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材料力学课件：压杆的稳定性

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第九章 压杆稳定

第九章 压杆稳定
(a)
李田军材料力学课件 15 第九章 压杆稳定
解:1. 在推导临界力公式时需要注意,在符合 杆端约束条件的微弯状态下,支座处除轴向约 束力外还有无横向约束力和约束力偶矩. 在推导临界力公式时这是很重要的一步, 如果在这一步中发生错误,那么得到的结果 将必定是错误的. 2. 杆的任意x截面上的弯矩为
以两端铰支为例 在线弹性,小变形下,近似地, EIy′′ = M(x) = py 压杆的微弯必定发生在抗弯能力最小的纵向截面内, 压杆的微弯必定发生在抗弯能力最小的纵向截面内, 所以惯性I应为截面最小的惯性矩 所以惯性 应为截面最小的惯性矩Imin. 应为截面最小的惯性矩 P 2 2 引入记号: k = ,改写为 y′′ + k y = 0 EI 通解为: y = Asin kx + B cos kx
M(x) = Fcrw Fy (l x)
从而有挠曲线近似微分方程:
(b)
李田军材料力学课件
EIw′′ = [ Fcr w Fy (l x)]
16 第九章 压杆稳定
令 k2=Fcr /EI,将上式改写为 亦即
2
w′′ + k w =
2
2
Fy EI
(l x)
w′′ + k w = k
Fy Fcr
李田军材料力学课件 11 第九章 压杆稳定
Asin 0 + Bcos 0 = 0 边界条件: y(0)=0 , y(l)=0 (两端绞支), 即 Asin kl + Bcos kl = 0
齐次方程有非零解的条件
n2π 2EI 由此可得 P = l2
nπ = 0 sin kl = 0 k = sin kl cos kl l 0 1
为了保证压杆安全可靠的工作,必须使压杆处于直线 必须使压杆处于直线 平衡形式,因而压杆是以临界力作为其极限承载能力. 平衡形式 临界力的确定是非常重要的. 可见,临界力的确定 临界力的确定

材料力学 第九章 压杆稳定

材料力学 第九章 压杆稳定
cr s p
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1

l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s

l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：

π 2 EI Fcr ( l )2

材料力学第九章 压杆稳定

材料力学第九章 压杆稳定

02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望

《材料力学》压杆稳定 PPT课件

《材料力学》压杆稳定 PPT课件
(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯
曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不
够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态
(a)
(b) 所致。这种现象称为失稳。
1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）
s

a
s
b
a, b 是与材料性
能有关的常数。
材料 a(MPa) b(MPa) p
s
硅钢 577 3.74 100
60
铬钼钢 980 5.29 55
0
直线公式适合合 金钢、铝合金、铸
硬铝
372
2.14
50
0
铁与松木等中柔度
铸铁 331.9 1.453
压杆。
松木 39.2 0.199 59
3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。
cr 压杆容易失稳
二、欧拉公式的适用范围
材料服从胡克定律 cr p
cr

2E 2
p
.
2E p
p
2E p
（细长压杆临界柔度）
欧拉公式的适用范围: p ，称大柔度杆（细长压杆 ）
例：Q235钢， E 200 GPa, p 200 MPa.
例：一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cm2，I=79.95 cm4，
E =210 GPa，F =60 kN，材料为A3钢，两端为铰支座。
试进行稳定校核。
1、nst= 2； 2、〔σ〕=140 MPa

材料力学-第十一章-压杆稳定

材料力学-第十一章-压杆稳定

＝
π2
×
206 52
×109
×
π
×
160 ×10-3 64
4
= 2.6 ×106 N = 2.60 ×103 kN
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa ，确定两根杆的临 界载荷
对于两端固定的压杆，就有
F
d2w + k2w = 0 k2 = F
dx 2
EI
M
F
F
w
微分方程的解: w =Asinkx + Bcoskx
边界条件:=x 0= , w 0 :
B=0
=x l= , w 0 :
Asin kl = 0
系数A，B不能全为0：sin kl = 0
= kl nπ , =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
k=2
F n2π 2
EI l2
屈曲位移函数： w = Asin nπ x l
弯曲幅值A取决于弯曲程度，与压力F有关。
分叉点 F
Fcr
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
压杆稳定平衡路径
F
平衡路径
F<Fcr 时，直线平衡态为稳定且唯一的
平衡路径
F>Fcr 时，直线平衡态不稳定，一旦有 扰动，杆将转为弯曲平衡态
=
, =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
EI l2
临界载荷： F=cr
n2π 2EI , =n
l2
1, 2,⋅ ⋅ ⋅
最小临界载荷：
Fcr
=
π 2EI
l2

