《高等数学》1(2)高等数学(同济大学)课件上第8_3曲面方程

第二步在隔离区间上求满足精度要求的根. 这一步 是求根的关键，主要方法有二分法和切线法.
第八节 方程的近似解
二、二分法
设 [a , b] 是方程 f (x) = 0 根的一个隔离区间，求方 程在该区间内的根.
二分法的基本思想是：用中点把区间 [a , b] 分成两 个子区间， 则根必在这两个子区间中的某一个之内， 确定含根的子区间，并以该子区间为新的隔离区间，重 复应用上述步骤，直到求出满足精度要求的根.
;
x2
1.54545
f (1.54545 ) f (1.54545 )
第八节 方程的近似解
y
y
y f (x)
a
O
x1 b x
y
y f (x)
a x1
O
bx
y f (x)
O a x1
b x
y
y f (x)
x1 b
Oa
x
第八节 方程的近似解
切线法的基本思想是：在区间[a , b]的一个端点 (纵
坐标与 f (x) 同号，不妨设为左端点 a) 处作切线，设切
线与 x 轴的交点为 x1, 以 [x1 , b] 为新的隔离区间， 重
第八节 方程的近似解
直接作出函数 y = f (x) 的图形，从图形中估计出曲 线与 x 轴交点的大致范围即隔离区间. 作图时，有时
也可将方程 f (x) = 0 转化成等价方程 (x) = (x)，分别 作函数 y = (x) 和 y = (x) 的图形，确定这两曲线交点
的大致范围即隔离区间.
第八节 方程的近似解
例如，对于方程 f (x) = x3 – x – 1 = 0，作图如下：
因为
y
f (1) = -1 < 0，

2
2
z
x
y
O
y
O
z
x2 y2 z 2 2 1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.
x
O
y
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三、柱面
引例. 分析方程 表示怎样的曲面 .
z
M
表示圆C, C O M1 在圆C上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作 x 解:在 xOy 面上， 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点 M ( x, y, z )
O
z
O
C
l
y
z
O
y
y
x
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x
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一般地,在三维空间
z
O
方程 F ( x, y) 0 表示柱面, 母线 平行于 z 轴;
准线 xOy 面上的曲线 l1.
x
l1
y
zl 2
O
方程 G( y, z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yOz 面上的曲线 l2.
y
x
z
2
2
2
2
z
M0
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
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M
x
O
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y
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例2. 研究方程
的曲面. 解: 配方得 可见此方程表示一个球面
表示怎样
球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5
说明:如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.

如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分， 记为 f ( x, y)d ，
D
即 f ( x, y)d lim f (i ,i ) i .
D
n
0 i 1
积 分 区 域
被 积 函 数
m f ( x ,y ) d M
D
（二重积分估值不等式） 性质７ 设 为 f ( x , y ) 函 数 在 闭 区 域 上 连 续 ， D D ( , ) 的 面 积 ， 则 在 D 上 至 少 存 在 一 点 使 得
f ( x ,y ) d f ( , ) D
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶.
z f ( x ,y )
D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
播放
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，z 并取典型小区域， 用若干个小平
z f( x ,y )
顶柱体体积之
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k 为常数时，
kf ( x , y ) d k f ( x , y ) d .
D D
性质２
[ f ( x ,y ) g ( x ,y )] d
D
f ( x , y ) d g ( x , y ) d .
D1 D2
D1 D2
2 2 , sin( x y ) d 4 、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 其 中 是 圆 域 D 2

直角坐标方程
直角坐标方程是另一种描述空间曲线 的方法，它由一个方程组组成，表示 曲线上任意一点的坐标与三个直角坐 标轴之间的关系。
02
空间曲线的方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的一般方程是两个三维空间 的方程联立得到的，通常表示为： F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0。
一般方程描述了空间中曲线的形状和 位置，通过解方程组可以求得曲线上 点的坐标。
参数方程
参数方程是描述空间曲线 的一种常用方法，其中参 数的变化反映了曲线上点 的运动轨迹。
空间曲线的弯曲程度
曲率
曲率描述了曲线在某一点 的弯曲程度，曲率越大， 弯曲程度越剧烈。
挠率
挠率描述了曲线在某一点 的方向变化速率，与曲线 的形状和类型有关。
曲率和挠率的关系
曲率和挠率共同决定了空 间曲线的弯曲程度和形状 。
原曲线与投影曲线的位置关系
通过比较原曲线和投影曲线的形状，可以确定它们之间的位 置关系，如相交、相切或相离。
投影曲线的面积与原曲线的关系
投影曲线面积的求解
根据投影曲线的方程，利用定积分计算其面积。
投影曲线面积与原曲线的关系
通过比较投影曲线面积和原曲线的面积，可以分析它们之间的数量关系，如相等 、成比例或相差一个常数倍。
02
极坐标方程的一般形式为：ρ=ρ(θ)，其中 ρ 是极径，θ是极角
。
极坐标方程可以用来表示各种形状的空间曲线，如球面曲线、
03
柱面曲线等。
03
空间曲线的性质
空间曲线的方向
01
02
03
方向向量
空间曲线的方向由其上的 方向向量决定，方向向量 表示了曲线上任意两点的 相对位置。
切线向量