第九章压杆的弹性稳定分析与稳定性设计————材料力学教案第九章 压杆的弹性稳定分析与稳定性设计刚体的平衡位形和弹性体的平衡构形都存在稳定与不稳定问题。
本章首先介绍关于弹性体平衡构形稳定性的基本概念。
然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚性支承条件下弹性压杆的临界荷载。
最后介绍两种工程中常用的压杆稳定设计方法。
§9-1弹性体平衡构形稳定性的基本概念1. 弹性稳定性的静力学判别准则结构构件或者机器零件在荷载作用下，在某一位置保持平衡，这一平衡位置称为平衡构形。
例如弹性压杆具有直线平衡构形和弯曲平衡构形两种形式。
当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离初始平衡构形；外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡构形，则称初始平衡构形是稳定的；当载荷大于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离初始平衡构形；外界扰动除去后，构件不能回复到初始平衡构形，则称初始平衡构形是不稳定的。
此即判别弹性稳定性的静力学准则。
不稳定的平衡构形在任意微小的外界挠动下，都要转变为其它平衡构形或失稳，这种过程称为屈曲或失稳。
通常，屈曲将导致构件失效——称屈曲失效。
由于这种失效具有突发性，常给工程带来灾难性后果。
2. 弹性压杆的平衡构形及分叉屈曲轴向受压的理想细长直杆，当轴向压力小于一定数值时，压杆只有一种稳定的直线平衡构形；当轴向压力大于一定数值时，压杆存在直线或者屈曲的两种可能的平衡构形，而且直线平衡构形在微小侧向干扰力作用下立即会转变成不稳定的屈曲平衡构形，这种现象称为平衡构形分叉。
稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临界点，从临界点开始会出现平衡构形分叉现象，所以又称为分叉点。
临界点对应的荷载称为临界载荷或者分叉荷载，用Pcr F 表示。
直线平衡构形式形弯曲平衡构形图9-1a图9-1b§9-2确定分叉载荷的平衡方法1. 两端铰支的压杆考察如图9-2a 所示受压的理想直杆，忽略剪切变形影响及杆的轴向变形。
第 九 章 压 杆 稳 定知识要点1 压杆稳定性的概念压杆稳定性是指压杆保持或恢复原有平衡状态的能力。
压杆的临界压力是指压杆由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力的临界值。
一般由cr F 表示。
2 细长中心受压直杆的临界压力在线弹性和小变形条件下，有着不同杆端约束的细长压杆的欧拉临界压立公式可统一写成()22cr l EI F μπ= 式中，系数μ称为压杆的长度因数，与杆端的约束条件有关。
l μ称为压杆的相当长度，其物理意义是指压杆的挠曲线两个拐点之间的直线距离。
各种常见支撑条件下细长压杆的相当长度和长度系数列于表9-1中。
3 压杆的临界应力总图（1）压杆的柔度（长细比）il μλ= （2）临界应力总图：表示压杆的临界应力随柔度不同而变化的曲线，如土9-1所示。
4 三类压杆的临界力（1） 大柔度杆()P λλ≥临界压力和临界应力按欧拉公式计算()22cr l EI F μπ=22λπσEI cr = il E P p μλσπλ==,2 表9-1各种支撑约束条件下等截面细长压杆临界力的欧公式（2）中柔度杆()P S λλλ≤≤当压杆的临界应力超过比例极限时，压杆的临界应力的计算需按折减弹性模量公式计算22λπσEI cr =式中，r E 为弹性模量，其表达式按压杆截面形式不同而异。
（3）小柔度杆()S λλ≤对于小柔度杆，已不是稳定问题，它属于强度问题，临界应力)(b s cr σσσ或=5 压杆的稳定计算（1）稳定条件 压杆横截面上的工作应力不得超过材料的强度，许用应力与稳定因数ϕ的乘积，即[]σϕσ≤=A F （2）稳定因数ϕ根据试验，有设计规范给出。
①在钢结构设计规范中，钢结构截面分为a,b,c 三类，其稳定因数ϕ被列入文献1的表9-2，9-3中。
②在木结构设计规范中，按树种强度等级给出两种ϕ的计算公式：a 树种强度等级为TC17,TC15 及TB20时2801175⎪⎭⎫ ⎝⎛+=≤λϕλ，23000,75λϕλ=>b 树种强度等级为TC13， TC11 ，TB17及TB15时 2651191⎪⎭⎫ ⎝⎛+=≤λϕλ， 2280091λϕλ=>，习题详解9-1 两端球形铰支的等截面细长压杆，按题9-1图(a)所示坐标系及挠曲线形状，导出的临界力公式为()22cr l EI F μπ= 试分析当分别取题9-1图(a)，(b)，(c)所示坐标系及挠曲线形状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与题9-1图(a)情况下的相同，由此所得的cr F 公式又是否相同。
