同济大学高等数学考试试题pdf

同济大学2009-2010学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=)1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为122146x y z --+==-.2. 函数2ln(2)z x y =+在点(1,2)处沿方向(1,2)l =-的方向导数为25.3. 设(,,)f x y z 为连续函数,则三次积分2222120(,,)x y x y dx f x y z dz --+⎰⎰的柱面坐标积分形式为221220(cos ,sin ,)d d f z dzπρρθρρρθρθ-⎰⎰⎰.4. 设函数()f x 具有一阶连续函数,且(0)1f =,若曲线积分222()(())Lxy y dx yf x y dy +++⎰在整个平面上与路径无关, 则2()21f x x x =++.5. 曲面积分(4)32xz dS π∑+=⎰⎰, 其中222:4,0x y z z ∑++=≥6. 设函数222ln()u x y z =++, 则(1,1,1)2div(gradu)3=.7. 若幂级数0nn n a x ∞=∑在点2x =处收敛, 在点2x =-处发散, 则幂级数1(1)n nn a x n∞=-∑的收敛 区间为(1,3)-8. 设()f x 是以2π为周期的周期函数,它在(,]ππ-上的表达式为2,0()210x x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则()f x 的傅里叶级数在点5x π=处收敛到12π-二. 解答题(68')9. (8')证明函数326,(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,0)处不连续.[30,01lim (,)0,lim (,)2x y x y f x y f x y =→=→==] 10. (10')计算二重积分sin Dydxdy y ⎰⎰, 其中D 是由直线y x =与y =. [210sin 1sin1y y yI dy dx y ==-⎰⎰] 11. (10')计算三重积分(42)x y z dV Ω++-⎰⎰⎰, 其中Ω是由平面1x y z ++=与三坐标平面所围成的闭区域.[120555(1)224I zdV z z dz Ω==-=⎰⎰⎰⎰] 12. (10')计算曲线积分22Lxdy ydxx y -+⎰, 其中L 为椭圆22142x y +=(按顺时针方向绕行). [222222222221122()x y x y Q P y x xdy ydx I dxdy x y x y x y π+=+≤∂∂--==⇒===∂∂++⎰⎰⎰] 13. (10')计算曲面积分222()()x y z dydz x y z dxdy ∑++++⎰⎰, 其中 ∑ 为曲面: 22(04)z x y z =+≤≤, 取上侧. [22224(4)4(4)(3)64,728z x y z x y I x z dV I πππΩ=+≤=+≤+=-+=-=-⇒=⎰⎰⎰⎰⎰⎰下侧下侧]14. (10')将函数21()32f x x x =++展开成(1)x -的幂级数, 并指出展开式成立的范围.[1101111()(1)()(1)(13)1224n n n n n f x x x x x ∞++==-=----<<++∑] 15. (8')求幂级数201(2)!!n n n x n ∞=+∑的收敛域及和函数, 并由此求级数201!n n n ∞=+∑的和. [22101111(,),()()()(24),(2)3(1)!2!24xn n n n n x x S x x x e S e n n ∞∞==-+Ω=-∞+∞=+=++=-∑∑]同济大学2010-2011学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=) 1. 直线11211x y z -+==--与平面220x y z ++-=的夹角为6π.2. 向量函数222(,,)F x y y z z x =在点(1,2,1)-处的散度为2-.3. 质点在变力(,,)F yz xz z =-的作用下, 沿螺旋线:2cos ,2sin ,x t y t z t Γ===, 从点(2,0,0)M 运动到点(2,0,)N π-, 则变力F 所作的功为252π.4.闭区域22{}D x y =+≤, 则积分2275()2Dx y d σπ+=⎰⎰.5. 若级数0(1)n n n a x ∞=+∑在点32x =处条件收敛, 则该级数的收敛半径52.6. 函数2sin x 的麦克劳林展开式为12121(1)2(2)!n n nn x n --∞=-∑.7. 若1()sin nn S x bnx ∞==∑是函数()((0,))f x x x ππ=-∈的正弦展开式, 则()22S ππ-=-8. 设Ω是由22z x y =+与平面1Z =所围的有界闭区域,1Ω是Ω位于0,0x y ≥≥的部分, 则下列等式中正确的是C1:4A xdV xdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; 1:4B ydV ydV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;1:4C zdV zdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; 1:4D xydV xydV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.二. 解答题(68')9. (8')求曲线222222102x y z x y z ⎧++=⎨-+=-⎩在点(1,2,1)处的切线与法平面方程. [121,812208112x y z x y z ---==+-+=-] 10. (10')计算曲面积分2(2)x y dS ∑+-⎰⎰, 其中∑是球面2224x y z ++=被曲面.z =截下的较小部分的曲面.