÎZ ，则ππ,212k x k =-ÎZ ，所以()f x 图象的对称中心为ππ,2,212k k æö-Îç÷èøZ ，所以点π,212æö-ç÷èø是()f x 图象的一个对称中心，故D 正确.故选：ABD.10. 已知函数()e xf x x a =-，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 有最大值1ea --B. 当1a =时，()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程是1y x =-C. ()f x 在区间[]2,0-上单调递减D. 关于x 的方程()0f x =有两个不等实根，则a 的取值范围是1,0eæö-ç÷èø【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，求导，得到函数单调性，进而求出最值；B 选项，求出()()01,01f f =¢=-，利用导数的几何意义得到切线方程；C 选项，在A 选项基础上，得到函数单调性；D 选项，e 0e x x x a x a -=Û=，令()e xg x x =，求导得到其单调性和最值，结合函数图象，得到a 的取值范围是1,0eæö-ç÷èø.【详解】因为()()e1xf x x =¢+，选项A ，当1x <-时，f ′(x )<0，当1x >-时，f ′(x )>0.所以在区间(),1¥--上()f x 单调递减，在区间()1,¥-+上()f x 单调递增，所以()f x 有最小值()11ef a -=--，无最大值，故A 错误；选项B ，当1a =时，()()01,01f f =¢=-，所以()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程是1y x =-，故B 正确；选项C ，因为在区间(),1¥--上()f x 单调递减，在区间()1,¥-+上()f x 单调递增，故C 错误；选项D ，方程()0f x =，即e 0e x x x a x a -=Û=，令()e xg x x =，而()()e e e1xxxg x x x ¢=+=+，当1x <-时，()0g x ¢<，当1x >-时，()0g x ¢>.所以在区间(),1¥--上()g x 单调递减，在区间()1,¥-+上()g x 单调递增，当0x <时g (x )<0，且()00g =，如图，a 的范围是1,0e æö-ç÷èø，故D 正确.故选：BD11. 法国数学家加斯帕尔×蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆22:143x y Γ+=的蒙日圆为圆C ，过C 上的动点M 作Γ的两条互相垂直的切线，分别与C 交于,P Q 两点，直线PQ 交Γ于,A B 两点，则（ ）A. 椭圆Γ的蒙日圆方程为227xy +=B. MPQ V 面积的最大值为7C. AB的最小值为D. 若动点D 在Γ上，将直线,DA DB 的斜率分别记为12,k k ，则1234k k=的【答案】ABC 【解析】【分析】取椭圆上顶点与右顶点切线，建立齐次方程，即可判断A ；根据圆的性质，结合三角形面积公式即可判断B ；由于PQ 为圆C 的直径，即AB 过坐标原点，计算即可判断C ；设()()1122,,,A x y D x y ，利用点差法即可判断D ；【详解】依题意，可设圆C 方程为222x y r +=，过椭圆Γ的上顶点(作y 轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点(2,0)作x轴的垂线，则这两条垂线的交点(在圆C 上，所以2222r +=，即27r =，所以椭圆Γ的蒙日圆方程为227xy +=，故A 正确；因为点,,M P Q 都在圆C 上，且90PMQ ∠=o ，所以PQ 为圆C 的直径，所以MPQ V1272=´=，故B 正确；由于PQ 为圆C 的直径，过坐标原点，即AB 过坐标原点，所以min ||2AB b ==C 正确；由直线PQ 经过坐标原点，易得点,A B 关于原点对称，设()()1122,,,A x y D x y ，则()121211121212,,,y y y y B x y k k x x x x -+--==-+，又22112222143143x y x y ì+=ïïíï+=ïî，所以22221212043x x y y --+=，所以221212221234y y k k x x -==--，故D 错误.的故选：ABC .【点睛】方法点睛：点差法是求解圆锥曲线问题中的解法，在直线与圆锥曲线问题中，直线与圆锥曲线有两个交点,A B ，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，将这两点的坐标分别代入圆锥曲线方程，得到两个等式，并对所得等式作差，化简得到相关结论.第II 卷（非选择题共92分）三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 在812æ-çè的展开式中，含3x 的项的系数是__________.【答案】7【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中含3x 项的系数.【详解】在812æçè展开式的通项为88218811C (C (1)22kkk k kk kk T x --+æöæö==-ç÷ç÷èøèø，当6k =时，263381C 72x x æö=ç÷èø，所以含3x 的项的系数是7.故答案为：7.13. 已知数列{}n a 满足12221,2,n na a a a +===-，则2025a =__________.【答案】1【解析】【分析】方法一：列出数列的前几项，即可得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，根据周期性计算可得；方法二：把22n n a a +=-看作()()22f n f n +=-，则()()4f n f n +=，即可得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，根据周期性计算可得.