江苏省南京师大附中2012届高三12月阶段性检精彩试题(数学)

Read xIfx>Then1y x ←+Else江苏省2012届高三数学高考适应性检测卷（南师大数科院命制2012-5）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．)1．复数ii 4321+-在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限．2．设全集{1,3,5,7}U =，集合{1,5}M a =-，M U ⊆,{}5,7UM =，则实数a 的值为▲ ．3．过点()1,0且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 ▲ ．4．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标()n m 、，求点P 落在圆1622=+y x 内的概率为 ▲ ．5．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ▲ ．6．如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点,且2155AP AB AC =+，AQ=23AB +14AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为▲ ．7．下图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序,若x 依次取数1100n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()n N +∈ 中的前200项，则所得y 值中的最小值为 ▲ ．（第6题）8．在ABC ∆中，若,,AB AC AC b BC a⊥==,则ABC ∆的外接圆半径22a b r +将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是:在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R =▲ ．9．若a 是12b +与12b -的等比中项,则22ab a b+的最大值为 ▲ ．10．空间直角坐标系中,点(6,4sin ,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．11．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：x358915x lgb a -2c a +c a 333--b a 24-13++-c b a请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ．12．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线,l 1与l 2间的距离是1,l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 ▲ ．13．已知数列{}na 、{}nb 都是等差数列，n nT S,分别是它们的前n 项和，并且317++=n n T Snn，则1612108221752b b b b a a a a ++++++= ▲ ．14．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-,函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-，1[2,2]x ∀∈-，总0[2,2]x∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分。

南京市2012年届高三第二次模拟考试数学试卷解析 2012.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．已知集合{}R x x x x A ∈≤-=,02|2，}{a x x B ≥=|，若B B A =Y ，则实数a 的取值范围是 。

解析：B B A =Y 可知道B A ⊆，又]2,0[=A 所以实数a 的取值范围是]0,(-∞11.已知i b iia -=+3，其中Rb a ∈,，i 为虚数单位，则=+b a 。

解析：将等式两边都乘i ，得到bi i a +=+13，两边比较得结果为412.某单位从4名应聘者A 、B 、C 、D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A ，B 两人中至少有1人被录用的概率是 。

解析：从题目来看，所有的可能性共有6种，但A ，B 都没被录取的情况只有一种，即满足条件的有5种，所以结果为65 4、某日用品按行业质量标准分成王五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布如下的件数为 。

解析：由所有频率之和为1，可知道a =0.1，由频率公式可知道所求件数为20。

5、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+212y y x y x ，则目标函数y x z +-=2的取值范围是解析：画出可行域，可以知道目标函数的取值范围是[－4，2]6、已知双曲线1222=-y ax 的一条渐近线方程为02=-y x ，则该双曲线的离心率=e解析：焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是0=±ay bx ，与题是所给比较得5.1,2===c b a ，所以结果为527、已知圆C 的经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点，又经过抛物线x y 82=的焦点，则圆C 的方程为 。

解析：先求直线得022=+-y x 与坐标轴的交点为)2,0(),0,1(B A -，抛物线x y 82=的焦点为)0,2(D ，可把圆C 的方程设为一般形式，把点坐标代入求得x 2＋y 2－x －y －2＝0法2。

江苏省南京市南京师大附中2025届数学高三第一学期期末学业质量监测试题 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( )A ．−8B ．−6C ．6D ．82．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ）A ．28B ．14C ．7D ．2 3．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．3(0,]4 C ．3[,1]4 D ．[1,)+∞4．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．85．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ） A．5 B．7 C- D．9-6．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ） A ．[2，4] B ．[4，6] C ．[5，8] D ．[6，7]7．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24B ．36C ．48D ．64 8．若函数()2x f x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 9．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<10．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37 D ．92811．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南京市2012年届高三第二次模拟考试数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．已知集合{}R x x x x A ∈≤-=,02|2，}{a x x B ≥=|，若B B A = ，则实数a 的取值范围是 。

解析：B B A = 可知道B A ⊆，又]2,0[=A 所以实数a 的取值范围是]0,(-∞11.已知i b iia -=+3，其中Rb a ∈,，i 为虚数单位，则=+b a 。

解析：将等式两边都乘i ，得到bi i a +=+13，两边比较得结果为412.某单位从4名应聘者A 、B 、C 、D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A ，B 两人中至少有1人被录用的概率是 。

解析：从题目来看，所有的可能性共有6种，但A ，B 都没被录取的情况只有一种，即满足条件的有5种，所以结果为65 4、某日用品按行业质量标准分成王五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布如下的件数为 。

解析：由所有频率之和为1，可知道a =0.1，由频率公式可知道所求件数为20。

5、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+212y y x y x ，则目标函数y x z +-=2的取值范围是解析：画出可行域，可以知道目标函数的取值范围是[－4，2]6、已知双曲线1222=-y ax 的一条渐近线方程为02=-y x ，则该双曲线的离心率=e解析：焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是0=±ay bx ，与题是所给比较得5.1,2===c b a ，所以结果为527、已知圆C 的经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点，又经过抛物线x y 82=的焦点，则圆C 的方程为 。

解析：先求直线得022=+-y x 与坐标轴的交点为)2,0(),0,1(B A -，抛物线x y 82=的焦点为)0,2(D ，可把圆C 的方程设为一般形式，把点坐标代入求得x 2＋y 2－x －y －2＝0法2。