材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力课件

材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力课件

杆的长度远大于横截面尺 寸，且横截面尺寸保持不 变。
杆的材料需满足胡克定律 ，即应力与应变成线性关 系。
欧拉公式在压杆稳定中的应用
01
通过欧拉公式，可以计算出压杆在临界状态下的临界力，即压杆失稳 前的最大承载力。
02
临界力的大小与压杆的材料、截面形状、尺寸等因素有关，是评估压 杆稳定性能的重要指标。
通过优化载荷分布，可以改善压杆的受力状态，从而提高稳定性。
THANKS
感谢观看
详细描述
理想压杆的临界力不受压杆重量和惯性影响，因此在实际应用中 ，需要考虑这些因素对临界力的影响。
实际压杆临界力计算
总结词
实际压杆是指考虑自身重量和惯 性影响的压杆，其临界力计算需 考虑这些因素。
总结词
实际压杆的临界力受到自身重量 和惯性影响，因此需要考虑这些 因素对临界力的影响。
详细描述
在计算实际压杆的临界力时，需 要考虑压杆自重产生的挠度以及 横截面面积和长度等因素的影响 。
02
推导过程中，考虑了压杆的弯曲变形和轴向压缩变形，利用能
量守恒和弹性力学的基本方程，最终得到了欧拉公式。
推导过程涉及了数学和物理的相关知识，需要一定的专业背景
03
和理论基础。
欧拉公式应用条件
欧拉公式适用于理想弹性 材料制成的细长等截面直 杆。
杆的受力方式为两端受压 ，且轴向压力逐渐增加直 到临界状态。
材料力学压杆稳定概念欧 拉公式计算临界力课件
• 压杆稳定概念 • 欧拉公式 • 临界力计算 • 压杆稳定性的影响因素 • 提高压杆稳定性的措施
01
压杆稳定概念
压杆失稳现象
01
02
03
弯曲变形
当压杆受到压力时，可能 会发生弯曲变形，导致承 载能力下降。

材料力学课件(压杆稳定性)

材料力学课件(压杆稳定性)

2 EI
2 a2
改变力F指向，BD成为压杆，临界压力
F2
2 EI
2a 2
Fcr
比较：Fcr Fcr
1 2 EI
2FAB FBD 2 a 2
例9-4.一端固定一端自由压杆，长为 l，弯曲刚度
为EI，设挠曲线方程
w
2l 3
(3lx 2
x3)
，为自由
端挠度。试用能量法去定临界压力的近似值。
思考： P 3169-4，习题9-11，13，14，18
练习： P 319习题9-10，12，15，17
（3）合理稳定性设计
[ ]st
与
L
i
成反比
合理截面：约束性质接近时，iminimax ——组合截面 提高 i ——使截面积远离形心
增强约束：缩短相当长度
思考：含有压杆的超静定问题
温度变化引起的稳定性问题
、[]st与 成反比
值：木杆——式（9 11，12）
钢杆——表 92，3
（2）稳定性条件
F A
[ ]st
[ ]
稳定性r 或 与 或 i 为非线性关系，选择截面
尺寸时需用迭代法
例9-5. Q235钢连杆，工字型截面A＝552mm2，Iz＝ 7.40×104mm4，Iy＝1. 41×104mm4，有效长度l＝ 580mm，两端柱形铰约束，xy平面失稳μz＝1，xz 平面失稳μy＝0.6，属 a 类压杆，轴向压力F＝35kN， [σ]＝206MPa。试求稳定许用应力，并校核稳定性。
思考：比较一根杆的柔度与柔度的界限值
影响大柔度、中柔度和小柔度杆临 界应力因素的异同
3. 压杆的稳定性条件与合理设计
（1）稳定许用应力
实际压杆与理想压杆的差异：初曲率、压力偏心、 材料缺陷等

