2023北京牛栏山一中高一分班考数 学本试卷共100分.考试时90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1. 2299x x +−等于（ ） A. ()()911x x −+ B. ()()911x x +− C. ()()911x x −−D. ()()911x x ++2. 已知110x y x y −−+=+≠，则xy 的值为（ ） A. 1− B. 0C. 1D. 23. 一次函数33y x b ，0b ≠的图象分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，则ABO ∠=（ ） A. 45︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒4. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根1x ，2x ，且12x x <，则1x 是（ ）A. 22b a a−−B. 22b a a−+C. 22b a a −−D. 22b a a−−二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分）5. 已知关于x 的一元二次方程214x x m −=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______. 6. 将抛物线24y x x =+向右平移2个单位，所得抛物线的表达式是______.7. 计算4sin 60︒+______.8. 设0x <，0y <，则化简为______. 9. 已知点()2,0A ，O 为坐标原点，点B 在第一象限且在反比例函数的图象上，若OAB 为等边三角形，则此反比例函数的解析式是______.10. 对任意两个实数a ，b ，规定一种新运算“*”：()*a b a a b b =++，若已知*2.528.5a =，则实数a 的值是______.11. 若多项式3231x kx −+的一个因式为31x −，则k =______.12. 若方程210x bx ++=与20x x b −−=，有一个公共根，则b =______. 13. 已知关于x 的方程22222x x a x x x x x−−+=−−，只有一个实根，则=a ______. 14. 对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为x ，即当n 为非负整数时，若1122n x n −≤<+，则x n =（如0=0.480=，0.64 1.4931==）. 给出下列关于x 的结论：①若x ，y 为非负实数，则 x y x y +=+； ②若213x −=，则实数x 的取值范围为7944x ≤<； ③当0x ≥，m 为非负整数时，有 x m m x +=+. 其中，正确的结论有______（填写所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 如图，已知平面直角坐标系xoy ，抛物线2y x bx c =−++过点()4,0A 、()1,3B（1）求该抛物线的表达式； （2）画出该抛物线的图像；（3）根据抛物线图像写出0y <时x 的取值范围. 16. 设函数2y x =与4y x=的两个交点为11(,)A x y ，()22,B x y ()12x x >，点C −.求ABC 的面积.17. （1）已知222x x −=，求()()()()()213331x x x x x −++−+−−的值； （2）已知1x =，求221121x x x x x x x+⎛⎫−÷⎪−−+⎝⎭的值. 18. 满足关于x 的不等式组261540x xmx m +⎧>+⎪⎨⎪+>⎩的x 的取值范围是4x <，求m 的取值范围.19.已知平面直角坐标系xoy ，抛物线224y ax ax =−+（0a >） （1）求证：抛物线经过两个定点；（2）若()11,A m y −，()2,B m y ，()323,C m y −为抛物线上三点，且满足123y y y <<，求实数m 的取值范围.20. 在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“＋”“－”号，如果可以使其代数和为n ，就称数n 是“可被表出的数”，否则，就称数n 是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为123456789++−−++−−+是1的一种可能被表出的方法）.（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数； （2）求25可被表出的不同的方法种数.参考答案一、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1. 【答案】A【分析】直接因式分解即可.【详解】()()2299911x x x x +−=−+.故选：A 2. 【答案】C【分析】变换11x yx y x y xy−−++=+=，0x y +≠，得到答案. 【详解】11x yx y x y xy−−++=+=，0x y +≠，故1xy =. 故选：C 3. 【答案】B【分析】确定()0,B b ，),0A，计算得到tan OA ABO OB∠==.【详解】33yx b ，取0x =，则y b =，即()0,B b ，取0y =，则x =，即),0A .tan OA ABO OB∠===，90ABO ︒<∠<︒，故60ABO ∠=︒.故选：B 4. 【答案】C【分析】确定240b ac ∆=−>，得到222424b b ac x a a −⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根1x ，2x ，故240b ac ∆=−>，20ax bx c ++=，即20b c x x a a ++=，即222424b b ac x a a −⎛⎫+= ⎪⎝⎭，12x x <，故12b a x −=. 故选：C二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分）5. 【答案】1m >−【分析】确定2104x x m −−=，计算10m ∆=+>得到答案. 【详解】214x x m −=，即2104x x m −−=，10m ∆=+>，解得1m >−. 故答案为：1m >−. 6. 【答案】24y x =−【分析】配方得到顶点式，利用左加右减得到答案. 【详解】()22424y x x x =+=+−，向右平移2个单位得到()222244y x x =+−−=−. 故答案为：24y x =− 7. 【答案】3−【分析】直接计算得到答案.【详解】4sin 60433︒=+=−.故答案为：3−.8. 