江苏省南京师大附中2015届高三12月段考数学试卷2014.12.30注意事项：本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．．．．．．．．．1．在复平面内，复数－3＋i 和1－i 对应的点间的距离为 ▲ ．2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 ▲ ．3．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种花卉的平均花期为 ▲ 天．4．若sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝ ▲ ．5．直线x cos α＋3y ＋2＝0(α∈R)的倾斜角的范围是 ▲ ．6．设函数f (x )是奇函数且周期为3，f (－1)＝－1， 则f (2014)＝ ▲7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i 的值为 ▲ ．8．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足1263CM CB CA =+，则MA MB ⋅＝ ▲ ．9．有下面四个判断：①命题“设a 、b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题；③命题“∀a 、b ∈R ，a 2＋b 2≥2(a －b －1)”的否定是“∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤2(a －b －1)”； ④若函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫a ＋2x ＋1的图象关于原点对称，则a ＝3．其中正确的有 ▲ 个．10．若双曲线x 2a 2－y 23＝1的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为▲ ．11．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为 ▲ ．12．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为 ▲ ．13．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为 ▲ ．14．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x ) 成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2．则数列的通项公式a n ＝ ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且b 2＝12ac ．(1)求证：cos B ≥34；(2)若cos(A －C )＋cos B ＝1，求角B 的大小．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝CC 1，E ，F 分别为AB ，AA 1的中点． (1)求证：直线EF ∥平面BC 1A 1；(2)求证：EF ⊥B 1C ．17．(本小题满分14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--． （Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）．18.（本小题满分16分）已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：x 216＋y 215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．（1）求抛物线D 的方程；（2）过椭圆C 右顶点A 的直线l 交抛物线D 于M 、N 两点． ① 若直线l 的斜率为1，求MN 的长；② 是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如 果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由． 19．（本小题满分16分）设函数1()ln ().f x x a x a R x=--∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12x x 和，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2?k a =-若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）记数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈N*），若存在实常数A ，B ，C ，对于任意正整数n ，都有2n n a S An Bn C +=++成立．（1）已知0A B ==，10a ≠，求证：数列{}n a （n ∈N*）是等比数列；（2）已知数列{}n a （n ∈N*）是等差数列，求证：3A C B +=； （3）已知11a =，0B >且1B ≠，2B C +=．设λ为实数，若n ∀∈N*，1nn a a λ+<， 求λ的取值范围．南京师大附中2015届高三12月段考试卷数 学 2014.12.30注意事项：本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．．．．．．．．．1．在复平面内，复数－3＋i 和1－i 对应的点间的距离为 ▲ ． 解析 －3＋i －1＋i|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝20＝2 5. 答案 2 52．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 ▲ ．解析 设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为12π×124＝π8.答案 π83．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种花卉的平均花期为 ▲ 天．解析 x ＝1100(12×20＋15×40＋18×30＋21×10)＝15.9(天)．答案 15.94．若sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝ ▲ ． 解析 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝35，所以cos α＝45， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝－22(cos α－sin α)＝－210. 答案 －2105．直线x cos α＋3y ＋2＝0(α∈R)的倾斜角的范围是 ▲ ． 解析:由x cos α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－33cos α. ∵－1≤cos α≤1，∴－33≤k ≤33. 设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33. 结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象可知，0≤θ≤π6或5π6≤θ<π. 6．设函数f (x )是奇函数且周期为3，f (－1)＝－1，则f (2014)＝ ▲ ．解析 因为f (－x )＝－f (x )，f (x ＋3)＝f (x )，f (－1)＝－1，所以f (1)＝1，f (2 014)＝f (3×671＋1)＝f (1)＝1. 答案 17．阅读下面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i 的值为 ▲ ． 解析 第一次运行结束：i ＝1，a ＝2； 第二次运行结束：i ＝2，a ＝5； 第三次运行结束：i ＝3，a ＝16；第四次运行结束：i ＝4，a ＝65，故输出i ＝4. 答案 48．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足1263CM CB CA =+，则MA MB ⋅＝ ▲ ．3)，则M ⎝⎛⎭⎫332，12，解析 建立直角坐标，由题意，设C (0,0)，A (23，0)，B (3，MA MB ⋅＝⎝⎛⎭⎫32，－12·⎝⎛⎭⎫－32，52＝－2.答案 －29．有下面四个判断：①命题“设a 、b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题；③命题“∀a 、b ∈R ，a 2＋b 2≥2(a －b －1)”的否定是“∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤2(a －b －1)”； ④若函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫a ＋2x ＋1的图象关于原点对称，则a ＝3．其中正确的有 ▲ 个．解析 对于①：此命题的逆否命题为“设a 、b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，①错误；“p 或q ”为真，则p 、q 至少有一个为真命题，②错误；“∀a 、b ∈R ，a 2＋b 2≥2(a －b －1)”的否定是“∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2<2(a －b －1)”，③错误；对于④：若f (x )的图象关于原点对称，则f (x )为奇函数，则f (0)＝ln(a ＋2)＝0，解得a ＝－1，④错误． 答案 010．若双曲线x 2a 2－y 23＝1的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为▲ ． 答案 2解析 双曲线x 2a 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3a x ，即3x ±ay ＝0，圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2,0)，半径为r ＝2，如图，由 圆的弦长公式得弦心距|CD |＝22－12＝3，另一方面，圆心 C (2,0)到双曲线x 2a 2－y 23＝1的渐近线3x －ay ＝0的距离为d ＝|3×2－a ×0|3＋a 2＝233＋a 2，所以233＋a 2＝3，解得a 2＝1，即a ＝1，该双曲线的实轴长为2a ＝2.11．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为 ▲ ．解析 由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n )≥n ＋22. 答案 f (2n )≥n ＋2212．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为 ▲ ． 答案26解析 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍. 在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.13．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为 ▲ ． 解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4.当x <0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1x 3.g (x )在区间[－1,0)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4， 综上可知a ＝4. 答案 414．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x ) 成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2．则数列的通项公式a n ＝ ▲ ． 解析 由a n ＋1＝f (2n ＋1)＝2f (2n )＋2n f (2)＝2a n ＋2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n2n ＝n ，a n ＝n ·2n .答案 n ·2n二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定．．．．．区域内．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且b 2＝12ac .(1)求证：cos B ≥34；(2)若cos(A －C )＋cos B ＝1，求角B 的大小．解 (1)因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ……………2分＝a 2＋c 2－12ac 2ac ≥2ac －12ac2ac ＝34，所以cos B ≥34 ……6分(2)因为cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ＝1， 所以sin A sin C ＝12.……………8分又由b 2＝12ac ，得sin 2B ＝12sin A sin C ＝14， ……………10分又B ∈(0，π)，且cos B ≥34>0,知B 为为锐角 ……………12分故sin B ＝12，得B ＝π6.……………14分16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝CC 1，E ，F 分别为AB ，AA 1的中点． (1)求证：直线EF ∥平面BC 1A 1； (2)求证：EF ⊥B 1C .证明 (1)由题知，EF 是△AA 1B 的中位线， 所以EF ∥A 1B ……………2分由于EF ⊄平面BC 1A 1，A 1B ⊂平面BC 1A 1，所以EF ∥平面BC 1A 1. ……………6分(2)由题知，四边形BCC 1B 1是正方形，所以B 1C ⊥BC 1. ……8分 又∠A 1C 1B 1＝∠ACB ＝90°，所以A 1C 1⊥C 1B 1.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面A 1C 1B 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1B 1，从而A 1C 1⊥CC 1， 又CC 1∩C 1B 1＝C 1，CC 1，C 1B 1⊂平面BCC 1B 1，所以A 1C 1⊥平面BCC 1B 1 又B 1C ⊂平面BCC 1B 1，所以A 1C 1⊥B 1C . . ……………10分因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面BC 1A 1，所以B 1C ⊥平面BC 1A 1. ……………12分 又A 1B ⊂平面BC 1A 1，所以B 1C ⊥A 1B .又由于EF ∥A 1B ，所以EF ⊥B 1C . ……………14分17．(本小题满分14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--. （Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）. 解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t=⋅=+-- ………5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩…………………7分①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t=++=++4401441≥⨯=当且仅当25t t=，即5t =时取等号 …………………10分 ②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t =+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033……………………13分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元 ………14分18.（本小题满分16分）已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：x 216＋y 215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．（1）求抛物线D 的方程;（2）过椭圆C 右顶点A 的直线l 交抛物线D 于M 、N 两点． ① 若直线l 的斜率为1，求MN 的长;② 是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如 果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由． 解：(1)由题意,可设抛物线方程为()022>=p px y . 由13422=-=-b a ,得1=c .∴抛物线的焦点为()0,1,2=∴p . ∴抛物线D 的方程为x y 42=…………… 4分(2)设()11,y x A ,()22,y x B .① 直线l 的方程为：4-=x y , 联立⎩⎨⎧=-=xy x y 442,整理得:016122=+-x x)522,526(),522,526(++--A A AB ∴=()()221221y y x x ---104=9分② 设存在直线a x m =:满足题意,则圆心114,22x y E +⎛⎫⎪⎝⎭,过E 作直线a x =的垂线,垂足为F ,设直线m 与圆E 的一个交点为G .可得: 222,FG EG FE =- ……………11分即222FGEA FE=-=()2121212444⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-a x y x =()()()21212121444441a x a x x y -+++--+=()211144a x a x x -++-=()2143a a x a -+-……………………………… 14分当3=a 时, 23FG =,此时直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值32. 因此存在直线3:=x m 满足题意 ……………………………………16分 19．（本小题满分16分） 设函数1()ln ().f x x a x a R x=--∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12x x 和，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2?k a =-若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．解：（1）()f x 的定义域为(0,).+∞22211'()1a x ax f x x x x-+=+-=……………………………………2分 令2()1,g x x ax =-+其判别式D =a 2-4.当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥时故()(0,)f x +∞在上单调递增．……………………………………3分当2a <-时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在上单调 递增．……………………………………5分当2a >时,>0,g(x)=0的两根为12x x == 当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时， '()0f x <；当2x x >时， '()0f x >，故()f x 分别 在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减．………………8分（2）由（1）知，2a >． 因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--，所以 1212121212()()ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+--- 又由(1)知，121x x =．于是1212ln ln 2x x k ax x -=--……………………………………10分 若存在a ，使得2.k a =-则1212ln ln 1x x x x -=-．……………………………………12分 即1212ln ln x x x x -=-． 亦即222212ln 0(1)(*)x x x x --=> 再由（1）知，函数1()2ln h t t t t=--在(0,)+∞上单调递增，而21x >， 所以222112ln 12ln10.1x x x -->--=与(*)式矛盾．故不存在a ，使得2.k a =-.…16分20．（本小题满分16分）记数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈N*），若存在实常数A ，B ，C ，对于任意正整数n ，都有2n n a S An Bn C +=++成立．（1）已知0A B ==，10a ≠，求证：数列{}n a （n ∈N*）是等比数列；（2）已知数列{}n a （n ∈N*）是等差数列，求证：3A C B +=；（3）已知11a =，0B >且1B ≠，2B C +=．设λ为实数，若n ∀∈N*，1n n a a λ+<，求λ的取值范围． 解：（1）由0A B ==，得n n a S C +=（n ∈N*）， ①从而11n n a S C +++=． ② ………2分 ②－①式得12n n a a +=，又10a ≠，所以数列{}n a 为等比数列． ………4分（2）由数列{}n a 是等差数列，可令公差为d ，则11(1)(1),2n n n n a a n d S na d -=+-=+． 于是由2n n a S An Bn C +=++得1221()22d d n a n a n B C d A n ++++=+-． 由正整数n 的任意性得11,2,2.d A d B a C a d ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=-⎪⎪⎩………6分 从而得113223d d a a B A d C +-=+==+． ………8分 （3）由11a =，2B C +=，及2n n a S An Bn C +=++，得12a A B C =++，即2A B C =++， 则有0A =． ………9分于是(2)n n a S Bn B +=+-，从而11(1)(2)n n a S B n B +++=++-，相减得12n n a a B +-=，11()2n n a B a B +-=-， 又11a =，1B ≠，则10a B -≠， 所以111()2n n a B a B --=-，即11(1)2n n a B B -=-+． ………12分 于是111(1)121(1)2(11)2n n n n n B B B B BB a B a -+-+=--+-=++．由0B >且1B ≠，下面需分两种情形来讨论．（i ）当01B <<时，10B ->，则式子1(1)2n B B B --+的值随n 的增大而减小， 所以，对n ∀∈N *,1n n a a +的最大值在1n =时取得，即max 12()111(1)2n n n a B B B B a +--+==+=+．于是，对于n ∀∈N *,121n n a a B +≤+，又1n n a a λ+<，21B λ∴>+． ………14分 （ii ）当1B >时，由(1)2(1)210n B B B B B -+≥-+=+>，2221n B B B ≥>-， 得110(1)2n B B B--<<-+．所以，对于n ∀∈N *， 11011(1)2n n n a B a B B+-<=+<-+． ① 假设1λ<，则有0λ>，且111(1)2n n n a B a B B λ+-=+<-+, 得(1)(2)2(1)n B B λλ--<-,即2(1)(2)log (1)B n Bλλ--<-， 这表明，当n 取大于等于2(1)(2)log (1)B B λλ---的正整数时，1n n a a λ+<不成立， 与题设不符，矛盾．所以1λ≥．又由①式知1λ≥符合题意． 故1B >时，1λ≥．综上所述，当01B <<时，21Bλ>+；当1B >时，1λ≥． ……16分。