【详解】方法一：由题意知，12221,2,n na a a a +===-，则3451232222,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，6422,a a =-=L ，因此数列{}n a 是周期为4的周期数列，所以20255064111a a a ´+===.方法二：把22n na a +=-看作()()22f n f n +=-，则()()()242f n f n f n +=-=+，因此数列{}n a 是周期为4的周期数列，所以20255064111a a a ´+===.故答案为：114. 设函数()y f x ¢=是()y f x =的导函数，函数()y f x ¢¢=是()y f x ¢=的导函数，经过研究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++¹的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ¢¢=.已知函数()3223f x x ax b =-+，当函数()f x 图象的对称中心为1,02æöç÷èø时，b =__________，当函数()f x 图象的对称中心为1,12æöç÷èø时，122023202420242024f f f æöæöæö+++=ç÷ç÷ç÷èøèøèøL __________.【答案】 ①.12②. 2023【解析】【分析】根据三次函数的图象都有对称中心()()00,x f x ，且()00f x ¢¢=，可求出,a b ，函数()f x 图象的对称中心为1,12æöç÷èø，即()()12f x f x +-=，可得12023220242024f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø，利用倒序相加法即可求解.【详解】因为()()266,126f x x ax f x x a =¢¢=--¢，且()f x 图象的对称中心为1,02æöç÷èø，所以11126022f a æö=¢´-çèø¢=÷，解得1a =，而32111230222f b æöæöæö=´-´+=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，解得12b =；因为函数()f x 图象的对称中心为1,12æöç÷èø，即()()12f x f x +-=，所以1112023122024202420242024f f f f æöæöæöæö+-=+=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø，同理22022320212,2,2024202420242024f f f f æöæöæöæö+=+=¼ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø设122023202420242024S f f f æöæöæö=+++ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ①202320221202420242024S f f f æöæöæö=+++ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ②由①+②得222023S =´，所以2023S =.故答案为：12；2023.【点睛】方法点睛：倒序相加法求和：当有多个数相加，且每两个相邻加数的差值为定值时，可以将整体颠倒顺序，再与原式相加，如本题中满足()()12f x f x +-=，122023202420242024S f f f æöæöæö=+++ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ①202320221202420242024S f f f æöæöæö=+++ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ②将两式相加除以2即可求和.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin sin sin sin a A b B c C b A +=-，且73c b =.（1）求角C 和sin B ；（2）若ABC V a .【答案】（1）2π3C =，sin B =（2）2【解析】【分析】（1）根据正弦定理角化边得222a b c ab +-=-，再根据余弦定理可求出结果，再由正弦定理求出sin B ;（2）方法一：由上问可得13cos 14B ==，结合()sin sin A B C =+求出sin A ，利用面积公式可求出2a =;方法二：由上问可得13cos 14B ==，结合()sin sin A B C =+求出sin A ，利用正弦定理表示出,,a b R c ===，结合面积公式可求出R ，再利用正弦定理求出2a =.【小问1详解】由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===得，2222222a b c ab R R R R+=-，整理可得，222a b c ab +-=-.由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==-.又()0,πC Î，则2π3C =.由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===得，72sin 2sin 3R C R B =´，即，3sin sin 7C B ==.小问2详解】方法一：由2πsin 3B C ==可知，13cos 14B ==.()2π2πsin sin sin coscos sin 33A B C B B =+=+=,21sin sin 2sin B C S a A ==,212a \=,解得2a =.【方法二：由2πsin 3B C ==可知，13cos 14B ==.