江苏省南京师大附中2020-2021学年高二上学期数学期初模拟

2020-2021南京师范大学附中树人学校高二数学上期末一模试卷附答案一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23 B ．12 C ．49 D ．292．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ）A ．320B ．720C ．316D ．253．下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤4．执行如图所示的程序框图，若输入8x =，则输出的y 值为（ ）A．3B．52C．12D．34-5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n的值分别为（）（参考数据：20sin200.3420,sin()0.11613≈≈）A．1180sin,242S nn=⨯⨯B．1180sin,182S nn=⨯⨯C．1360sin,542S nn=⨯⨯D．1360sin,182S nn=⨯⨯6．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A．14B．13C．12D．237．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（）A．45B．47C．48D．638．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A．7B．4C．5D．119．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，L，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）．A．151B．168C．1306D．140810．已知线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，则点P到点M，N的距离都大于2的概率为()A．34B．23C．12D．1311．运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填()A ．60i >B ．70i >C ．80i >D ．90i >12．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A ．13B ．512C ．12D ．712二、填空题13．执行如图所示的程序框图，若输入的1,7s k ==则输出的k 的值为_______．14．小明通过做游戏的方式来确定接下来两小时的活动，他随机地往边长为1的正方形内扔一颗豆子，若豆子到各边的距离都大于14，则去看电影；若豆子到正方形中心的距离大于12，则去打篮球；否则，就在家写作业则小明接下来两小时不在家写作业的概率为______.(豆子大小可忽略不计)15．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值是________．16．运行如图所示的程序框图，则输出的所有y 值之和为___________．17．某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为10人，则样本容量为________．18．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为______．19．已知下列命题：①ˆ856yx =+意味着每增加一个单位,y 平均增加8个单位 ②投掷一颗骰子实验，有掷出的点数为奇数和掷出的点数为偶数两个基本事件③互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件④在适宜的条件下种下一颗种子，观察它是否发芽，这个实验为古典概型其中正确的命题有__________________.20．父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为__________．三、解答题21．冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄羽、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在[15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%.现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较大的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求第2组恰好抽到1人的概率；22．为了解贵州省某州2020届高三理科生的化学成绩的情况，该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科生，，将他们的化学成绩（满分为100分）分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）记A 表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生，该学生的化学成绩不低于70分”，试估计事件A 发生的概率；（3）在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在[60,80)内的学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生成绩在[60,70)内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.23．今年4月的“西安奔驰女车主哭诉维权事件”引起了社会的广泛关注，某汽车4S 店为了调研公司的售后服务态度，对5月份到店维修保养的100位客户进行了回访调查，每位客户用10分制对该店的售后服务进行打分．现将打分的情况分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到频率分布直方图如图所示．已知第二组的频数为10．（1）求图中实数a ，b 的值；（2）求所打分值在[6，10]的客户人数；（3）总公司规定，若4S 店的客户回访平均得分低于7分，则将勒令其停业整顿．试用频率分布直方图的组中值对总体平均数进行估计，判断该4S 店是否需要停业整顿．