[2222222((1603x y I x y d ππθρ+≤=++==-⎰⎰⎰] 11. (10')将函数22()ln(1)xt f x x x e dt -=++⎰展开成x 的幂级数,并指出展开式成立的范围.[21111()(1)(),[1,1]!(21)n n n f x x x x n n n∞+==+--∈-+∑]12. (10')计算曲面积分2xzdydz ydzdx yzdxdy ∑++⎰⎰, 其中∑为曲面2221(0,0)x y z x z ++=≥≥取前侧.[2222219()(24xyD y I x yz dxdy x dxdy z π∑=++==⎰⎰⎰⎰]13. (10')计算三重积分(42)x y z dV Ω++⎰⎰⎰, 其中 Ω 是由曲面2221x y z +-=与平面 1,2z z ==所围成的有限闭区域. [222211214x y z I zdzdxdy π+≤+==⎰⎰⎰] 14. (10')()f x 是周期为4π的偶函数, 在[0,2]π上()2f x x π=-. 求该函数的傅里叶展开式, 并由此求级数的和211n n ∞=∑. [222118211()cos ,(,)(21)26n k f x x x k nπππ∞∞=-=+∈-∞+∞⇒=-∑∑] 15. (10')设()f x 为区间[,]a b 上的连续函数,且()0f x >,证明21()()()bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰[2()1()()()()()2()()b bb b b b aaa a a a f x f x f y dxdy dxdy dxdyb a f y f y f x ==+≥=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰]同济大学2011-2012学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限22(,)(1,1)sin()lim 2x y x y x y→--=+.2. 若函数 (,)f x y 具有连续的偏导数, 且 (1,2)2,(1,2)1x y f f ==-, 则极限21(,1)(1,2)l i m31t f t t f t →+-=-.3. 由32210z x xyz ee --+-=所确定的函数(,)z z x y =在(1,1,1)点的偏导数(1,1,1)11z x e∂=∂- 4. xoy 平面上曲线L 的方程为(,)0F x y =, 若将该曲线关于直线0y x +=对称得到曲线 'L , 则'L 的方程为(,)0F y x --=.5. 函数(,)f x y 在某点沿任意方向的方向导数存在是函数在该点可微分的什么条件? [ B ] :A 充分条件; :B 必要条件; :C 充分必要条件; :D 无关条件.6. 若常数项级数1nn u∞=∑收敛, 则下列各项判断中正确的判断是: [ D ]21:nn A u∞=∑一定收敛; 1:nn u B n ∞=∑一定收敛; 1:n n C nu ∞=∑一定发散; :D 对于常数p , 如果1n n u ∞=∑收敛就可判断1np n u n∞=∑收敛, 必有1p >. 7. Ω是球体2222x y z R ++≤, 1Ω是球体Ω位于第一卦限内的部分(0,0.0)x y z ≥≥≥, 则积分23()x y z dv Ω++⎰⎰⎰等于 [ B ] 123:8()A x yz dv Ω++⎰⎰⎰; 12:8B y dv Ω⎰⎰⎰; 12:8()C x y dv Ω+⎰⎰⎰; 12:24D y dv Ω⎰⎰⎰.8. ∑是空间光滑的有向曲面片, Γ是与∑正向联系∑的有向边界曲线, 则由斯托克斯公式22(2)()()xz y dx xy z dy z x dz Γ+++++⎰等于 [ D ] :2A zdydz xdzdx dxdy ∑++⎰⎰; 22:(2)()()B xz y dydz xy z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰; :(21)C z x d S ∑++⎰⎰; :2(1)D zdydz y dxdy ∑-+-⎰⎰.二. 解答题(6'212⨯=)1. 求曲线 23322030x yz x y z ⎧--=⎨+--=⎩ 在(1,1,1)-点的切线方程. [111571x y z --+==-] 2. 计算Dxydxdy ⎰⎰, 其中D是由y =y =所围成的有界闭区域. [196I =] 三(8')求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值, 并说明是极大还是极小值.[min 11(0,)f ee=-] 四(8')已知()f x 是[0,]π上的连续函数, 若将()f x 分别展开成周期为2π的傅里叶余弦和正弦级数, 它们分别为余弦级数01cos 2n n a a nx ∞=+∑; 正弦级数1sin n n b nx ∞=∑. 试写出系数 n a 与n b 的计算公式, 并求函数()0(),10f x x F x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩周期为2π的傅里叶级数.[略] 五(10')3=上的点(,,)(0)x y z xyz ≠, 使得该点处的切平面与三个坐标平面所围四面体的体积最大. [体积V =max 111(1,,)498V ⇒=] 六(10')如果曲线积分22(1)(2())Lx y y dx xy x dy ϕ+++-⎰与路径无关, 其中()x ϕ是可导函数, 并且满足(0)1ϕ=, 求函数()x ϕ, 并计算积分22'(1)(2())L x y y dx xy x dy ϕ+++-⎰,其中'L 是沿曲线2x y xe =从(0,0)到(1,)e 的弧段.