材料力学-压杆稳定

材料力学-压杆稳定

A
பைடு நூலகம்
B
L
L
C
3、钢制矩形截面杆的长度为L＝1.732米，横截面为 60×100，P＝100KN，许用应力为[σ]＝30MPａ， 弹性模量E＝200GPａ，比例极限σP＝80MPａ， 屈服极限σS＝160MPａ，稳定安全系数ｎw＝2， ａ＝304MPａ，ｂ＝1.12MPａ。构件安全吗？
L
100
60
4、AB杆的两端固定，在20OC时杆内无内力。已知： 杆长为L＝400毫米，杆的直径d＝8毫米，材料的弹性 模量为E＝200GPａ，比例极限为σP=200Mpa，线胀 系数α＝1.25×10-51/OC，杆的稳定安全系数为2，当 温度升高到40OC时，校核杆的稳定性。
i I D2d2 16mm A4
得11.713 61230108 P
3、选用公式，计算临界应力
AB为大柔度杆
FcrcrA
2E 2
A
2lE2I118kN
4、计算安全系数
n F cr FN
1184.4 26.6
2nst3
5、结论
AB杆满足稳定性要求
1、圆截面杆BD的直径为ｄ＝35毫米，采用普通碳 钢，弹性模量 Ｅ＝200GPａ，比例极限为σP＝ 200MPａ，屈服极限为σS＝235MPａ，ａ＝304 MPａ，ｂ＝1.12 MPａ，稳定安全系数取ｎw＝3， 载荷G＝30K N，校核BD杆的稳定性。
cr
2E 2
临界应力的欧拉公式
塑性材料在压缩时的应力应变曲线
σ
σp
σs
O
σ
σp
σs
O
细长杆 1
σ
当临界应力小于或等于材料的比例极限时 cr p σp
σs

材料力学课件 第十章压杆稳定

材料力学课件 第十章压杆稳定

sinkL0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EImin L2
14
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
29
我国钢结构柱子曲线
二、 受压构件的稳定公式
利用最大强度准则确定出轴心受压构件的临界应力 cr ，引入抗力分项系数 R ，则轴心受压构件的稳定计算公式如下：
N cr cr f y f A R R fy
f ：钢材的强度设计值
（10.24）
30
例6
如图所示，两端简支，长度l 5m 的压杆由两根槽钢组成，若限定两个槽钢腹板
Iy [73.3 (51.8)2 21.95]2 2176.5cm4
33
若失稳将仍会在 xoy平面内，有
imin iz
Iz A
1732.4 6.28cm 43.9
max
l imin
500 79.6 6.28
查表得2 0.733
此时3 与3 已经很接近，按两个 16a 槽钢计算压杆的许可压力，有
20
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2EI L22
y
=0.7，

材料力学第09章(压杆稳定)

材料力学第09章(压杆稳定)
67.14(kN)
[例3] 已知：压杆为Q235钢，l=0.5m，E=200GPa，求细长 压杆的临界压力。 F 解：I min I y 3.89cm 4 3.89104 mm 4
y0 x x1 x0 z 0 x0 x x1 y0
2 EImin Fcr ( l )2
0
1

三、压杆的临界应力总图
cr
S
P
s a b2
a s 2 b
cr a b
2E cr 2
L
i
2
1
临界应力总图
四、小结
≥ 1，大柔度杆
2 ≤ ≤ 1，中柔度杆
2E cr 2
cr a b
一端固定 一端铰支
两端固定
=1
=2
= 0.7
=0.5
[例1]求细长压杆的临界压力 F
0.5l
π 2 EI Fcr ( 0.5l ) 2
π 2 EI Fcr (0.5 0.7 l ) 2
l
[例2] 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界 力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
可靠地工作。
一、稳定性的概念 稳定性：保持原有平衡状态的能力 1、稳定平衡
影片：14-1
2、随遇平衡
3、不稳定平衡
影片：14-2
稳定性：保持原有平衡状态的能力
二、压杆失稳与临界压力 F<Fcr
稳 定 平 衡
F=Fcr
随 遇 平 衡
F>Fcr
F
F
F
不 稳 定 平 衡
影片：14-3
稳 定 平 衡
=2，试校核其稳定性。(一个角钢A1=8.367cm2，Ix=23.63cm4， Ix1=47.24cm4 ，z0=1.68cm ） z

材料力学第11章 压杆稳定

材料力学第11章 压杆稳定

长度系数
一端固定，另一端自由 两端铰支
2 1
一端固定，另一端铰支
2 0.7
3
两端固定
1 0.5
2
第十一章 压杆稳定
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及其使用范围 二、中柔度压杆的临界应力 三、小柔度压杆的临界应力 四、临界应力总图
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
2E 2
O 小 0 中 p 大
柔柔
柔
度度
度
压压
压
杆杆
杆
可见：压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
例1 图示用No.28a工字钢制成的立柱，两端固定，
试求立柱的临界压力。
解：1.求
F
查表：i imin iy 2.50 cm, A 55.4 cm2
ymax
欧拉公式适用于小变形情况
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
1.一端固定、另一端自由
Fcr
Fcr
2EI
Fcr (2l)2
l
l
l
Fcr
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
2.两端固定
b=20
b 2.57 MPa
h=45
cr a b y 289.6 MPa
Fcr cr A 261 kN y
n
Fcr F
4.35
nst
∴ 连杆安全
l 1=800

