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山东省潍坊市临朐县龙泉中学2020年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=( )A．1+B．1+C．3 D．4参考答案：C【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．【解答】解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故选C【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力．2. 已知点M是⊿ABC的重心，若A=60°，，则的最小值为A． B． C． D．2参考答案：B3. （5分）（2015?万州区模拟）f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）．A． f（x﹣1）一定是奇函数 B． f（x﹣1）一定是偶函数C． f（x+1）一定是奇函数 D． lgx+lgy一定是偶函数参考答案：【考点】：正弦函数的奇偶性；三角函数的最值．【专题】：计算题．【分析】：由题意根据图象平移可以判定A、B、C是错误的，验证D即可．解析： f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值图象左移一个单位，是偶函数，即f（x+1）是偶函数，所以判定A、B、C是错误的．∵f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值∴lgx+lgy在x=0处取最大值，即y轴是函数lgx+lgy的对称轴∴函数lgx+lgy是偶函数故选D．【点评】：本题考查正弦函数的奇偶性，三角函数的最值，是基础题．4. 下列选项叙述错误的是（）A．命题“若”的逆否命题是“若”B．若命题C．若为真命题，则p，q均为真命题D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：C略5. 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。
2020年高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）. 1.已知a 是实数，1a iz i-=+是纯虚数，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，且结合纯虚数定义求得a ，进而得z 的虚部. 【详解】由复数的除法运算化简可得()()()()11111122a i i a i a a z i i i i ----+===-++-， 由纯虚数的定义可知满足102102a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪-≠⎪⎩，解得1a =， 所以z i =-， z 的虚部为1-，故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的定义简单应用，属于基础题.2.已知集合{}220A x x x =+-<，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A. ∅B. {}1x x <C. {}01x x << D. {}20x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，B ，再用交集的定义求解. 【详解】{}21A x x =-<<，{0B x x =<或}1x >， 所以{}20A B x x ⋂=-<<，故选：D .【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.“ln ln x y >”是“1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C . 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，根据逻辑条件的定义判断.【详解】由ln ln x y >，得0x y >>，此时111332x y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 反之1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立时，可以取1x =-，2y =-，不能推出ln ln x y >.故选：A .【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波拉契数列{a n }定义如下：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3，n ∈N ），随着n 的增大，1nn a a +越来越≈0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以a n +1、a n 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（ ） A. 20厘米 B. 19厘米C. 18厘米D. 17厘米【答案】C 【解析】 【分析】因为由已知有112n n a a +=≈0.618，又1200n n a a +⋅＝，得0.61821n a +≈200，进而解得1n a +.【详解】解：由已知有112n n a a +=≈0.618， 得：10.618n n a a +≈， 由1200n n a a +⋅＝， 得0.61821n a +≈200，即21323.62n a +≈，由于172＝289，182＝324， 所以a n +1≈18（厘米）， 故选：C.【点睛】本题考查了数学文化及数列新定义的应用，属于基础题.5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若2413S S =，则36S S 等于（ ）A.316B.13C.516D.716【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由2413S S =得到首项与公差的关系，再把S 3，S 6用含有d 的代数式表示，则答案可求.【详解】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由2413S S =，得3（2a 1+d ）＝4a 1+6d ，即132a d =. ∴3191533322S a d d d d =+=+=， 616518304862222d dS a d d ⨯=+=+=.∴36155248162dS S d==. 故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式的性质应用，考查了运算求解的能力，属于中档题.6.函数()2e 2xf x x x =--的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】求导分析导函数的单调性与零点可得原函数存在两个极值点,再代入1x =求值判断即可.【详解】解法一：因为()e 22x f x x '=--，设2()(),()e xg x f x g x =''=-，令()e 20xg x '=-=,得ln 2x =,当ln 2x ＜时()0g x '＜,()g x 为减函数，即()f x '为减函数； 当ln 2x ＞时,()0g x '＞，()g x 为增函数，即()f x '为增函数, 而()ln 222ln 222ln 20f '=--=-＜,所以原函数存在两个极值点,故淘汰选项C 和D.将1x =代入原函数,求得()1e 120f =--＜,淘汰选项A. 解法二：()1e 210f =--＜,淘汰选项A,D ；当x →-∞时,()e xf x =-()2x x +→-∞,淘汰选项C.故选：B.【点睛】本小题考查函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想,考查直观想象、数学运算等核心素养,属于中档题.7.已知函数()()sin 0f x x x =≥，方程()f x kx =恰有三个根，记最大的根为θ，则()21sin 2θθθ+=（ ）A. 2-B.12C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】依题意，函数()y f x =在x θ=处的切线为y kx =，且3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义可得cos sin k k θθθ=-⎧⎨=-⎩，再化简所求式子即可得解.【详解】如图，要使方程()f x kx =恰有三个根，且最大的根为θ，则函数()y f x =在x θ=处的切线为y kx =，显然3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin f x x =-，()cos f x x =-'，cos sin k k θθθ=-⎧∴⎨=-⎩，可得tan θθ=，()()()()()()22222221sin 212sin cos 12sin cos 21tan sin cos tan 1θθθθθθθθθθθθθθθθθ++⋅+⋅+⋅∴===⋅+⋅+()()222121θθθθ+⋅==⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究方程的根，解答的关键就是利用tan θθ=化简计算，考查计算能力，属于中等题.8.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心.某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学.