[31()13x x ϕ=-+2'213L e e ⇒=+-⎰]七(10')∑是由曲面1z =223()1z x y =+-所围立体的边界曲面, 它的法向指向曲面的外侧, 计算曲面积分32221()(2)()3x yz dydz xy y z dzdx x y z dxdy ∑+++++⎰⎰. [22112220312(22)5I x x yz y dv d d dz πρρθρρρπ+-Ω=+++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰]八(10')求幂级数3111()(1)3nn n x n ∞=+-∑的收敛域及其和函数. [333(1)[0,2);()ln[1(1)]3(1)x S x x x -Ω==----- 九(8')判别常数项级数111121n na∞+++=∑的收敛性(0)a >, 并对自己的判断给出证明.[111ln ln 1ln ln 2111ln 11ln 1:2a nn a nn n a n a a a n a e na++++<+++<+⇒>=<<=⇒>收敛]同济大学2012-2013学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'8⨯)1. 经过三点(1,1,3),(2,1,4),(3,0,1)A B C -的平面方程为543180x y z -+-=;点(2,0,1)到该平面的距离为2.2. yoz 平面上的直线2z y =-+绕着z在二次曲面中, 该曲面的类型是 圆锥面 .3. Ω是上半球体 22210x y z z ⎧++≤⎨≥⎩, ∑ 是 Ω 的边界曲面外侧, 1∑ 是上半球面2221,0x y z z ++=≥ 的上侧, 则利用高斯公式计算可得24()(2)(1)3x y d y d z y z d z d x x z d x d yπ∑-+++-+=⎰⎰;积分127()(2)(1)3x y dydz y z dzdx x z dxdy π∑-+++-+=⎰⎰.4. (1,2,2),(4,5,2)A B --是空间两点, L 是以,A B 为两端点的直线段, AB L 是以A 为起点 B 为终点的有向直线段,则1;14ABLL ds dz ==⎰⎰.5. D 是由曲线22y x =与3y x =-所围的有界闭区域, 则积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰等于 [ A ]()A 213322(,)xx dx f x y dy --⎰⎰; ()B 212332(,)x xdx f x y dy --⎰⎰;()C 9223(,)ydy f x y dx -⎰; ()D 9322(,)y dy f x y dx -⎰.6. 积分222211()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰, 222222,0()x y y I x y dxdy +≤≥=+⎰⎰, 224431()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰,223341()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰, 则有 [ D ]1234()A I I I I >>>; 1243()B I I I I >>>; 4321()C I I I I >>>; 2134()D I I I I >>>.7. xoy 平面上密度为(,)x y μ的薄片D 对z 轴上位于(0,0,2)-点单位质点的引力为 (,,)x y z F F F F =, G 是引力常数, 则 [ B ] 32222(,)()()z DG x y A F dxdy x y z μ=++⎰⎰; 32222(,)()(4)z DG x y B F dxdy x y μ=++⎰⎰;32222(2(,)()[(2)]z D G z x y C F dxdy x y z μ⋅-=++-⎰⎰; 32222(,)()(4)z DG x y D F dxdy x y μ-=++⎰⎰. 8. ∑是抛物面222,0z x y z =--≥的上侧, 则由两类曲面积分的联系,(,,)(,,)(,,)P x y z d y d z Q x y z d z d x R x y z d x d y ∑++⎰⎰等于 [ C ]()(22)A P x Q y R d S ∑⋅+⋅+⎰⎰;()B ∑;()C ∑;()D ∑.二. (4'3⨯)1. 试求曲线21ln(1),t x t y t z e-==+=在参数1t =所对应点的切线与法平面方程.[1ln 21,426ln 20412x y z x y z ---==++--=] 2. 试求由方程3222xz z xy +-=所确定的函数(,)z z x y =在(1,1,1)点的全微分(1,1,1)dz . [(1,1,1)1255dz dx dy =-+] 3. 占有上半圆224,0x y y +≤≥的薄片面密度为2(,)()1x y x y μ=++, 试计算该薄片的质量. [2[()1]6DM x y dxdy π=++=⎰⎰]4. 将函数21()6x f x x x -=--展开成1x +形式的幂级数.[0311131()[(1)](1),11151110510414n n nn f x x x x x ∞==⋅-⋅=--++<+++⋅-∑] 5. 将函数0,02()22x f x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩展开成周期为2π的余弦级数.[141sin cos 2n n nx n ππ∞=-+∑]三. (8')求幂级数202(1)(1)n nn n x ∞=+-∑的收敛区间与和函数.[2211()2[12(1)]x s x x -<=--] 四. (10')Ω是由曲面z =以及2z =所围成的立体, 其体密度为22x y μ=+.(1)计算Ω关于z 轴的转动惯量;(2)试写出Ω关于平行于z 轴的直线0;1x x y ==转动惯量的计算公式(无需计算) [22222220128();()[()(1)]21z l I x y dv I x y x x y dv πΩΩ=+==+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰] 五. (10')任意取定球面22228x y z ++=上一点并且任意给定一个方向, 都可以求出函数 2(23)u x y z =++在给定点沿给定方向的方向导数, 试求出所有这些方向导数中的最大 与最小值.