24．设关于x 的一元二次方程2220x bx a -+=，其中,a b 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率.（1）若随机数,{1,2,3,4}a b ∈；（2）若a 是从区间[0,4]中任取的一个数，b 是从区间[1,3]中任取的一个数.25．某学校为了解高二学生学习效果，从高二第一学期期中考试成绩中随机抽取了25名学生的数学成绩（单位：分），发现这25名学生成绩均在90～150分之间，于是按[)90,100，[)100,110，…，[]140,150分成6组，制成频率分布直方图，如图所示：（1）求m 的值；（2）估计这25名学生数学成绩的平均数；（3）为进一步了解数学优等生的情况，该学校准备从分数在[]130,150内的同学中随机选出2名同学作为代表进行座谈，求这两名同学分数在不同组的概率.26．甲乙两人同时生产内径为25.41mm 的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出 5 件（单位：mm ） ,甲：25.44，25.43， 25.41，25.39，25.38乙：25.41，25.42， 25.41，25.39，25.42.从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ， 平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.2．B解析：B【解析】【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择；如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020 P==故选：B．【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．3．B解析：B【解析】【分析】根据题意可知该程序运行过程中，95i =时，判断框成立，191i =时，判断框不成立，即可选出答案。

2021-2022学年江苏省南京师大附中高二（上）调研数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.双曲线2√6y2tan60∘=λ(λ≠0)的渐近线方程为()A. y=±2−14xB. x=±√2yC. x=±√22y D. y=±√63x2.已知直线l1：xsinθ+ycosθ=1，θ∈(0,π2)与坐标轴的交点分别为A，B，则以AB为直径的圆的面积为()A. 12π B. 14π C. π D. 2π3.已知抛物线C：y2=2x，其准线为l，则过l上任意一点作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点()A. (1,0)B. (12,0) C. (0,12) D. (0,1)4.设等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别是S n、T n.若S nT n =2n3n+7，则a6b3的值为()A. 511B. 38C. 1D. 25.已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13、25、41，下列各数一定是该数列的项的是()A. 2019B. 2020C. 2021D. 20226.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了()A. 24里B. 6里C. 18里D. 12里7.已知椭圆C：x24+y23=1，左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为C上一动点，记∠F1PF2=2α，∠A1PA2=2β，则|tanαtan2β|=()A. 2B. 4C. 2√2D. 328.作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积为()A. 13(1−14n)π B. (1−14n)π C. (1−14n−1)π D. 3(1−14n)π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.对于公差为1的等差数列{a n}，a1=1，公比为2的等比数列{b n}，b1=2，则下列说法正确的是()A. a n=nB. b n=2n−1C. 数列{lnb n}为等差数列D. 数列{a n b n}的前n项和为(n−1)2n+1+210.已知曲线C：x29+y2m=1，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是()A. 若m=−3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为π3B. 若曲线C的离心率e=2，则m=−27C. 若m=3，则曲线C上不存在点P，使得∠F1PF2=π2D. 若m=3，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为3√211.已知数列{a n}，{b n}满足a1=2，b1=1，a n+1=5a n+3b n+7，b n+1=3a n+5b n，n∈N∗，且数列{a n}，{b n}的前n项和分别是S n，T n，则下列说法错误的是()A. a n=23n−2+2n−1−4B. b n=23n−2−2n+1+3C. S n−T n=5⋅2n−6n−6D. 数列{a n+1S n S n+1+b n+1T n T n+1}的前n项和为−723n+4+7⋅2n+1−37−723n+4−2n+3+1212.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称美、艺术美，而且是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线(x2+y2)2= 4(x2−y2)是双纽线，则下列结论正确的是()A. 曲线C经过7个整点(横、纵坐标均为整数的点)B. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2C. 曲线C关于直线y=x对称的曲线方程为(x2+y2)2=4(y2−x2)D. 