2012届南京师大附中高三数学二轮复习周统测（四) 2012。

3。

14一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．．1．设集合A＝{x||x－2｜≤2}，B＝｛y｜y=－x2,－1≤x≤2},则A∩B ＝▲．2．高三⑴班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56．现采用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为▲．3．已知复数z1＝2＋i，z2＝3－i，其中i是虚数单位，则复数错误!的实部与虚部之和为▲．4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是▲．5．如图，在ABC△中，3AB=，2AC=，D是边BC的中点，则AD BC⋅=▲．6．已知a ＝log 30。

5，b ＝30。

2，c ＝sin2,则a ，b ,c 按从小到大的排列顺序是 ▲ ．7．若△ABC 的内角A 满足322sin =A ,则=+A A cos sin ▲ ．8．下列四个命题：①命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠"； ②若命题p :“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0．”则p ⌝：“x ∀∈R ，x 2＋x＋1≥0”；③对于平面向量a ，b ,c ，若a ≠b ，则a ·c ≠b ·c ；④已知u ,v 为实数,向量a ,b 不共线，则u a ＋v b ＝0的充要条件是u ＝v ＝0．其中真命题有 ▲ （填上所有真命题的序号）．9．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD//BC,90ABC ∠=︒，侧棱PA ⊥底面ABCD ，若AB=BC=12AD ，则CD与平面PAC 所成的角为 ▲ ．10．数列1,错误!，错误!，…，错误!的前n 项和为 ▲ ．11．已知抛物线x y 42=的准线与双曲线1222=-y ax )0(>a 相交于B A ,两点，且F 是抛物线的焦点，若FAB ∆是直角三角形,则双曲线的离心率为 ▲ ．12．己知函数f (x )＝错误!则不等式2)(x x f ≥的解集为 ▲ ．13．实系数方程220xax b ++=的两根为1x 、2x ，且12012x x <<<<，则21b a --的取值范围是 ▲ ．14．已知函数f （x ）=2111x ax x +++（a ∈R ），若对于任意的x ∈N ＊,f (x )≥3恒成立， 则a 的取值范围是 ▲ ．二．解答题:本大题共6小题,共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点,点G 是线段CO 的中点，4AB BC AC===，22PA PC ==．求证： （1)PA ⊥平面EBO ; （2）FG ∥平面EBO ．16．（本题满分14分）设向量a ＝（1，cos2θ)，b ＝（2，1），c ＝(4sin θ,1），d ＝（错误!sin θ,1）． （1）若θ∈（0，错误!)，求a ·b －c ·d 的取值范围；（2）若θ∈[0，π)，函数f （x )＝｜x －1|,比较f (a ·b ）与f (c ·d )的大小．17．(本题满分14分）如图,线段AB=8，点C 在线段AB 上，且AC=2，P 为线段CB 上一动点，点A绕着C 旋PABOE FG转后与点B绕点P旋转后重合于点D，设,=∆的面积为()f x．CP x CPD（1）求x的取值范围；（2）求f(x）的的最大值．18．(本小题满分15分）已知A（－2，0)，B(2，0)为椭圆C的左、右顶点，E(1，错误!）是C上的一点．F为C的右焦点。

江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,3,4,5U A B ===，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{}2,6 B ．{}3,5C ．{}1,3,4,5D ．{}1,2,4,62．已知复数1i1iz -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．-13．设α，β是两个平行平面，若α内有3个不共线的点，β内有4个点（任意3点不共线），从这些点中任取4个点最多可以构成四面体的个数为（ ） A ．34B ．18C ．12D ．74．在宋代《营造法式》一书中，记载着我国古代一项兼具屋面排水与檐下采光，且美观好看的建筑技术——举折，其使屋面呈一条凹形优美的曲线，近似物理学中的最速曲线.如图，“举”是屋架BC 的高度h ，点1234,,,B B B B 是屋宽AB 的五等分点，连接AC ，在1B 处下“折”10h安置第一榑1C ，连接1AC ，在2B 处下“折”20h安置第一榑2C ，依次类推，每次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，则第四榑4C 的高度44B C 为（ ）A ．5hB ．8hC ．320h D ．215h 5．已如,,A B C 是表面积为16π的球O 的球面上的三个点，且1,120AC AB BAC ∠===o ，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．112B C ．14D 6．若直线l 与曲线3y x =和圆2225+=x y 都相切，则l 的方程可能为（ ）A ．21y x =+B ．32y x =-C ．1y x =+D ．1133y x =+7．已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（ ）A ．25B C ．35 D 8．已知函数()()ππsin 2,64f x x g x f x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若对任意的[],π,a b m m ∈-，当a b >时，()()()()f a f b g a g b -<-恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．π19π,224⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．π17π,224⎛⎤⎥⎝⎦C ．7π19π,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7π17π,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．已知数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列结论正确的是（ ）A ．若“*1,n n a a n +>∈N ”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件B ．“n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列”是“{}n a 为等差数列”的必要不充分条件C ．若{}n a 为等比数列，则36396,,S S S S S --成等比数列D ．若{}n a 为等比数列，则{}n S 可能是等差数列10．已知函数()()πsin 0,0π2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<<< ⎪⎝⎭，则()f x 在区间()0,1上可能（ ）A ．单调递增B ．有零点C ．有最小值D ．有极值点11．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A ．若O 为线段PQ 中点，则2PF =B ．若4PF =，则OP =C ．存在直线l ，使得PF QF ⊥D ．△PFQ 面积的最小值为212．已知点A ，B 是函数()()232f x x x ax a =-+∈R 图象上不同的两点，则下列结论正确的是（ ）A ．若直线AB 与y 轴垂直，则a 的取值范围是4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．若点A ，B 分别在第二与第四象限，则a 的取值范围是(),0∞-C ．若直线AB 的斜率恒大于1，则a 的取值范围是7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．不存在实数a ，使得A ，B 关于原点对称三、填空题13．在ABC V 中，已知点D 满足BC CD λ=u u u r u u u r ，若32AD AC AB =-u u u r u u u r u u u r，则λ=.14．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边.若222225a b c +=，则cos C 的最小值为.15．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 分别作C 的两条渐近线的平行线与C 交于A ，B 两点，若||AB =，则C 的离心率为 16．若函数()21ln 2f x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()00f x <，则b 的最大值为.四、解答题17．已知ABC V 的三内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 分别为，()cos 2cos C b A =. (1)求A ；(2)若a =ABC V 周长的最大值.18．如图，矩形BCDE 所在平面与ABC V 所在平面垂直，90ACB ∠=o ，2BE =(1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)若平面ADE 与平面ABC 4AE =，求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值.19．已知等比数列{}n a 公比为2，数列{}n b 满足112b =，若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12n n +⋅. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在正整数(),,2p q p q ≠，使得2,,p q b b b 成等差数列，若存在，请求出所有满足条件的正整数,p q ，如不存在，请说明理由.20．随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以再店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取. (1)求第二天获得优惠金额的数学期望；(2)记“第i 天抽取1张奖券”的概率为i P ，写出i P 与1i P +的关系式并求出i P .21．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，直线l 过抛物线28y x =的焦点和点()0,b .已知C 的焦距为6且一条渐近线与l 平行. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线m 过双曲线C 上的右焦点，若m 与C 交于点,A B （其中点A 在第一象限），与直线43x =交于点T ，过T 作平行于OA 的直线分别交直线,OB x 轴于点,P Q ，求TP PQ . 22．已知函数()()()322e ,23x f x x g x x x =-=-.(1)求曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程； (2)已知实数0a >，设()()()h x af x g x =-. （i ）若3a =，求()h x 的极值； （ii ）若()h x 有3个零点，求a 的值.。