现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ） A. 27B.37C.821D.1021【答案】D 【解析】 【分析】利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾. 某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学.现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数59126n C ==，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数为()()3221112132332260m C C C C C C =+=，则每个宣传小组至少选派1人的概率为601012621m P n ===. 故选：D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.9.设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A.32B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】过A，B分别作准线的垂线，再过B作AA'的垂线，由抛物线的性质及三角形相似可得对应边成比例，求出|AF|，|BF|的值，进而求出比值.【详解】解：设|BF|＝m，则由|AF|﹣|BF|32=可得|AF|32=+m，由抛物线的方程可得：F（1，0），过A，B分别作准线的垂线交于A'，B'，过B作AA'的垂线交AA'，OF分别于C，D点，则△BFD∽△BAC，所以BF DFAB AC=，即233222m mm-=+，解得：m32=，所以332232AFBF+==2，故选：B.【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题.10.某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）．A. 8πB. 9πC. 12πD. 16π【答案】B 【解析】 【分析】首项根据几何体的三视图换元得到几何体，进一步求出三棱锥的外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】根据几何体的三视图可得：该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2SD =的三棱锥， 如图所示：设该三棱锥的外接球的球心为O ，则外接球的半径为OA r =， 则222OA OD AD =+，即222(2)(2)r r =-+，解得32r =， 所以外接球的表面积为22344()92S r πππ==⨯=. 故选：B.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的转换，以及几何体的外接球的半径的求法和表面积的计算，着重考查运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题.11.已知函数f （x ）满足2()2()1ln x f x xf x x '+=+，1()f e e=，当x ＞0时，下列说法正确的是（ ）①()f x 只有一个零点； ②()f x 有两个零点； ③()f x 有一个极小值点； ④()f x 有一个极大值点 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④【答案】B 【解析】 【分析】令2()()g x x f x =，则'()1+ln g x x =，所以()ln +g x x x C =⋅，即()2xlnx Cf x x+=，由21()e C f e e e +==，解得0C =，所以()lnx f x x=，求导得()'21x lnx f x -=，利用导数可求出函数()f x 的单调区间，进而得()f x 在x e =处取得极大值1()f e e=，而这也是最大值，从而可对③和④作出判断；又(1)0f =，且当>x e 时，()0f x >恒成立，所以()f x 只有一个零点为1x =，从而可对①和②作出判断.【详解】令2()()g x x f x =，则'2()()2()1+ln g x x f x x x x '=+=，()ln +g x x x C =⋅，即2()ln x f x x x C =⋅+，∴()2xlnx Cf x x +=， ∵()f e 21e C e e +==，∴0C =，∴()lnx f x x=，()'21x lnx f x -=， 当0x e <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当x e >时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x ∴在x e =处取得极大值1()f e e=，而这也是最大值，即③错误，④正确；又0()1f =，且当 x e >时，()0f x >恒成立，()f x ∴只有一个零点为1x =，即①正确，②错误.∴正确的有①④， 故选：B .【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，属于难度题．12.已知梯形ABCD满足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D为焦点的双曲线Γ经过B，C两点.若CD＝7AB，则双曲线Γ的离心率为（）A. 324B.334C. 35D.35+【答案】A【解析】【分析】先画出大致图象，结合双曲线的定义以及余弦定理求得a，c之间的关系即可得到结论. 【详解】如图：连接AC，BD，设双曲线的焦距AD＝2c，实轴长为2a，则BD﹣AB＝AC﹣CD＝2a，设AB＝m，则CD＝7m，BD＝2a+m，AC＝2a+7m，∠BAD＝45°，∠ADC＝135°，在△ABD中，由余弦定理及题设可得：（2a+m）2＝m2+4c2﹣2mc，在△ACD中，由余弦定理及题设可得：（2a+7m）2＝49m2+4c22mc，2c2﹣a2）＝m2a+c）2（c2﹣a2）＝7m2a﹣c），2a+c＝72a﹣c），故2a＝8c，∴双曲线Γ的离心率为e32ca==.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出图像是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在三角形ABC中，|AB|＝5，AB AC⋅=8，则AB BC⋅=_____.【答案】﹣17. 【解析】 【分析】直接利用向量的数量积转化求解即可.【详解】在三角形ABC 中，因为|AB |＝5，AB AC ⋅=8， 所以()2AB AB BC AB AB BC ⋅+=+⋅=25AB BC +⋅=8， 所以AB BC ⋅=-17. 故答案为：﹣17.【点睛】本题主要考查平面整理的数量积运算以及向量的加法运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.若(3)nx x-的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 ． 【答案】- 540 【解析】 【详解】若的展开式中各项系数之和为，解得，则展开式的常数项为，故答案为.15.在数列{}n a ，{}n b 中， ()22122n n n n n a a b a b +++=+，()22122n n n n n b a b a b +++=-，111a b ==，设数列{}n c 满足11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前10项和10S =_____. 【答案】1023256. 【解析】 【分析】首先根据递推公式求出n n a b +和n n a b ，代入11n n nc a b =+中求出数列{}n c 的通项公式，最后由等比数列求和公式即可求出数列的前10项和.【详解】数列{}n a ，{}n b 中，()12n n n a a b ++=+()12n n n b a b ++=-，②所以①+②得：()114n n n n a b a b ++=++，整理得114n n n na b a b +++=+（常数），所以数列{}n n a b +是以112a b +=为首项，4为公比的等比数列.所以121242n n n n a b --+=⨯=.①×②得：222114()4()8n n n n n n n n a b a b a b a b ++=+-+=，所以118n n n na b a b ++=（常数）， 故数列{}n n a b 是以111a b =为首项，8为公比的等比数列，所以11188n n n n a b --=⨯=，由于数列{}n c 满足212111228n n n n n n n n n n a b c a b a b ---=+===+， 所以101012110232125612S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-， 故答案为：1023256. 【点睛】本题考查了由递推公式求通项公式的应用，由递推公式证明数列为等比数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题. 16.四面体P ﹣ABC 中，PA =PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝2，BC ＝，动点Q 在△ABC 的内部（含边界），设∠PAQ ＝α，二面角P ﹣BC ﹣A 的平面角的大小为β，△APQ 和△BCQ 的面积分别为S 1和S 2，且满足124S S sin αβ=，则S 2的最大值为_____. 【答案】4﹣. 