同济大学高等数学习题答案共49页

习题一解答1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。

解Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}；A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}；B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）}2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}．(1)叙述事件ABC的含义．(2)在什么条件下，ABC＝C成立？(3)在什么条件下，C⊂B成立？解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员．(2)由于ABC⊂C，故ABC＝C当且仅当C⊂ABC．这又当且仅当C⊂AB，即科普队员都是三年级的男生．(3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C⊂B成立．3.将下列事件用A，B，C表示出来：（1）只有C发生；（2）A 发生而B ，C 都不发生； （3）三个事件都不发生；（4）三个事件至少有一个不发生；（5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。

解 （1）ABC ； （2）ABC ： （3）ABC （4）A B C ； （5）AB BC AC ；（6）ABCABCABC ；（7）ABC ； （8）A B C 。

4.设A ，B ，C 是三个随机事件，且=====)()(,41)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81)(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有一个发生的概率．解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )． 又因为而由P (AB )＝0，有P (ABC )＝0，所以5.掷两枚匀称的硬币，求它们都是正面的概率．解 设A ＝{出现正正}，其基本事件空间可以有下面三种情况： (Ⅰ)Ω1＝{同面、异面}，n 1＝2．(Ⅱ)Ω2＝{正正、反反、一正一反}，n 2＝3． (Ⅲ)Ω3＝{正正、反反、反正、正反}，n 3＝4．于是，根据古典概型，对于(Ⅰ)来说，由于两个都出现正面，即同面出现，因此，m 1＝1，于是有而对于(Ⅱ)来说，m 2＝1，于是有 而对于(Ⅲ)来说，m 3＝1，于是有6.口袋中装有4个白球，5个黑球。

从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。

解 试验的基本事件（样本点）总数29n C =，设A=“取得两个白球”，则A 包含的基本事件数24m C =，有古典概型有7.两封信任意地向标号为1，2，3，4的四个邮筒投递，求：（1）第三个邮筒恰好投入一封信的概率；（2）有两个邮筒各有一封信的概率。

解 （1）设事件A 表示“第三个邮筒恰好投入一封信”。

两封信任意投入4个邮筒，共有42种等可能投法，组成事件A 的不同投法有112323C C =⨯种，于是（2）设B 表示“有两个邮筒各有一封信”，则8.在100个产品中有70件一等品，20件二等品，10件三等品，规定一、二等品为合格品，考虑这批产品的合格率与一、二等品率的关系。

解 设事件A ，B 分别表示产品为一、二等品，显然事件A 与B 互补相容，并且事件A B 表示产品为合格品，于是可见 ()()()P A B P A P B =+9.三只外观相同的钢笔分别属于甲、乙、丙三人．如今三人各取一只，求：（1）恰好取到自己的笔的概率；（2）都没有取到自己的笔的概率．分析 设D 1＝{都取到自己的笔}，D 2＝{都没有取到自己的笔}．这是一个古典概型问题．我们有n ＝3!＝6．因此⋅==3)(,6)(21D P D P10.设随机事件B 是A 的子事件，已知P (A )＝1/4，P (B )＝1/6，求P (B |A )．解 因为B ⊂A ，所以P (B )＝P (AB )，因此11.在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？解 设事件A ＝{第一次取到正品}，B ＝{第二次取到次品}．用古典概型方法求出由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件，所以由公式(1－4)，12.五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率．解 这是一个乘法公式的问题．设A i ＝{第i 个人抓到有物之阄}(i ＝1，2，3，4，5)，有所以13.加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％、3％、5％、3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．解 设{},1,2,3,4i A i i ==第道工序加工的零件是次品，且i A 相互独立，{}A =加工的零件是次品，由题意得，从而14.一批零件共100个，其中有次品10个．每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率．解 设{},1,2,3i A i i ==第次取到的是次品，由题意得， 从而15.由以往记录的数据分析，某船只在不同情况下运输某种物品，损坏2％，10％，90％的概率分别为0.8，0.15和0.05．现在从中随机地取三件，发现这三件全是好的，试分析这批物品的损坏率为多少？分析 设B ＝{三件都是好的}，A 1＝{损坏率为2％}， A 2＝{损坏率为10％}，A 3＝{损坏率为90％}，则A 1，A 2，A 3两两互斥，且A 1∪A 2∪A 3＝Ω．已知P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.15，P (A 3)＝0.05，且由全概率公式可知由贝叶斯公式，这批物品的损坏率为2％，10％，90％的概率分别是 由于P (A 1|B )比P (A 2|B )，P (A 3|B )大得多，因此可以认为这批货物的损坏率为2％．