江苏省南京师大附中2012届高三12月阶段性检测数 学 试 卷2011—12—13一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．．．．．．．．．．1．若a ,b ∈R,i 为虚数单位,且（a +i)i=b +i ，则a +b = ▲ ．2．过点（—1,—2）的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 ▲ ．3．已知四棱椎P －ABCD 的底面是边长为6 的正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =,则该四棱椎的体积是▲ ．4．已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,若a =1，bA +C =2B ,则sinC = ▲ ．5．给定下列四个命题：面相互平行；④垂直于同一直线的两个平面相互平行上面命题中，真命题．．．的序号是 ▲ （写出所有真命题的序号）．6．等差数列｛a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1≠0，S k +3＝0,则k = ▲ ．7．已知函数y =sin （ωx +ϕ）（ω〉0， －π≤ϕ〈π）的图像如图所示，则ϕ= ▲ ．8．已知x 、y满足5030x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则24z x y =+的最小值为 ▲ ．9．在ABC △中，BD 2DC =,AD mAB nAC =+,则m n= ▲ ．10．已知实数x ，y满足3221423x x ,y y≤≤≤≤，则xy 的取值范围是 ▲ ．11．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足1122::PFF F PF =6：5：4，则曲线C 的离心率等于 ▲ ．12．若)(x f 是R 上的减函数，且1)3(,3)0(-==f f ,设},2|1)(||{<-+=t x f x P}1)(|{-<=x f x Q ,若“Q x ∈”是“P x ∈”的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是 ▲ ．13．数列{a n }满足a 1＝1，a i ＋1＝错误! 其中m 是给定的奇数．若a 6＝6，则m = ▲ ．14．已知ω是正实数，设})](cos[)(|{是奇函数θωθω+==x x f S ，若对每个实数a ,ωS ∩)1,(+a a 的元素不超过２个，且存在实数a 使ωS ∩)1,(+a a 含有２个元素,则ω的取值范围是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分）设函数f(x)=a b ,其中向量a=（2cos x，1），b=（cos x，3sin2x），x∈R。

江苏省南京师大附中2013届高三（上）12月学情反馈数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是π．考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数y=1+sin2x，根据最小正周期等于求出结果．解答：解：函数y=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x，故它的最小正周期等于=π，故答案为：π．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，正弦函数的周期性及其求法，属于基础题．2．（5分）若集合A={x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有6个元素．考点：交集及其运算．分析：先化简集合A，即解一元二次不等式（x﹣1）2＜3x+7，再与Z求交集．解答：解：由（x﹣1）2＜3x+7得x2﹣5x﹣6＜0，∴A=（﹣1，6），因此A∩Z={0，1，2，3，4，5}，共有6个元素．故答案是 6点评：本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．3．（5分）函数的单调减区间是（﹣1，]．考点：复合函数的单调性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数，知﹣x2+3x+4＞0，由t=﹣x2+3x+4＞0是开口向下，对称轴为x=抛物线，利用复合函数的性质能求出函数的单调减区间．解答：解：∵函数，∴﹣x2+3x+4＞0，解得﹣1＜x＜4．∵t=﹣x2+3x+4＞0是开口向下，对称轴为x=抛物线，∴由复合函数的性质知函数的单调减区间是（﹣1，]．故答案为：（﹣1，]．点评：本题考查复合函数的单调性，解题时要认真审题，注意对数函数、二次函数的性质的合理运用．4．（5分）若=a+bi（i是虚数单位，a，b∈R），则乘积ab的值是﹣3．考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：先对等式的左端分子、分母同时乘以分母的共轭复数2+i进行化简，然后根据复数相等的条件当且仅当实部与虚部分别相等可求a，b进而可求ab．解答：解：∵∴﹣1+3i=a+bi根据复数相等的条件可得，a=﹣1，b=3∴ab=﹣3故答案为：﹣3点评：本题主要考查了复数的乘除的基本运算，还考查了复数相等的条件：当且仅当实部与虚部分别相等，属于基础试题．5．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．解答：解析：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故．故填：．点评：本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6．（5分）给出一个算法：Read xIf x≤0，Thenf（x）←4xElsef（x）←2xEnd，IfPrint，f（x）根据以上算法，可求得f（﹣1）+f（2）=0．考点：条件语句．专题：图表型．分析：先根据算法求出函数的解析式，然后根据自变量的值代入相应的解析式即可求出所求．解答：解：根据算法程序得：f（x）=∴f（﹣1）+f（2）=4×（﹣1）+4=0．故答案为：0点评：本题主要考查了条件语句，以及函数值的求解，同时考查了阅读算法语句的能力，属于基础题．7．（5分）椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为24．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直以及点P在椭圆上，求出点P的纵坐标，从而计算出△PF1F2的面积．解答：解：由题意得a=7，b=2 ，∴c=5，两个焦点F1 （﹣5，0），F2（5，0），设点P（m，n），则由题意得=﹣1，+=1，∴n2=，n=±，则△PF1F2的面积为×2c×|n|=×10×=24，故答案为：24．点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．。