[222223,(23)(28)gradu y z L x y z x y z λ=++=+++++-max min (P gradu gradu ⇒=±±==-六. (10')已知222222ax by x ydx dy x y x y +++++是某个二元函数的全微分. (1)试求出常数,a b ;(2)计算积分222222Lax by x y dx dy x y x y+++++⎰, 其中L 是逆时针方向的曲线221x y +=.[2221(1)2,1;(2)(2)()Lx y a b x y dx x y dy +===-=-++=⎰⎰]七. (8'){}n u 是斐波那契数列: 1,1,2,3,5,8,13,21,, 即12111,1,n n n u u u u u +-===+,2,3,n =, 试分析级数11n nu α∞=∑的收敛性, 其中α是实常数. [11113312,2(),()2223n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u -++><⇒>+=>< 0α⇒≤时,级数显然发散;0α>时,级数收敛]同济大学2013-2014学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 以空间三点(2,3,1),(1,2,3),(0,1,2)A B C ----为顶点的三角形面积2A =.2. 两平面20x y z --=与223x y z ++=的夹角余弦cos 6θ=.3. 曲面2:ln(21)z x y ∑=-+在(2,2,0)的法线方程为22421x y z--==--.4. D 是以(1,1),(1,1)-以及(1,1)--为顶点的三角形闭区域, 则积分3(2)4Dxy dxdy -=-⎰⎰5. 函数(,)f x y 具有连续的偏导数, 已知//(,)0,(,)0x y f x y f x y <>, 如果(1,1)a f =,(1,1)b f =- (1,1)c f =--,(1,1)d f =-四个数中最大的数是M , 最小的数是m , 则有 【D 】 (),A M a m d ==; (),B M c m a ==; (),C M d m b ==; (),D M b m d ==.6. 将110(,)xdx f x y dy ⎰⎰化成极坐标的二次积分式时, 下列正确的是 【C 】2c o s2()(cos ,sin )A d f d πθθρθρθρρ⎰⎰c o s20()(cos ,sin )B d f d πθθρθρθρρ⎰⎰;2s i n204()(c o s ,s i n )C d f d πθπθρθρθρρ⎰⎰; sin 204()(cos ,sin )D d f d πθπθρθρθρρ⎰⎰.7. Ω是由圆锥面z =与半球面z =所围的空间立体, 则将积分22(,)I f xy z dxdydz Ω=+⎰⎰⎰化成柱面坐标计算时, 下面正确的三次积分式是 【C 】22200()(,)A d d f z dz πρθρρρ⎰⎰; 2220()(,)B d d f z dz πρθρρρ⎰⎰;22()(,)C d f z dz πρθρρρ⎰; 220()(,)D d f z dz πρθρρρ⎰.8. 已知0(1,2,3,)n u n ≤=, 则1n n u ∞=∑发散的充分必要条件是 【A 】1()l i m nk n k A u →∞==-∞∑; ()lim n n B u →∞=-∞; ()C {}n u 是无界数列; 1()limnkn k D u→∞==+∞∑.二. 计算下列各题(6'530'⨯=)1. 在经过点(1,0,2)-的平面与球面222(1)(1)12x y z +-++=相交的所有圆弧中, 求出圆 弧长度的最小值. [6π] 2. 求函数2ln (1)yz x =+的全微分(1,)e dz . [122ln 2dx e dy -+]3. 计算22()Dx y x dxdy +-⎰⎰, 其中D 是由224,x y y x +≤≥确定的扇形区域. [2π] 4. L 为平面内光滑的简单闭曲线, 并取正向, 求曲线积分2323(s i n )()y Ly y x d x e x d y -++-⎰的最大值. [2222331(133)6x y I x y dxdy π+≤≤--=⎰⎰]5. 判断级数111(cos )nn e n ∞=-∑的收敛性, 并给出判断理由. [1n u n发散] 三. (10')求由方程221z xz x y e --+=所确定函数(,)z z x y =的偏导数(1,1,1)(1,1,1),z zx y ∂∂∂∂以及 二阶偏导22(1,1,1)zy∂∂. [22(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)111,,39z z zx y y ∂∂∂===-∂∂∂]四. (10')Γ是曲面2z xy =与柱面1x y +=的交线, 从z 轴正向看向z 轴的负向, 曲线Γ 是顺时针方向的, 计算曲线积分23(2)(3)(23)x yz dx xy x z dy x y dz Γ-++++++⎰.[22(33)31xyD I xy dxdy x dxdy ∑=+=-=-⎰⎰⎰⎰]五. (10')求幂级数021n nn x n ∞=+∑的收敛域, 以及该幂级数在收敛域内的和函数. [111()ln(12),[,0)(0);(0)1222S x x x S x =--∈-=] 六. (8')计算222(2)(2)zxy dydz x e dzdx x z y dxdy ∑++++⎰⎰, 其中∑是曲面z =位于02z ≤≤的部分, 曲面法向与z 轴正向的夹角为钝角. [645π-] 七. (8')()[0,]f x C π∈, 已知()f x dx ππ=⎰, 求常数12,,,n c c c , 使得积分21[()c o s ]nk k f x c k x d x π=-∑⎰取得最小值, 并说明1lim cos ()nk n k c kx F x →∞==∑在[,]ππ-上的函数表达式. [0()102()cos ,(),()10k f x x c f x kxdx F x f x x ππππ-≤≤⎧==⎨---≤<⎩⎰]同济大学2014-2015学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 已知三向量:(2,1,1),(1,3,1),(1,,2)a b c y =-==-共面, 则常数2y =.2. 