16. 袋中有15个小球，其中7个是白球，8个是黑球．现在从中任取4个球，发现它们颜色相同，问它们都是黑色的概率为多少？解 设A 1＝“4个球全是黑的”，A 2＝“4个球全是白的”，A ＝“4个球颜色相同”．使用古典概型，有P (A 1)＝41548/C C ，P (A 2)＝41547/C C ．而A ＝A 1∪A 2且A 1A 2＝∅，得所以概率是在4个球的颜色相同的条件下它们都是黑球的条件概率，即P (A 1|A )．注意到A 1⊂A ，A 1A ＝A 1，有17.设袋中有4个乒乓球，其中1个涂有白色，1个涂有红色，1个涂有蓝色，1个涂有白、红、蓝三种颜色．今从袋中随机地取一个球，设事件A ＝{取出的球涂有白色}，B ＝{取出的球涂有红色}，C ＝{取出的球涂有蓝色}．试验证事件A ，B ，C 两两相互独立，但不相互独立． 此题从现实情况分析是不合理的，故不要深究。

证 根据古典概型，我们有n ＝4，而事件A ，B 同时发生，只能是取到的球是涂有白、红、蓝三种颜色的球，即m ＝1，因而同理，事件A 发生，只能是取到的球是涂红色的球或涂三种颜色的球，因而因此，有 ,412121)()(=⨯=B P A P 所以 P (AB )＝P (A )P (B )， 即事件A ，B 相互独立．类似可证，事件A ，C 相互独立，事件B ，C 相互独立，即A ，B ，C 两两相互独立，但是由于而 ,4181212121)()()(=/=⨯⨯=C P B P A P 所以A ，B ，C 并不相互独立．18.设两两相互独立的三事件A ，B ，C ，满足：ABC ＝∅，P (A )＝P (B )＝P (C )＜21,并且169)(=++C B A P ，求事件A 的概率． 分析 设P (A )＝p ．由于ABC ＝∅，有P (ABC )＝0，根据三个事件两两．．独立．．情况下的加法公式，有 P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (A )P (B )－P (B )P (C )－P (A )P (C )＋P (ABC )，即 ,1690332=+-p p 亦即 ,01632=+-p p 解得 41=p 或43(由题意舍去)．于是 ⋅=41)(A P19设A ，B 是两个随机事件，且0＜P (A )＜1，P (B )＞0，)|()|(A B P A B P =，则P (AB )＝P (A )P (B )．分析 由公式由题设 ),|()|(A B P A B P = 即 ,)(1)()()(A P B A P A P AB P -=于是，有即A 、B 相互独立．20.设两个随机事件A ，B 相互独立，已知仅有A 发生的概率为41，仅有B 发生的概率为41，求 P (A )，P (B )．分析 方法1 因为P (A )＞0，P (B )＞0，且A 与B 相互独立，所以AB ≠∅(想一想为什么)．一方面P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )； (1－6)另一方面).()(21)()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A P +=++=+ (1－7)由于)()(B A P B A P =，有 于是由式(1－6)，式(1－7)有即 ⋅===-21)(,21)(,41))(()(2B P A P A P A P方法 2 因为A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立．由于)()(B A P B A P =，有P (A )＝P (B )，于是因此 ⋅==21)()(B P A P 21.用高射炮射击飞机，如果每门高射炮击中飞机的概率是0.6，试问：(1)用两门高射炮分别射击一次击中飞机的概率是多少？(2)若有一架敌机入侵，至少需要多少架高射炮同时射击才能以99％的概率命中敌机？解 (1)令B i ＝{第i 门高射炮击中敌机}(i ＝1，2)，A ＝{击中敌机}．在同时射击时，B 1与B 2可以看成是互相独立的，从而21,B B 也是相互独立的，且有P (B 1)＝P (B 2)＝0.6，.4.0)(1)()(121=-==B P B P B P方法1(加法公式)由于A ＝B 1＋B 2，有P (A )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)－P (B 1)P (B 2)＝0.6＋0.6－0.6×0.6＝0.84． 方法2(乘法公式) 由于21B B A =，有于是 .84.0)(1)(=-=A P A P(2)令n 是以99％的概率击中敌机所需高射炮的门数，由上面讨论可知，99％＝1－0.4n 即 0.4n ＝0.01，亦即因此若有一架敌机入侵，至少需要配置6门高射炮方能以99％的把握击中它．22.设某人从外地赶来参加紧急会议．他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是31110510、、及52，如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为41、 12131、试问：(1)他迟到的概率；(2)此人若迟到，试推断他是怎样来的可能性最大？解 令A 1＝{乘火车}，A 2＝{乘轮船}，A 3＝{乘汽车}，A 4＝{乘飞机}，B ＝{迟到}．按题意有：(1)由全概率公式，有 (2)由贝叶斯公式 得到由上述计算结果可以推断出此人乘火车来的可能性最大．23.三人同时向一架飞机射击，设他们射中的概率分别为0.5，0.6，0.7．又设无人射中，飞机不会坠毁；只有一人击中飞机坠毁的概率为0.2；两人击中飞机坠毁的概率为0.6；三人射中飞机一定坠毁．求三人同时向飞机射击一次飞机坠毁的概率．.解 设A i ＝{第i 个人射中}(i ＝1，2，3)，有P (A 1)＝0.5， P (A 2)＝0.6， P (A 3)＝0.7．又设B 0＝{三人都射不中}，B 1＝{只有一人射中}，B 2＝{恰有两人射中}，B 3＝{三人同时射中}，C ＝{飞机坠毁}．由题设可知并且同理＝0.5×0.4×0.3＋0.5×0.6×0.3＋0.5×0.4×0.7＝0.29；P(B2)＝0.44；P(B3)＝0.21．