CLLX压杆稳定性
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压杆的稳定性分析与设计PPT精选文档
给定受载方式，杆件工作极限载荷
给定材料、给定尺寸，杆件自身承压极限载荷
17
11.2.2 其他刚性支承细长压杆临界载荷的 通用公式
(1) 解析解方法 不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡微 分方程和端部的约束条件都可能各不相同，确定临界载荷的表 达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。
19
F
2EI
l
2
4 2 EI l2
2
20
F
2EI
0.7l 2
21
FPcr
2 EI
l 2
适用范围：只有在微弯曲状态下压杆仍 然处于弹性状态时成立。
对于两端为固定铰支链的约束，
μ＝1
对于一端固定另一端自由的细长压杆，
μ＝2
对于一端固定另一端为固定铰支链的细长杆，μ＝0.7
对于两端固定的细长杆，
F Fcr
F Fcr [n ]st
nw
Fcr F
[n]st
[n]st是稳定安全系数，是随λ而变化的， λ越大，[n]st也越大。同时 [n]st一般大于强度安全系数。
nw为压杆的工作安全系数。它表示压杆的临界载荷Pcr与所受的轴向压 力P的比值应不小于它的稳定安全系数[n]st，以上这种稳定计算方法称 为安全系数法。
30
11.3.4 临界应力总图 与 λP 、λs值的确定
P
2E P
小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆
s
a s
b
31
11.4 压杆稳定条件及其应用
构件的强度问题取决于危险截面上危险点的应力，所以强 度条件是从一点的应力出发的。
但是压杆稳定问题，既不存在危险截面，也不存在危险点， 其危险标志就是失稳，要使得压杆不失稳，应该使得作用在杆 上的压力F小于压杆的临界应力Fcr，故压杆的稳定条件是：
给定材料、给定尺寸，杆件自身承压极限载荷
17
11.2.2 其他刚性支承细长压杆临界载荷的 通用公式
(1) 解析解方法 不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡微 分方程和端部的约束条件都可能各不相同，确定临界载荷的表 达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。
19
F
2EI
l
2
4 2 EI l2
2
20
F
2EI
0.7l 2
21
FPcr
2 EI
l 2
适用范围：只有在微弯曲状态下压杆仍 然处于弹性状态时成立。
对于两端为固定铰支链的约束，
μ＝1
对于一端固定另一端自由的细长压杆，
μ＝2
对于一端固定另一端为固定铰支链的细长杆，μ＝0.7
对于两端固定的细长杆，
F Fcr
F Fcr [n ]st
nw
Fcr F
[n]st
[n]st是稳定安全系数，是随λ而变化的， λ越大，[n]st也越大。同时 [n]st一般大于强度安全系数。
nw为压杆的工作安全系数。它表示压杆的临界载荷Pcr与所受的轴向压 力P的比值应不小于它的稳定安全系数[n]st，以上这种稳定计算方法称 为安全系数法。
30
11.3.4 临界应力总图 与 λP 、λs值的确定
P
2E P
小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆
s
a s
b
31
11.4 压杆稳定条件及其应用
构件的强度问题取决于危险截面上危险点的应力，所以强 度条件是从一点的应力出发的。
但是压杆稳定问题，既不存在危险截面，也不存在危险点， 其危险标志就是失稳，要使得压杆不失稳，应该使得作用在杆 上的压力F小于压杆的临界应力Fcr，故压杆的稳定条件是：
压杆稳定性
第九章 压杆的稳定学习指导本章主要内容包括：§9-1 压杆稳定的概念、§9-2 细长杆的临界力、§9-3 欧拉公式的适用范围，中、小柔度杆的临界应力、§9-4 压杆的稳定计算和§9-5 提高压杆稳定性的措施。
重点：压杆稳定的概念、临界力的计算及稳定性校核。
难点：柔度计算以及根据柔度确定临界应力和临界力。
§9-1压杆稳定的概念1. 工程背景受拉杆件的应力到达屈服极限或强度极限时，杆件将出现塑性变形或断裂。
