二轮复习函数不等式学案一知识总结

第1讲 函数的图像与性质的简单应用高考年份全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ2020函数单调性的应用·T12对数大小的判断·T11 函数的奇偶性与单调性·T9函数的性质·T162019 函数图像的判断·T5函数的建模与应用·T4 函数图像的判断·T7 2018函数图像的判断·T3函数图像的判断·T71。

[2019·全国卷Ⅰ］函数f （x )=sinx+x cosx+x 2在[-π,π］的图像大致为( ）A BC D图M1-1-12。

[2018·全国卷Ⅲ]函数y=-x 4+x 2+2的图像大致为 ( ）图M1-1-23。

［2019·全国卷Ⅱ］若a〉b,则 (）A。

ln（a—b）>0 B。

3a〈3bC。

a3—b3〉0 D.｜a|>｜b｜4。

[2020·全国卷Ⅱ］若2x-2y〈3—x-3-y，则(）A.ln(y-x+1)〉0B.ln（y—x+1）〈0C.ln|x-y|〉0D。

ln｜x-y｜〈05.[2020·北京卷]已知函数f(x)=2x—x—1，则不等式f(x）〉0的解集是()A.（—1，1)B。

(-∞,—1)∪(1，+∞）C.(0，1）D。

（-∞,0）∪(1,+∞）6.[2020·全国新高考Ⅰ卷］若定义在R的奇函数f（x)在（-∞，0)单调递减,且f（2）=0,则满足xf(x-1）≥0的x的取值范围是（)B。

［—3,—1]∪[0，1]C.[—1，0］∪［1，+∞）D.[-1,0］∪［1,3］7.［2020·全国卷Ⅲ]已知55〈84,134<85。

设a=log53，b=log85,c=log138,则()A。

a<b〈c B.b<a〈cC。

b<c〈a D.c<a〈b8。

[2020·全国卷Ⅲ］Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎，累计确诊病例数I（t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t）=K1+e-0.23(t-53)其中K为最大确诊病例数。