利用全概率公式便得到＝0.06×0＋0.29×0.2＋0.44×0.6＋0.21×1＝0.532．24.两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率；又：如果任意取出的零件经检查是废品，求它是由第二台机床加工的概率．答案是：0.973；0.25．习题二1．掷两枚匀称的骰子，X＝{点数之和}，求X的分布．解概率空间{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}点数和等于2 （1，1），点数和等于3 （1，2），（2，1），点数和等于4 （1，3），（2，2），（3，1）点数和等于5 （1，4），（2，3），（3，2），（4，1）点数和等于6 （1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）点数和等于7 （1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（6，1），（5，2）点数和等于8 （2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）点数和等于9 （3，6），（4，5），（5，4），（6，3）点数和等于10 （4，6），（5，5），（6，4）点数和等于11 （5，6），（6，5）点数和等于12 （6，6）}答案是：2．设一个盒子中装有5个球，标号为1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3个，用X表示取出的球的最大号码数，求随机变量X的分布律．解X的可能取值为3，4，5．从5个球中任取3个的取法有3510C=种．则事件{X=3}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，3）”，1{3}10P X==．事件{X=4}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4）”，3{4}10P X==．事件{X=5}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）”，63{5}105P X===．故X的分布律为3．已知离散型随机变量X 的可能取值为-2，0，2为1a，32a ，54a，78a ，试求概率{||2|0}P X X ≤≥．解 41{}ii P X x ==∑=1a +32a +54a +78a 3718a == 解得 837a =故X 的分布律为4．设某电子产品正品率为0.75，次品率为0.25．现对该批电子产品进行测试，以随机变量X 表示首次测得正品，，求随机变量X 的分布律． 提示，参考例2．6．答1{}0.750.25k P X k -==⨯，k =1，2，…5. 设100件产品中有95件合格品，5件次品，现从中有放回的取10次，每次任取一件．求：（1）所取10件产品中所包含次品数的概率分布；（2）10件产品中恰有2件次品的概率；（3）10件产品中至少有2件次品的概率．解 因为是有放回的抽取，所以10次抽取是独立、重复进行的，每次取得次品的概率为0.05，因此这是一个10重伯努利试验．（1）设所取的19件产品中所含有的次品数为X ，则~(10,0.05)X B ，其概率分布为1010{}(0.05)(0.95)k k k P X k C -==⨯，k =1，2， (10)（2）所求的概率为（3）所求的概率为6．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．在袋中同时取3只球，用X表示取出的3只球中的最小号码数，求X的分布函数．解X的可能取值为3，2，1．即X的分布阵为从而X的分布函数为7．设离散型随机变量X的分布函数为试求：（1）X的概率分布；（2）{2|1}<≠．P X X解X的可能取值为-1，1，3．8.设随机变量X的分布为求Y＝X2＋1的概率分布．解由y i＝2x＋1(i＝1，2，…，5)及X的分布，得到i把f(x i)＝2x＋1相同的值合并起来，并把相应的概率相加，便得到Y的分i布，即 所以9.某店内有4名售货员，据经验每名售货员平均在1 h 内只用秤15 min ，问该店通常情况下应配制几台秤？解 设X i ＝{第i 个售货员使用秤}，则X i ～B (1，0.25)．令41i i S X ==∑，于是S ～B (4，0.25)．考虑到P (S ≤2)＝1－P (S ＞2)＝1－P (S ＝3)－P (S ＝4)＝1－0.0469－0.0039≈0.95故该商店通常情况下应配制2台秤．10.设二维随机向量(X ，Y )共有6个取正概率的点，它们是：(1，－1)，(2，－1)，(2，0)(2，2)，(3，1)，(3，2)，并且(X ，Y )取得它们的概率相同，求(X ，Y )的联合分布解 由于6个点取得的概率相同，均为16，而6个16的和为1，因此其余概率为0．11．设二维随机变量(,)X Y 的分布率如下表试求：（1)13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤． 解：（1)13{,04}22P X Y <<<< （2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤12．设二维随机向量(X ，Y )的联合分布为求 (1)X 与Y 的边缘分布．(2)X 关于Y 取值y 1＝0.4的条件分布． (3)Y 关于X 取值x 2＝5的条件分布． 解 (1)由公式(2)计算下面各条件概率：因此，X关于Y取值y1＝0.4的条件分布为(3)同样方法求出Y关于X取值x2＝5的条件分布为13.设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量(X，Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入下表中的空白处．分析应注意到X与Y相互独立．解由于P(X＝x1，Y＝y1)＝P(Y＝y1)－P(X＝x2，Y＝y1)考虑到X与Y相互独立，有P(X＝x1)P(Y＝y1)＝P(X＝x1，Y＝y1)，所以同理，可以导出其他数值．故XY的联合分布律为14.设二维随机向量(X ，Y )联合分布如下表求二维随机向量的函数Z 的分布：（1）Z =X +Y ;(2)Z =XY ． 