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[理数]炎德英才大联考2012师大附中高三5次月考

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密 号 学 名 姓 级 班 校 学炎德·英才大联考湖南师大附中2012届高三月考试卷(五)数 学(理科)命题:湖南师大附中高三数学备课组(考试范围:高中理科数学全部内容) 本试题卷包括选择题㊁填空题和解答题三部分,共8页㊂时量120分钟㊂满分150分㊂得分: 一㊁选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知s i nθ=45,且s i nθ-c o sθ>1,则s i n2θ=A.-2425B.-1225C.-45D.24252.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则 α∥β”是 l⊥m”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.A(a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面内三点,O为坐标原点,若→O A与→O B在→O C方向上的投影相同,则a,b满足的关系式为A.4a-5b=3B.5a-4b=3C.4a+5b=14D.5a+4b=144.某单位为了了解用电量y(单位:度)与气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天的气温,并制作了对照表如下:气温(℃)181310-1用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程^y=^b x+^a,求得^b=-2,现预测当气温为-4℃时,用电量约( )度.A.34B.40C.68D.745.设双曲线M:x2a2-y2=1,点C(0,1),若直线x-y+1=0交双曲线的两渐近线于点A㊁B,且→B C=2→A C,则双曲线的离心率为A.52B.103C.5D.106.记圆O:x2+y2=π2内的正弦曲线y=s i n x与x轴围成的区域为D,随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域D内的概率是
题
答
要
不
内
线
封
A.42
B.43
C.22
D.23
7.已知点(x ,y )
是不等式组x ≥1x +y ≤4a x +b y +c ≥ìîíïï
ï0表示的平面区域内的一个动点,且目标函数z =2x +y 的最大值为7,
最小值为1,则a +b +c a
的值为A.2
B .12
C .-2
D.-1
8.若f (x )+1=1f (x +1),当x ∈[0,1]时,f (x )=x ,若在区间(-1,1]内,g (x )=f (x )-m x -m 有两个零点,则实数m 的取值范围是A.[0,12
)
B .[12
,+∞)C .[0,13
) D.(0,12
]选择题答题卡
题 号1
2
3
4
5
6
7
8
得 分
答 案
二㊁填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.(一)选做题(从下列三题中任意选做两题,若三题全做,则只按前两题
记分.
)9.设x >0,y >0,
A =x +y 1+x +y ,
B =x 1+x +y 1+y
,则A ,B 的大小关系是 .
10.在极坐标系中,定
点A (1,π2
),动点B 在曲线ρ=2c o s θ上移动,
当线段A B 最短时,点B 的极径为 .11.如图,☉O 与☉P 相交于A ,B 两点,
点P 在☉O 上,☉O 的弦B C 切☉P 于点B ,C P 及其延长线
交☉P 于D ,E 两点,过点E 作E F ⊥C E 交C B 的延长线于点F .若C D =2,C B =22,则E F 的长等于 .
(二)必做题(12~16题)
12.i 是虚数单位,若3+i 1+i
=a +b i (a ,b ∈R ),则乘积a b 的值是 .
13.函数f (x )=x 3-x 2+x +1在点(1,2)处的切线与函数g (x )=x 2
围成的
图形的面积等于 .
14.二项式(1+s i n x )n
的展开式中,
末尾两项的系数之和为7,且系数最大的一项的值为52
,则x 在[0,2π
]内的值为 .15.数列{a n }满足a 1=1,a n +1㊃
1a 2n
+
4=1(n ∈N *),记S n =a 21+a 22+ +a 2
n ,若S 2n +1-S n ≤
m 对任意的n ∈N *恒成立,则正整数m 的最小值为 .
16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=-f(x),f(x)在[0,2]上是增函数,则下列结论:
①若0<x1<x2<4且x1+x2=4,则f(x1)+f(x2)>0;
②若0<x1<x2<4且x1+x2=5,则f(x1)>f(x2);
③若方程f(x)=m在[-8,8]内恰有四个不同的解x1,x2,x3,x4,则x1 +x2+x3+x4=±8.
其中正确的命题的序号是 .
三㊁解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在△A B C中,角A㊁B㊁C的对边分别是a㊁b㊁c,设向量m=(a,c o s B),n= (b,c o s A)且m∥n,m≠n.
(1)求角C的大小;
(2)求s i n A+s i n B的取值范围.
18.(本小题满分12分)
学校推荐学生参加某著名高校的自主招生考试,经过申请 资格认定 初选,已确定甲班有3名同学入围,还有包括乙班在内的四个班各有2名同学入围,若要从这些入围的同学中随机选出5名同学参加该校的自主招生考试.
(1)求在已知甲班恰有2名同学入选的条件下乙班有同学入选的概率;
(2)求甲班入选人数X的期望;
(3)求有且仅有一个班的入选人数超过1人的概率.
19.(本小题满分12分)
已知正方体A B C D A1B1C1D1中,E为棱C C1上的动点.
(1)当E恰为棱C C1的中点时,试证明:平面A1B D⊥平面E B D;
(2)在棱C C1上是否存在一个点E,可以使二面角A1 B D E的大小为
45°?如果存在,试确定点E在棱C C1上的位置;如果不存在,请说明理由.
20.(本小题满分13分)
祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受 绿色通道”的申请㊁受理㊁审批一站式服务.某台商在第一年初到大陆创办一座120万元的蔬菜加工厂M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第二年到第六年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第七年开始,每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值a n的表达式;
,若A n大于80万元,则M继续使用,否则须(2)设A n=a1+a2+ +a n
n
在第n年初对M更新,证明:必须在第九年初对M更新.
21.(本小题满分13分)
已知椭圆x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左顶点是A ,过焦点F (c ,0)(c >0,为椭圆的半焦距)作倾斜角为θ的直线(非x 轴)交椭圆于M ,N 两点,
直线AM ,A N 分别交直线x =a 2
c (称为椭圆的右准线)于P ,Q 两点.
(1)若当θ=30°时有→M F =3→F N ,
求椭圆的离心率;(2)若离心率e =22
,求证:→F P ㊃→F Q 为定值.
22.(本小题满分13分)
已知函数f(x)=(x2-3x+3)㊃e x,其定义域为[-2,t],其中t>-2,设f(-2)=m,f(t)=n.
(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;
(2)试判断m,n的大小,并说明理由;
(3)求证:对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足f'(x0)
e x0=2
3(t-1)2,
并确定这样的x0的个数.。