课 题：不等式小结与复习（2）教学目的：1．理解不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的常用方法； 2．掌握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值； 3．掌握含绝对值的不等式的性质；4．会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质 授课类型：复习课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、讲解范例：例1 解关于x 的不等式 a x x alog log <解：原不等式等价于 x x a alog 1log<即 0log )1)(log 1(log <-+xx x a a a∴1log 01log <<-<x x a a 或 若a >1 ， a x ax <<<<110或 若0<a <1 ， 11<<>x a ax 或 例2 解关于x 的不等式 )22(223x x x xm --<-解：原不等式可化为02)1(24<+⋅+-m m x x，即 0)2)(12(22<--m x x当m >1时， m x<<221 ∴m x 2log 210<< 当m =1时， 0)12(22<-x∴x ∈φ当0<m <1时， 122<<xm ∴0log 212<<x m当m ≤0时， x <0例3 解关于x 的不等式34422+>+-m m mx x解：原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3-<m 时， x ∈R 例4 解关于x 的不等式 )20(,1)(cot 232πθθ≤<<-+-x x解：当1cot >θ即θ∈(0,4π)时， 0232<-+-x x ∴x >2或x <1 当1cot =θ即θ=4π时， x ∈φ 当)1,0(cot ∈θ即θ∈(4π,2π)时， 0232>-+-x x ∴1<x <2例5 满足13-≥-x x 的x 的集合为A ；满足0)1(2≤++-a x a x 的x 的集合为B 1︒ 若A ⊂B 求a 的取值范围； 2︒ 若A ⊇B 求a 的取值范围；3︒ 若A ∩B 为仅含一个元素的集合，求a 的值解：A =[1,2] ， B ={x |(x -a )(x -1)≤0}当a ≤1时， B =[a ,1] 当a >1时 B =[1,a ] 当a >2时， A ⊂B 当1≤a ≤2时， A ⊇B当a ≤1时， A ∩B 仅含一个元素 例6 方程)0,10(,021cos 21sin 2π≤≤<<=-++x a a x x a 有相异两实根，求a 的取值范围解：原不等式可化为01cos cos 22=--x x a 令 x t cos = 则]1,1[-∈t ，设12)(2--=t at t f又∵a >0 ∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⇒-<>≥≥->⇒<<-≥-=≥=->+=∆1414110811411022)1(02)1(081a a a a a a a a f a f a 或 二、小结 ：三、课后作业：1．01log )1(log 21221<++-x a a x ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈±=<<-<<<<<<<->φx a x a a a x a a aa a a时时或当时或当1,)21()21(110)21()21(011112．}13|{-≥-=x x x A ，}0,|1||{>>-=a a x x B 若φ=⋂B A ，求a 的取值范围 (a ≥1)3．)0(,322>+>-a a x x a )02(<<-x a4．)0(,21log >>+a x a xx a)01,10(2222--<<>><<<<a x a x a a x aa 或时当时当5．当a 在什么范围内方程：01log 41)4(log 2222=-+--a x a x 有两个不同的负根 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃)24,4()41,0(6．若方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都对于2，求实数m 的范围 (]()4,5-四、板书设计（略） 五、备用习题：1(1)不等式6x 2+5x <4的解集为（ B ）A (-∞,-34)∪(21,+∞)B (- 34,21)C (- 21,43)D (-∞,-21)∪(34,+∞)(2)a >0,b >0,不等式a >x1>-b 的解集为（ C ） A -b 1 <x <0或0<x <a 1 B - a 1<x <b 1 C x <-b 1或x >a 1 D - a 1<x <0或0<x <b 1(3)不等式11+x (x -1)(x -2)2(x -3)<0的解集是（ B ）A (-1,1)∪(2,3)B (-∞,-1)∪(1,3)C (-∞,-1)∪(2,3)D R(4)若a >0,且不等式ax 2+bx +c <0无解,则左边的二次三项式的判别式（C ）A Δ<0B Δ=0C Δ≤0D Δ>0(5)A={x |x 2+(p +2)x +1=0,x ∈R },且R *∩A=∅,则有（ B ）A p >-2B p ≥0C -4<p <0D p >-4(6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（ D ）A m <-5或m >3B 3<m <9C m =0或m =8D m =8(7)已知不等式l o g a (x 2-x -2)>l o g a (-x 2+2x +3)在x =49时成立,则不等式的解集为（ B ）A {x |1<x <2}B {x |2<x <25} C {x |1<x <25} D {x |2<x <5} (8)设0<b <21,下列不等式恒成立的是（ C ） A b 3>b21B l o g b (1-b )>1 C cos(1+b )>cos(1-b ) D (1-b )n <b n,n ∈N(9)若不等式x 2-l o g a x <0在(0,21)内恒成立,则a 满足（ A ） A16≤a <1 B 16<a <1 C 0<a ≤161 D 0<a <161 (10)不等式112+<-x x 的解集是（ A ）A ［0,1］B ［0,+∞］C (1,+∞)D -1,1］(11)不等式112)21(--<x x 的解集是（ D ）AB (1,2)C (2,+∞)D (1,+∞)(12)不等式(x -1)2+x ≥0的解集是（ B ）A {x |x >1}B {x |x ≥1或x =-2}C {x |x ≥1}D {x |x ≥-2且x ≠1}(13)函数f (x )=822--x x 的定义域为A ,函数g(x )=ax --11的定义域为B ,则使A ∩B=∅,实数a 的取值范围是（ D ）A {a |-1<a <3}B {a |-2<a <4}C {a -2≤a ≤4}D {a |-1≤a ≤3}(14)关于x 的不等式22x a -<2x +a (a >0)的解集为（ B ）A (0,a )B (0,a ］C ∞)∪(-∞,-54a ) D ∅ 2(1)不等式1≤|x -2|≤7的解集是 答案:［-5,1］∪［3,9］(2)不等式x 1>a 的解集是 a =0时x >0;a >0时,0<x <a 1;a <0时,x <a1或x >0 (3)不等式lg|x -4|<-1的解集是 答案:{x |4<x <1041或1039<x <4}(4)不等式x b c -<a (a >0,b >0,c >0)的解集是 答案:{x |x <b 或x >b -ac}(5)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x <5,则a = 答案:4 (6)不等式1lg -x <3-lg x 的解集是 答案:10≤x <100(7)函数f (x )=l o g 2(x 2-4),g(x )=2kx 2-(k <-1),则f (x )g(x )的定义域为答案:［2k -2)∪(2,+∞) 3(1)(x +4)(x +5)2>(3x -2)(x +5)2；(2)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0；(3)45820422+-+-x x x x ≥3解:(1)当x ≠-5时,(x +5)2>0,两边同除以(x +5)2得x +4>3x -2,即x <3且x ≠-5∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(2)当x ≠4时,原不等式⇔(x -1)(x -3)(x +1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x <-1,当x =4时,显然左边=0,不等式成立故原不等式的解集为{x |1≤x ≤3或x <-1或x =4}(3)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00456522≥+-+-⇔x x x x0)4)(1()3)(2(≥----⇔x x x x ∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞)4(2x -1)>m (x 2-1)对满足|m |≤2的一切实数m 的值都成立,求x 的取值范围解:①若x 2-1=0,即x =±1,且2x -1>0,即x >21时,此时x =1,原不等式对|m |≤2恒成立;②若x 2-1>0,要使1122--x x >m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x >2,即 ⎩⎨⎧->->-22120122x x x 得1<x 23 ③若x 2-1<0时,要使1122--x x <m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x <-2,即 ⎩⎨⎧+->-<-22120122x x x 得271+-<x <1 综合①②③得,所求x 的范围为271+-<x 23。