设(,)sin(23)f x y x y =+, 则极限0(2,)(,)lim 4cos(23)x f x x y f x y x y x∆→-∆-=-+∆.3. 已知可微函数(,)f x y 的偏导数(1,1)(1,1)1,2f fx y --∂∂==∂∂, 则函数(,)g x y =2(32,3)f x y x y --+在(,)(1,2)x y =点对变量y 的偏导数(1,2)6gy∂=∂.4. 已知连续函数22(,)(,)Lf x y x y f x y ds =+-⎰, 其中L 是上半圆周222,0x y r y +=≥,则322(,)1r f x y x y rππ=+-+.5. 设D 是由22222,4x y x x y +≥+≤所确定的平面闭域, L 是D 的正向边界, 则积分222(2)(2)6x Ly e xy dx x xy x dy π++++=⎰.6. 设D 是平面闭域: 22,x y y y x +≤≥. 则将二重积分22()DI f x y dxdy =+⎰⎰化为极坐标下的二次积分时, I 等于 【A 】s i n2204()2()A d f d πθπθρρρ⎰⎰; 32sin 244()()B d f d πθπθρρ⎰⎰;12()()C d f d πθρρρ⎰⎰; 3sin 244()2()D d f d πθπθρρρ⎰⎰.7. 已知常数项级数1nn u∞=∑收敛, 则下列收敛的级数是 【C 】21()nn A u ∞=∑; 11()n n n B u u ∞+=∑; 11()2n n n u u C ∞+=+∑; 1()(1)nn n D u ∞=-∑.8. 设1nn n a x∞=∑的收敛半径为0,1R ≠, 则231()nn n n a xx ∞=+∑的收敛半径为 【D 】(A(B ; ()C ;()D .二. 计算下列各题(6'424'⨯=)1. 求曲面2arctan 1xz y -=在(1,0,1)点的切平面与法线方程. [(1,1,2)n =-]2. 22(,)(1)yf x y x =+,当ρ=充分小时, 求(1,1)f x y +∆+∆的一阶近似值 a b x c y +∆+∆, 即(1,1)()f x y a b x c y +∆+∆-+∆+∆是ρ的高阶无穷小()o ρ. [488ln 2x y +∆+∆] 3. 计算曲面:12z xy ∑=-位于222,0x y y +≤≥部分的面积. [136π] 4. 设()f x 是(,)-∞+∞上的连续函数, 记002()a f x dx ππ=⎰, 02()cos n a f x nxdx ππ=⎰,2()s i n n b f x n x d xππ=⎰. 求出三角级数的和函数01()(cos sin )2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 在(,]ππ-上的表达式. [2()0(),,(0)(0),()()00f x x S x S f S f x ππππ<<⎧===⎨-<<⎩] 三. (8')在平行六面体ABCDEFGH 中, 已知(1,1,2),(2,1,1),(1,2,0),(3,0,2)A B C H ---- 求(1),,D E G 点的坐标; (2)该平行六面体的体积. [(2,0,3),(6,1,3),(4,2,5);10V ----=] 四. (10')已知曲线积分22()()Lx ay dx x y dyx y ++++⎰在不包含x 轴负半轴的区域内与路径无关. (1)求常数a ;(2)计算上述积分,其中是上半平面从(1,0)到(0,1)的光滑曲线段331x y +=. [1;2a I π=-=]五. (10')计算曲面积分222()()(1)xy yz dydz x y z dzdx yz dxdy ∑++-++⎰⎰, 其中有向曲面 22:(1)z x y z ∑=+≤的法向与z 轴的夹角是钝角. [56π-]六. (10')求幂级数30(1)21n n n n x n ∞=-⋅+∑的收敛域与和函数.[331()ln(12),2S x x x x =+<七. (14')(1)如果直线l 与直线'l 的夹角为(0)2πθθ<<, 相距为0a >. 判别直线'l 绕直线l 旋转所得曲面∑的类型并给出判别的理由; (2)若直线l 的方程为:132212x y z ++-==, 直线'l 的方程为213431x y z ---==-, 试求由直线'l 绕直线l 旋转所得曲面∑以及相距 为2且垂直于直线l 的两平面所围立体体积的最小值. [(1)单叶双曲面;(2)''3,cos ll ll d θ==取222104:925(11),3x y z z V π∑+=+-≤≤=]同济大学2015-2016学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=) 1. 设cosy xu xe =, 则(1,)2(1)2du dx dyππ=+-.2. 设曲面10xy yz zx ++-=在点(1,2,3)M --处的法向量为n , 其与z 轴正方向的夹角为 锐角, 则函数23ln()z xy y e ++在点(1,2,3)M --处沿n方向的方向导数为5.3. 交换二次积分的次序1221022112(,)(,)(,)yx dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy--+=⎰⎰⎰.4. 设空间立体Ω由平面0,1z z ==以及曲面22231x y z +-=所围成, 则三重积分3333()4x y z dv πΩ++=⎰⎰⎰.5.设曲线:(01)L y x ≤≤, 则曲线积分2()12Lx y ds π+=+⎰.6. 设在平面上, 曲线积分33()()4xx x xLa ee dy y e e dx π--+-+⎰与路径无关, 则常数 12a π=-.7.设无穷级数1(1)nn ∞=-∑, 则k 的最大取值范围是12a k =>.8. 