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[理数答案]炎德英才大联考2012长郡中学高三10次月考

[理数答案]炎德英才大联考2012长郡中学高三10次月考

炎德·英才大联考长郡中学2012届高考模拟卷(二)数学(理科)参考答案一㊁选择题题 号12345678答 案D B C C A D A D 二㊁填空题9.3 10.2 11.[-1,6) 12.2 13.25 14.4π 15.5316.(1)310 (2)2n -54n -4n 为偶数(n -3)(2n -1)4n (n -2)n ìîíïïï为奇数三㊁解答题17.解:(1)由变换得f (x )=2s i n (2x +π6).(3分)…………………………………………………………………所以T =2π2=π;由2x +π6=k π+π2,k ∈Z ,得对称轴为x =k π2+π6,k ∈Z .(6分)……………………………………………(2)由f (C )=2得s i n (2C +π6)=1,又C ∈(0,π),可得C =π6.(8分)………………………………………在△A B C 中,根据余弦定理,有c 2=1=a 2+b 2-2a b c o s π6,即a 2+b 2=7,(10分)………………………………………………………………联立a b =23,及a >b ,可得a =2,b =3.(12分)……………………………………………………………18.解:(1)如图,由题意知,区域U 内共有5个整点,区域V 内共有9个整点,设所取3个整点中恰有2个整点在区域V 的概率为P (V ).则P (V )=C 29㊃C 16C 315=216455.(4分)…………………………………………………………………………………(2)区域U 的面积为8,区域V 的面积为4,∴在区域U 内任取一点,该点在区域V 内的概率为48=12.X 的取值为0,1,2,3.P (X =0)=C 03(12)0(12)3=18,P (X =1)=C 13(12)1(12)2=38,P (X =2)=C 23(12)2(12)1=38,P (X =3)=C 33(12)3(12)0=18,∴X 的分布列为:X 0123P 18383818(10分)……………………………则X ~B (3,12),于是E (X )=n p =3×12=32,D (X )=n p q =3×12×(1-12)=34.(12分)…………………………………………………………………19.解:(1)A D =A E ,∠D A E =60°,∴△D A E 为等边三角形,设A D =1,则D E =1,C E =3,C D =2,∴∠D E C =90°,即C E ⊥D E .(3分)………………………………………………………………………………………………∵D D '⊥底面A B C D ,C E ⊂平面A B C D ,∴C E ⊥D D '.C E ⊥D E C E ⊥D D 'D E ∩D D '={D ⇒C E ⊥平面D D 'E D F ⊆平面}D D 'E ⇒C E ⊥D F .(6分)………………………………………………………(2)取A E 中点H ,则A D =A E =12A B ,又∠D A E =60°,所以△D A E 为等边三角形.则DH ⊥A B ,DH ⊥C D .分别以DH ㊁D C ㊁D D '所在直线为x ㊁y ㊁z 轴建立空间直角坐标系,设A D =1,则D (0,0,0),E (32,12,0),A (32,-12,0),D '(0,0,3),F (34,14,32),C (0,2,0),→E F =(-34,-14,32),→A E =(0,1,0),→C E =(32,-32,0).设平面A E F 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则-34x 1-14y 1+32z 1=0y 1{=0取n 1=(23,0,1).(8分)…………………………………………………………………………………………设平面C E F 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则-34x 2-14y 2+32z 2=032x 2-32y 2ìîíïïïï=0取n 2=(33,3,2).(10分)………………………………………………………………………………………c o s <n 1,n 2>=n 1㊃n 2|n 1|㊃|n 2|=2013㊃40=13013.所以二面角A -E F -C 的余弦值为-13013.(12分)…………………………………………………………20.解:(1)依题意,设d =k v 2l ,其中k 是待定系数,因为当v =60时,d =1.44l 所以1.44l =k ×602l ,k =0.0004,(3分)…………………………………………………………………………所以d =0.0004v 2l .因为d ≥l ,所以0.0004v 2l ≥l ,v ≥50.所以最低车速为50k m /h .