2023-2024学年江苏省南京师范大学附属中学高三上学期期中考试数学试卷1.设集合，则（）A．B．C．D．2.已知复数，则的虚部为（）A．B．C．1D．-13.设α，β是两个平行平面，若α内有3个不共线的点，β内有4个点（任意3点不共线），从这些点中任取4个点最多可以构成四面体的个数为（）A．34B．18C．12D．74.在宋代《营造法式》一书中，记载着我国古代一项兼具屋面排水与檐下采光，且美观好看的建筑技术——举折，其使屋面呈一条凹形优美的曲线，近似物理学中的最速曲线.如图，“举”是屋架的高度，点是屋宽的五等分点，连接，在处下“折”安置第一榑，连接，在处下“折”安置第一榑，依次类推，每次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，则第四榑的高度为（）A．B．C．D．5.已如是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．6.若直线与曲线和圆都相切，则的方程可能为（）A．B．C．D．7.已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（）A．B．C．D．8.已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（）A．B．C．D．9.已知数列，记数列的前项和为，下列结论正确的是（）A．若“”是“为递增数列”的充分不必要条件B．“为等差数列”是“为等差数列”的必要不充分条件C．若为等比数列，则成等比数列D．若为等比数列，则可能是等差数列10.已知函数，则在区间上可能（）A．单调递增B．有零点C．有最小值D．有极值点11.已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（）A．若O为线段中点，则B．若，则C．存在直线l，使得D．△PFQ面积的最小值为212.已知点A，B是函数图象上不同的两点，则下列结论正确的是（）A．若直线AB与y轴垂直，则a的取值范围是B．若点A，B分别在第二与第四象限，则a的取值范围是C．若直线AB的斜率恒大于1，则a的取值范围是D．不存在实数a，使得A，B关于原点对称13.在中，已知点满足，若，则__________.14.已知分别为内角的对边.若，则的最小值为__________.15.已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为________16.若函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值，则的最大值为__________.17.已知的三内角所对的边分别是分别为，且.(1)求；(2)若，求周长的最大值.18.如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，(1)证明：平面；(2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值.19.已知等比数列公比为2，数列满足，若数列的前项和为.(1)求数列和的通项公式；(2)是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，请求出所有满足条件的正整数，如不存在，请说明理由.20.随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以再店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取.(1)求第二天获得优惠金额的数学期望；(2)记“第天抽取1张奖券”的概率为，写出与的关系式并求出.21.设双曲线的方程为，直线过抛物线的焦点和点.已知的焦距为且一条渐近线与平行.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线过双曲线上的右焦点，若与交于点（其中点在第一象限），与直线交于点，过作平行于的直线分别交直线轴于点，求.22.已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)已知实数，设.（i）若，求的极值；（ii）若有3个零点，求的值.。

江苏省南京师大附中2012届高三下学期二轮复习周统测（五）数学试江苏省南京师大附中2012届高三下学期二轮复习周统测数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卷相应的位．．．．．．．置上. ．．1．设复数z?1?bi(b?R)且|z|?1，则复数z的虚部为▲ ．2．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为▲ 辆．3．设函数f(x)?x3cosx?1，若f(a)?11，则f(?a)? ▲ ．频率组距????4．已知向量a=(x?1,2),b=(4,y),若a?b，则9?3的最小值为▲ ．xyO304050607080时速(km/h)5．点P(2,?1)为圆(x?3)?y?25的弦的中点，则该弦所在直线的方程是▲ ．6．已知sin(??22DEC?4)?1，则sin?cos?的值为▲ ．3AB7．如图，矩形ABCD 中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于▲ ．8．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：P23?3?5,33?7?9?11,43?13?15?17?19,?,仿此，若m3的“分裂数”中有一个是31，则m的值为▲ ．9．如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PD?底面ABCD，PD=AD=1，设点C 到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC 的距离为d2，则比较d1,d2的大小有▲ ．10．执行如图的程序框图，若输出的n＝5，则输入整数p 的最小值是▲ ．11．已知函数f(x)满足f(1?x)?f(1?x)?2，且直线ADCB开始输入p n?1，S?0 S?p? 是否y?k(x?1)?1与f(x)的图象有5个交点，则这些交点的纵坐标之和为▲ ．S?S?2n?1 输出n 结束n?n?1 12．已知等比数列{an}的前10项的积为32，则以下命题中真命题的编号是▲ ．①数列{an}的各项均为正数；②数列{an}中必有小于2的项；③数列{an}的公比必是正数；④数列{an}中的首项和公比中必有一个大于1．13．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点p的轨迹方程是y?f(x)，则y?f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积S 是▲ ．???????????????????? ????????????14．已知平面向量OA,OB,OC满足：|OA|?|OB|?|OC|?1,OA?OB?0，若OA?xOC?yOB(x,y?R)，则x?y的取值范围是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15.(本小题共l4分)7?3?已知函数f(x)?sin(x?)?cos(x?)，x?R．44(1) 求f(x)的最小正周期和最小值；44?(2) 已知cos(???)?，cos(???)??，0?????．求f(?)的值．552 16.(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P?ABCD中，PD?平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC?6，BD?63，E是PB上任意一点．(1) 求证：AC?DE；(2) 当?AEC面积的最小值是9时，证明EC?平面PAB．PEDCAB17. (本小题满分14分) 如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30?，已知S的身高约为3米(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60?的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理．M O N S BA18.(本小题满分16分) x2y2设A、B分别为椭圆2?2?1(a,b?0)的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦距，且x?4ab是它的右准线，(1) 求椭圆方程；(2) 设P为右准线上不同于点的任一点，若直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B两点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内．yMAONBPx19.(本小题满分16分) 已知函数f(x)?ex?kx(x?R). (1) 若k?e，试确定函数f(x)的单调区间；(2) 若k?0且对任意x?R，f(|x|)?0恒成立，试确定实数k的取值范围；(3) 设函数F(x)?f(x)?f(?x)，求证：F(1)?F(2)?F(n)?(e 20.(本小题满分16分) 已知等比数列{an}的首项a1?2012，公比q??记为?(n)．(1) 求数列?Sn?的最大项和最小项；(2) 判断?(n)与?(n?1)的大小，并求n为何值时，?(n)取得最大值；(3) 证明{an}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d1,d2,d3,?dn，证明:数列{dn}为等比数列．10n?1?2)(n?N?)．n21，数列{an}前n项和记为Sn，前n 项积2答案１．0；２．38；３．-9；４．6；５．x?y?1?0；６．?７．7；181；８．6；９．d2?d1；１０．8；１１．5；2１２．③；１３．S???1；１４．(??,0)?(0,??) 15.(1) 解析：f(x)?sinxcos7?7?3?3? ?cosxsin?cosxcos?si nxsin4444?2sinx?2cosx?2sin(x?)，…………………………4分4?∴f(x)的最小正周期T?2?，最小值f(x)min??2．………………7分(2) 证明：已知得cos?cos??sin?sin??44，cos?cos??sin?sin??? 55两式相加得2cos?cos??0，∵0??????2，∴cos??0，则???2．……… 12分∴f(?)?2sin(?)?2．……………………………… 14分2416.解：证明：连接BD，设AC与BD相交于点F。