这类失效现象是强度不足引起的。
受压短柱也有类似现象，例如低碳钢短柱被压扁，铸铁短柱被压碎等。
工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。
细长杆件受压时，却表现出性质全然不同的失效现象。
例如一根较长的竹片受压时，开始轴线为直线，接着必然被压弯发生明显的弯曲变形，最后折断。
与此类似，工程结构中也有很多受压的细长杆。
例如内燃机配气机构巾的挺杆(图9.1)，在它推动摇臂打开气门时，就受压力作用。
还有析架结构中的抗压杆，建筑物中的柱也都是压杆。
19世纪的最后25年，欧美发生过一系列铁路和公路桥梁以及杆系结构的破坏事故，有不少是由于压杆失稳造成，如瑞士明汉斯太因铁路桥的破坏。
1891年5月14日，一座架设在莱茵河支流比尔斯河上的单轨铁路桥坠毁，74人蒙难，200人受伤。
该桥位于瑞士通往巴黎的主干线上，离巴塞尔东4.4km ，距明汉斯太因站400m 。
它是由法国著名设计师和建筑师埃菲尔设计并建造的，桥长42m 、高6m 、宽4.6m,为单图9.1跨桥，采用埃菲尔桁架，其结构的立面图和平面图见图9.2(a)和9.2(b)。
桥梁破坏当日，一列由巴塞尔开来的列车，当车头开到桥中央或稍过一点时，桥梁坍塌，车头和车厢一起冲向河里，破坏情景见图9.2(c)。
经研究，桥梁破坏的原因是当载荷位于桥梁跨中时桁架中间斜杆的压应力最大，导致该杆件失稳。
这一事例说明，在结构设计中缺乏稳定性分析，后果是多么严重，也促进对该类破坏的研究。
压杆稳定—提高压杆稳定性的措施(建筑力学)
2.采用合理的截面形状： (1)各方向约束相同时： 1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩I—采用空心截面。 (2)压杆两方向约束不同时： 使两方向柔度接近相等 可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。 3.减少压杆支承长度： (1)直接减少压杆长度； (2)增加中间支承； (3)整体稳定性与局部稳定性相近。 4.加固杆端约束：尽可能做到使压杆两端部接近刚性固接。
提高压杆稳定性的措施
1.合理选择材料 细长压杆：
ห้องสมุดไป่ตู้ cr
2E 2
采用E值较大的材料可提高压杆的稳定性 由于各种钢材的E值大致相同，所以对大柔度钢压杆不宜选用优质钢材，以避 免造成浪费。
中粗压杆
cr a b
短粗压杆
cr u
采用强度较高的材料能够提高其临界应力，即能提高其稳定性。
提高压杆稳定性的措施
提高压杆稳定性的措施
1.合理选择材料 细长压杆：
ห้องสมุดไป่ตู้ cr
2E 2
采用E值较大的材料可提高压杆的稳定性 由于各种钢材的E值大致相同，所以对大柔度钢压杆不宜选用优质钢材，以避 免造成浪费。
中粗压杆
cr a b
短粗压杆
cr u
采用强度较高的材料能够提高其临界应力，即能提高其稳定性。
提高压杆稳定性的措施
压杆稳定性的概念
6 I 396 10 z i 39 . 4 mm z 2 A 25 . 496 10
4 2 12 225 .6 10 15 15 .2 .748 10 2 4 4 283 .7 10 mm
2 30 2 Iy 2 I z 12 . 748 10 y1 0 2
6-2 压杆的临界力及临界应力
p
100 100 80 110
材料 低碳钢
s 235MPa b 372MPa
a,MPa 303.8 461 332 28.7
b,MPa 1.12 2,57 1.453 0.19
s
61 60
优质碳钢
s 306MPa b 471MPa
铸铁 木材
d 2 y Py 2 EI dx
d 2 y M(x) 2 EI dx p 2 令k EI
d2 y 2 k y 0 2 dx
y A sin kx B cos kx
2008.9～2009.1 第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
6-2 压杆的临界力及临界应力
x0 ,y0 ,B0 xl,y0 ,A sin kl 0
sin kl 0
kl n ( n 0 , 1 , 2 )
n P k l EI n 2 2 EI P l2
p 令k EI
2
y A sin kx B cos kx