解 有（X ，Y ）的概率分布可得合并Z 值相同的概率可得 （1）Z =X +Y 的概率分布为（2）Z=XY的概率分布为15．已知X和Y的概率分布为而且{0}1P XY==．（1）求X和Y的联合分布；（2）问X与Y是否相互独立？为什么？解（1）由{0}1P XY==，即{00}1或，所以===P X Y因此X与Y的联合分布和边缘分布有如下形式根据联合分布与边缘分布的关系，不难把表中打“*”号的位置上的数值求出，于是，得到X与Y的联合分布为（2）因1{1,0}4P X Y =-==，而111{1}{0}424P X P Y =-==⨯≠所以X 与Y 不独立． 习题31．设210()10x f x xx ⎧>⎪=+⎨⎪≤⎩当当 f (x )是否为分布密度函数？如何改造？解 由于所以f (x )不是分布密度函数．令 则p (x )是分布密度函数．2.设随机变量X 的分布密度函数为求(１)常数C ；(２)P (0.3≤X ≤0.7)；(３)P (－0.5≤X ＜0.5)． 解 (1)由p (x )的性质，有 所以C ＝2．(2)0.720.70.30.3(0.30.7)2d |0.4.P X x x x ≤≤===⎰(3)00.520.500.50(0.50.5)0d 2d |0.25.P X x x x x --≤≤=+==⎰⎰ 3．设连续型随机变量X 的分布函数为求：（1）A ，B ，C 的值；（2）X 的概率密度函数；（3）{12}P X ≤≤． 解 （1）由连续型随机变量的性质，可知，()F x 是一个连续函数．考察()F x在x =0，x =1，x =2处的连续性，有lim ()x F x A -→=，20lim ()lim 0x x F x Bx ++→→==，所以A =0； 211lim ()lim x x F x Bx B --→→==，21113lim ()lim(1)22x x F x Cx x C ++→→=--=-，可知B32C =- 2221lim ()lim(1)232x x F x Cx x C --→→=--=-，2lim ()1x F x +→=，可知231C -=． 所以C =2，12B =．（2）X 的概率密度函数为（3）{12}P X ≤≤(3)(1)F F =-2111(2111)22=-⨯-⨯-=．4．在一个公共汽车站有甲、乙、丙三人，分别等1，2，3路车．设等车的时间（分钟）服从[0，5]上的均匀分布，求3人中至少有2人等车时间不超过2分钟的概率．解 设每人等车的时间为X ，则X 的密度函数为 3人中每人“等车不超过2分钟”的概率为 3人中等车不超过2分钟的人数2~(3,)5Y B故22323{2}0.35255P Y C ⎛⎫≥=⨯= ⎪⎝⎭5．设X ～N (0，1)，求P (X ＜2.35)，P (X ＜－1.25)以及P (|X |＜1.55)． 解 P (X ＜2.35)＝Ф(2.35)查表0.9906．P (X ＜－1.25)＝Ф(－1.25)＝1－Ф(1.25)＝1－0.8944＝0.1056． P (|X |＜1.55)＝P (－1.55＜X ＜1.55)＝Ф(1.55)－Ф(－1.55)＝2Ф(1.55)－1＝2×0.9394－1＝0.8788． 6．设X ～N (1，22)，求P (0＜X ≤5)． 解 这里μ＝1，σ＝2，β＝5，＝0，有于是P (0＜X ≤5)＝Ф(2)－Ф(－0.5)＝Ф(2)－[1－Ф(0.5)]＝Ф(2)＋Ф(0.5)－1＝0.9772＋0.6915－1＝0.6687．7．设X ～N (2，32)，求：(Ⅰ)P {－1≤X ≤8}；(Ⅱ)P {X ≥－4}；(Ⅲ)P {X ≤11}． 解 由于X ～N (2，32)，即μ＝2，σ＝3，因此 (1)P {－1≤X ≤8}＝P {2－3≤X ≤2＋2×3} ＝P {2－3≤X ＜2}＋P {2≤X ≤2＋2×3}(2)P {X ≥－4}＝P {－4≤X ＜＋∞}＝P {2－2×3≤X ≤2}＋P {X ≥2} (3)P {X ≤11}＝P {－∞＜X ≤11}＝P {－∞＜X ≤2}＋P {2≤X ≤2＋3×3} 8．某科考试成绩服从正态分布2(70,10)N ，在这次考试人中，及格者100人（及格分数为60），计算（1）不及格人数；（2）成绩在前10名的人数在考生中的比例；（3）估计第10名考生的成绩．解 设考生的考生成绩为X ，X ~2(70,10)N ，首先参加考试的人数n ． 这表明及格人数占考试人数的比例为84.13%，即（1）不及格人数占占考试人数的比例为15.87%，因此不及格人数为 （2）成绩在前10名的人数在考生中的比例为 （3）设第10名考生的成绩为0x ，则0{}0.08413P X x ≥=，0{}0.91587P X x <=，即0700.9158710x -⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭查正态分布表，得0701.3710x -=，083.784x =≈． 或者在EXCEL 的单元格中键入的“=NORMINV (0.91587，70，10）”，求得． 9. 31设一个纺织工人照顾800个纱锭，在(0，T ]时间内每个纱锭断头的概率为0.005，求在(0，T ]内：(１)最大可能的断头数；(２)断头次数不超过10的概率．解 设断头数为X ，则X ～B (800，0.005)．由于n 很大，p 很小，所以可用近似公式这里＝np ＝800×0.005＝4．实际上可认为X 近似服从P ()．(1)最大可能的断头数是3和4．(2)1044(10)e 0.99716!k k P X k -=≤≈=∑10．设X ～U (0，1)，并且Y ＝X 2，求Y 的分布密度p 2(y )． 解：01(){}{},(04)22yY F y P Y y P X y dx y y =<==<< 故()()4)4Y Y f y F y y y'==<<11．设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,y x x e ===所围成，二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布，求(,)X Y 的联合分布密度函数.解 由于区域D 的面积所以(,)X Y 的联合分布密度函数为 12．