【解析】 【分析】取BC 的中点M ，由题意可得AM ＝PM ＝PA 2=，则β＝∠PMA ＝60°，作QH ⊥BC于H ，则1213312142342AP AQ sin S sin sin S sin BC QH αααβ⋅⋅====⋅⋅sinα，再由BC ＝2PA ＝22，可得AQ ＝QH ，即Q 为三角形ABC 内的一条抛物线，当Q 在AB 或AC 上时，S 2最大，求出S 2的最大值. 【详解】如图所示：取BC 的中点M ，连接AM ，PM ， 因为PB ＝PC ＝AB ＝AC ，AM ⊥BC ，PM ⊥BC ，且PA 2=PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝2，BC ＝2，所以AM ＝PM ＝PA 2=所以β＝∠PMA ＝60°， 作QH ⊥BC 于H ，所以1213312142342AP AQ sin S sin sin S sin BC QH ααβ⋅⋅====⋅⋅sinα， 所以12⋅=⋅AP AQ BC QH 而BC ＝2PA ＝2， 所以AQ ＝QH ，所以Q 的轨迹是△ABC 内的一条抛物线， 当Q 在AB 或AC 上时，S 2最大，不妨设在AB 上，此时()cos 45AB AQ QH -=，即()222AQAQ -⋅=， 解得AQ ＝QH ＝2（2-1）， 所以S 2＝4﹣22. 故答案为：4﹣22【点睛】本题主要考查二面角的求法以及面积比与相似比的应用，抛物线的定义，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于难题.三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,2cos 2a c A b a ==-.（1）求C ；（2）如图，若点D 在边AC 上，,AD DB DE AB =⊥,E 为垂足，且2DE =，求BD 的长.【答案】（1）3π；（2）55. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将方程中2cos 2c A b a =-的边化成角，再利用诱导公式，可求得cos C 的值，即可得答案；（2）在BCD 中，由正弦定理得sin sin BD BCC BDC =∠，22sin sin 23A A =，求出sin A 的值，即可得答案；【详解】（1）2cos 2c A b a =-，∴由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，2sin cos 2sin()sin C A A C A ∴=+-，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C A A C A C A =+-∴， 2sin cos sin A C A ∴=.(0,),sin 0A A π∈∴≠.1cos 2C ∴=. (0,),3C C ππ∈∴=.（2）,sin DE AB DE AD A⊥=∴=， sin BD AD A∴==. ,2A ABD BDC A ABD A ∴∠=∠∴∠=∠+∠=∠.在BCD 中，由正弦定理得sin sin BD BCC BDC=∠，2sin 22A =，整理得cos A =sin 45A BD AD ∴=∴==. 【点睛】本题考查诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意边角关系的互相转化.18.如图，在矩形ABCD 中，将ACD 沿对角线AC 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面ABP ⊥平面ABC .（1）求证：AP PB ⊥；（2）若直线PC 与平面ABP 所成角的正弦值为34，求二面角P AC B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）916. 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD 是矩形，得AB BC ⊥，推导出BC ⊥平面ABP ，可得出BC AP ⊥，再由AP PC ⊥，可得出AP ⊥平面PBC ，由此能证明AP PB ⊥；（2）过P 作PO AB ⊥于点O ，则PO ⊥平面ABC ，以OB 所在直线为x 轴，过O 作y 轴平行于BC ，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，由BC ⊥平面ABP ，得出直线PC 与平面ABP 所成角为CPB ∠，设3BC =，可得4PC =，然后利用空间向量法能求出二面角P AC B --的余弦值.【详解】（1）由四边形ABCD 是矩形，得AB BC ⊥， 平面ABP ⊥平面ABC ，平面ABP平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面ABP ，AP ⊂平面ABP ，则BC AP ⊥，又AP PC ⊥，BC PC C ⋂=，AP ∴⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，AP PB ∴⊥；（2）过P 作PO AB ⊥，垂足为点O ， 平面ABP ⊥平面ABC ，平面ABP平面ABC AB =，PO ⊂平面ABP ，PO ∴⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，以OB 所在直线为x 轴，过O 作y 轴平行于BC ，以OP 所在直线为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，由（1）知BC ⊥平面ABP ，CPB ∴∠是直线PC 与平面ABP 所成角，即3sin 4CPB ∠=， 在Rt PBC 中，3sin 4CB CPB CP ∠==， 设3CB =，则4CP =，227PB CP CB ∴-，PO ⊥平面ABC ，可取平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，由（1）知，AP BP ⊥，在Rt APB △中，PO AB ⊥，3AP =，4AB =，7PB =374AP BP PO AB ⋅∴==，2294AO AP PO =-=，74BO AB AO =-=， 37P ⎛∴ ⎝⎭，9,0,04A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，7,3,04C ⎛⎫⎪⎝⎭， ()4,3,0AC ∴=，937,0,4AP ⎛= ⎝⎭，设平面PAC 的法向量(),,n x y z =，由43093704n AC x y n AP x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取37x =7y =-9z =-， 所以，平面PAC 的一个法向量为()37,47,9n =--，99cos ,11616m n m n m n ⋅==-=-⋅⨯. 由图形可知，二面角P AC B --的平面角为锐角，它的余弦值为916. 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用线面角的定义求长度，以及利用空间向量法求二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.已知圆O ：x 2+y 2＝3，直线PA 与圆O 相切于点A ，直线PB 垂直y 轴于点B ，且|PB |＝2|PA |. （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）过点（1，0）且与x 轴不重合的直线与轨迹E 相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在定点D ，使得x 轴是∠PDQ 的角平分线，若存在，求出D 点坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）()224310x y x +=≠（2）存在；定点D （4，0）【解析】 【分析】（1）设P （x ，y ），根据直线PA 与圆O 相切于点A ，利用切线长公式得到|PA |2＝x 2+y 2﹣3，|再根据直线PB 垂直y 轴于点B ，得到|PB |2＝x 2，然后由|PB |＝2|PA |求解. （2）设直线l 的方程为：x ＝my +1，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到122643my y m+=-+，122943y y m ⋅=-+，代入k PD +k QD＝0，化简整理得()022611804343---=++m x mm m ，解得x 0即可. 【详解】（1）设P （x ，y ），因为直线PA 与圆O 相切于点A ， 所以|PA |2＝|PO |2﹣3＝x 2+y 2﹣3，| 又因为直线PB 垂直y 轴于点B ， 所以|PB |2＝x 2， 又因为|PB |＝2|PA | 所以x 2+y 2﹣3＝x 2， 即x 2＝4（x 2+y 2﹣3），化简得()224310x y x +=≠，∴点P 的轨迹E 的方程为：()224310x y x +=≠；（2）设直线l 的方程为：x ＝my +1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，∴122643m y y m +=-+，122943y y m ⋅=-+， 假设存在定点D （x 0，0），使得x 轴是∠PDQ 的角平分线，则k PD +k QD ＝0，∴1210200y y x x x x +=--， ∴121020011y y my x my x +=+-+-， ∴()()()()120210102011011y my x y my x my x my x +-++-=+-+-，∴()()()()12012102021011my y x y y my x my x +-+=+-+-，即()()()0120122261182104343m x m my y x y y m m-+-+=--=++， 解得：x 0＝4，所以存在定点D （4，0），使得x 轴是∠PDQ 的角平分线.