x 0, y 0 边界条件： x l , y 0
Pcr
2 EI
l
2
欧拉公式
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
3、压杆的临界应力
4 2 12 225 .6 10 15 15 .2 .748 10 2 4 4 283 .7 10 mm
2 30 2 Iy 2 I z 12 . 748 10 y1 0 2
6-2 压杆的临界力及临界应力
p
100 100 80 110
材料 低碳钢
s 235MPa b 372MPa
a,MPa 303.8 461 332 28.7
b,MPa 1.12 2,57 1.453 0.19
s
61 60
优质碳钢
s 306MPa b 471MPa
铸铁 木材
d 2 y Py 2 EI dx
d 2 y M(x) 2 EI dx p 2 令k EI
d2 y 2 k y 0 2 dx
y A sin kx B cos kx
2008.9～2009.1 第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
6-2 压杆的临界力及临界应力
x0 ,y0 ,B0 xl,y0 ,A sin kl 0
sin kl 0
kl n ( n 0 , 1 , 2 )
n P k l EI n 2 2 EI P l2
p 令k EI
2
y A sin kx B cos kx
x 0, y 0 边界条件： x l , y 0
Pcr
2 EI
l
2
欧拉公式
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
3、压杆的临界应力
材料力学 压杆稳定
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力 2）不同杆端约束细长压杆的临界力
工程中的压杆，两端会有各种不同的约束。从上 述推导临界力的过程可看出，约束条件不同，压杆的 临界力也不同，即杆端约束对临界力有影响。
在其他约束情况下，可用上述静力法求临界力， 也可用如下简捷的方法求临界力。 以一端固定、一端自由长为l 的压杆为例 以固定端B为对称点向下延长至 A。延长后的挠曲线 AA 是一 条半波正弦曲线，与两端铰支压杆失稳后的挠曲线形状一样。
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力 2）不同杆端约束细长压杆的临界力 这样就比拟得到，一端固定、一端自由长为 l 的压 杆的临界力与两端铰支长为2l压杆的临界力相同，即
π 2 EI Fcr (2l )2
用这种比较失稳后挠曲线形状的方法，同样会得 到其他约束情况下压杆的临界力公式，这些公式可统 2 π EI 一写成 欧拉公式的一般形式 Fcr (16 - 2) 2
v x 0 0 v x l 0
(f) (g)
由式(f)、式(g)得 只有
C2 0 C1 sin Kl 0
sin Kl 0 (h)
Kl nπ nπ K l
(n 1,2, )
(n 1,2, ) (i)
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力 直线 AF与曲线 AB的交点 A 称为 平衡路径的分叉点，说明从该点开始， 压杆出现两种平衡形态。 以上讨论的均假设压杆轴线是理想 直线，压力是轴向压力，压杆材料均匀 连续。这是理想情况，称为理想压杆。 但是，实际压杆并非理想压杆，这些与理想压杆不相符合 的因素，可相当于作用在压杆上的压力与压杆轴线有一个微小 的偏心距。实验结果表明，实际压杆的 F 与 vmax 间关系如图 中的曲线OD所示。偏心距越小，曲线越接近OAB。
材料力学课件(压杆稳定性)
2 EI
2 a2
改变力F指向，BD成为压杆，临界压力
F2
2 EI
2a 2
Fcr
比较：Fcr Fcr
1 2 EI
2FAB FBD 2 a 2
例9-4.一端固定一端自由压杆，长为 l，弯曲刚度
为EI，设挠曲线方程
w
2l 3
(3lx 2
x3)
，为自由
端挠度。试用能量法去定临界压力的近似值。
思考： P 3169-4，习题9-11，13，14，18
练习： P 319习题9-10，12，15，17
（3）合理稳定性设计
[ ]st
与
L
i
成反比
合理截面：约束性质接近时，iminimax ——组合截面 提高 i ——使截面积远离形心