设(X ，Y )的联合分布密度为试求：(1)常数C . (2)P {0＜X ＜1，0＜Y ＜2}． 解 (1)由p (x ，y )的性质，有 即C ＝12．(2)令D ＝{(x ，y )|0＜x ＜1，0＜y ＜2}，有 13．设二维随机向量(X ，Y )的联合分布函数为 求(1)常数C ；(2)分布密度p (x ，y )．解 (1)由性质F (＋∞，＋∞)＝1，得到C ＝1．(2)由公式：2(,)Fp x y x y∂=∂∂有故 23(ln3),0,0,(,)0,.x y x y p x y --⎧≥≥=⎨⎩其他14．如图3－1，设(X ，Y )的联合分布密度为图3－1(1)求C ．(2)求X ，Y 的边缘分布． (3)讨论X 与Y 的独立性． (4)计算P (X ＋Y ≤1)． 分析(1)由于(,)d 1,p x y σ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰即 可导出C ＝2．(2)当x ＜0或x ＞1时，p 1(x )＝0；当0≤x ≤1时，因此 213,01,()0,.x x p x ⎧≤≤=⎨⎩其他同理 22123,01,()0,.y y y p y ⎧+-≤≤=⎨⎩其他(3)由于p 1(x )·p 2(y )≠p (x ，y )，故X 与Y 不独立． (4)11201011(1)2()d d 2()d 3y yx y y x P X Y x y y x y x σ-+≤≤≤≤+≤=+=+=⋅⎰⎰⎰⎰15．(,)~(,)(arctan )(arctan ),23x y X Y F x y A B C ξ==++求(1)A ，B ，C 的值； (2)p (x ，y )； (3)p 1(x )，p 2(y )． 分析(1)由ππ(,)()()1,22F A B C -∞+∞=++=可导出21π,π2A B C ===⋅ (2)22222211161132(,)(,)....ππ491()1()23xyp x y F x y x y x y "===⋅++++ (3)由p (x ，y )＝f 1(x )·f 2(y )，其中 考虑到12()d 1,()d 1,f x x f y y +∞+∞-∞-∞==⎰⎰故16．设2,02,01,(,)~(,)0,.Axy x y X Y p x y ξ⎧≤≤≤≤==⎨⎩其他试求解：(1)确定常数A ； (2)边缘分布密度； (3)讨论X ，Y 的独立性． 分析(1)由(,)d 1,p x y σ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰即212003d 1,2x Axy A =⇒=⋅⎰⎰(2)由1()(,)d p x p x y y +∞-∞=⎰，分情况讨论： 当x ＜0或x ＞2时，1()d 0;p x y +∞-∞==⎰当0≤x ≤2时，12103()(,)d d 22x p x p x y y xy y +∞-∞===⋅⎰⎰ 所以同理，可求出(3)由于p 1(x )·p 2(y )＝p (x ，y )，因此，X 与Y 相互独立．习题41．盒中有5个球，其中有3个白球，2个红球．从中任取两球，求白球个数X 的数学期望．解由题意可知 因此2．某地区计划明年出生1000个婴儿，若男孩出生率为p ＝0.512，问明年(1)出生多少男孩？(2)期望出生多少男孩？答案是：(1)0～1000；(2)512．3．两台生产同一种零件的车床，一天中生产的次品数的概率分布分别是如果两台车床的产量相同，问哪台车床好？ 答案是：乙好．4．设随机变量X 的分布密度函数为 求E (X )． 解 由定义，有5．10个随机地进入15个房间，每个房间容纳的人数不限，设X 表示有人的房间，求()E X （设每个人进入每个房间是等可能的，且每人进入房间是相互独立的）．解 设随机变量i X1, ,0, .i i X i ⎧=⎨⎩在第层有人下梯在第层无人下梯（i =1，2， (15)则151i i X X ==∑，且i X 服从同一分布，因每人进入某个房间的概率均为115． 则 1010114(0)(1)()1515i P X ==-= 于是 1014(1)1()15i P X ==-故有而1014()1()15i E X =-，（i =1，2，…，15），因此6．假设市场上每年对某种出口商品的需求量X （单位：吨），它服从[2000，4000]上的均匀分布．每年售出这种商品一吨，可为挣得3万元，但假设销售不出去，囤积于仓库，每吨浪费保管费1万元，问应组织多少吨货源，才是收入最大？解 设预备某年销售商品量为s 吨（显然有2000≤s ≤4000），用Y 表示这年的收益（万元），则利用求函数的数学期望公式，可得组织s 吨货源时，所获得的期望收益为两边对s 求导，得1()(27000)1000E Y s '=-+，令()0E Y '=，得s =3500． 即组织3500吨货源时收益最大．7．一辆送客汽车，载有m 位乘客从起点站开出，沿途有n 个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车．设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数．分析 由于所求的是汽车平均停车的次数，因此，我们从每一个车站有没有人下车来考虑，而不要着眼于每一个乘客在哪一站下车．这里，设于是，我们有因此，随机变量1~(1,1())mi n X B n--，其均值 又设停车次数为S ，于是有 其均值可见，汽车平均停车次数为1(1())mn n n--⋅ 8．地铁到达一站时间为每个整点的第5分钟、25分钟、55分钟，设一乘客在早8点～9点之间随时到达，求侯车时间的数学期望．分析已知X在[0，60]上服从均匀分布，其密度为设Y是乘客等候地铁的时间(单位：分)，则因此9．有3个小球和2个杯子，将小球随机地放入杯中，设X为有小球的杯子数，求X的分布函数及数学期望E(X)．解设A＝{甲杯有球个数}，B＝{乙杯有球的个数}．当X＝1或2(见表4－1)时，由加法公式有因此0,0,1(),12,41,2,xF x xx<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩表4－110．设二维随机向量(X，Y)的联合分布密度函数求E(XY)．分析因为p(x，y)＝p1(x)·p2(y)，其中所以，X与Y相互独立．由于因此11.