设102()2,2x f x x x ππππ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩, 将()f x 展开为正弦级数1sin n n b nx ∞=∑, 若该级数的和函数为()s x , 则53()24s π-=-.二.(10')设(,)z z x y =是方程22222880x y z yz z +++-+=确定的隐函数, 且(0,2)1z -=, 求22(0,2)(0,2)z zx x --∂∂∂∂，. 【22(0,2)(0,2)415z zx x --∂∂=∂∂=0，】三.(10')在椭圆锥面1z =xoy 面所围成的空间闭区域中放置一个长方体, 它 的各个侧面均平行于坐标面, 求该长方体的最大体积.【222max 114,2(1),33327V xyz x y z x y z V =+=-⇒===⇒=】 四.(10')计算三重积分z Ω-⎰⎰⎰, 其中Ω是由0,1z z ==所围成的闭区域.【21211()()1243I d d z dz d d z dz πρπρπππθρρρθρρρ=-+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰】五.(10')求曲线积分222(1)(12)y y Ly e dx x y e dy +++⎰, 其中L 为从(0,0)O 沿曲线x =(1,1)A 的有向弧段. 【01(1)(1)014DI d e dy e πσ=--+-=+-⎰⎰⎰】六.(10')计算曲面积分2332()(2)()y x e dydz y yz dzdx z y dxdy ∑-+-+-⎰⎰, 其中∑为曲面z =位于0z =与1z =之间的部分的下侧.【0222373()()1010I x y dv z y dxdy πππ∑+∑∑Ω∑=-=+--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰】 七.(10')求幂级数131nn n n ∞=⋅+∑的收敛半径与和函数.【213111,()ln(13),(,)313333x R s x x x x x ==++-∈--】八.(8')设级数1[ln ln(1)ln(3)]n n a n b n ∞=++++∑收敛, 求常数,a b .【310312(1)ln 0()3012n a a b a b u a b n a b n n b ⎧=-⎪++=⎧+⎪=++++⇒⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩】同济大学2016-2017学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 已知直线L 过点(1,2,3)M -, 与z 轴相交, 且与直线1332:232x y z L ---==-垂直, 则直线L 的方程为123122x y z +--==--.2. 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)P -处的梯度为244(,,)999-.3. 设2sin (,)1xytf x y dt t=+⎰, 则22(0,2)4f x ∂=∂.4. 设(,)f x y 连续,化二次积分1201(,)xdx f x y dy -⎰⎰为极坐标形式的二次积分:22s i n 42c o s s i n4(c o s ,s i n )(c o s ,s i n )d f d d f d ππθθθπθρθρθρρθρθρθρρ++⎰⎰⎰⎰.5. 设空间立体Ω由平面0,0,0,1x y z x y z ===++=围成, 则三重积分1(253)6x y z d v Ω+-=⎰⎰⎰.6. 无穷级数11133ln32n n n ∞-==⨯∑.7. 设级数1nn a∞=∑收敛, 则下列必收敛的级数是 [ D ]11:(1)n n n a A n ∞-=-∑; 21:n n B a ∞=∑; 2211:()n n n C a a ∞-=-∑; 11:()n n n D a a ∞+=+∑.8. 若幂级数1nn n a x∞=∑在2x =-处条件收敛, 则21(1)nn n a x ∞=-∑的收敛区间为 [ D ]:(2,2)A -;:(B ; :(1,3)C -;:(1D +.二.(8'216⨯=)9. 设函数3222222,0(,)00x yx y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩, 求(0,0)yx f . [1]10. 求曲面222x z y =+上平行于平面224x y z +-=的切平面方程. [223x y z +-=]三.(10')计算二次积分112201x xdx dy x y ++⎰⎰.[13(ln )222π+]四.(10')计算曲线积分224Lydx xdy x y-+⎰, 其中L 是正向圆周229x y +=. [π-]五.(10')求曲面22z x y =-夹在圆柱面222x y +=及226x y +=之间的曲面面积, 并求相 应的形心坐标(其中曲面的密度1ρ=). [49,(0,0,0)3A M π=]六.(10')计算曲面积分22232()()()y xy e dydz yz z dzdx zx xy dxdy -+-+-⎰⎰, 其中∑为曲面22(1)z x y z =+≤的下侧. [6π]七.(10')将函数22134x x x ++-展开成2x +的幂级数, 并指出相应的收敛范围. [2102111(1)7[](2),4034532n n n n n x x x x x ∞+=+-=-++-<<+-∑]八.(10')设函数()g x 是(,)-∞+∞上周期为1的连续函数, 且1()0g x dx =⎰, 函数()f x 在区间[0,1]上有连续的导数, 记1()()n a f x g nx dx =⎰, 证明: 级数21n n a ∞=∑收敛.[0()()xG x g t dt =⎰,110011()()()'()n a f x dG nx G nx f x dx n n ==-⎰⎰,22n M a n≤]。