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线的对称问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.某工厂的一台某型号机器有2种工作状态：正常状态和故障状态.若机器处于故障状态，则停机检修.为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1000个产品的质量指标值，得出如图1所示频率分布直方图.由统计结果可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为这1000个产品的质量指标值的平均数x ，2σ近似为这1000个产品的质量指标值的方差2s （同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.若产品的质量指标值全部在()3,3μσμσ-+之内，就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态.（1）下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10件测得的质量指标值： 29 45 55 63 67 73 78 87 93 113 请判断该机器是否出现故障？（2）若机器出现故障，有2种检修方案可供选择：方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700元；方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200元. 现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号机器近100单常规检修在第i （1i =，2，…，7）天检修的单数，得到如图2所示柱状图，将第i 天常规检修单数的频率代替概率.已知该机器正常工作一天可收益200元，故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？ 18813.71≈，20814.42≈22815.10≈.【答案】（1）可判断该机器处于故障状态；（2）选择加急检修更为适合 【解析】 【分析】（1）由图1可估计1000个产品的质量指标值的平均数70x =和方差2188s =，所以70μ=，18813.71σ=≈，从而得到产品的质量指标值允许落在的范围为（28.87，111.13），由于抽取产品质量指标值出现了113，不在（28.87，111.13）之内，故机器处于故障状态； （2）方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为700＋200＝900元；方案二：设损失收益为X 元，求出X 的可能值，然后由图2可得出每个X 的取值所对应的概率，求出数学期望，可得工厂需要支付检修费和损失收益之和，与900对比，即可得出结论.【详解】（1）由图1可估计1000个产品质量指标值的平均数x 和方差2s 分别为400.04500.08600.24700.30800.20900.101000.0470x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()22222300.04200.08100.2400.30s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+ 222100.20200.10300.04188⨯+⨯+⨯=，依题意知，70μ=，13.71σ=≈，所以328.87μσ-≈，3111.3μσ+≈，所以产品质量指标值允许落在的范围为()28.87,111.13，又抽取产品质量指标值出现了113，不在()28.87,111.13之内，故可判断该机器处于故障状态；（2）方案一：若安排加急检修，工厂需要支付检修费和损失收益之和为700200900+=元； 方案二：若安排常规检修，工厂需要要支付检修费为200元，设损失收益为X 元，则X 的可能取值为200，400，600，800，1000，1200，1400， X 的分布列为：2000.074000.186000.258000.2010000.15EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12000.1214000.03147215016015014442732+⨯+⨯=++++++=元；故需要支付检修费和损失收益之和为200732932+=元，因为900932<，所以当机器出现故障，选择加急检修更为适合.【点睛】本题考查频率分布直方图中的数字特征、离散型随机变量的分布列和数学期望，及期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题.21.已知函数f （x ）＝（x ﹣1）2﹣alnx （a ＜0）.（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且关于x 的方程f （x ）＝b （b ∈R ）恰有三个实数根x 3，x 4，x 5（x 3＜x 4＜x 5），求证：2（x 2﹣x 1）＞x 5﹣x 3.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得f ′(x )222x x a x--=，令f ′(x )＝0，即2x 2﹣2x ﹣a ＝0，∆＝4+8a ，分两种情况①∆≤0，②∆＞0，讨论f (x )单调性；（2）由题意得12-＜a ＜0，画出草图，知0＜x 3＜x 1＜x 4＜x 2＜x 5，0＜x 1＜x 2＜1，要证：2(x 2﹣x 1)＞x 5﹣x 3，即证：2(x 2﹣x 1)＞(x 5+x 4)﹣(x 3+x 4)，只需证：54234122x x x x x x +⎧⎨+⎩＜＞，先证：x 3+x 4＞2x 1.即证x 4＞2x 1﹣x 3，由（1）f (x )单调递减，只需证f (x 4)＜f (2x 1﹣x 3)，即证：f (x 3)＜f (2x 1﹣x 3)，令g (x )＝f (x )﹣f (2x 1﹣x )，0＜x ＜x 1，求导数，分析单调性，可得g (x )＜g (x 1)＝0，故f (x )＜f (2x 1﹣x )，在(0，x 1)恒成立，f (x 3)＜f (2x 1﹣x 3)得证，同理可以证明：x 3+x 4＜2x 2，综上，2(x 2﹣x 1)＞x 5﹣x 3，得证.【详解】（1）由题意得()f x '＝2(x ﹣1)222a x x a x x ---=， 令()f x '＝0，即2x 2﹣2x ﹣a ＝0，∆＝4+8a ，①当a 12≤-时，∆≤0，()f x '≥0，函数f (x )在(0，+∞)上单调递增， ②当12-＜a ＜0时，∆＞0，2x 2﹣2x ﹣a ＝0的两根为x1=，x2=且0＜x1=x 2， 当x)，()f x '＞0，f (x )单调递增， 当x)时，()f x '＜0，f (x )单调递减， 综上，当a 12≤-时，函数f (x )在(0，+∞)上单调递增， 当12-＜a ＜0时，f （x ）在(0）上单调递增，在上单调递减，在(121a ++，+∞)上单调递增. （2）证明：由题意得12-＜a ＜0，0＜x 3＜x 1＜x 4＜x 2＜x 5，0＜x 1＜x 2＜1，如图，要证：2(x 2﹣x 1)＞x 5﹣x 3，即证：2(x 2﹣x 1)＞(x 5+x 4)﹣(x 3+x 4)；只需证：54234122x x x x x x +⎧⎨+⎩＜＞ 先证：x 3+x 4＞2x 1.即证x 4＞2x 1﹣x 3，又由（1）知f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，只需证f (x 4)＜f (2x 1﹣x 3)，而f (x 4)＝f (x 3)，即证：f (x 3)＜f (2x 1﹣x 3)，令g (x )＝f (x )﹣f (2x 1﹣x )，0＜x ＜x 1，()g x '＝()f x '+1()2x x f '﹣＝2x ﹣2a x -+2(2x 1﹣x )﹣212a x x --， ＝4(x 1﹣1)12a a x x x--- ()()()2111141222x x x x ax x x x ---=-又2(x 1﹣1)1a x -=0，即x 1﹣112a x =，那么，()g x '()()()221121111122()222a x x x x x x x a x x x x x x x ---==---，而0＜x ＜x 1，且102a -＜＜， 则()g x '＞0，故g (x )在(0，x 1)单调递增，则g (x )＜g (x 1)＝0，故f (x )＜f (2x 1﹣x )，在(0，x 1)恒成立，又0＜x 3＜x 1，则f (x 3)＜f (2x 1﹣x 3)得证，同理可以证明：x 3+x 4＜2x 2，综上，2(x 2﹣x 1)＞x 5﹣x 3，得证.【点睛】本题主要考查了利用导数讨论函数的单调区间，利用导数研究函数的单调性、最值，证明不等式，考查了分类讨论的思想，转化思想，属于难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）直线l 上的点(,0)P m 为曲线C 内的点，且直线l 与曲线C 交于,A B ，且2PA PB ⋅=，求m 的值.【答案】（10y --=，22142x y +=（2）m 2=± 【解析】【分析】（1）把曲线C 的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，直接把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程.