已知随机变量X的分布函数求E (X )，D (X )．答案是：由于104()40x f x ⎧<≤⎪=⎨⎪⎩当其他，即X 服从（0，4]上的均匀分布，所以12.设随机变量X ～N (0，4)，Y ～U (0，4)，且X ，Y 相互独立，求E (XY )，D (X ＋Y )及D (2X －3Y )．答案是：E (XY )＝0，1()5,3D X Y +=D (2X －3Y )＝28．13．设X 与Y 为相互独立的随机变量，已知X 在[2，4]上服从均匀分布，Y 服从参数为2的指数分布，求E (XY )，()D X Y +．解 由于24()32E X +==，1()2E Y =，2(42)1()123D X -== 14．设随机变量X 的密度函数为已知E (X )=0.5，D (X )=0.15．求a ，b ，c 的值 解 由密度函数的性质即 11132a b c ++= （1） 而120111()()432E X x ax bx c dx a b =++=++⎰， 所以1110.5432a b ++= （2）由22()()[()]D X E X E X =-，得22()()[()]E X D X E X =+ 而12220111()()543E X x ax bx c dx a b =++=++⎰，所以1110.150.250.4543a b ++=+= （3） 由（1）（2）（3）所组成的方程组，得15．设二维离散型随机变量（X ，Y ）的联合分布如下.i（1）判断X 与Y 是否独立？ （2）计算X 与Y 的协方差； （3）计算()D X Y +．解 （1）计算出X 与Y 的边缘分布填入上表．从{0,1}0.1P X Y ==-=，而{0}{1}0.12P X P Y =+=-=可知X 与Y 不相互独立． （2）因为()0.7E X =，()0E Y = 因此（3）()D X Y +2()()2(,)0.70.70.80D X D Y Cov X Y =++=-++ 1.01= 16．设随机变量（X ，Y ）的密度函数为 求()E X ，()E Y ，(,)Cov X Y ，XY ρ，()D X Y +． 解 当02x ≤≤，时2011()()(1)84X f x x y dy x =+=+⎰， 当02y ≤≤，时1()(1)4Y f x y =+ 而2()E X 220114(1)43x x dx =+=⎰所以2225711()()[()]3636D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，同理11()36D Y = 故111111113636XY ρ-===-17．设随机变量X 的密度函数为求随机变量X 的1至3阶原点矩和中心矩．解()E X 201423x xdx ==⎰， 22201()22E X x xdx ==⎰，233018()25E X x xdx ==⎰，习题51．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重50 kg ，标准差为5 kg ．若用最大载重量为5 t 的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977．解 设X i (i ＝1，2，…，n )是装运的第i 箱的重量(单位：kg)，n 是所求箱数．由条件可以把X 1，X 2，…，X n 视为独立同分布随机变量，而n 箱的总重量T n ＝X 1＋X 2＋…＋X n是独立同分布随机变量之和．由条件知n T D n T E X D X E n n i i 5)(,50)(;5)(,50)(====(单位：kg)． 根据列维－林德伯格中心极限定理，T n 近似服从正态分布N (50n ，25n )． 箱数n 决定于条件 由此可见从而n ＜98.0199，即最多可以装98箱．2.设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率．解 用X 表示10000个婴儿中男孩的个数，则X ～B (n ，p )，其中n ＝10000，p ＝0.515．要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求 由棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理，有 令 于是有3.设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9，以95％概率估计，在一次行动中：(1)至少有多少人能够进入? (2)至多有多少人能够进入?解 用X i 表示第i 人能够按时进入掩蔽体(i ＝1，2，…，1000)，令S n ＝X 1＋X 2＋…＋X 1000．(1)设至少有m 人能进入掩蔽体，要求P (m ≤S n ≤1000)≥0.95．事件 令,90900Y S n =-显然).1,0(~N Y 令,90900a m =-根据中心极限定理，有查正态分布数值表，得a ＝－1.65，即.65.190900-=-m 故m ＝900－15.65＝884.35≈884人．(2)设至多有M 人能进入掩蔽体，要求P (0≤S n ≤M )≥0.95．P (S n ≤M )＝P (Y ≤b )＝0.95，b ＝1.65，即,65.190900=-M M ＝900＋15.65＝915.65≈916人．习题61.设x 1，x 2，…，x 25相互独立且都服从N (3，102)分布，求270.57,60(S x P <<<＜151.73)．解 因22221024~(3,),~(24),2510S X N χ且x 与S 2独立，所以P {0＜x ＜6，57.70＜S 2＜151.73}＝P {0＜x ＜6}·P {57.70＜S 2＜151.73}，而＝2×0.9332－1＝0.8664， ＝0.95－0.05＝0.90，于是 P {0＜x ＜6，57.7＜S 2＜151.73}＝0.8664×0.90≈0.78．2．在整体N (5，22)中抽取一容量为25的样本，求样本均值X 落在4．2到5．8之间的概率，样本方差2S 大于6．07的概率．解 因为2~(5,2)X N ，则22~(5,)25X N ，5~(0,1)2/5X N -， 因此，所求概率为2(2)1=Φ-=0．908又知 222(251)~(24),2S χ- 故最后一步查2χ表或在EXCEL 中键入“= CHIDIST （36.42，24）”求的． 