高二不等式知识点总结在学习数学的过程中，不等式是一个重要的概念和知识点。

不等式是数学中比较两个表达式大小关系的一种工具。

高二阶段，不等式的学习进一步深入，包括绝对值不等式、一元二次不等式、二元一次不等式等等。

下面将对这些不等式的知识点进行总结。

一、绝对值不等式绝对值不等式是求解绝对值中包含不等号的方程或不等式。

通过对绝对值进行分情况讨论，可以得到不等式的解集。

例如，对于方程 |x - 3| > 2，我们可以将其分成两个情况讨论：当 x - 3 > 2 时，解得 x > 5；当 x - 3 < -2 时，解得 x < 1；综合两个情况，得到解集为 x < 1 或 x > 5。

二、一元二次不等式一元二次不等式是指形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0的不等式。

求解一元二次不等式需要使用二次函数的图像和根的性质。

首先，根据二次函数的凹凸性和平移变换的性质，我们可以将一元二次不等式转化为关于根的不等式。

然后，根据一元二次函数的图像特征和判别式的值，可以求解不等式的解集。

例如，对于不等式 x^2 - 2x - 3 > 0，我们可以将其转化为 (x -3)(x + 1) > 0，然后根据一次因式的正负性质，得到解集为 x < -1或 x > 3。

三、二元一次不等式二元一次不等式是指包含两个未知数的一次不等式。

求解二元一次不等式需要使用平面直角坐标系进行图像分析。

首先，我们可以将二元一次不等式转化为关于 x 或 y 的不等式。

然后，通过绘制二元一次不等式的图像和区域判定法，可以确定不等式的解集。

例如，对于不等式 x + 2y > 4，我们可以将其转化为 y > -0.5x + 2，并绘制出直线 y = -0.5x + 2。

然后，通过判定直线上或下的点来确定解集。

总结：高二阶段学习的不等式主要包括绝对值不等式、一元二次不等式和二元一次不等式。

0 x 1 的所有实数ｘ都成立，求ｍ
的取值范围（
）
( 7 1, 3 1) 22
m1 2
求函数最值（1）
与均值不等式相联系
1. 函数 f (x) x 1 (x 2) 的最小值是________ x2
2.
函数
a
a
1 b
b
,
(a
b)
的最小值是________
3. 函数 y x2 2x 9 （ｘ＞０）的最小值是＿＿＿＿＿＿ x
(2) | f (x) || g(x) |
(3)a | f (x) | b(a 0) a f (x) b或 b f (x) a
(4) | f (x) | | g(x) | a(a 0)
等价 取交并 分类讨论
x 解不等式 x2 8x 15 ≥2
解：原不等式等价于
x2 x2
17x 30 8x 15
常用不等式： a2 b2 a b ab 2
2
2
11
ab
a,b, c R, a2 b2 c2 ab bc ca
a b 0, m 0 b b m a am
三、证明不等式的方法：
1、作差比较法： “最基本的方法” 2、综合法：“主要方法”（执因索果）
3、分析法：“常用方法”（特别注意格 式，执果索因）
0
整理，得
x2 17x 30 x2 8x 15
0
(x
即
15)( x
2)
0
(x 3)(x 5)
((xx
15)(x 2)(x 3)(x 5) 0
3)(x
5)
0
如图所示，
23 5
15
由数轴标根法知原不等式的解是