（2）化直线的参数方程为标准形式，代入曲线C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合参数t 的几何意义求解m 值.【详解】（1）∵曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，∴222sin 4ρρθ+=， 即2224x y +=，得22142x y +=.∴曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=. 直线l的参数方程为x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t ， 可得直线l0y -=；（2）设直线l的标准参数方程为122x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆方程， 得227404t mt m ++-=. 设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则()212447m t t -=.又点(,0)P m 为曲线C 内的点，∴24m <，即22m -<<. 由2124427m PA PB t t -⋅=⋅==，解得2m =±. 【点睛】本题第一问考查了直线的参数方程和椭圆的极坐标方程，第二问考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.若对于实数x ，y 有|12|4x -≤，|31|3y +≤． （Ⅰ）求16x y +-的最大值M ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足12M a b +=，证明：50(1)(2)9a b ++≥． 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析】 （Ⅰ）111(21)(31)623x y x y +-=-++，然后再由绝对值三角不等式求得最大值即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，123a b +=，即23a b ab +=，又2a b +≥ab 的最小值，进而可得出50(1)(2)9a b ++≥. 【详解】（Ⅰ）因为111(21)(31)623x y x y +-=-++ 1111|21||31|4332323x y ≤-++≤⨯+⨯=， 当5223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3243x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时等号成立，所以16x y +-的最大值M 为3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，123a b +=，所以23a b ab +=≥89ab ≥． 所以850(1)(2)22424299a b a b ab ab ++=+++=+≥⨯+=． 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及基本不等式在证明中的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题．。
龙泉中学、宜昌一中2020届高三年级9月联合考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．tan165=( )A ．2-B ．2-C ．2D ．22．已知集合1{|0}xA x x-=≥， {|lg(21)}B x y x ==-，则=B A ( ) A ．1(0,)2 B ．1（,1)2 C ．1（,1]2 D ．1[,1]23．命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．4a ≥B ．4a >C ．1a ≥D ．1a > 4．函数()sin ln ||f x x x x =+在区间[2,2]ππ-上的大致图象为( )5．已知R 上的单调函数log ,3()7,3a x x f x mx x ≥⎧=⎨+<⎩满足(2)1f =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．(0,1)C ．D ． 6．电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数sin()(0,0,0)2I A t A πωϕωϕ=+>><<的图象如图所示，则当0.01t =秒时，电流强度是( )A ．5-安B ．5安C ．安D ．10安 7．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是( ) （lg30.477≈） A ．3710- B ．3610- C ．3510- D ．3410-8．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为 ( )A ．32ln 24- B ．12ln 24+ C ． 52ln 24- D ．12ln 24-+ 9．sin 70cos 430-= ( )A ．8B ．8-C．-D．10．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是( ) A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，，11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-=0,230＞,2ln )(2x x x x x x x x f 的图像上有且仅有四个不同的关于直线1-=y 对称的点在1)(-=kx x g 的图像上，则k 的取值范围是( )A ．)43,31( B ．)43,21( C ．)1,31( D ．)1,21(12．若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226(,0)x x ax b x a R b ≤++≤∈>恒成立，则实数b 的最大值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作角α，角4πα+的终边经过点(2,1)P -.则sin2α= ．14．已知tan()7cos()2ππαα-=+，11cos()14αβ+=-，,(0,)2παβ∈，则β= ___ _． 15．已知函数2()ln f x x ax x =++有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 16．已知函数()f x ，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .①若2()(1)f x x =-，则[0,3](2)D = ；②若22,0,()21,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则[,2](1)a a D +-的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题12分）已知:p 1x 和2x 是方程2:20p x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，:q 关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．18． (本小题12分）已知函数44()2cos sin 1f x x x x ωωω=+-+ (其中01ω<<)，若点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心．(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的最小正周期； (2) 将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，用 “五点作图法”作出函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象．19．(本小题12分）自2018年9月6日美拟对华2000亿美元的输美商品加征关税以来，中美贸易战逐步升级，我国某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：2(1)()2kt x b p --=，其中,k b 均为常数．当关税税率75%t =时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定,k b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：2x q -=，当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值． 20．(本小题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ． (1)若当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等边三角形，求C 的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C ，若点001(,0)()2D x x ≥，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为0(,0)x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．21．