3．设总体~(0,1)X N ，1X ，2X ，…，n X 为简单样本，试问：下列各统计量服从什么分布？（1（2121nX X++；（3）3212413ii nii X n X==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑．解 （1）因为~(0,1)i X N ，i =1，2，…，n ，所以 （2）因为~(0,1)i X N ，222~(1)ni i X n χ=-∑，所以（3）因为3221~(3)ii X χ=∑，224~(3)ni i X n χ=-∑，所以3212413ii nii X n X==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑321243~(3,3)3ii nii XF n Xn ===--∑∑．4．设总体2~(0,2)X N ，1X ，2X ，3X ，4X 是来自X 的一个样本，若统计量221234(2)(34)Y a X X b X X =-+-服从2χ分布，试确定a ，b 的值．解 因为2~(0,2)i X N，i =1，2，3，4，所以 于是~(0,1)N ，3434~(0,1)10X X N -所以2223434~(2)10X X χ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 因此120a =，1100b =． 5．设X 与Y 都服从标准正态分布，1X ，2X ，…，8X 与1Y ，2y ，…，9Y 分别为是来自总体X与Y 的两个相互独立的简单随机样本，其样本均值为X ，Y ，记试证明随机变量T =服从自由度为15的t 分布． 证明 因为~(0,1)X N ，~(0,1)Y N ，所以1~(0,)9Y N ，3~(0,1)Y N ，而且且相互独立，所以892211()()i i i i Q X X Y Y ===---∑∑2~(15)χ又因为Y 与821()i i X X =-∑相互独立．Y 与921()i i Y Y =-∑相互独立，所以Y 与Q相互独立，所以T=~(15)T t = 6．设总体2~(,)X N μσ，1X ，2X ，…，16X 是来自X 的一个样本，求概率（1）2162211{()2}216i i P X σμσ=≤-≤∑；（2）2162211{()2}216i i P X X σσ=≤-≤∑．解 （1）2162211{()2}216i i P X σμσ=≤-≤∑16212(){832}ii XP μσ=-=≤≤∑=0．95-0．01=0．94（2）2162211{()2}216i i P X X σσ=≤-≤∑16212(){832}ii XX P σ=-=≤≤∑=0.90-0..5=0.8957．设总体2~(,)X N μσ，1X ，2X ，…，16X 是来自X 的一个样本，但μ，σ未知，求22{ 2.041}S P σ≤．解 因为2~(,)X N μσ，由定理6.2知222(1)~(1)S n n χσ--所以 22{ 2.041}S P σ≤22{(161)(161) 2.041}S P σ=-≤-⨯21{(15)31.115}P χ=->=0．99（在EXCEL 中键入“=1-CHIDIST （31.115，15）”求的）8．设两个总体X 与Y 都服从正态分布2(30,3)N ．今从总体X 与Y 中分布抽出容量为20n =，25m =的两个相互独立的样本，求概率{0.4}P X Y ->．解 又题意知， 于是习题71．设总体X 的一个样本如下：1.70，1.75，1.70，1.65，1.75 求该样本的数学期望()E X 和方差()D X 的矩估计值．[解] 由矩估计有：22ˆˆ(),()iiXE X X E X n==∑，又因为22()()[()]D X E X E X =-，所以 1.7 1.75 1.7 1.65 1.75ˆ() 1.715EX X ++++===且211ˆ()()0.00138nii D X X X n ==-=∑. 2．设2~(,)X N μσ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，求μ的矩估计值．.3．设X 的分布律为已知一个样本值123(,,)(1,2,1)x x x =，求参数的θ的矩估计值和极大似然估计值.[解] （1）矩估计因为22()122(1)3(1)E X θθθθ=⨯+⨯-+⨯-=32θ-，所以1234ˆ3233x x x X θ++-===，即θ的矩估计量5ˆ6θ=. （2）最大似然估计因为2256123(1,2,1)2(1)22p x x x θθθθθθ====-=-， 对其求导：455101206p θθθθ∂=-=⇒=∂ 4．设总体X 的概率分布列为：其中p (01/2p <<) 是未知参数. 利用总体X 的如下样本值：1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3 求p 的矩估计值和极大似然估计值.[解] （1） p 的矩估计值8116/82i i X X ====∑，令()34E X p X =-=，得p 的矩估计为 ˆ(3)/41/4pX =-=. （2）似然函数为 令628[ln ()]0112L p p p p'=--=--， 2121430p p ⇒-+=(7/12p ⇒=±. 由 01/2p <<，故(7/12p =+舍去 所以p 的极大似然估计值为 ˆ(7/120.2828.p== 5．设总体X 的密度函数为：(1)01()0x x f x λλ⎧+<<=⎨⎩当其他，设1,,n X X 是X的样本，求λ的矩估计量和最大似然估计量.[解] （1）λ的矩估计为：样本的一阶原点矩为：11ni i X x n ==∑所以有：121ˆ21X X Xλλλ+-=⇒=+- （2）λ的最大似然估计为：得：11ln ˆln nii nii n X Xλ==+=-∑∑.6．已知随机变量X的密度函数为(1)(5)56()0x x f x θθ⎧+-<<⎪=⎨⎪⎩当其他(0)θ>，其中θ均为未知参数，求θ的矩估计量和极大似然估计量.[解] （1）651()(1)(5)52E X x x dx θθθθ+=+-=++⎰， 所以，θ的矩估计量为211ˆ6X Xθ-=-.（2）似然函数11()(;)(1)(5)nnni ii i L f x xθθθθ====+-∏∏, 故7．