当|k|≥1，则直线y=kx与曲线C只有一个交点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记函数f(x)=sinπx(x≥0)的零点为x1，x2，…，x n，n∈N∗，若这一系列的零点构成数列{x n}，则该数列的前n项和为______．14.圆A：x2+y2−4x+2y+1=0与圆B：x2+y2−6x−12y+44=0，则圆A与圆B的公切线方程为______．15.在平面直角坐标系xOy中，P为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，点A，B分别在直线y=12x与y=−12x上，四边形OAPB为平行四边形．若平行四边形OAPB的四边长的平方和为定值，则C的离心率为______．16.若数列{a n}满足a1=0，a4n−1−a4n−2=a4n−2−a4n−3=3，a4na4n−1=a4n+1a4n=12，其中n∈N∗，且对任意n∈N∗都有a n<m成立，则m的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l1：ax+y+2=0(a∈R)．(1)若直线l1在x轴上的截距为−2，求实数a的值；(2)若直线l1与直线l2：2x−y+1=0平行，求两平行直线l1与l2之间的距离．18.记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n +1b n=2．(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．19.在正项数列{a n}中，a1=10，a n2=a n+1，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=a n2n−1，n∈N∗，求数列{b n}的前n项积T n．20.已知点F1(−√5,0)，F2(√5,0)，P(x0,y0)，且|PF1|−|PF2|=4．(1)求点P的轨迹方程C；(2)若点Q(2,0)，过点(−2,−1k)且斜率为k(k>0)的直线交C于A，B(异于点Q)两点，记直线AQ，BQ的斜率分别为k1，k2，证明：存在λ∈R，满足1k1+1k2=λk．21.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1={2a n,n为奇数a n+3,n为偶数．(1)从下面两个条件中选一个，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；①b n=a2n−1+3；②b n=a2n+1−a2n−1．(2)求数列{a n}的前n项和为S n．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，圆O1：x2+y2=163，圆O2：x2+y2=43，且a=√2b，C的焦距为2√2．(1)求C的方程；(2)过圆O2上一点作其切线l，交C于A，B两点，交圆O1于P，Q两点(A与P相邻，B与Q相邻)，记∠AOP=α，∠BOQ=β，证明：α+β为定值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：双曲线的渐近线的方程为：令2√6y2tan60∘=0，即2√6=y2tan60∘=2√3，可知2√2=y2，所以渐近线的方程为：y=√24，故选：A．设λ=0，整理可得渐近线的方程．本题考查由双曲线的方程求渐近线的方程的方法，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：设直线l1与x轴交点为A，与y轴的交点为B，由直线方程的截距式可知，A(sinθ,0)，B(0,cosθ)，∴|AB|=√sin2θ+cos2θ=1，∴以AB为直径的圆的面积为π(AB2)2=14π，故选：B．先求出点A，B的坐标，再求出|AB|，从而求出结果．本题主要考查了直线方程的截距式，考查了圆的面积公式，是基础题．3.【答案】B【解析】解：设抛物线C上点P(−12,y0)，A(y122,y1)，B(y222,y2)，因为y2=2x，则2yy′=2，所以y′=1y，所以在A处的切线的斜率k=1y1∴切线AP的方程为：y−y0=1y1(x+12)，因为P在直线AP上，所以y1−y0=1y1(y122+12)，整理可得：y12−2y0y1−1=0，同理可得y 22−2y 0y 2−1=0，，所以y 1，y 2是方程y 2−2y 0y −1=0的两个根，则y 1y 2=−1， k AB =y 1−y 2y 122−y 222=2y 1+y 2，所以直线AB 的方程为y −y 1=2y 1+y 2(x −y 122) 整理可得y =2y1+y 2x −y 122⋅2y1+y 2+y 1=2y1+y 2x −y 12y1+y 2+y 12+y 1y 2y 1+y 2=2y1+y 2x +−1y1+y 2=2y 1+y 2(x −12)， 所以直线恒过(12,0)， 故选：B ．设直线l 上一点P 的坐标，设A ，B 的坐标，对抛物线的方程求导，可得在A ，B 处的求出的斜率，求出切线AP 的方程，将A 的坐标代入，可得A 的纵坐标的方程，讨论可得B 的纵坐标的方程，进而可得A ，B 的纵坐标之积，正确直线AB 的斜率，进而求出直线AB 的方程，整理可得直线恒过定点抛物线的焦点．本题考查用求导的方法求在曲线上一点的斜率及切线方程的求法，直线恒过定点的求法，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：由题设可令S n =2λn 2，T n =λn(3n +7)，又当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2(2n −1)λ，b n =T n −T n−1=2(3n +2)λ， ∴a 6=22λ，b 3=22λ， ∴a 6b 3=1，故选：C ．先由题设条件求得S n 与T n 的表达式，再求得a n 与b n 的表达式，即可求得结果． 本题主要考查等差数列的通项公式、前n 项和公式的应用，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13、25、41， 可得：25−13=12=3×4，41−25=16=4×4， 可得公差d =4，不妨取a1=13，则通项公式a n=13+(n−1)×4=4n+9，可知：a n为奇数，排除BD．令4n+9=2019，解得n=502+12，舍去．令4n+9=2021，解得n=503，∴下列各数一定是该数列的项的是2021．故选：C．