()2π2πsin sin sin coscos sin 33A B C B B =+=+=由2sin sin sin a b cR A B C===得，,,a b R c ===，211sin 24S ab C ==\=Q ，解得R =,2.a R \===16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧棱PD ^底面ABCD ，2,45PD CD BD BDC ∠====o.点E 是棱PC 的中点，点F 为棱PB 上的一点，且23BF BP =uuu r uuu r .（1）求证：平面PBC ^平面PCD ；（2）求直线DC 与平面DEF 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2.【解析】【分析】（1）根据余弦定理解得BC 的值，利用勾股定理的逆定理可判断BC CD ^，由PD ^底面ABCD 可得PD BC ^，进而可得^BC 平面PCD ，然后根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出直线DC 的方向向量以及平面DEF 的一个法向量，根据线面角的计算公式即可求解.【小问1详解】在BCD △中，2222cos 4BC BD CD BD CD BDC ∠=+-××=，即2BC =，又2BD CD BC ===，则有222BC CD BD +=，即BC CD ^，因为PD ^平面ABCD ，ÌBC 平面ABCD ，所以PD BC ^，又,,CD PD D CD PD Ç=Ì平面PCD ，所以^BC 平面PCD ，因为BC Ì平面PBC ，所以平面PBC ^平面PCD 【小问2详解】由（1）可知，DA DC ^，DA DP ^，DC DP ^，故以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意得，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()0,0,2P ，()0,1,1E ，设点(),,F a b c ，由P ，F ，B 三点共线，则有23BF BP =uuu r uuu r，又()2,2,BF a b c =--uuu r ，()2,2,2BP =--uuu r，()()22,2,2,2,23a b c \--=--，解得23a =，23b =，43c =，故224,,333F æöç÷èø，设平面DEF 的法向量为n =(x,y,z )，224,,333DF æö=ç÷èøuuu r ，()0,1,1DE =uuu r，由00n DF n DE ì×=ïí×=ïîuuu r r uuu r r ，得2240333x y z y z ì++=ïíï+=î，即x z y z =-ìí=-î，取平面DEF 的一个法向量()1,1,1n =-r，设直线DC 与平面DEF 所成角为q ，则()0,2,0DC =uuu r ，()1,1,1n =-r，所以()0121012DC n ×=´+´+´-=uuu r r ，2DC =uuu r，n =r，故sin cos ,n DC n DC n DCq ×===uuu r r uuu rr uuu r r 所以直线DC 与平面DEF17. 已知函数()ln 1a f x x x=+-.（1）当1a =时，证明：()0f x ³；（2）若函数()f x 有极小值，且()f x 的极小值小于2a a -，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）()0,1【解析】【分析】（1）当1a =时，证明出()min 0f x ³即可；（2）对实数a 的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数()f x 在其定义域上的单调性，可得出0a >，根据题意可得出2ln 0a a a +-<，可得出()()1g a g <，利用导数分析函数()g a 在()0,¥+上的单调性，再利用函数()g a 的单调性可解不等式()()1g a g <即可.【小问1详解】证明：要证()0f x ³，只需证()min 0f x ³当1a =时，则()1ln 1f x x x=+-，其中0x >，可得()22111x f x x x x-¢=-=，令()0f x ¢=得，1x =，列表如下：x ()0,11()1,+¥()f x ¢-0+()f x 递减极小值0递增.所以，函数()f x 在1x =处取得即小值，亦即最小值，即()()min 10f x f ==，所以，()0f x ³.【小问2详解】解：因为()ln 1a f x x x =+-，其中0x >，则()221a x a f x x x x¢-=-=，当0a £时，0x ">，()0f x ¢>，此时，函数()f x 在()0,¥+上单调递增，当0a >时，令()0f x ¢=，可得x a =，列表如下：x ()0,a a(),a +¥()f x ¢-0+()f x 递减极小值ln a递增所以，()()ln f x f a a ==极小值，由题意可得2ln a a a <-+，即2ln 0a a a +-<.令()2ln g a a a a =+-，其中0a >，且()10g =.不等式2ln 0a a a +-<即为，()()1g a g <.()121110g a a a ¢=+-³=->，当且仅当12a a =时，即a =()min 1g a =¢.所以，函数()g a 在()0,¥+单调递增，又()()1g a g <，则01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1.18. 已知椭圆C 的两个焦点为())12,F F ，且椭圆C .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，斜率为()110k k ¹的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，且弦AB 的中点为E ，直线OE 的斜率为2k ，求12k k ×；（3）直线L 与椭圆C 有两个不同的交点,P Q ，椭圆C 在点,P Q 处的切线分别为121,,L L L 与2L 交于点T ，点T 在直线4x =上.