江苏省南京师大附中2015届高三上学期12月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．1．（5分）在复平面内，复数﹣3+i和1﹣i对应的点间的距离为．2．（5分）在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆（圆中阴影部分）中的概率是．3．（5分）对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如表：花期（天）11～13 14～16 17～19 20～22个数20 40 30 10则这种卉的平均花期为天．4．（5分）已知sinα=，α∈（﹣，），则cos（απ）=．5．（5分）直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围为．6．（5分）设函数f（x）是奇函数且周期为3，f（﹣1）=﹣1，则f=．7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为．8．（5分）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足，则=．9．（5分）有下面四个判断：①命题“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；③命题“∀a、b∈R，a2+b2≥2（a﹣b﹣1）”的否定是“∃a、b∈R，a2+b2≤2（a﹣b﹣1）”；④若函数的图象关于原点对称，则a=﹣1．其中正确的有（只填序号）10．（5分）若双曲线=1的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为．11．（5分）设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为．12．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为．13．（5分）设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为．14．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且．（1）求证：；（2）若cos（A﹣C）+cosB=1，求角B的大小．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．17．（14分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115﹣|t﹣15|．（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）．18．（16分）已知抛物线D的顶点是椭圆C：+=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．（1）求抛物线D的方程；（2）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．①若直线l的斜率为1，求MN的长；②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．19．（16分）设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）记数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），若存在实常数A，B，C，对于任意正整数n，都有a n+S n=An2+Bn+C成立．（1）已知A=B=0，a1≠0，求证：数列{a n}（n∈N*）是等比数列；（2）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，求证：3A+C=B；（3）已知a1=1，B＞0且B≠1，B+C=2．设λ为实数，若∀n∈N*，＜λ，求λ的取值范围．江苏省南京师大附中2015届高三上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．1．（5分）在复平面内，复数﹣3+i和1﹣i对应的点间的距离为2．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：求出两个复数的坐标，然后求出两点减的距离．解答：解：在复平面内，复数﹣3+i和1﹣i对应的点为（﹣3，1），（1，﹣1），它们之间的距离为：；故答案为：．点评：本题是基础题，考查复数与复平面之间的点的坐标的对应关系，两点减的距离公式的应用，考查计算能力．2．（5分）在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆（圆中阴影部分）中的概率是．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意，所求概率符合几何概型的概率求法，由此只要求出正方形的面积以及半圆的面积，求面积之比即可．解答：解：设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率符合几何概型的概率，所以豆子落在正方形内切圆的上半圆（圆中阴影部分）中的概率是故答案为：．点评：本题考查了几何概型的概率求法；豆子落在正方形内切圆的上半圆（圆中阴影部分）中的概率是几何概型的概率，只要明确事件的集合对应的区域面积，求面积比即可．3．（5分）对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如表：花期（天）11～13 14～16 17～19 20～22个数20 40 30 10则这种卉的平均花期为16天天．考点：众数、中位数、平均数．专题：计算题．分析：根据题意，算出每一组花期的平均花期，根据每一组花期的花卉个数，做出所有花的花期之和，用花期之和除以所用花的个数，得到答案．解答：解：由表格知，花期平均为12天的有20个，花期平均为15天的有40个，花期平均为18天的有30个，花期平均为21天的有10个，∴这种花卉的评价花期是=16，故答案为：16点评：本题考查一组数据的平均数，这里考查的是这组数据的加权平均数，这种问题容易出错的地方是忽略每一个数字的权重，本题好似一个基础题．4．（5分）已知sinα=，α∈（﹣，），则cos（απ）=﹣．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由α的范围，得到cosα大于0，由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，利用诱导公式化简所求式子中，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把各自的值代入即可求出值．解答：解：∵sinα=，α∈（﹣，），∴cosα==，则cos（α+π）=cos[π+（α+）]=﹣cos（α+）=﹣cosαcos+sinαsin=﹣×+×=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（5分）直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围为．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：由于直线xcosα+y+2=0的斜率为﹣，设此直线的倾斜角为θ，则0≤θ＜π，且﹣≤tanθ≤，由此求出θ的围．解答：解：由于直线xcosα+y+2=0的斜率为﹣，由于﹣1≤cosα≤1，∴﹣≤﹣≤．设此直线的倾斜角为θ，则0≤θ＜π，故﹣≤tanθ≤．∴θ∈．故答案为：．点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．6．（5分）设函数f（x）是奇函数且周期为3，f（﹣1）=﹣1，则f=1．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：f=f（671×3+1）=f（1）=﹣f（﹣1）=1．解答：解：∵f（x）是奇函数且周期为3，f（﹣1）=﹣1，∴f=f（671×3+1）=f（1）=﹣f（﹣1）=1．故答案为：1点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数的周期性和函数的奇偶性的灵活运用．7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为4．考点：循环结构．专题：计算题．分析：利用循环体，计算每执行一次循环后a的值，即可得出结论．解答：解：第一次循环，i=1，a=2；第二次循环，i=2，a=2×2+1=5；第三次循环，i=3，a=3×5+1=16；第四次循环，i=4，a=4×16+1=65＞50，退出循环，此时输出的值为4故答案为4：点评：本题考查循环结构，考查学生的读图能力，解题的关键是读懂循环结构．8．（5分）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足，则=﹣2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由等边△ABC的边长为，可得=6．再利用向量的三角形法则可得=，，代入==即可得出．解答：解：如图所示，由等边△ABC的边长为，∴===6．∵=，，∴=====+ 6=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了向量的三角形法则、数量积运算法则，属于基础题．9．（5分）有下面四个判断：①命题“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；③命题“∀a、b∈R，a2+b2≥2（a﹣b﹣1）”的否定是“∃a、b∈R，a2+b2≤2（a﹣b﹣1）”；④若函数的图象关于原点对称，则a=﹣1．其中正确的有④（只填序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：规律型．分析：①利用逆否命题与原命题的等价性进行判断．②利用复合命题与简单命题真假关系判断．③利用含有量词的命题的否定进行判断．④利用函数奇偶性的定义进行判断．解答：解：①当a=3且b=3时，a+b=6，所以命题正确，根据逆否命题和原命题的等价性可知，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”为真命题，∴①错误．②若“p或q”为真命题，则p、q至少有一个为真命题，∴②错误．③根据全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀a、b∈R，a2+b2≥2（a﹣b﹣1）”的否定是“∃a、b∈R，a2+b2＜2（a﹣b﹣1）”，∴③错误．④若函数的图象关于原点对称，则f（0）=ln（a+2）=0，解得a+2=1，即a=﹣1．∴④正确．故答案为：④．点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．10．（5分）若双曲线=1的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为2．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，求得圆心到渐近线的距离，再由直线和圆相交的弦长公式，解方程即可得到a=1，进而得到实轴长．解答：解：双曲线=1的渐近线方程为y=±，即±ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为r=2，由圆的弦长公式得弦心距|CD|==，另一方面，圆心C到双曲线的渐近线﹣ay=0的距离为d==，所以d==，解得a2=1，即a=1，该双曲线的实轴长为2a=2．故答案为：2．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆相交的弦长公式，考查点到直线的距离公式，属于基础题．11．（5分）设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为f（2n）≥（n∈N*）．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据已知中的等式：，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．解答：解：观察已知中等式：得，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，则f（2n）≥（n∈N*）故答案为：f（2n）≥（n∈N*）．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）12．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．解答：解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵，∴=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴，∴V三棱锥S﹣ABC==．