(本小题12分）已知函数R a ax ax e x x f x∈+++=,221)1()(2. (1)讨论)(x f 极值点的个数；(2)若)2(00-≠x x 是)(x f 的一个极值点，且-2e >)2(-f ，证明: 1<)(0x f .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l cos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数）．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+．23．（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数2()4f x x ax =++，()11g x x x =++-．（1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．龙泉中学、宜昌一中2020届高三年级9月联合考试理科数学试题（参考答案）B C B B C A B A C D D A 13． 35- 14．3π15． (1,0)- 16． 3； [1,4] 17．【解析】若p 真，因为12,x x 是方程220x mx --=的两个实根，所以12x x m +=,122x x ⋅=-所以12x x -==，所以当[1,1]m ∈-时，12max3x x -=， (3)分所以由不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，所以6a ≥或1a ≤- ……5分若q 真，则2210ax x ++=的解集为空集，2240a ∆=-<，………………………7分解得：1a > ………………………8分因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 一真一假． ……………………9分若p真q假，则有6a ≥或1a ≤-且1a ≤， 得1a ≤- ……………………10分若p假q真，则有16a -<<且1a >， 得16a << …………………11分综上知，实数a的取值范围是(,1](1,6)-∞-． ……………………12分18．【解析】(1) 2222()2(cos sin )(cos sin )1f x x x x x x ωωωωω=+-++2cos 212sin(2)16x x x πωωω=++=++ ………………………1分因为点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心，所以36k ωπππ-+=，k Z ∈，所以132k ω=-+，k Z ∈ (2)分因为01ω<<，所以10,2k ω==， 所以()2sin()16f x x π=++ (4)分最小正周期2T π= ………………………5分(2)由(1)知，()2sin()16f x x π=++，向左平移6π个单位得2sin()13y x π=++，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变1()2sin()123g x x π=++ ………………………7分当[,3]x ππ∈-时，列表如下： ………………………10分则函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象如图所示： ………………………12分19．【解析】（1）由已知22(10.75)(5)(10.75)(7)1222k b k b ----⎧=⎪⎨=⎪⎩得22(10.75)(5)0(10.75)(7)1k b k b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得5,1b k == ………………………6分(2)当p q =时，2(1)(5)22t x x ---=，所以2(1)(5)t x x --=- ，故211125(5)10x t x x x=+=+-+- ………………………9分 而25()f x x x=+在(0,4]上单调递减， 所以当4x =时，()f x 有最小值414此时，112510t x x=++-取得最大值5， ………………………11分 故，当4x =时，关税税率的最大值为500% ………………………12分20．【解析】(1)由题知(,0)2p F ，32p FA =+，则(3,0)D p +，FD 的中点坐标为33(,0)24p+，则33324p+=，解得2p =，故C 的方程为24y x =． …………………………4分 (2)依题可设直线AB 的方程为0(0)x my x m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得20440y my x --=， (5)分 因为012x ≥，所以2016160m x ∆=+>， 124y y m +=，1204y y x ⋅=-， …………………………6分设P 的坐标为(,0)P x ，则22(,)P PE x x y =--，11(,)P PA x x y =--， 由题知//PE PA ，所以2112()()0P P x x y x x y -⋅+-⋅=，即2221121212211212()()44P y y y y y y y y x y x y y y x +++=+==， …………………………7分显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证00P x x +=， 由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即12221211()4y y y y +=-， 所以124y y -=，所以21212()416y y y y +-⋅=．即220161616m x +=，201m x =-， 01x <， (10)分又因为012x ≥，所以0112x ≤<，d ===t =∈，202x t =-，22(2)42t d t t t -==-，易知4()2f t t t =-在上是减函数，所以2)d ∈． …………………………12分21．【解析】（1）)(x f 的定义域为R ，()(2)()xf x x e a '=++ ……………………………1分若0a ≥，则0x e a +>，所以当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '<；当(2,)x ∈-+∞时，()0f x '>，所以)(x f 在(,2)-∞-上递减，在(2,)-+∞递增所以2x =-为)(x f 唯一的极小值点，无极大值，故此时)(x f 有一个极值点．……………2分若0a <，令()(2)()0xf x x e a '=++=，则12x =-，2ln()x a =-当2a e -<-时，12x x <，则当1(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当12(,)x x x ∈时，()0f x '<；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极大值点和极小值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………3分当2a e -=-时，12x x =, ()(2)()0xf x x e a '=++≥且恒不为0，此时)(x f 在R 上单调递增，无极值点 ……………………………………………4分当20e a --<<时，12x x >，则当2(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<； 当1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极小值点和极大值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………5分综上，当2a e -=-时，)(x f 无极值点；当0a ≥时，)(x f 有1个极值点； 当2a e -<-或20e a --<<时，)(x f 有2个极值点．…………………6分(2)证明：若00(2)x x ≠-是)(x f 的一个极值点，由（1）可知22(,)(,0)a e e --∈-∞--又22(2)2f e a e ---=-->，所以2(,)a e -∈-∞-，且02x ≠-，…………………7分则0ln()x a =-，所以201()(ln())[ln ()2ln()2]2f x f a a a a =-=-+--， 令ln()(2,)t a =-∈-+∞，则t a e =-，所以21()(ln())(22)2t g t f a e t t =-=-+-故1()(4)2t g t t t e '=-+ …………………10分又因为(2,)t ∈-+∞，所以40t +>，令()0g t '=，得0t =．当(2,0)t ∈-时，()0g t '>，()g t 单调递增，当(0,)t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减 所以0t =是()g t 唯一的极大值点，也是最大值点，即()(0)1g t g ≤=， 故(ln())1f a -≤，即0()1f x ≤ …………………12分22．【解析】（1cos()104πθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得10x y --=， …………………2分因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =． (5)分（2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上，设直线l的参数方程为12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =，得280t --=， …………………7分设点,A B 对应的参数分别为12,t t，则12t t +=128t t =-， 所以1212111||||t t MA MB t t -+====． …………………10分23．