请你判断直线L 是否经过定点，并说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）1214k k ×=-； （3）直线L 恒过定点()1,0，理由见解析【解析】【分析】（1）根据离心率和焦点坐标，列出方程组，求出,a b ，得到椭圆方程；（2）方法一：利用点差法进行求解；方法二：设()()()112200,,,,,A x y B x y E x y ，直线1:l y k x t =+，表达出2221122221y y k k x x -=-，结合221122221414x y x y ì=-ïïíï=-ïî，从而得到1214k k =-；方法三：设()()()112200,,,,,A x y B x y E x y ，直线1:l y k x t =+，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两根之和，从而1021441k t x k =-+，故020114y k x k ==-，求出1214k k =-；（3）方法一：设1:L y rx s =+，联立椭圆方程，由Δ0=得到2241s r =+，由韦达定理得到34r x s -=，31y s =，故3331,4x s r y y ==-，得到313:14x x L y y +=，同理可得，424:14x x L y y +=，联立12,L L ，求出()3443344T y y x x y x y -=-，结合4T x =，求出4334430x y x y y y -+-=，设:L x my n =+，则()()4334430my n y my n y y y +-++-=，整理得()()3410n y y --=，又34y y ¹，则1n =，从而求出直线L 恒过定点(1,0).方法二：点()33,P x y在y =3134x k y -=，求出313:14x x L y y +=，同理可得424:14x xL y y +=，联立12,L L ，求出()3443344T y y x x y x y -=-，结合4T x =，求出4334430x y x y y y -+-=，设:L x my n =+，则()()4334430my n y my n y y y +-++-=，整理得()()3410n y y --=，又34y y ¹，则1n =，从而求出直线L 恒过定点(1,0).【小问1详解】设椭圆C 的标准方程为：()222210x y a b a b+=>>，2221e a c c a b c b ì=ïìïïï=Þ=ííïï=+=îïïî，\椭圆C 的标准方程为：2214x y +=.【小问2详解】方法一：点差法：设()()()112200,,,,,A x y B x y E x y ，则12012022x x x y y y +=ìí+=î①，又,A B 在椭圆C 上，则，221122221414x y x y ì+=ïïíï+=ïî，两式相减得：2222212104x x y y -+-=，即：()()()()2121212104x x x x y y y y +-++-=②，由①②得，()()021*******x x x y y y -+-=.而021********,,4y y y k k k k x x x -==\×=--.方法二：椭圆方程代换：设()()()112200,,,,,A x y B x y E x y ，直线1:l y k x t =+，12012022x x x y y y +ì=ïïí+ï=ïî①，21220212121122221210212122y y y y y y y y y k k x x x x x x x x x +---=×=×=+---②，又221122221414x y x y ì+=ïïíï+=ïî，即221122221414x y x y ì=-ïïíï=-ïî③，由①②③得，()22121222211144x x k k x x -==--；方法三：联立方程：设()()()112200,,,,,A x y B x y E x y ，直线1:l y k x t =+，12012022x x x y y y +ì=ïïí+ï=ïî①，联立方程22114x y y k x tì+=ïíï=+î得，()()22211418440k x k tx t +++-=，11221841k tx x k \+=-+②，由①②得，1021441k t x k =-+，则21010221144141k t ty k x t t k k -=+=+=++.又2012101214114441ty k k k t x k k +===--+，1214k k \×=-.【小问3详解】设()()3344,,,P x y Q x y ，先求椭圆C 在点,P Q 处的切线12,L L 的方程.方法一：根据判别式Δ0=求解椭圆C 在点()33,P x y 处的切线1L ，设1:L y rx s =+，联立方程2214x y y rx s ì+=ïíï=+î得，()()222418440r x rsx s +++-=，()2222Δ6441041r s s r =-+=Þ=+，()3228842241rs rs rx s s r ---===+，22233441r s r y rx s s s s s--=+=+==，33331,44sx x s r y y \==-=-.31331:4x x L y y y \=-+，即313:14x xL y y +=.同理可得，424:14x xL y y +=.()333444334414414x xy y y y x x x x y x y y y ì+=ï-ïÞ=í-ï+=ïî，可得T 点的横坐标，即()3443344T y y x x y x y -=-，又4T x =，可得，4334430x y x y y y -+-=，由题意可知直线L 的斜率不为0，设:L x my n =+.()()4334430my n y my n y y y +-++-=，整理得，()()34110n y n y ---=，即()()3410n y y --=.又34y y ¹，则1n =.:1L x my \=+，即直线L 恒过定点(1,0).方法二：导数的几何意义：221224x y y x +=Û=-££.