(6分)………………………………………………………………………………(2)因为两车间距为d ,则两辆车头间的距离为l +d .一小时内通过汽车的数量为Q =1000v l +0.0004v 2l =1000l 1v +0.0004()v ,因为1v +0.0004v ≥21v ×0.0004v =0.04,所以Q ≤25000l.所以当1v =0.0004v 即v =50k m /h 时,单位时段内通过的汽车数量最多.(13分)…………………………21.解:(1)由题意(-2,0)一定在C 1上.设C 1为x 2a 2+y 2b2=1,则a =2(2分)……………………………………椭圆C 1上任何点的横坐标|x |≤2.所以(2,22)也在C 1上,从而b 2=1C 1的方程为x 24+y 2=1(4分)……………………………………………………………………………………从而(3,-23),(4,-4)一定在C 2上,设C 2的方程为y 2=2p x (p >0)∴p =2.(5分)……………………………………………………………………………………………………即C 2的方程为y 2=4x .(6分)……………………………………………………………………………………(2)假设直线l 过C 2的焦点F (1,0).当l 的斜率不存在时,则M (1,32),N (1,-32).此时→O M ㊃→O N =1-34=14≠0,与已知矛盾(8分)……………………………………………………………当l 的斜率存在时设为k ,则l 的方程为y =k (x -1),代入C 1的方程并整理得:(1+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-4=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=8k 21+4k 2,x 1x 2=4k 2-41+4k 2(10分)…………………………………………y 1y 2=k (x 1-1)k (x 2-1)=k 2(x 1x 2-x 1-x 2+1)=-3k 21+4k 2∵→O M ㊃→O N =0,∴x 1x 2+y 1y 2=0,∴k 2-4=0,k =±2(12分)………………………………………………∴存在符合条件的直线l 且方程为y =±2(x -1).(13分)……………………………………………………22.解:(1)f '(x )=-l n x ,g (x )=x -x l n x +x l n a ,g '(x )=f '(x )-f '(a )=-l n x +l n a =l n a x .(2分)……………………………………………………………所以,x ∈(0,a )时,g '(x )>0,g (x )单调递增;x ∈(a ,+∞)时,g '(x )<0,g (x )单调递减.所以,g (x )的单调递增区间为(0,a ),单调递减区间为[a ,+∞).(4分)………………………………………(2)法一:对任意的正实数x 1,x 2,由题知a =x 1,且x 1<x 2,则x 2∈(x 1,+∞),由(1)得g (x 1)>g (x 2),即g (x 1)=f (x 1)-x 1f '(x 1)>f (x 2)-x 2f '(x 1)=g (x 2),所以,f (x 2)-f (x 1)<(x 2-x 1)f '(x 1) ①;(6分)…………………………………………………………∴f (x 2)-f (x 1)<(x 2-x 1)f '(x 1).(8分)……………………………………………………………………法二:因为f '(x )=-l n x ,所以,当x ∈(0,1)时,f '(x )>0;当x ∈(1,+∞)时,f '(x )<0.故f (x )在(0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.所以,对任意的正实数x 1,x 2,且x 1<x 2,有f (x 1x 2)<f (1),f (x 2x 1)<f (1).(6分)……………………………由f (x 2x 1)<f (1),得x 2x 1-x 2x 1l n x 2x 1<1,即x 2-x 1-x 2(l n x 2-l n x 1)<0,所以f (x 2)-f (x 1)-(x 2-x 1)f '(x 1)=x 2-x 1-x 2(l n x 2-l n x 1)<0.故f (x 2)-f (x 1)<(x 2-x 1)f '(x 1).(8分)……………………………………………………………………(3)由(2)知f (n +1)-f (n )<f '(n )=-l n n ,所以l n n <f (n )-f (n +1).l n 1+l n 2+ +l n n <f (1)-f (2)+f (2)-f (3)+ +f (n )-f (n +1)=f (1)-f (n +1)=1-f (n +1).∴l n n !<1-f (n +1)即f (n +1)+l n n !<1.(13分)…………………………………………………………………………………。