设总体X 的概率密度为36()0()0xx x f x θθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩当其它且12,,,nX X X 是来自总体X 的简单随机样本，求θ的矩法估计量和估计量ˆθ的方差.[解] （1）()EX xf x dx +∞-∞=⎰ 236()2x x dx θθθθ=-=⎰即ˆ22EX XX θθ==⇒= （2）4ˆ(2)4D D X DX DX nθ===，322203663()2010x EX x dx θθθθθ=-==⎰8．设12,,,n X X X 为总体2~(,)X N μσ的一个样本，求常数C ，使1211()n i i i C X X -+=-∑是2σ的无偏估计.[解] 122211[()]2(1)n i i i E C X X C n σσ-+==-=-∑，所以12(1)C n =-；.9．设总体2~(,)X N μσ，12,,,n X X X 为总体X 的一个样本，则常数k , 使1ni i k X X =-∑为 的无偏估计量.[解]注意到12,,,n X X X 的相互独立性， 所以，21~(0,)i n X X N nσ--， 因为：11||||nni i i i E k X Xk E X X ==⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑212n nσσπ-== 所以，2(1)k n n π=-10．已知灯泡寿命的标准差σ=50小时，抽取25个灯泡检验，得平均寿命X =500小时，试以95%的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计（假设灯泡的寿命服从正态分布）解22,X X nn αα⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0.050.052500,5002525⎡⎤=⎢⎥⎣⎦500 1.96,500 1.962525⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=[480.4，519．6]11．测得海岛棉与路地棉杂交后的单铃籽棉重X （单位：克）．若X ~(,0.09)N μ，从中抽取一个容量为15的样本，其样本均值X =2.88，试求总体均值μ的双侧95%的置信区间．解 0.05α=，双侧置信区间为2,X X nn αα⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．调查13岁至14岁儿童身高（单位：米），若从中抽取一个容量为25的样本，样本均值X =1.75，样本方差S =0.077，试求总体均值μ及方差2σ的双侧95%的置信区间．解 总体均值μ的双侧95%的置信区间 总体均值方差2σ的双侧95%的置信区间为：13．某地区每年平均气温X （单位：度）近似地看作正态分布，近5年平均气温观测值为24.3，20.8，23.7，19.3，17.4，试求总体均值μ及方差2σ的双侧95%的置信区间．解 求的样本均值X =21.1，样本标准差S =2.916，于是总体均值μ的双侧95%的置信区间总体均值方差2σ的双侧95%的置信区间为：14．为研究某种轮胎的磨损特性，随机地选择16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止．记录所行驶的路程（单位：公里）如下：41 250 40 187 43 175 41 010 39 265 41 872 42 654 41 287 38 970 40 200 42 550 41 095 40 680 43 500 39 775 40 400 假设这些数据来自正态总体2(,)N μσ．其中μ，2σ未知，试求μ的置信水平为95%的置信下限．解 计算41116.88X =，21813985S =，则μ的置信水平为95%的置信下限：41116.88 2.1314==4039915．某品种玉米做两组微施肥量对比试验，相互独立地抽取样本测量穗重得到观测值（单位：克）210，235，239，241，241，244，246和203，338，358，271．（1）若总体方差相同，试求总体均值差12μμ-的95%双侧置信区间；（2）若总体方差不同，试求总体方差之比2212/σσ的95%置信区间．解 计算得：X =237.5， 1S =15.241，Y =292.5， 2S =70.315．（1）S ===44.714 总体均值差12μμ-的双侧置信区间/2(2)X Yt m n α⎡-+-⎣0.05/2237.5292.5(642)t ⎡=-+-⨯⎣237.5292.5 2.306⎡=-⨯⎣=[-121.557，11.557] （2）总体方差之比2212/σσ的95%置信区间22220.05/210.05/2115.241115.241,(61,41)70.315(61,41)70.315F F -⎛⎫=⋅⋅ ⎪----⎝⎭2222115.241115.241,7.7670.3150.06770.315⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=(0.006，0.701) 16．某研究者想了解喝啤酒对注意力的影响，他随机分派各50人至实验组和控制组中．实验组喝一瓶啤酒，控制组则喝一瓶开水．然后测试他们的注意力，总分为0至100分，分数越高表示注意力越好．如果依照过去的经验，喝啤酒或喝开水的人的注意力的方差都是25．现得到实验组的平均数为55，控制组为58．求实验室与控制组的平均数之差的95%置信区间．解 由于总体接近无限大，可以认为总体服从正态分布，于是实验室与控制组的平均数之差的95%置信区间为：[()X Y -±[(5558)=-±=[-4.96，-1.04] 由此可以看出实验组的总体平均数应该是低于控制组的平均数，即喝一瓶啤酒会使人注意力降低．17．为了比较甲，乙两种型号的步枪子弹的枪口速度，随机抽取甲型子弹10发，得到枪口速度的平均数为500（m/s)，标准差1.10（m/s)，随机抽取乙型子弹20发，得到枪口速度的平均数为496（m/s)，标准差1.20（m/s)．假设两总体都近似服从正态分布，且生产过程看认为方差相同，求总体均值差的95%的置信区间．。