当点()33,P x y在y =时，3y =y =¢，则切线斜率33134x x x k y y =-==¢=，()22223333313333333:144444x x x x x x L y y x x y y y x y y y y \-=--Þ-=-+Þ+=+=，即313:14x x L y y +=.当点()33,P x y在y =313:14x x L y y +=.313:14x x L y y \+=，同理可得，424:14x x L y y +=.()333444334414414x x y y y y x x x x y x y y y ì+=ï-ïÞ=í-ï+=ïî，可得T 点的横坐标，即()3443344T y y x x y x y -=-，又4T x =，可得，4334430x y x y y y -+-=，由题意可知直线L 的斜率不为0，设:L x my n =+.()()4334430my n y my n y y y +-++-=，整理得，()()34110n y n y ---=，即()()3410n y y --=.又34y y ¹，则1n =.:1L x my \=+，即直线L 恒过定点(1,0).【点睛】知识点点睛：过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,x y 的切线方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=，过圆()()222x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.过椭圆22221x y a b+=上一点P (x 0,y 0)的切线方程为00221x x y y a b +=，过双曲线22221x y a b-=上一点P (x 0,y 0)的切线方程为00221x x y y a b -=19. 今年立秋以后，我国西南地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论､根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，西南地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.西南地区某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一；该游泳馆在App 平台上推出了优惠券活动，下表是App 平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况.星期t 12345销售量y（张）218224230232236经计算可得：55521111228,3464,555i i i i i i i y y t y t =======ååå.（1）已知y 关于t 的经验回归方程为ˆˆˆy bt a =+，求y 关于t 的经验回归方程；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为13，选择B 套餐的概率为23，并且A 套餐包含两张优惠券，B 套餐包含一张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P .（i ）求12P P ､及3P ；（ii ）求n P 及n P 的最值.参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii i n n i i i i x x y y x y nx y b ayx x x x nx ====---×===--åååå.【答案】（1）8ˆ 4.4214.yt =+ （2）（i ）123P =，279P =，32027P =；（ii ）311443nn P æö=+´-ç÷èø，n P 的最大值为79，最小值为23.【解析】【分析】（1）将相关数据代入ˆa和ˆb 的公式，即可得经验回归方程；（2）由题意知122133n n n P P P --=+，3n ³，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解即可.【小问1详解】由题意，1234535t ++++==，则1221ˆn i ii n i i t y nt y b tnt ==-×=-åå22400469053228 4.491653-´-´´==--´，8ˆˆ228 4.43214.a y bt =-=-´=所以y 关于t 的经验回归方程为8ˆ 4.4214.yt =+.【小问2详解】（i ）由题意，可知123P =，222173339P =´+=，3222122120333333327P =´´+´+´=，（求解3P 另一种方法：31212214203392727P P P =+=+=）（ii ）当3n ³时，122133n n n P P P --=+，即1121133n n n n P P P P ---+=+，又21171213933P P +=+´=，所以当2n ³时，数列113n n P P -ìü+íýîþ为各项都为1的常数列，即()11123n n P P n -+=³，所以1313,2434n n P P n -æö-=--³ç÷èø，又1323143412P -=-=-，所以数列34n P ìü-íýîþ为首项为112-公比为13-的等比数列，.所以13114123n n P -æö-=-´-ç÷èø，即311443n n P æö=+´-ç÷èø.当n 为偶数时，31134434n n P æö=+´>ç÷èø，且n P 随n 的增大而减小，因此n P 的最大值为279P =；当n 为奇数时，31134434n n P æö=-´<ç÷èø，且n P 随n 的增大而增大，因此n P 的最小值为123P =，综上所述，n P 的最大值为79，最小值为23.。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 3/4C. 0.1010010001…D. 2.25答案：A解析：√2是无理数，因为它不能表示为两个整数的比。