炎德英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(三)数学试卷

炎德英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(三)数学试卷

时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的炎德英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷（三）数学）1.若复数z 满足1i34i z +=-，则z =（）B.252.已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则345a a a ++等于（）A.12B.15C.18D.213.抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.(1,0)B.(1,0)-C.1(0,)16-D.1(0,)164.如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（）A.πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.5πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5.1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）A.10km /sB.20km /sC.80km /s 3D.40km /s 6.若83cos 5αβ=，63sin 5αβ-=，则()cos αβ+的值为（）A.4-B.54C.4-D.47.如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（）A.427B.827C.29D.498.设n S 为数列的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（）A.{}20,21-B.{}20,20-C.{}29,11-D.{}20,19-二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（）A.直线EF 与11D B 为异面直线B.直线1D E 与1DC 所成的角为60oC.1D F AD⊥ D.//EF 平面11CDD C 10.已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（）A.12l l ⊥ B.直线1l 与圆O 相切C.直线2l 与圆O 截得弦长为 D.OQ 11.已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++有三个不同的零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，函数()()1g x f x =-也有三个零点1t ，2t ，()3123t t t t <<，则（）A.23b ac>B.若1x ，2x ，3x 成等差数列，则23bx a=-C.1313x x t t +<+D.222222123123x x x t t t ++=++三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =_____.13.已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，且b 在a上的投影向量为14a - ，则ab + 为______.14.如图，已知四面体ABCD 的体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为_____.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A =.（1）求A ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，且△ABC ，求a 的值.16.设()()221ln 2f x x ax x x =++，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.17.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．18.已知双曲线22:13y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.（1）若AB x ⊥轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.19.已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*k i B i a k =∈<N ∣，设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.（1）若2n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；（2）若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；（3）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.。

2022炎德英才大联考高三月考试卷二理科数学(全国卷)

2022炎德英才大联考高三月考试卷二理科数学(全国卷)