增强约束：缩短相当长度
思考：含有压杆的超静定问题
温度变化引起的稳定性问题
、[]st与 成反比
值：木杆——式（9 11，12）
钢杆——表 92，3
（2）稳定性条件
F A
[ ]st
[ ]
稳定性r 或 与 或 i 为非线性关系，选择截面
尺寸时需用迭代法
例9-5. Q235钢连杆，工字型截面A＝552mm2，Iz＝ 7.40×104mm4，Iy＝1. 41×104mm4，有效长度l＝ 580mm，两端柱形铰约束，xy平面失稳μz＝1，xz 平面失稳μy＝0.6，属 a 类压杆，轴向压力F＝35kN， [σ]＝206MPa。试求稳定许用应力，并校核稳定性。
思考：比较一根杆的柔度与柔度的界限值
影响大柔度、中柔度和小柔度杆临 界应力因素的异同
3. 压杆的稳定性条件与合理设计
（1）稳定许用应力
实际压杆与理想压杆的差异：初曲率、压力偏心、 材料缺陷等
压杆的稳定ppt
定义
01
边界条件是指压杆在支撑条件下的限制条件，如固定、自由、
简支等。
描述
02
不同的边界条件对压杆的稳定性产生不同的影响。例如，固定
边界条件下的压杆比自由边界条件下的压杆更稳定。
影响因素
03
边界条件对压杆稳定性的影响主要表现在支撑反力的分布和大
小上，从而影响压杆的临界载荷和屈曲载荷。
03
压杆稳定性问题的解决策略
合理选择材料和截面形状
选择高强度材料
如合金钢、不锈钢等，能够提高压杆的屈服强度和抗拉强度 ，增加压杆的稳定性。
选择合适的截面形状
如圆形、方形、工字形等，能够改变压杆的截面面积和惯性 矩，进而改变压杆的稳定性。
对压杆进行合理支撑和固定
增加支撑点
通过在压杆的适当位置增加支撑点，能够提高压杆的稳定性，防止其发生屈 曲变形。
船舶设计
在船舶设计中，压杆被用于船体结构的支撑和固定。特 别是在海洋环境中，压杆的稳定性对于抵御海浪冲击和 保证船舶的安全至关重要。
地下工程
在隧道、地铁等地下工程中，压杆被用于支撑和固定土 石方及结构物。其稳定性对于保障地下工程的稳定性和 安全性至关重要。
06
总结与展望
总结
压杆稳定的定义
压杆稳定的重要性
05
压杆稳定性问Leabharlann 的工程应用建筑结构中的压杆稳定性问题
建筑物的支撑结构
在建筑设计中，压杆常被用于支撑和固定建筑结构，如桥梁、高层建筑等。其稳定性直接 影响到建筑物的安全性和使用寿命。
抗风和抗震设计
在地震或强风天气中，建筑物的压杆稳定性显得尤为重要。压杆能够提供必要的支撑力， 帮助建筑物抵御自然灾害。
定义
第十章压杆稳定性
P
P
弹性平衡稳定性的静力学准则：
承受轴向压缩载荷，处于平衡状态的细长杆件，当载荷小 于一定数值时，微小外界扰动使其偏离平衡状态，外界扰动除 去后，构件仍能回复到初始平衡状态，则称初始平衡状态是稳 定的； 当外界扰动除去后，构件不能回复到原有初始平衡状态， 则称初始平衡状态是不稳定的。 稳定 不稳定的平衡状态在任意微 小的外界扰动下，将转变为其它 平衡状态。这一过程称为屈曲或 失稳。 通常，屈曲将使构件失效， 导致相关结构坍塌。 不稳定
M FP
得最小临界载荷的表达式：
FPcr
EI
2
l2
对于不同支撑形式和约束条件下的细长压杆，有通用形式公式：
FPcr
2 EI ( l ) 2
欧拉公式
式中 l 为不同压杆屈曲后挠度曲线上正弦半波的长度，称为
有效长度； 为反映不同支撑形式影响的系，称为长度系数。
三、长细比，压杆临界应力公式
上式中：
2E P P
a S S b
2E 细长杆临界应力计算公式： cr 2
中长杆临界应力计算公式： cr a b 粗短杆不发生屈曲，只发生屈服（韧性材料），因此： cr S
四、压杆稳定性计算
首先，根据三类不同压杆的临界应力计算公式，计算压杆 的临界载荷。 安全因数法：安全因数满足稳定安全条件。
2、临界状态与临界载荷
介于稳定平衡状态与不稳定平衡状态之间的平衡状态称为 临界平衡状态，简称临界状态。 处于临界状态的平衡状态，可能是稳定的，也可能是不稳 定的。使杆件处于临界状态的压缩载荷称为临界载荷 FPcr
对于细长压杆，临界平衡状态是稳定的。
根据不同的失效形式，受压杆件分三种类型： 细长杆：发生弹性屈曲 中长杆：发生弹塑性屈曲
压杆稳定
材料力学
Fcr n nst FN 2
柔度:
l 2 1 0 .6 80 d2 / 4 i2
0 < p
可用直线公式.