材料力学课件第十章压杆稳定

材料力学课件第十章压杆稳定

第十章
压杆稳定
① 强度
构件的承载能力
② 刚度 ③ 稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度,却不一定能安全可 靠地工作.
第十章
2.工程实例
压杆稳定
工程构件稳定性实验
第十章
压杆稳定
压杆稳定性实验
第十章
压杆稳定
第十章
其他形式的稳定问题
压杆稳定
F Fcr
第十章
3.失稳破坏案例
压杆稳定
案例1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏在圣劳伦斯河 上建造1907年8月29日，发生稳定性破坏，86位工人伤亡，成为
理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
第十章
压杆稳定
10.2 两端绞支细长压杆的临界压力
x
F
l
m w
y B
m
x y
F M(x)=-Fw
m x B m
第十章
该截面的弯矩
压杆稳定
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x )
M ( x ) Fw
F M(x)=-Fw
第十章
10.1 压杆稳定的概念
压杆稳定
1.引言
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为 σmax
例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm 1 能承受的轴向压力为 [F] = A[] = 3.92 kN
FN max [σ ] A
mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所 实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发 生明显的弯曲变形,丧失了承载能力.

材料力学压杆稳定55页PPT

材料力学压杆稳定55页PPT

1 临界应力 临界压力
临界应力 将惯性矩写为
Pcr

2 EI ( l)2
cr

Pcr A

2 EI ( l)2 A
I i2A i 惯性半径
cr

2Ei 2 A ( l)2 A

2E l 2

i
21
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
λ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
1
1 0.999 0.999 0.998 0.997 0.996 0.995
10 0.992 0.991 0.989 0.987 0.985 0.983 0.981 0.978 0.976
20
0.97 0.967 0.963
0.96 0.957 0.953
0.95 0.946 0.943
2
§9. 1 压杆稳定的概念
前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。
稳定性问题的例子
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳3
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳
构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。 1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北
克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
120 0.437 0.432 0.426 0.421 0.416 0.411 0.406 0.402 0.397
130 0.387 0.383 0.378 0.374
0.37 0.365 0.361 0.357 0.353
140 0.345 0.341 0.337 0.333 0.329 0.326 0.322 0.318 0.315
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i I A
2.欧拉公式的适用范围
cr p
欧拉公式成立的条件：
cr
2E 2
p
即
2E p
p
欧拉公式适用范围 p Q235 钢，E=206GPa p = 200MPa
p 2p E 222 00 0161 0 6 0 9 100
9
3.临界应力总图
cr cr=s
sA B P
O s
cr=ab
C
cr
图，我们知道， 越大，越容易失稳。
16
计算 y z
在屏幕平面绕 y 轴失稳时
Iyh 13b 221 0 12 0 3 2 1 0 1 0 22 8 1 8 7 0 m 4
iy
Iy A
22 01 8 0 1 2 8 1 0 7 00 6 0.03m 46
∵ 两端固定
∴ y = 0.5
y
18
∵ z > y
∴ 如果木柱失稳，将在垂直于屏幕 平面内绕 z 轴失稳。
p
2E p
28 11006109 110
yl
iy
0.57 101 0.0346
17