同济大学高等数学（下册）期末考试试卷考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、设⎰=yz xzt dt e u 2， 则=∂∂zu。

2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=l 的方向导数)0,0(lf ∂∂= 。

3、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。

4、设),(y x f 为连续函数，则=I ⎰⎰=+→Dt d y x f t σπ),(1lim 2，其中222:t y x D ≤+。

5、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。

6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面Ω∂是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。

7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*y 。

8、若级数∑∞=--11)1(n pn n 发散，则p 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、设),(b a f x '存在，则xb x a f b a x f x ),(),(lim0--+→=（ ）（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）21),(b a f x'。

2、设2y x z =，结论正确的是（ ）（A ）022>∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （B ）022=∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ；（C ）022<∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （D ）022≠∂∂∂-∂∂∂xy z y x z 。

2020-2021学年第一学期 高等数学期末考试同济大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷2020-2021学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．0sin 5lim 2x xx →= 。

2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是 。

3．设()f x 可导，[]ln ()y f x =，则dy = 。

4．不定积分⎰=。

5．反常积分60x e dx +∞-⎰= 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.设函数，则A.B.C.D.2.设曲线如图示，则函数在区间内( )．A.有一个极大值点和一个极小值点B.没有极大值点，也没有极小值点C.有两个极小值点D.有两个极大值点3.极限（）．A.B.C.D.4.函数的图形如图示，则（）.A.是该函数的一个极小值点，且为最小值点B.是该函数的一个极小值点，但不是为最小值点C.是该函数的一个极大值点2020-2021学年第一学期 高等数学期末考试D.不是该函数的一个极值点5.若定积分（ ）. A. B.C. D. 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求极限 ()011lim x x x e x x e →---。

2. 设函数1sin 2 ,0(), ,0 x x f x a bx x +≤⎧=⎨+>⎩在点 0x =处可导，求,a b 的值。

3. 设参数方程()1sin cos x t t y t t =-⎧⎪⎨=⎪⎩确定y 是x 的函数，求dydx 。

4．设方程2290y xy -+=确定隐函数()y y x =，求d d yx 。

5．求函数321x y x =-的单调区间，极值和拐点。

6．计算定积分1ln ex xdx ⎰。

7．求不定积分3。

四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1．设函数f (x )在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且，证明：方程在(0, 1)内至少有一个实根。

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。

7、方程04)4(=-y y 的通解为 。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰22013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。

《高数》试卷1 (上)(A) y =x —1 (B ) y=_(x 1) (C ) y = I n X -1x -1 ( D ) y = x4•设函数f x =|x|，则函数在点x=0处( )5 .点x = 0是函数y = x 4的( )16.曲线y的渐近线情况是( ).|x|(A )只有水平渐近线(B )只有垂直渐近线(C )既有水平渐近线又有垂直渐近线(D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.f — _2dx 的结果是().l x /Xf 1 Lf 1 L CLf 1 L (A ) f 一丄 C(B ) —f -丄 C (C ) f 1 C (D ) 一 f - CI X 丿 I X 丿 l x 丿J x 丿dx& 匚出的结果是().e e(A ) arctane x C (B ) arctane" C (C ) e xC (D ) ln(e x e^) C9.下列定积分为零的是().1.下列各组函数中 ，是相同的函数的是 ( ).(A ) f (x ) = lnx 2 和 g (x ) = 2lnX(B )f( x ) =| x|和g (x )=J?(C ) f (X )=X和 g (x ) = (T X )(D )f (X )=|x|和Xg (x )“Jsinx+4 -2x 式02.函数 f (X )= *In (1 +x )在X = 0处连续，则 a =( )ax = 0(A ) 0( B 1 - (C ) 1(D ) 243•曲线y = xln x 的平行于直线x - y T = 0的切线方程为()(A )连续且可导 (B )连续且可微(C )连续不可导(D )不连续不可微(A )驻点但非极值点(B )拐点 (C )驻点且是拐点(D )驻点且是极值点「•选择题(将答案代号填入括号内，每题 3分，共30分)10.设f x 为连续函数，则 o f ' 2x dx 等于（1 _ 1（A ）f 2-f 0（B ）^-f 11 -f 0 （C ）p 二•填空题（每题 4分，共20 分）dx②.罟予a 0JI（A ）］学買弘（B ） txarcsinxdx （C ）1 x 21e x■ e■_1_xdx 2x sin x dx1.设函数f x 二 x^0在x =0处连续, x = 02. 已知曲线y = f x 在x =2处的切线的倾斜角为3.4.Xy =— 的垂直渐近线有x -1 dx 5.x 1 In 2xi ,ix sin x cosx dx =~2"三.计算（每小题 5分，共30分） 求极限 （1+x ¥x迎CT 丿1.2. 3. ②lim x ）0x -sin xx 2x e -1求曲线y =ln x y 所确定的隐函数的导数 y x .求不定积分 四.应用题（每题 10分，共20分） 1.作出函数y =x 3 -3x 2的图像._f 2 - f 0（D ）dxxe^dx《高数》试卷1参考答案一•选择题1. B2. B3. A 4• C 5. D 6. C 7• D 8. A 9• A 10. C二.填空题1. -22.3.24. arcta nln x c5.23三.计算题2 I 11①e ②一2. y x 二 --------------6 x + y_13.①丄ln| 口| C ② In | x2- a2x| C ③-e」x 1 C2 x+3四.应用题1.略2. S =18x - a。