因此
Fcr cr A2 (a b ) A2
6
2 (304 1.12 80) 10 d 2 4
151.47 KN
二、细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 2、其他杆端约束细长压杆的临界力
材料力学
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 考察微弯状态下局部压杆的平衡
FBx Fp
材料力学
y
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
若 p , 则压杆的弯曲变形为 d2y EI 2 M ( x) Fp y dx Fp y d2y 2 dx EI Fp 2 设k , 则 EI
二、压杆的稳定条件:
P A
材料力学
例
杆的 AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa 直径 d = 0.3m，试此杆的容许压力 解：折减系数法
B
①最大柔度
T1 T2
x y面内， =1.0
A
y W
xy
1 6 4 80 i 0.3
L
z y面内， =2.0
l2 y(x)=a sin nx l —欧拉公式
F cr =
材料力学
2EI
l2
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
• 分析
1）、I 如何确定 ？
压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲
I I min
F h b
y
x
F
z 例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？ （绕哪个轴转动）
Fcr n nst FN 2
柔度:
l 2 1 0 .6 80 d2 / 4 i2
0 < p
可用直线公式.
因此
Fcr cr A2 (a b ) A2
6
2 (304 1.12 80) 10 d 2 4
151.47 KN
二、细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 2、其他杆端约束细长压杆的临界力
材料力学
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 考察微弯状态下局部压杆的平衡
FBx Fp
材料力学
y
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
若 p , 则压杆的弯曲变形为 d2y EI 2 M ( x) Fp y dx Fp y d2y 2 dx EI Fp 2 设k , 则 EI
二、压杆的稳定条件:
P A
材料力学
例
杆的 AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa 直径 d = 0.3m，试此杆的容许压力 解：折减系数法
B
①最大柔度
T1 T2
x y面内， =1.0
A
y W
xy
1 6 4 80 i 0.3
L
z y面内， =2.0
l2 y(x)=a sin nx l —欧拉公式
F cr =
材料力学
2EI
l2
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
• 分析
1）、I 如何确定 ？
压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲
I I min
F h b
y
x
F
z 例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？ （绕哪个轴转动）
压杆稳定ColumnStability
为得到压杆变形方程，回忆M与挠曲线的关系
M
EI
1
y 1 ( y)2
3/2
y
由2式得到压杆变形微分方程
y Py 0 EI
§15.2 两端铰支压杆的临界力 图示横向干扰力产生的初始变形,在轴力作用下
要保持平衡,截面必然有力矩 M
①力矩
②挠曲线近似微分方程
P x
P
y M P y EI EI
S 的杆为小柔度杆，其临界应力为屈服极限
cr
S
cr ab
③临界应力总图
P
2E
cr
2
s s a
b
P 2E
P
L
i
2.抛物线型经验公式
①P < < s 时： cr a1b12
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
c 时，由此式求临界应力
干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤 走了，但它产生的变形还在，若这种变形：
1、还能保留，即 随遇平衡 或 不稳定平衡 2、不能保留，即 稳定平衡
y
P
x
P
y
M P
y
P
x
y x
x
P
M
P
横向干扰力产生2种初始变形,在轴力作用下 M Py 要保持平衡,截面有力矩 M ,得到同一方程 M P( y)
a ( s ps ) /( p 0 ) b ( p s 0 ps ) /( p 0 )
cr
S
cr a b
P
2E
cr
2
0
P
L
i
例 两端铰支杆长L=1.5m，由两根 56568 等边A3角
M
EI
1
y 1 ( y)2
3/2
y
由2式得到压杆变形微分方程
y Py 0 EI
§15.2 两端铰支压杆的临界力 图示横向干扰力产生的初始变形,在轴力作用下
要保持平衡,截面必然有力矩 M
①力矩
②挠曲线近似微分方程
P x
P
y M P y EI EI
S 的杆为小柔度杆，其临界应力为屈服极限
cr
S
cr ab
③临界应力总图
P
2E
cr
2
s s a
b
P 2E
P
L
i
2.抛物线型经验公式
①P < < s 时： cr a1b12
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
c 时，由此式求临界应力
干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤 走了，但它产生的变形还在，若这种变形：
1、还能保留，即 随遇平衡 或 不稳定平衡 2、不能保留，即 稳定平衡
y
P
x
P
y
M P
y
P
x
y x
x
P
M
P
横向干扰力产生2种初始变形,在轴力作用下 M Py 要保持平衡,截面有力矩 M ,得到同一方程 M P( y)