故答案为．点评：利用截面圆的性质求出OO1是解题的关键．13．（5分）设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为4．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围．解答：解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3，当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，②当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，③当x＞时，f（x）为递增函数．所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可由f（）≥0，即a•﹣3•+1≥0，解得a≥4，由f（﹣1）≥0，可得a≤4，由f（1）≥0解得2≤a≤4，综上a=4为所求．故答案为：4．点评：本题以函数为载体，考查学生解决函数恒成立的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．14．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n=n2n．考点：数列的函数特性．专题：计算题．分析：可根据a n=f（2n）再利用对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立令x=2n，y=2得到递推关系式a n+1=2a n+2×2n然后两边同除以2n+1可构造出数列{}是以为首项公差为1的等差数列后就可解决问题了．解答：解：由于a n=f（2n）则a n+1=f（2n+1）且a1=2=f（2）∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）∴令x=2n，y=2则f（2n+1）=2n f（2）+2f（2n）∴a n+1=2a n+2×2n∴∴数列{}是以为首项公差为1的等差数列∴∴a n=n2n点评：此题主要考查了利用函数的特征求数列的通项公式，是函数与数列的综合题．解题的关键是分别赋予x=2n，y=2得到a n+1=2a n+2×2n然后构造出数列{}是以为首项公差为1的等差数列后就可求解．同时要对递推关系式a n+1=pa n+q n通过两边同除以q n+1构造出{}为等差数列进而求出a n的通项公式．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且．（1）求证：；（2）若cos（A﹣C）+cosB=1，求角B的大小．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：（1）由条件可得 cosB=，再利用基本不等式证得成立．（2）由cos（A﹣C）+cosB=1，可得sinAsinC=．再由可得 sin2B=sinA•sinC=，求得sinB=，可得B的值．解答：解：（1）∵由条件可得 cosB==≥=，故成立．（2）∵cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1，∴sinAsinC=．再由可得 sin2B=sinA•sinC=，∴sinB=，故B=．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，根据三角函数的值求角，属于中档题．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：（1）欲证直线EF∥平面BC1A1，只需证明EF平行平面BC1A1中的一条直线即可，由E、F分别为AB、AA1的中点，可知EF∥A1B，EF∥A1B⊂平面BC1A1，问题得证．（2）欲证EF⊥B1C，只需证明EF的平行线A1B垂直于B1C即可，也即证明B1C垂直于A1B所在的平面BA1C1，又须证明B1C垂直于平面BA1C1中的两条相交直线，由三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，以及∠ACB=90°，BC=CC1，极易证明BC1⊥B1C，A1C1⊥B1C，而BC1，A1C1为平面BA1C1中的两条相交直线，问题得证．解答：解：（1）∵E、F分别为AB、AA1的中点，∴EF∥A1B∵EF⊈平面BC1A1，A1B⊆平面BC1A1∴EF∥平面BC1A1．（2）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AC⊥CC1，∴AC⊥平面BB1C1C，∴AC⊥B1C，又∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥B1C，∵BC=CC1，BC⊥CC1，∴BC1⊥B1C∴B1C⊥平面BA1C1，∴B1C⊥A1B由（1）知，EF∥A1B∴EF⊥B1C．点评：本题主要考察了空间的线面平行，线线垂直的证明，充分考察了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力．17．（14分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115﹣|t﹣15|．（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）．考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题；分类讨论．分析：（Ⅰ）根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；（Ⅱ）因为w（t）中有一个绝对值，讨论t的取值，1≤t＜15和15≤t≤30两种情况化简得w（t）为分段函数，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可．解答：解：（Ⅰ）由题意得，；（Ⅱ）因为；①当1≤t＜15时，当且仅当，即t=5时取等号②当15≤t≤30时，，可证w（t）在t∈[15，30]上单调递减，所以当t=30时，w（t）取最小值为由于，所以该城市旅游日收益的最小值为万元．点评：考查学生根据实际情况选择函数类型的能力，以及基本不等式在求函数最值中的应用能力．18．（16分）已知抛物线D的顶点是椭圆C：+=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．（1）求抛物线D的方程；（2）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．①若直线l的斜率为1，求MN的长；②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设抛物线方程为y2=2px（p＞0）．由椭圆C：+=1可得右焦点（1，0），即可得出p；（2）①把直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式即可得出；②设存在直线m：x=a满足题意，则圆心，过E作直线x=a的垂线，垂足为F，设直线m与圆E的一个交点为G．可得：|FG|2=|EG|2﹣|FE|2=，当a=3时，|FG|2=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值．解答：解：（1）由题意，可设抛物线方程为y2=2px（p＞0）．由a2﹣b2=4﹣3=1，得c=1．∴抛物线的焦点为（1，0），∴P=2．∴抛物线D的方程为y2=4x．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．①直线l的方程为：y=x﹣4，联立，整理得：x2﹣12x+16=0，x1+x2=12，x1x2=16．∴|MN|===．②设存在直线m：x=a满足题意，则圆心，过E作直线x=a的垂线，垂足为F，设直线m与圆E的一个交点为G．可得：|FG|2=|EG|2﹣|FE|2，即|FG|2=|EA|2﹣|FE|2====，当a=3时，|FG|2=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值．因此存在直线m：x=3满足题意．点评：本题主要考查圆锥曲线的标准方程的求解、与直线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何基本思想方法和综合解题能力，属于难题．19．（16分）设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论．分析：（Ⅰ）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）假设存在a，使得k=2﹣a，根据（I）利用韦达定理求出直线斜率为k，根据（I）函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题．解答：解：（I）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=1+，令g（x）=x2﹣ax+1，△=a2﹣4，①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＜﹣2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为x1=，x2=，当0＜x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；当x＞x2时，f′（x）＞0；故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．（Ⅱ）由（I）知，a＞2．因为f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+﹣a（lnx1﹣lnx2），所以k==1+﹣a，又由（I）知，x1x2=1．于是k=2﹣a，若存在a，使得k=2﹣a，则=1，即lnx1﹣lnx2=x1﹣x2，亦即（*）再由（I）知，函数在（0，+∞）上单调递增，而x2＞1，所以＞1﹣1﹣2ln1=0，这与（*）式矛盾，故不存在a，使得k=2﹣a．点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'（x）=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．20．（16分）记数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），若存在实常数A，B，C，对于任意正整数n，都有a n+S n=An2+Bn+C成立．（1）已知A=B=0，a1≠0，求证：数列{a n}（n∈N*）是等比数列；（2）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，求证：3A+C=B；（3）已知a1=1，B＞0且B≠1，B+C=2．设λ为实数，若∀n∈N*，＜λ，求λ的取值范围．考点：等比关系的确定；等差数列的性质；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由a n+S n=C（n∈N*），a n+1+S n+1=C．得a n+1=2a n，故数列{a n}（n∈N*）是等比数列；（2）令公差为d，根据等差数列的通项公式和前n项和公式，得到．问题得以证明（3）根据题意到数列的递推公式，再分类讨论，求出λ的范围解答：解：（1）由A=B=0，得a n+S n=C（n∈N*），①从而a n+1+S n+1=C．②…2分②﹣①式得2a n+1=a n，又a1≠0，所以数列{a n}为等比数列．（2）由数列{a n}是等差数列，可令公差为d，则．于是由得．由正整数n的任意性得从而得．（3）由a1=1，B+C=2，及，得2a1=A+B+C，即2=A+B+C，则有A=0．于是a n+S n=Bn+（2﹣B），从而a n+1+S n+1=B（n+1）+（2﹣B），相减得2a n+1﹣a n=B，，又a1=1，B≠1，则a1﹣B≠0，所以，即．于是．由B＞0且B≠1，下面需分两种情形来讨论．（i）当0＜B＜1时，1﹣B＞0，则式子的值随n的增大而减小，所以，对∀n∈N*，的最大值在n=1时取得，即．于是，对于∀n∈N*，，又，∴．（ii）当B＞1时，由（1﹣B）+2n B≥（1﹣B）+2B=1+B＞0，2n B≥2B＞2B﹣1，得．所以，对于∀n∈N*，．①假设λ＜1，则有λ＞0，且，得，即，这表明，当n取大于等于的正整数时，不成立，与题设不符，矛盾．所以λ≥1．又由①式知λ≥1符合题意．故B＞1时，λ≥1．综上所述，当0＜B＜1时，；当B＞1时，λ≥1．点评：本题属于数列综合运用题，考查了由所给的递推关系证明数列的性质，对所给的递推关系进行研究求数列的递推公式以及利用数列的求和公式求其和，再由和的存在范围确定使得不等式成立的参数的取值范围，难度较大，综合性很强，对答题者探究的意识与探究规律的能力要求较高，是一道能力型题．。