2. 函数f(x) = 2x + 3在x=2时的导数是（）A. 2B. 3C. 5D. 4答案：A解析：根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h，代入x=2得f'(2) = lim(h→0) [2(2+h) + 3 - (22 + 3)]/h = 2。

3. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么第10项an是（）A. 19B. 21C. 23D. 25答案：C解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，代入a1=3，d=2，n=10得an = 3 + (10-1)2 = 23。

4. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2xC. y = log2xD. y = e^x答案：D解析：对于A，函数在（0，+∞）上单调递增，但x=0时函数值不存在；对于B，函数在（0，+∞）上单调递增，但x=0时函数值不存在；对于C，函数在（0，+∞）上单调递增，但x=0时函数值不存在；对于D，函数在（0，+∞）上单调递增。

5. 已知向量a = (1, -2)，向量b = (3, 4)，则向量a·b的值是（）A. -5B. -7C. 5D. 7答案：A解析：向量的点积公式为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别为向量a和向量b的模，θ为两向量夹角。

计算得|a| = √(1^2 + (-2)^2) = √5，|b| =√(3^2 + 4^2) = 5，cosθ = (13 + (-2)4) / (√55) = -5/√25 = -1，所以a·b = |a||b|cosθ = √55(-1) = -5。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 答案：A解析：根据三角函数的定义，sin30° = 1/2。

2. 答案：C解析：利用对数运算性质，log2(8) = 3。

3. 答案：B解析：根据二次函数的性质，开口向上的抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)，代入a=1, b=2, c=1，得顶点坐标为(-1, 0)。

4. 答案：D解析：利用三角恒等变换，sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ。

5. 答案：C解析：根据数列的通项公式an = a1 r^(n-1)，代入a1=1, r=2，得an =2^(n-1)。

6. 答案：B解析：根据向量的坐标表示，向量AB的坐标为(2, 3)，向量AC的坐标为(4, 6)，所以向量BC的坐标为(4-2, 6-3) = (2, 3)。

7. 答案：A解析：根据复数的乘法运算，(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac-bd) + (ad+bc)i。

8. 答案：C解析：根据函数的定义域和值域，y = √(x² - 4) 的定义域为x² - 4 ≥ 0，解得x ≤ -2 或x ≥ 2，值域为y ≥ 0。

9. 答案：D解析：根据极限的定义，lim(x→0) (sinx/x) = 1。

10. 答案：B解析：根据数列的单调性，数列{an}单调递增，所以a_n < a_(n+1)。

二、填空题（每题5分，共25分）11. 答案：3解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1=2, d=3，得a_n = 2 + 3(n-1)。

12. 答案：π解析：根据圆的周长公式C = 2πr，代入r=1，得C = 2π。

13. 答案：2解析：根据三角函数的周期性，sin(π/2 + π) = sin(π/2) = 1。

14. 答案：-1解析：根据二次方程的解的公式，x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)，代入a=1, b=2, c=-3，得x = (-2 ± √(4+12))/2 = (-2 ± 4)/2。