a ( s ps ) /( p 0 ) b ( p s 0 ps ) /( p 0 )
cr
S
cr a b
P
2E
cr
2
0
P
L
i
例 两端铰支杆长L=1.5m，由两根 56568 等边A3角
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S
P
cr ab
③临界应力总图
2E cr 2
L
i
s s a
b
P
2E P
2.抛物线型经验公式 ①P<<s 时： 我国建筑业常用：
cr a1b1
2
2 cr s 1 c
L 图(b)
L
z
y
(4545 6) 等边角钢
I min I z 3.89108 m4
图(b)
图(a)
2 I min E 20.389 200 Pcr 76.8kN 2 2 ( 2l ) (20.5)
例4 图示结构，各杆的EI相同，均为细长压杆，求 临界力Fcr。
l
1 Fcr ' Fcr ' ' , tg , 18.43o 3
§11–3 一、 基本概念
超过比例极限时压杆临界应力
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
Pcr cr A
2.细长压杆的临界应力：
Pcr 2 EI 2E 2E cr 2 2 2 A ( L) A ( L/i)
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
两端固定 ＝0.5
表11–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支
一端固定 另端自由 Pcr
两端固定但可沿 横向相对移动 Pcr
Pcr
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
(0.7 L1 )
P P cr min( cry , P crz )
例3 求下列细长压杆的临界力。 解：图(a) P P
10
50103 I min 1012 4.17109 m 4 12
30
2 I min E 24.17200 Pcr 67.14kN 2 2 ( 1l ) (0.70.5)
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
F
F（较小） F（较小）
F（特殊值） F（特殊值）
QQ
Q Q
轴压 直线平衡
压弯 曲线平衡
恢复 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
保持常态、稳定
失去常态、失稳
3.压杆失稳：
4.压杆的临界压力 临界状态
稳 定 过 平 衡
对应的
压力
临界压力:
Pcr
不 稳 度 定 平 衡
例5 图示结构，各杆的EI相同，均为细长压杆， 试求α =？F最大。
解：
α
F
4 2 EI 4 2 EI F1cr , F2cr o 2 2 (l cos30 ) 3l l2
2 EI
① 30
o
②
F1cr 4 2 EI Fcr ' 2 sin 3l sin
F1cr 4 2 EI Fcr ' ' 2 cos l cos
A
因此，压杆将在正视图平面内弯曲。
z=132.6
π E π d FPcr ( z ) cr A 2 276.2kN 4
工作安全因数 ：
2
2
cr FPcr 276.2 nw 1.834 wr FP 150
nw> [n]st=1.8
压杆的稳定性是安全的
2E 即： cr 2
3.柔度：
I i ——惯性半径。 A
L
i
——杆的柔度（或长细比 ）
4.大柔度杆的分界：
2E cr 2 P
2E P P
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
§11–2
细长压杆临界力的欧拉公式
一、两端铰支压杆的临界力:
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。
P
x M P x y
P ①弯矩：
M ( x, y)Py
P
②挠曲线近似微分方程： M P y y EI EI P y y y k 2 y0 EI P 2 其中 :k EI
2
Pcr
0.5
=2
=1
0.5l
例1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临界力
公式。 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为： P P
EIyM ( x) PyM
M0
令:k 2
P
x M0
2
x L
P EI
2
M EI yk yk P
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin xBcosx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
sinkL 0
0
1
sinkL coskL
0
k
n P L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且
杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
P cr
2 EImin
L
2
Pcr
2 EI min
L2
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
二、此公式的应用条件： 1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI min Pcr ( L) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
FPcr
π E π d π 206GPa 10 π 160mm 10 cr A 2 ＝ 2 4 4 112.5
2 2 2 9
-3 2
3.2110 N 3.2110 kN
6 3
§11–4
压杆的稳定校核及其合理截面
一、压杆的稳定容许应力: 1.安全系数法确定容许应力:
各个方向的约束μ、惯性矩I都不相同时，分别求出各面的λ，取 最大的λ。
二、然后比较压杆的实际长细比值与极限值，判断属于哪一 类 压杆，选择合适的临界应力公式，确定临界载荷。
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆）， 其临界力用欧拉公式求 。