第三节空间中的平行关系※【知识梳理】1．直线与平面的位置关系直线a和平面α的位置关系有、、，其中与统称直线在平面外．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平直线与这个平面平行；※【典例讲练】※【课后练习】※【典例讲练】题型一直线与平面、平面与平面的位置关系【例1】已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：①若m∥α，则m平行于平面α内的任意一条直线②若α∥β，m α，n β，则m∥n③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β④若a ∥β，m α，则m ∥β上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．[分析] 根据平行关系和判定方法，逐条确定．[解析] 若m ∥α，则m 平行于过m 所作平面与α的交线，并非α内任一条直线，故①错； 若α∥β，m α，n β，则可能m ∥n ，也可能m 、n 异面，故②错；⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥n ⎭⎪⎬⎪⎫⇒n ⊥α n ⊥β ⇒α∥β，③正确；⎭⎬⎫α∥βm α⇒m ∥β，④正确．故应填③④. [答案] ③④[点评] 证明线、面平行关系，其主要依据为线面平行的定义、定理、推理等．〖跟踪练习一〗若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m α，则m ∥α[答案] D[解析] 如图(1)，β∥α，m β，n β，有m ∥α，n ∥α，但m 与n 可以相交，故A 错；如图(2)，m ∥n ∥l ，α∩β＝l ，有m ∥β，n ∥β，故B 错；如图(3)，α⊥β，α∩β＝l ，m α，m ∥l ，故C 错．故选D.[点评] D 选项证明如下：α⊥β设交线为l ，在α内作n ⊥l ，则n ⊥β，∵m ⊥β，∴m ∥n ，∵n α，m α，∴m ∥α.题型二 直线与平面平行的判定与性质【例2】 已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别是对角线AE 、BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE .[证明] 方法1：如下图，作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，则PM ∥QN .∴PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQ BD，∵AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ ， 又∵AB ＝CD ，EA ＝BD ，∴PM ＝QN .又∵PM ∥QN ，∴四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ ∥MN .综上所述PQ 平面CBE ，MN 平面CBE ，PQ ∥MN ，∴PQ ∥平面CBE .方法2：作PR ∥BE 交AB 于点R 连接QR∵PR ∥BE ，∴AP PE ＝AR RB， 又∵两矩形全等DQ ＝AP ，∴BQ ＝PE ，∴AR RB ＝DQ BQ，∴RQ ∥AD ，∴RQ ∥BC ， ∴平面PQR ∥平面EBC ，∴PQ ∥面EBC[点评] 欲证PQ ∥平面EBC ，一种方法是用判定定理；另一种方法是用面面平行的性质定理．用判定定理时，找出平面内与PQ 平行的直线是关键．由AP AE ＝DQ DB可过P 、Q 作AB 的平行线构造平行四边形(如证法1)． 也可由直线AE 与PQ 相交确定一个平面与平面EBC 有公共点E ，故必有一条交线，连AQ ，并延长交BC 于G ，则只须证明PQ ∥EG ，也可由异面线段AE ，BD 上的比例关系，找一条与二者均相交的线段，取相同的比例点构造相似关系得出平行关系，如取AB 上点R ，使AR AB ＝AP AE，则平面PRQ ∥平面EBC (即证法2)等等． 〖跟踪练习二〗如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点．求证：BD 1∥平面C 1DE .[分析] 本题考查线面平行的判定定理及性质定理的应用，考查推理论证能力实践能力及¡°转化¡±这一数学思想的应用．¡°由已知想性质，由求证想判定¡±是证明该类问题的基本思路．[证明] 证法一：连接CD 1交DC 1于F ，连接EF ，∵F 是CD 1中点，E 为BC 中点，∴EF ∥BD 1，又EF ⊂平面C 1DE ，BD 1⊄面C 1DE ，∴BD 1∥平面C 1DE .证法二：取B 1C 1中点E 1，连接D 1E 1，BE 1，则D 1E 1∥DE ，BE 1∥C 1E ，∴D 1E 1∥平面C 1DE ，BE 1∥平面C 1DE .又D 1E 1∩BE 1＝E 1，∴平面BD 1E 1∥平面C 1DE .又BD 1⊂平面BD 1E 1，∴BD 1∥平面C 1DE .[点评] ①判定定理证线∥面是最常用方法．②可转化为面∥面⇒线∥面. 题型三 平面与平面平行的判定与性质【例3】如图，正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在 BD 上，且B 1E ＝BF ，2013届 兖州实验高中 高三数学总复习 第八章 第三节 李中华求证：EF ∥平面 BB 1C 1C .证法一：连接AF 并延长交BC 于M ，连接B 1M ，∵AD ∥BC ，∴△AFD ∽△ MFB ，∴AF FM ＝DE BE. 又∵BD ＝B 1A ，B 1E ＝BF ，∴DF ＝AE .∴AF FM ＝AE B 1E.∴EF ∥B 1M ，B 1M ⊂平面BB 1C 1C . ∴EF ∥平面BB 1C 1C .证法二：作FH ∥AD 交AB 于H ，连接HE .∵AD ∥BC ，∴FH ∥BC ，BC ⊂BB 1C 1C .∴FH ∥平面BB 1C 1C .由FH ∥AD 可得BF BD ＝BH BA. 又BF ＝B 1E ，BD ＝AB 1，∴B 1E AB 1＝BH BA. ∴EH ∥B 1B ，B 1B ⊂平面BB 1C 1C .∴EH ∥平面BB 1C 1C ，EH ∩FH ＝H .∴平面FHE ∥平面BB 1C 1C ，EF ⊂平面FHE .∴EF ∥平面BB 1C 1C .[点评]证法一用了证线面平行，先证线线平行．证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内．〖跟踪练习三〗如图 ，在正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC 和SC 的中点，求证：平面EFG ∥平面 BB 1D 1D .证明：E 为中点，F 为中点，EF 为中位线，则EF ∥BD ，又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BD ⊂平面BB 1D 1D ，故EF ∥平面BB 1D 1D ；连接SB ，同理可证EG ∥平面BB 1D 1D ，又EF ∩EG ＝E ，得平面EFG ∥平面BB 1D 1D .题型四 探索性问题[例4] 如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.(1)证明：P A⊥平面ABCD；(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？如果存在，请求出此时PF∶FC的值；如果不存在，请说明理由．[解析](1)因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a.在△P AB中，由P A2＋AB2＝2a2＝PB2，知P A⊥AB.同理，P A⊥AD，所以P A⊥平面ABCD.(2)连接BD，则平面PBD与平面AEC的交线为EO，在△PBD中作BM∥OE交PD于M，则BM ∥平面AEC，在△PCE中过M作MF∥CE交PC于F，则MF∥平面AEC，故平面BFM∥平面AEC，所以BF∥平面AEC，F点即为所求的满足条件的点．由条件O为BD的中点可知，E为MD的中点．又由PE∶ED＝2∶1，∴M为PE的中点，又FM∥CE，故F是PC的中点，∴此时PF∶FC ＝1.〖跟踪练习四〗如图，在四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，SB＝SD＝22，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，E为CD的中点．(1)求证：CD⊥平面SAE；(2)侧棱SB上是否存在点F，使得CF∥平面SAE？并证明你的结论．[分析](1)先利用勾股定理和线面垂直判定定理证明直线SA⊥底面ABCD，再证明直线EA⊥CD，证明直线与平面垂直时，必须证明直线与平面内的两条相交直线垂直.(2)先回答问题，再证明充分条件．探究的点往往是特殊点(中点)．[证明](1)∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AC＝AD＝2，∴△ACD为正三角形．又E为CD的中点，∴CD⊥AE.∵SA＝AB＝AD＝2，SB＝SD＝2，则有SB2＝SA2＋AB2，SD2＝SA2＋AD2，∴SA⊥AB，SA⊥AD.又∵AB∩AD＝A，∴SA⊥底面ABCD，∴SA⊥CD.由CD⊥AE，SA⊥CD，AE∩SA＝A，∴CD⊥平面SAE.(2)侧棱SB上存在点F，当F为SB的中点时，使得CF∥平面SAE.证明：取SA的中点N，连NF，NE，∵F为SB的中点，∴FN綊AB，又E为CD的中点，AB∥CE，∴FN綊CE，∴CFNE为平行四边形，∴CF∥EN，又∵EN⊂平面SAE，CF⊄平面SAE，∴CF∥平面SAE.即当F为侧棱SB的中点时，CF∥平面SAE.※【课后练习】第八章 第三节 空间中的平行关系一、选择题1．一条直线l 上有相异三个点A 、B 、C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是 ( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α解析：l ∥α时，直线l 上任意点到α的距离都相等，l ⊂α时，直线l 上所有的点到α的距离都是0，l ⊥α时，直线l 上有两个点到α距离相等，l 与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．答案：D2. （浙江省杭州第十四中学2012届高三12月月考）若,,,a b c d 是空间四条直线．如果“,,,a c b c a d b d ⊥⊥⊥⊥”，则(A) //a b 且//c d (B) ,,,a b c d 中任意两条可能都不平行 (C) //a b 或者//c d (D) ,,,a b c d 中至少有一对直线互相平行【答案】D3．设α、β、γ为三个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ.可以填入的条件有 ( )A ．①或②B ．②或③C ．①或③D ．①或②或③解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n ∥β，m ⊂γ时，n 和m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．答案：C4．(2012·荆州模拟)设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是() A．③④B．①③C．②③D．①②解析：根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确．答案：C5．(2012·大连模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；其中真命题的个数是() A．1 B．2C．3 D．0解析：①错，两直线可平行或异面；②两平面可相交，只需直线m平行于两平面的交线即可，故命题错误；③错，直线n可在平面内；答案：D6．若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线() A．只有1条B．只有2条C．只有4条D．有无数条解析：据题意如图，要使过点A的直线m与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，则推出n∥k，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．答案：A二、填空题7．(2012·会宁模拟)已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α，则l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．解析：当l∥m时，平面α与平面β不一定平行，①错误；由直线与平面平行的性质定理，知②正确；若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，③错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又α∥β，∴m⊥β，④正确，故填②④.答案：②④8．（江苏省南京师大附中2012届高三12月检试题）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②垂直于同一直线的两条直线相互平行；③平行于同一直线的两个平面相互平行；④垂直于同一直线的两个平面相互平行上面命题中，真命题．．．的序号是（写出所有真命题的序号）．【答案】5④9．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确命题的序号是________．解析：①如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l⊥α，④错误．答案：②③三、解答题10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.2013届兖州实验高中高三数学总复习第八章第三节李中华证明：分别过E、F作EM∥BB1，FN∥CC1，分别交AB、BC于点M、N，连结MN. 因为BB1∥CC1，所以EM∥FN.因为B1E＝C1F，AB1＝BC1，所以AE＝BF.由EM∥BB1得AEAB1＝EMBB1，由FN∥CC1得BFBC1＝FNCC1.所以EM＝FN，于是四边形EFNM是平行四边形．所以EF∥MN.又因为MN⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.。