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9.从 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9这 10个 数 中任取 5个 不 同的数 ,则 这 5个 不 同的数 的 中位数 为 4的 概率
为
嘉 A·
:· 号
C· 异
D· 告
10.如
B.4灭
C.5π
D.6π
第 Ⅱ卷
二 、填 空题 :本 大 题 共
4小 题 ,每 小题
5分
,共
20分 .
13.在 △ABC中 ,已 知 D是 AB边 上一点 ,若 3AD=2D乙 厅0=ao育 +ycB,则 r— y=
1⒋
已知
曰为 常 数 ,且 函 数
~
F(J)=√ 3
sin
/ J+曰 cos△∶,=∈
A,号
B,3 C,2 D.4
2
侧视 图
俯视图
理科数学试 题 第 1页 (共 4页 )
8.函 数 y·(J)=sin(ω =+p)(ω >0,0(印 (π )的 部分图象如 图所示 ,BC∥ ￡轴 ,当
广 ~n
劣∈LO,寸 」时 ,若 不
等式
(r)≥
./·
_sin 2t恒 成立 ,则 m的 取值范 围是
。~η
(0,寸 」的最 小 值 为
勿,则
勿=~.
15.已 知 函数 F(.r)=ln J+3和 g(r)=;J2— —防 +7(3>1,D∈ R),对 于 任 意 J1,J2∈ (1,2),且 臼 ≠
[理数答案]炎德英才大联考2012长沙一中高三3次月考