s P 的杆为中柔度杆，其临 界应力用经验公式求。
解：
F cr
l α α
2 2 EI F2cr 2 (0.7l ) l2 2 EI 2 EI 2 F1cr F3cr cos 2 2 (l cos ) l 2 2 EI 3 Fcr 2 F1cr cos F2cr ( 1 cos ) 2 l
2 EI
§11–1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力： ①强度 ②刚度 ③稳定性 工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能
安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力 ： 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
st
cr
nst
2.折减系数法确定容许应力:
st
它是的函数。
折减系数 ,
二、压杆的稳定条件:
P st A
稳定性设计过程
一、 根据上述设计准则，进行压杆的稳定性的设计，首先必须根 据材料的弹性模量与比例极限E、σP、 σs ，计算出长细比的极 限值p 和s ，再根据压杆的长度l、横截面的惯性矩I和面积A， 以及两端的支承条件μ，计算压杆的实际长细比λmax。 各个方向的约束μ相同时，λmax取决于Imin 各个方向的惯性矩I相同时，λmax取决于μmax
Pcr B
Pcr
0.7l l
0.5l
D
l 2l l
C— 挠曲线拐点
B
B
l
l
A
C C A A C— 挠曲 C、D— 挠 曲线拐点 线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
长度系数μ
Pcr
2 EI
l
2
Pcr
2 EI
(0.7l )
2
Pcr
2 EI
(0.5l )
2
Pcr
2 EI
(2l )
二者都属于细长杆，都可以采用欧拉公式。
对于两端铰支的压杆
FPcr π E π d π 206GPa 10 π 160mm 10 cr A 2 ＝ 2 4 4 125
2 2 2 9
-3 2
2.6 10 6 N 2.60 10 3 kN
对于两端固定的压杆
长中杆—长细比小于p，但大于或等于另一个极限值s时， 压杆也会发生弯曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正 应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性状态。 这种屈曲称为非弹性屈曲。这类压杆称为中长杆。 粗短杆—长细比小于极限值s时，压杆不会发生屈曲，但 将会发生屈服。这类压杆称为粗短杆。
工作安全因数 ：
cr FPcr 276.2 nw 1.834 wr FP 150
nw> [n]st=1.8
压杆的稳定性是安全的
例8 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰 支，压力P=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公式 求临界压力和安全系数。 解：一个角钢：
解：压杆在正视图平面内， 两端约束为铰支,弯曲时横 截面将绕z轴转动： z=z l / iz , Iz=bh3/12 z=132.6
P
cr ab
③临界应力总图
2E cr 2
L
i
s s a
b
P
2E P
2.抛物线型经验公式 ①P<<s 时： 我国建筑业常用：
cr a1b1
2
2 cr s 1 c
L 图(b)
L
z
y
(4545 6) 等边角钢
I min I z 3.89108 m4
图(b)
图(a)
2 I min E 20.389 200 Pcr 76.8kN 2 2 ( 2l ) (20.5)
例4 图示结构，各杆的EI相同，均为细长压杆，求 临界力Fcr。
l
1 Fcr ' Fcr ' ' , tg , 18.43o 3
§11–3 一、 基本概念
超过比例极限时压杆临界应力
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
Pcr cr A
2.细长压杆的临界应力：
Pcr 2 EI 2E 2E cr 2 2 2 A ( L) A ( L/i)
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
两端固定 ＝0.5
表11–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支
一端固定 另端自由 Pcr
两端固定但可沿 横向相对移动 Pcr
Pcr
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
(0.7 L1 )
P P cr min( cry , P crz )
例3 求下列细长压杆的临界力。 解：图(a) P P
10
50103 I min 1012 4.17109 m 4 12
30
2 I min E 24.17200 Pcr 67.14kN 2 2 ( 1l ) (0.70.5)
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
F
F（较小） F（较小）
F（特殊值） F（特殊值）
Q Q
轴压 直线平衡
压弯 曲线平衡
恢复 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
保持常态、稳定
失去常态、失稳
3.压杆失稳：
4.压杆的临界压力 临界状态
稳 定 过 平 衡
对应的
压力
临界压力:
Pcr
不 稳 度 定 平 衡
例5 图示结构，各杆的EI相同，均为细长压杆， 试求α =？F最大。
解：
α
F
4 2 EI 4 2 EI F1cr , F2cr o 2 2 (l cos30 ) 3l l2
2 EI
① 30
o
②
F1cr 4 2 EI Fcr ' 2 sin 3l sin
F1cr 4 2 EI Fcr ' ' 2 cos l cos
A
因此，压杆将在正视图平面内弯曲。
z=132.6
π E π d FPcr ( z ) cr A 2 276.2kN 4
工作安全因数 ：
2
2
cr FPcr 276.2 nw 1.834 wr FP 150