【答案】−【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】由于0x <，0y <，所以((1y x y=−−==−故答案为：−9. 【答案】()f x x=【分析】设反比例函数为()kf x x=，确定(B ，代入计算得到答案.【详解】设反比例函数为()kf x x=，0k >，()2,0A ，OAB 为等边三角形，故(B ，()1f k ==()f x =.故答案为：()f x x=. 10. 【答案】4或132−【分析】直接根据公式计算即可.【详解】()*2.5 2.5 2.528.5a a a =++=，解得4a =或132a =−. 故答案为：4或132−. 11. 【答案】10【分析】设()323131x kx x A −+=−，取13x =计算得到答案. 【详解】()323131x kx x A −+=−，其中A 是一个二次多项式， 取13x =得到11099k −+=，解得10k =.故答案为：10 12. 【答案】2【分析】联立方程即可求解.【详解】()()22101110x bx bx x b b x b x x b ⎧++=⇒+=−−⇒+=−+⎨−−=⎩， 若10b +=，则两个方程均为210x x −+=，而该方程无解，与题设矛盾， 所以10b +≠，所以=1x −，进而将=1x −代入20x x b −−=可得2b =， 故答案为：2 13. 【答案】72，4或8 【分析】变换得到22240x x a −+−=，考虑Δ0=和0∆>两种情况，考虑方程两个根中有一个是增根，计算得到答案. 【详解】22222x x a x x x x x−−+=−−，即()2222x x a x +−=−，整理得到22240x x a −+−=， ①若()4840a ∆=−−=，解得72a =，此时方程的解为12x =，满足； ②若()4840a ∆=−−>，解得72a >，此时方程有解0或者2， 若有解0x =，则4a =，此时方程的解为0x =（增根）或1x =，满足； 若有解2x =，则8a =，此时方程的解为2x =（增根）或=1x −，满足； 综上所述：72a =，4a =或8a =. 故答案为：72，4或8. 14. 【答案】②③【分析】取0.5x y ==验证①错误，根据定义确定572122x ≤−<，解得②正确，m 为非负整数时，不影响四舍五入，③正确，得到答案.【详解】对①：取0.5x y ==，则 1x y +=，2x y +=，错误； 对②：213x −=，则572122x ≤−<，解得7944x ≤<，正确； 对③：0x ≥，m 为非负整数时，不影响四舍五入，正确； 故答案为：②③三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 【答案】（1）24y x x =−+ （2）图像见解析 （3）0x <或>4x【分析】（1）将点代入抛物线方程，解得答案； （2）直接画出函数图像即可； （3）根据图像直接得到答案. 【小问1详解】抛物线2y x bx c =−++过点()4,0A 、()1,3B ， 故0164b c =−++，31b c =−++，解得4b =，0c ，故24y x x =−+；【小问2详解】 函数图像如图所示：【小问3详解】根据图像知：当0x <或>4x 时，0y <. 16.【答案】8【分析】计算交点得到A，(B −，再计算面积得到答案.【详解】24y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=−⎪⎩，故A，(B −，C−，画出函数图像，如图所示：11822ABC S BC AC =⨯⨯=⨯=△.17. 【答案】（1）1；（2）12−. 【分析】（1）根据题意，化简原式2365x x =−−，代入即可求解； （2）先化简原式21(1)x =−−，代入即可求解. 【详解】解：（1）由()()()()()2213331365x x x x x x x −++−+−−=−−， 因为222x x −=，所以()223653253251x x x x −−=−−=⨯−=， 即()()()()213311x x x x x −++−+−−=.（2）由2222222111111[]21(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++−−⎛⎫−÷=−÷=⋅=− ⎪−−+−−−−⎝⎭，因为1x =，可得211(1)2x −==−−， 即22111212x x x x x x x+⎛⎫−÷=−⎪−−+⎝⎭ 18. 【答案】4m ≤− 【分析】解不等式6154x x+>+得到4x <，确定0m <且4m −≥，解得答案. 【详解】6154x x+>+，故()46520x x +>+，解得4x <， 不等式组261540x xmx m +⎧>+⎪⎨⎪+>⎩的x 的取值范围是4x <，故0m <，20mx m +>得到x m <−，且4m −≥，解得4m ≤−，综上所述：m 的取值范围为4m ≤−. 19. 【答案】（1）()()0,4,2,4 （2）35,23m <<或3m > 【分析】（1）根据题意得到()224044,y a x x a =−+=⋅+=从而确定定点;（2）利用绝对值的几何意义，离对称轴的距离越远，函数值越大,从而得到不等式，解出即可. 【小问1详解】结合题意：()222424,y ax ax a x x =−+=−+当220x x −=时，即0,x =或2x =，此时()224044,y a x x a =−+=⋅+= 所以抛物线经过两个定点()()0,4,2,4. 【小问2详解】()()2222242414,y ax ax a x x a x a =−+=−+=−−+0a >所以对称轴1x =，因为()11,A m y −，()2,B m y ，()323,C m y −为抛物线上三点，且满足123y y y <<， 所以111231m m m −−<−<−−，即1231111m m m m ⎧−<−−⎪⎨−−<−⎪⎩，将上式用平方法解得：3523m <<3m >. 20. 【答案】（1）证明见解析 （2）9【分析】（1）直接列举1234567897++−+++−+−=，再考虑计算结果为奇数，得到证明. （2）计算12345678945++++++++=，故减号后的数和为10，列举得到答案. 【小问1详解】1234567897++−+++−+−=，故7是可被表出的数，5个奇数和4个偶数相加减，结果为奇数，故结果不可能为8，即8是不可被表出的数. 【小问2详解】12345678945++++++++=，要使结果为25，则加号后的数和为35，减号后的数和为10， 考虑减号，不同的方法有9种：()1,9，()2,8，()3,7，()4,6，()1,2,7，()1,3,6，()1,4,5，()2,3,5，()1,2,3,4，故25可被表出的不同的方法种数为9.。