[理数答案]炎德英才大联考2012长沙一中高三3次月考

炎德·英才大联考长沙市一中2012届高三月考试卷(三)数学(理科)参考答案一㊁选择题题 号12345678答 案C A C B C A C C 二㊁填空题9.1310.2-111.200012.213.a <b <c14.(0,14]15.[0,1)16.(1)362 (2)46三㊁解答题17.解:(1)由已知得A =4,T =2π3.(2分)……………………………………………………………………………令3×π12+φ=0,有φ=-π4∈(-π2,π2).(4分)……………………………………………………………∴f (x )=4c o s (3x -π4).(6分)…………………………………………………………………………………(2)∵f (13A +π12)=-2,∴4c o s (A +π4-π4)=-2,即c o s A =-12.(8分)………………………………∵A ∈(0,π),∴A =2π3.(10分)…………………………………………………………………………………所以s i n B +s i n C =s i n B +s i n (π3-B )=32c o s B +12s i n B =s i n (π3+B ).当B =π6时,s i n B +s i n C 的最大值为1.(12分)…………………………………………………………………18.解:(1)∵a =(12,32),b =(3,-1),∴a ㊃b =0,|a |=1,|b |=2,(2分)……………………………………∵x ⊥y ,∴x ㊃y =0,∴-k +t 2+1=0,f (t )=t 2+1.(5分)……………………………………………………(2)∵f (a ㊃b )=f (0)=1,∴t 2-3m t +1>0对任意的大于0的实数t 恒成立,即3m <t 2+1t =t +1t 对任意的大于0的实数t 恒成立.(9分)………………………………………………令u (x )=t +1t≥2,当且仅当t =1时等号成立,即u (x )m i n =2,∴m ∈(-∞,2)为所求.(12分)…………………………………………………………………………………19.解:(1)由a n =3a n -1+3n 得a n 3n =a n -13n -1+1,即a n 3n -a n -13n -1=1,(2分)……………………………………………∴{a n 3n }是以2为首项,1为公差的等差数列,(4分)……………………………………………………………∴a n =(n +1)㊃3n (n ∈N *).(6分)………………………………………………………………………………(2)∵b n =n ㊃3n ,(7分)……………………………………………………………………………………………S n =1×31+2×32+3×33+ +n ㊃3n . ①3S n =1×32+2×33+3×34+ +n ㊃3n +1. ②(8分)………………………………………………………①-②得:-2S n =3+32+ +3n -n ㊃3n +1=3(3n -1)3-1-n ㊃3n +1.(10分)…………………………………∴S n =n 2㊃3n +1-3n +14+34=(2n -1)4㊃3n +1+34.(12分)…………………………………………………20.解:(1)∵函数y =f (x )的解析式为f (x )=42c o s (π6x -π3),∴S =∫5042c o s (π6x -π3)d x =42×6πs i n (π6x -π3)|50=242π[s i n (5π6-π3)-s i n (-π3)]=242+126π.(6分)………………………………………………(2)由题意S (2,42),P (8,0),从而|S P |=(2-8)2+(42)2=217.(8分)…………………………解法一:在△S M P 中,由余弦定理P S 2=S M 2+M P 2-2S M ㊃M P c o s 120°=S M 2+M P 2+S M ㊃M P =(S M+M P )2-S M ㊃M P ≤(S M +M P )2-(S M +M P )24=34(S M +M P )2,(11分)………………………………故S M +M P ≥23P S =4513.当且仅当S M =M P 时等号成立.即设计为S M =M P =2513时,折线段S M P 最长.(13分)……………………………………………………解法二:在△S M P 中∠S M P =120°,S P =217,设∠S P M =θ,由正弦定理S P s i n 120°=S M s i n θ=M P s i n (60°-θ)=21732=4513,∴S M =4513s i n θ,M P =4513s i n (60°-θ),S M +M P =4513s i n θ+4513s i n (60°-θ)=4513(12s i n θ+32c o s θ)=4513s i n (θ+60°).当θ+60°=90°即θ=30°时,折线段S M P 最长.即设计∠S P M =30°折线段S M P 最长.(13分)…………………………………………………………………21.解:(1)∵f (x )=m x x 2+n ,∴f '(x )=m n -m x 2(x 2+n )2.(2分)…………………………………………………………由已知得f (1)=2f '(1){=0⇒m =4n {=1或m =0n {=-1(舍去),(4分)…………………………………………………………∴f (x )=4x x 2+1.(5分)……………………………………………………………………………………………(2)f '(x )=-4(x +1)(x -1)(x 2+1)2,令f '(x )=0,有x =±1.x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f'(x )-0+0-f (x )↘极小值↗极大值↘又∵当x >0,f (x )>0,当x <0时,f (x )<0,∴f (x )m a x =2,f (x )m i n =-2.(9分)……………………………………………………………………………∵对于∀x 1∈R ,总∃x 2∈[-1,1]使g (x 2)≤f (x 1),∴当x ∈[-1,1]时,g (x )的最小值不大于-2.(10分)………………………………………………………又g (x )=(x -a )2+a -a 2,1° 当a ≤-1时,g (x )m i n =g (-1)=1+3a ≤-2,a ≤-1,符合题意;2° 当-1<a <1时,g (x )m i n =g (a )=a -a 2≤-2,a ≤-1或a ≥2,不符合题意舍去;3° 当a ≥1时,g (x )m i n =g (1)=1-a ≤-2,a ≥3,符合题意.综上所述a ∈(-∞,-1]∪[3,+∞).(13分)…………………………………………………………………22.解:(1)∵S n =n a n +2-n (n -1)2(n ≥2), ①∴S n -1=(n -1)a n -1+2-(n -1)(n -2)2(n ≥3), ②①-②得:a n =n a n -(n -1)a n -1-n -12×2.(2分)……………………………………………………………∴a n -a n -1=1(n ≥3,n ∈N *).∵a 1+a 2=2a 2+2-1,∴a 2=3,∴a n =4(n =1)n +1(n ≥2,n ∈N *{).(4分)…………………………………………(2)(ⅰ)1° 当n =2时,b 2=b 21-b 1-2=10>3=a 2,不等式成立.(5分)……………………………………2° 假设n =k (k ≥2,k ∈N *)时,b k ≥k +1,那么当n =k +1时,b k +1=b 2k -(k -1)b k -2=b k [b k -(k -1)]-2≥2b k -2≥2(k +1)-2=2k ≥k +2,∴当n =k +1时,不等式也成立.综合1°,2°可知:当n ≥2时,b n ≥a n .(8分)………………………………………………………………………(ⅱ)设f (x )=l n (1+x )-x (x >0),则f '(x )=11+x -1=-x 1+x <0,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减,∴f (x )<f (0)=0即l n (1+x )<x .(10分)…………………………………∵当n ≥2,n ∈N *时,1b n ≤1a n =1n +1,∴l n (1+1b n b n +1)<1(n +1)(n +2)=1n +1-1n +2,∴l n (1+1b 2b 3)+l n (1+1b 3b 4)+ +l n (1+1b n b n +1)<13-14+ +1n +1-1n +2=13-1n +2<13,∴(1+1b 2b 3)(1+1b 3b 4) (1+1b n b n +1)<3e .(13分)……………………………………………………………。