nw> [n]st=1.8
压杆的稳定性是安全的
2E 即： cr 2
3.柔度：
I i ——惯性半径。 A
L
i
——杆的柔度（或长细比 ）
4.大柔度杆的分界：
2E cr 2 P
2E P P
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
§11–2
细长压杆临界力的欧拉公式
一、两端铰支压杆的临界力:
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。
P
x M P x y
P ①弯矩：
M ( x, y)Py
P
②挠曲线近似微分方程： M P y y EI EI P y y y k 2 y0 EI P 2 其中 :k EI
2
Pcr
0.5
=2
=1
0.5l
例1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临界力
公式。 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为： P P
EIyM ( x) PyM
M0
令:k 2
P
x M0
2
x L
P EI
2
M EI yk yk P
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin xBcosx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
sinkL 0
0
1
sinkL coskL
0
k
n P L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且
杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
P cr
2 EImin
L
2
Pcr
2 EI min
L2
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
二、此公式的应用条件： 1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI min Pcr ( L) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
FPcr
π E π d π 206GPa 10 π 160mm 10 cr A 2 ＝ 2 4 4 112.5
2 2 2 9
-3 2
3.2110 N 3.2110 kN
6 3
§11–4
压杆的稳定校核及其合理截面
一、压杆的稳定容许应力: 1.安全系数法确定容许应力:
各个方向的约束μ、惯性矩I都不相同时，分别求出各面的λ，取 最大的λ。
二、然后比较压杆的实际长细比值与极限值，判断属于哪一 类 压杆，选择合适的临界应力公式，确定临界载荷。
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆）， 其临界力用欧拉公式求 。
s P 的杆为中柔度杆，其临 界应力用经验公式求。
解：
F cr
l α α
2 2 EI F2cr 2 (0.7l ) l2 2 EI 2 EI 2 F1cr F3cr cos 2 2 (l cos ) l 2 2 EI 3 Fcr 2 F1cr cos F2cr ( 1 cos ) 2 l
2 EI
§11–1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力： ①强度 ②刚度 ③稳定性 工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能
安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力 ： 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
st
cr
nst
2.折减系数法确定容许应力:
st
它是的函数。
折减系数 ,
二、压杆的稳定条件:
P st A
稳定性设计过程
一、 根据上述设计准则，进行压杆的稳定性的设计，首先必须根 据材料的弹性模量与比例极限E、σP、 σs ，计算出长细比的极 限值p 和s ，再根据压杆的长度l、横截面的惯性矩I和面积A， 以及两端的支承条件μ，计算压杆的实际长细比λmax。 各个方向的约束μ相同时，λmax取决于Imin 各个方向的惯性矩I相同时，λmax取决于μmax
Pcr B
Pcr
0.7l l
0.5l
D
l 2l l
C— 挠曲线拐点
B
B
l
l
A
C C A A C— 挠曲 C、D— 挠 曲线拐点 线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
长度系数μ
Pcr
2 EI
l
2
Pcr
2 EI
(0.7l )
2
Pcr
2 EI
(0.5l )
2
Pcr
2 EI
(2l )
二者都属于细长杆，都可以采用欧拉公式。
对于两端铰支的压杆
FPcr π E π d π 206GPa 10 π 160mm 10 cr A 2 ＝ 2 4 4 125
2 2 2 9
-3 2
2.6 10 6 N 2.60 10 3 kN
对于两端固定的压杆
长中杆—长细比小于p，但大于或等于另一个极限值s时， 压杆也会发生弯曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正 应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性状态。 这种屈曲称为非弹性屈曲。这类压杆称为中长杆。 粗短杆—长细比小于极限值s时，压杆不会发生屈曲，但 将会发生屈服。这类压杆称为粗短杆。
工作安全因数 ：
cr FPcr 276.2 nw 1.834 wr FP 150
nw> [n]st=1.8
压杆的稳定性是安全的
例8 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰 支，压力P=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公式 求临界压力和安全系数。 解：一个角钢：
解：压杆在正视图平面内， 两端约束为铰支,弯曲时横 截面将绕z轴转动： z=z l / iz , Iz=bh3/12 z=132.6