【解析】（1）()3g x …，即|1||1|3x x ++-…， 不等式等价于1(1)(1)3x x x -⎧⎨-+--⎩……或11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--⎩…或1113x x x ⎧⎨++-⎩……， 解得32x ≤-或32x ≥， …………………4分 所以()3g x ≥的解集为33|22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． …………………5分 （2）因为21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立，所以min min ()()([2,2])f x g x x ≤∈-， …………………6分 又min ()2g x =，所以min ()2([2,2])f x x ≤∈-，当22a -≤-，即4a ≥时，min ()(2)424822f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a -≥，即4a ≤-时，min ()(2)424822f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-； 当222a -<-<，即44a -<<时22min ()()42242a a a f x f =-=-+≤，解得a ≥a ≤-，所以4a -<≤-或4a ≤<，综上，实数a 的取值范围为(,[22,)-∞-+∞． …………………10分。
2020届四川省成都市龙泉驿区一中高三下学期入学考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}73|{},03|{2<≤==-+=x x B x ax x A ，若A B ≠∅I ，则实数a 的取值集合为A.]0,121[-B.)494,121[--C.]0,494(-D.]0,494[-2. 已知i 是虚数单位，若i i z 31)1(+=+，则=zA. 2+iB. 2-iC. -1+iD. -1-i）则（命题已知,0)(),2,0(:,sin )(.3<∈∀+-=x f x p x x x f π0)(),2,0(:.≥∈∀⌝x f x p p A π是假命题，0)(),2,0(:.≥∈∃⌝x f x p p B π是假命题，0)(),2,0(:.≥∈∀⌝x f x p p C π是真命题，0)(),2,0(:.≥∈∃⌝x f x p p D π是真命题，4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A83 B 73 C 2 D 535.ABC ∆中，AB 边上的高为CD ，若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===u u u r r u u u r r r r r r ，则AD =u u u rA ．1133a b -r rB ．2233a b -r rC ．3355a b -r rD ．4455a b -r r6．如下图，将绘有函数()())2,0(sin 2πϕπωϕω<<>+=x x f 的部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若AB 之间的空间距离为17，则()=-1fA. 2-B.2C.3-D.37.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为5，则m 的值为 A ．4± B ．52± C ．62± D ．5±8. 椭圆）＞＞05(12222a by a x =+的一个焦点为F ，该椭圆上有一点A ，满足△OAF 是等边三角形（O 为坐标原点），则椭圆的离心率是A.13-B. 32-C. 12-D. 22- 9.执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为 A.1 B.2 C.3D.410.已知不等式0264cos 64cos 4sin 22≥--+m x x x 对于]3,3[ππ-∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是A. ]2,(--∞B. ]22,(-∞ C. 2,22[ D. ),2[+∞ 11.某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为 A.2B.3C.4D.512.要得到函数)52sin(2π+=x y 的图象，应该把函数)152sin(3)152cos(ππ---=x x y 的图象做如下变换A.将图象上的每一点横坐标缩短到原来的21而纵坐标不变 B.沿x 向左平移2π个单位，再把得图象上的每一点横坐标伸长到原来的2而纵坐标不变C.先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的21而纵坐标不变，再将所得图象沿x 向右平移4π个单位 D.先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的21而纵坐标不变，再将所得图象沿x 向左平移2π个单位第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题（本体包括4小题，每小题4分，共20分） 13.二项式4)2(x x+的展开式中常数项为_______.14、已知n m x x x f )31()1()(+++= （*∈N n m 、）的展开式中x 的系数为11．则当2x 的系数取得最小值时，)(x f 展开式中x 的奇次幂项的系数之和为___________．15.已知直线l ：y kx m =+（m 为常数）和双曲线22194x y-=恒有两个公共点，则斜率k 的取值范围为________．16、将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题成为“可换命题”.给出下列四个命题①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行.（平面不重合、直线不重合）其中是“可换命题”的是 。
湖北省荆门市龙泉中学2020届高三12月月考数学（理）试题全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、考号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|2,}xA y y x R ==∈，{|}B x y x R ==∈，则A B =A ．{}1B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1]2．若复数z 满足22zi z i +=-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则1z +=A ．2 C D ．33. 某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩()N ξξ∈服从正态分布()2100,10N ，已知()901000.4P ξ≤≤=，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为A.20B.10C.7D.54．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要 A ．7天 B ．8天 C ．9天 D ．10天5．在矩形ABCD 中，6,4AB AD ==，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于3的概率为 A ．14 B ．13 C ．916 D ．496. 执行如图所示的算法，则输出的结果是 A ．2B ．43C ．54D ．17. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是 A.甲 B.乙 C.丙D.丁8．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体外接球的表面积为A.1723π B. 433π C. 48πD. 56π9. 设O 为坐标原点，点P 为抛物线C ：22(0)y px p =>上异于原点的任意一点，过点P 作斜率为0的直线交y 轴于点M ，点P 是线段MN 的中点，连接ON 并延长交抛物线于点H ，则||||OH ON 的值为 A ．pB ．12C ．2D ．3210. 设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间[3,5]-上的所有零点的和为A ．10B ．8C ．16D ．2011. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1B ，且在72,183ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12195,,126x x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=A.B.1-C. 1D.2-12. 在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 中点，点P 是正方形11DCC D 内的动点(含边界)，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -A.649B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ,b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则3a b +=_______ ．