在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳时
Izb 13h 21 1 2 1 2 20 3 0 10 1 0 28 1 5 0 m 4
iz
Iz A
12 8 2 010 0 51 0 06 0.05m 77
∵ 两端铰支
∴ z = 1
z
zl
iz
17 121 0.0577
E=205GPa,试确定压杆的截面直径d.
解：因为d未知，不能确定压杆的柔度。采用试算法。
假设为细长杆： PcrnstPma x(2lE )2 I d2m 5 m
经验算： l0.75005.83 1
i 24 /4
2E 101 p
假设不合理！
2
a s
b
304240 57.1 1.12
13
例111 截面为 120mm200mm 的矩形 木柱，长l=7m，材料的弹性模量E = 10GPa，
p = 8MPa。其支承情况是：在屏幕平面内
失稳时柱的两端可视为固定端(图a)；若在 垂直于屏幕平面内失稳时，柱的两端可视 为铰支端(图b)，试求该木柱的临界力。
14
P
P
(a)
15
h=200
l=7m
y z
b=120
l=7m (b)
解：由于该柱在两个形心主惯性平面内的支承 条件不相同，因此，首先必须判断，如果 木柱失稳，朝哪个方向弯？从临界应力总
一端固支一端绞支细长压杆的欧拉临界压力公式
Pcr
2EI
(0.7l ) 2
6
各种杆端约束情况下压杆的欧拉 临界压力
Pcr
2 EI ( l)2
式中，为压杆的长度系数。
思考：压杆失稳形式
压杆端部约束情况 长度系数
两端固定
0.5
一端固定，一端绞支 0.7
两端绞支
1
一端固定，一端自由
2
7
11.3 欧拉公式的适用范围 临界应力总图
压杆的稳定性
1 压杆稳定的概念 2 细长压杆的欧拉临界压力 3 欧拉公式的适用范围 临界应力总图 4 压杆的稳定计算 5 纵横弯曲的概念
1
11.1 压杆稳定的概念
压杆的稳定性是指压杆保 持或恢复原有平衡状态的 能力
2
11.2 细长压杆的欧拉临界压力
理想压杆的概念 •完全对中等截面； •载荷作用无偏心； •光滑（球形）铰链。
2E 2
D
P
0 < s 称为小柔度杆，cr = s s < p 称为中柔度杆，cr = a b
10
1 细长杆的临界应力
cr22Ep
2E p
引入记号
1
2E p
欧拉公式的适用范围
l
i
1
2E p
2 中长杆的临界应力（经验公式）
cr ab ,21
2
a s
b
3 短杆的临界应力（强度问题） crs,2
iz
b 23
17 .32 mm
iy
a 23
11 .55 mm
1
2E p
2205109
200106
101
所以，压杆为细长杆。
maxmax{y,z}121.21
12
Pcr2E2 A33.06kN
例题 一端固定一端球绞的圆截面杆的最大工作压力为4kN，
其长度0.5m,规定nst=6，材料为A3,p=200MPa, s=240MPa,
细长压杆的临界应力
cr
Pcr A
2EI (l)2 A
引入记号 l 称为压杆的柔度或细长比
i
称是一个无量纲的量，它综合反映了压杆 长度、约束条件、截面形状和尺寸对压杆临 界应力的影响。
细长压杆的临界应力
cr
2E 2
图示钢制压杆的稳定性不合要求，可 以采取哪些措施改进设计？其中换用 8 其他钢材对Pcr影响不大，为什么？
5
A sin 0 B cos 0 l Q 0 P
kA cos 0 Bk sin 0 Q 0 P
A sin kl B cos kl 0 Q 0 P
A,B,Q/P不能同时为零 ，即行列式
0 1l k 0 10 tan (kk ll)(k)lmin 4.5 siknlcoksl 0
11
例题 由A3钢制成的矩形截面杆，其两端用绞销支撑如图。已 知截面尺寸：a=40mm,b=60mm。求此杆的临界压力。
设l=2.1m, l 1=2m,E=205GPa,p=200MPa。
解：压杆在xoy平面内，
z
l
iz
1210012.21 17 .32
压杆在xoz平面内，
y
l1
iz
1200086 .6 11 .55
齐次方程邮非零解的条件，
0 1 0 sikn l0 knπ
siknlco ks ll由此可得，Pn2 2EI
l2
压杆的临界压力是使弯杆保持压 缩平衡状态的最小压力。
两端绞支细长压杆的欧拉临界压力公式=〉
Pcr
2EI
l2
压杆承受的压力达到临界 压力时的微弯曲线，称为 失稳波形或失稳形式。
4
n=1时的 失稳波形
在线弹性、小变形下，近似地， EyIM (x)py
压杆的微弯必定发生在抗弯能力最小的纵向截面内， 所以惯性I应为截面最小的惯性矩Imin。
引入记号： k 2 P ，改写为 yk2y0
EI
通解为： yAsikn xBco ksx
3
边界条件: y(0)=0 , y(l)=0 (两端绞支)， 即
Asin0Bco0s0 AsinklBcoksl0
一端固支一端绞支压杆的欧拉临界压力
在线弹性、小变形下，近似地，
E y IM (x ) Q (l x ) py
引入记号： k 2 P ，改写为
EI
yk2yQ(lx) EI
通解为： yAsikn xBco ks xQ (lx)
P
边界条件: y(0)=0 , q(0)=0, y(l)=0 (两端绞支)， 即