《高数》试卷7（上）一、 选择题（每小题3分）1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）. A []1,2- B [)1,2- C (]1,2- D ()1,2-2、极限x x e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21- D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx =B 、)2(sin 2cos x d xdx =C 、)5(x d dx --=D 、22)()(dx x d = 6、设 ⎰+=C x dx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）.A 、2sin xB 、 2sin x -C 、 C x +2sinD 、2sin 2x -7、⎰=+dx x x ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）.A 、⎰104dx x πB 、⎰10ydy π C 、⎰-10)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e+ 10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.A 、x e y 273=*B 、x e y 73=*C 、x xe y 272=*D 、x e y 272=* 二、 填空题（每小题4分）1、设函数x xe y =，则 =''y ；2、如果322sin 3lim0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21x y xdx dy -=； 四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、x e x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、x e x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e- ； 6、C x y =-+2212 ；四、 1、38；2、图略。

高等数学（下册）考试试卷（一）之巴公井开创作一、填空题（每小题3分, 共计24分） 1、D=. 2.3为, 其值为.4、设曲线L5、设曲面∑为介于及间的部份的外侧, 则.7. 8.二、选择题（每小题2分, 共计16分）1） （A（B（C是无穷小；（D2、有二阶连续导数,是（ ）（AB(D)0 .3）（A ）B（CD4、球面与柱面所围成的立体体积V=（ ） （A（B（C（D5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成, L 取正向, 函数D 上具有一阶连续偏导数,（A（B（C（D 6、下列说法中毛病的是（）（A ）（B ） （C ）（D）.7,,）（A（B（C（D8）（A）收敛；（B）发散；（C）纷歧定；（D）绝对收敛.三、求解下列问题（共计15分）1、（72、（8四、求解下列问题（共计15分）.17分）2闭区域（8分）五、（13其中L.六、（9在,七、（8.高等数学（下册）考试试卷（二）123交换积分次第后 4,5、设L 则曲线积分67. 8则它的Fourier二、选择题（每小题2分, 共计16分）. 1则在点（0, 0）处（ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在. 2D 上具有二阶连续偏导数, 且满足及 则（ ）（A ）最年夜值点和最小值点肯建都在D 的内部； （B ）最年夜值点和最小值点肯建都在D 的鸿沟上；（C ）最年夜值点在D 的内部, 最小值点在D 的鸿沟上； （D ）最小值点在D 的内部, 最年夜值点在D 的鸿沟上.3、设平面区域D 则有（ ）（A （B ） （C （D ）不能比力. 4、设是由曲面及 所围成的空间区域, 则（ ）（B （C ； （D 5、设在曲线弧L 上有界说且连续, L 的参数方程为, 其上具有一阶连续导数, 且）；6则曲面积分（ ）(A) 0 ；；；7、下列方程中, , （ ）8, 则（ ）(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)则必收敛.三、求解下列问题（共计15分）1、（8A（0, 1, 0）沿A指向点B （3, -2, 2）的方向的方向导数.2、（7成的闭区域D上的最年夜值和最小值.四、求解下列问题（共计15分）1、（7分）计所围成的立体域.,2、（8五、求解下列问题（15分）1、（8其中L是从A（a,0O（0, 0）的弧., 其中是2、（7分）计算的外侧., 并使曲线积分六、（15,一、填空题（每小题3分, 共计24分）120, 03、曲围成的立体, 如果将三重积分, 则I=.4,56,面所组成,导数, 则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：, 该关系式称为公式.78,二、选择题（每小题2分, 共计16分） 1,（ ）（AB ）0；（C ）D2结论正确的是（ ）（A（B（C（D3, 积分域D , 对称部份记为D上连续,）（A）0；（B）C）4）（A（B（D5L,则曲线弧Ｌ）（B（C（D M为曲线弧Ｌ的质量., 则）（A）0；（D）（A（B（C（D８、则它的Fourier展开（）（A（B）0；（C（D,,,离最短.的面积Ａ.六、（１２分）计其球面的的外侧.七、（10八、（10.高等数学（下册）考试试卷（一）参考谜底一、12、负号； 345、678、1；二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C；三、122于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0, 0）时D 内连续.所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0, 0）时,D 内除O （0, 0）外都连续,逆时针方向,, 则 六、由所给条件易得：即又,, 原级数发散；,, R=1, 收敛区间为[1, 3].高等数学（下册）考试试卷（二）参考谜底一、1、1； 2、-1/6； 3； 4、5678、0；二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、C ；三、1A （1, 0, 1）处可微, 且故在A2DD 四、12、在柱面坐标系中 所以五、12上侧, 则由Gauss 公式得：.即高等数学（下册）考试试卷（三）参考谜底一、123467二、1、C ；2、B ；3、A ；4、C ；5、A ；6、D ；7、B ；8、B即得：,离为于是由：依题意, 椭圆到直线一定有最短距离存在, 其中.由图形的对称性,于是：。

大学高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分òò£++1||||22)ln(y x dxdy y x的符号为的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(b a y j ££îíì==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++òòåds y x )122（ 。

6、微分方程xyx ydx dytan+=的通解为的通解为 。

7、方程04)4(=-y y的通解为的通解为。

8、级数å¥=+1)1(1n n n 的和为的和为 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；处连续；（B ）),(y x f x¢，),(y x f y¢在),(00y x 的某邻域内存在；的某邻域内存在；（C ） yy x f x y x f z yxD ¢-D ¢-D ),(),(0当0)()(22®D +D y x 时，是无穷小；时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim22000000=D +D D¢-D ¢-D ®D ®D y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y xyf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yu y x u x ¶¶+¶¶等于（等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。