14.已知,x y 满足,2,2 2.y x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则2z x y =+最大值为_________．15.在ABC ∆中，,6B ACD π∠==是AB 边上一点，2,CD ACD =∆的面积为2，ACD ∠为锐角，则BC = ．16.已知实数a ，b ，c 满足2211a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，那么()()22a cb d -+-的 最小值为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21n n a S -=.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设21(1)n n n b a n n +=⋅+，求数列{}n b 的前100项和100T .18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD 平面ABP ，2BC CP BP ===，2,4CD AB ==（1）证明：平面ABP ⊥平面ADP ；（2）若直线PA 与平面PCD 所成角为α，求sin α的值.19．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆940)2(:22=+-y x M 的公共弦长为3104． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，1）作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分12分)随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。
()()()()()222111*********a x x x x x x a x g x x x x x x x x ---'==---，而10x x <<，且102a -<<， 则()0g x '>，故()g x 在()10,x 单调递增，则()()10g x g x <=，故()()12f x f x x <-在()10,x 恒成立，又310x x <<，则()()3132f x f x x <-得证；………………………………………………11分 同理可以证明：5422x x x +<，综上：()21532x x x x ->-，得证．…………………………………………………………12分 法二：由方程()f x b =恰有三个实数根()345345,,x x x x x x <<可得()()()2332442551ln 1ln 1ln x a x b x a x b x a x b ⎧--=⎪⎪--=⎨⎪--=⎪⎩，即()()()()()()4343435454542ln ln 2ln ln x x x x a x x x x x x a x x -+-=-⎧⎪⎨-+-=-⎪⎩①② 由①式得4343432ln ln a x x x x x x -=+--， …………………………………………………8分 先证434343ln ln 2x x x x x x -+<-，令()()()21ln ,11t h t t t t -=->+，则()()()22101t h t t t -'=>+， 所以()h t 在()1,+∞上单增，从而()()10h t h >=，取431x t x =>， 则有434343ln ln 2x x x x x x -+<-，故434322a x x x x +<+-，………………………………10分 从而()()2434322x x x x a +-+<，即()243121x x a +-<+，即43112x x x +>=，…………………………………………………………11分 同理可得545454542ln ln 2a x x x x x x x x -+=<+--，即54212x x x +<+=， 综上：()21532x x x x ->-，得证．…………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）因为C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=，则2224x y +=， 化简得22142x y +=，所以C 的直角坐标方程为22142x y +=．.……………………………3分 l 参数方程消去参数t ，得l的普通方程为0y -=．.…………………………5分 （Ⅱ）设l参数方程为12x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入到椭圆方程中得227404t mt m ++-=，………7分 ,A B 对应的参数分别为12,t t ，2124427m PA PB t t -⋅===．.…………………………8分又点(),0P m 为曲线C 内的点，则24m <，解得2m =±．.…………………………10分23.解：（Ⅰ）因为111(21)(31)623x y x y +-=-++ 1111|21||31|4332323x y ≤-++≤⨯+⨯=，……………………………………………………3分 当5223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3243x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时等号成立，所以16x y +-的最大值M 为3；………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，123a b +=，所以23a b ab +=≥，所以89ab ≥．……………7分 所以850(1)(2)22424299a b a b ab ab ++=+++=+≥⨯+=．…………………………10分。
湖北省龙泉中学2020届高三年级5月月考数学（理科）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知11xyi i=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（ ） A.12i + B.12i - C.2i + D.2i -2.如图中程序运行后，输出的结果为( )A ． 3 43B ． 43 3C ．-18 16D ． 16 -183.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3 个4.下列四个判断：①若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A Y ”的充要条件； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>；③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=. 其中正确的个数有： （ ）A ．0个B ． 1 个C ．2 个D ．3个 5.函数()sin()6f x A x πω=+(0)ω>的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象 （ ）A. 向左平移6πB. 向右平移3π C. 向左平移23π D. 向右平移23π6.已知数列*)(2N n n a n ∈=，把数列}{n a 的各项排列成如图所示的三角形数阵。
记),(t s M 表示该数阵中第s 行的第t 个数，则数阵中的2012对应于（ ）A ．)16,45(MB ．)26,45(MC ．)16,46(MD ．)26,46(M主视图侧视图22 俯视图 2 120033;x y IF x THEN x y ELSE y y END IF PRINT x y y xEND =-=<=+=--+7.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有 （ ）A. 60种B. 120种C. 144种D. 300种8．已知约束条件340,210,380,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩若目标函数(0)z x ay a =+>恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为 ( )A. 103a <<B.13a ≥C. 13a >D. 102a <<9.下列四个命题中不正确．．．的是（ ） A ．若动点P 与定点(4,0)A -、(4,0)B 连线PA 、PB 的斜率之积为定值94，则动点P 的轨迹为双曲线的一部分；B ．设,m n ∈R ，常数0a >，定义运算“*”：22)()(n m n m n m --+=*，若0≥x ，则动点),(a x x P *的轨迹是抛物线的一部分；C.已知两圆22:(1)1A x y ++=,圆22:(1)25B x y -+=，动圆M 与圆A 外切、与圆B 内切，则动圆的圆心M 的轨迹是椭圆；D.已知)12,2(),0,7(),0,7(--C B A ，椭圆过,A B 两点且以C 为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线.10. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，21()1()(1)10x x f x ef x x +⎧≤-⎪=⎨⎪--<≤⎩， 若()f x x a ≥+对于任意x R ∈恒成立，则常数a 的取值范围是 ( )A.1,2e -∞-（]B.(,2]-∞-C.1(,1]e-∞- D. (,1]-∞-二、填空题：本大题共6小题，共需作答5个小题，每小题5分，共25分。