由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13、25、41，可得：25−13=12=3×4，41−25=16=4×4，可得公差d=4，不妨取a1=13，可得通项公式a n，即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，则设此人第六天走了a里，则第五天走了2a里，…，依次下去，构成一个等比数列，其公比为2；而所有路程之和为S=a(1−26)1−2=378，解可得a=6，则此人第5天和第6天共走了a+2a=18里；故选：C．根据题意，设此人第六天走了a里，则第五天走了2a里，…，依次下去，构成一个等比数列，其公比为2；由等比数列的前n项和公式可得S=a(1−26)1−2=378，解可得a的值，即可得此人第5天和第6天走的路程和为a+2a，即可得答案．本题考查等比数列的前n项和，注意等比数列的前n项和公式的形式，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：因为P为椭圆上一动点，不妨设P位于上顶点，∵∠F1PF2=2α，∠A1PA2=2β，∴tanα=|OF1||OP|，tanβ=|OA1||OP|，∵椭圆C：x24+y23=1，∴|OA1|=2，|OP|=√3，|OF1|=1，∴tanα=√3=√33，tanβ=√3=2√33，∴tan2β=2tanβ1−tan2β=4√3，∴|tanα⋅tan2β|=4，故选：B．由于P为椭圆上一动点，tanα⋅tan2β为定值，不妨设P位于上顶点，再进行求解即可．本题考查椭圆的性质，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：设第n个正三角形的内切圆的面积为a n，从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的12，则每一个正三角形的内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的12，其面积为前一个正三角形内切圆面积的14，则数列{a n}是公比为14的等比数列，第一个正三角形的边长为3，其内切圆的半径r=√32，其面积a1=πr2=3π4，则前n个内切圆的面积和S=a1(1−q n)1−q =3π4(1−14n)1−14=(1−14n)π．故选：B．根据已知条件，结合等比数列的前n项和公式，即可求解．本题主要考查等比数列的前n项和公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．9.【答案】ACD【解析】解：由公差为1的等差数列{a n}，a1=1，可得a n=1+n−1=n，故A正确；由公比为2的等比数列{b n}，b1=2，可得b n=2⋅2n−1=2n，故B错误；由lnb n=ln2n=nln2，可得数列{lnb n}是首项和公差均为ln2的等差数列，故C正确；设数列{a n b n}的前n项和为S n，S n=1⋅2+2⋅22+...+n⋅2n，2S n=1⋅22+2⋅23+...+n⋅2n+1，上面两式相减可得−S n=2+22+...+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1，所以S n=2+(n−1)⋅2n+1，故D正确．故选：ACD．由等比数列和等差数列的通项公式，可判断A、B、C；由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可判断D．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和：错位相减法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】ABD【解析】解：当m=−3时，双曲线方程为x29−y23=1，所以a=3，b=√3，所以双曲线的渐近线方程为y=±√33x，渐近线y=√33x的倾斜角为π6，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为π3，故A正确；若曲线C的离心率e=2，则ca=2，当焦点是在x轴上的椭圆时，0<m<9，此时a2=9，b2=m，则ca =√1−b2a2=√1−m9=2，解得m=−27(舍去)，当焦点是在x轴上的双曲线时，m<0，此时a2=9，b2=−m，则ca =√1+b2a2=√1−m9=2，解得m=−27.故B正确；当m=3时，曲线方程为x29+y23=1，表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2=9，b2=3，c=√a2−b2=√6，则F1，(−√6,0)，F2(√6,0)，设P(x,y)，则x29+y23=1，PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√6−x,−y)⋅(√6−x,−y)=x2+y2−6=x2+3−x23−6=23x2−3，∵−3≤x≤3，∴23x2−3∈[−3,3]，且当x=±3√22时，PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，满足∠F1PF2=π2，故C错误；当m=3时，曲线方程为x29+y23=1，表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2=9，b2=3，c=√a2−b2=√6，则F1，(−√6,0)，F2(√6,0)，△PF1F2面积的最大值为12⋅2c⋅b=bc=3√2，故D正确．故选：ABD．当m=−3时，求出双曲线的渐近线的倾斜角判断A；由双曲线的离心率为2，分类求解m值判断B；当m=3时，求出椭圆的焦点坐标，设P的坐标，利用数量积可以等于0判断C；直接求出焦点三角形面积的最大值判断D．本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】ACD【解析】解：a1=2，b1=1，a n+1=5a n+3b n+7，①b n+1=3a n+5b n，②①②两式相加可得，a n+1+b n+1=8(a n+b n)+7，即为a n+1+b n+1+1=8(a n+b n+1)，所以a n+b n+1=(a1+b1+1)⋅8n−1=4⋅8n−1=23n−1，即有a n+b n=23n−1−1，③①②两式相减可得，a n+1−b n+1=2(a n−b n)+7，即为a n+1−b n+1+7=2(a n−b n+7)，所以a n−b n+7=(a1−b1+7)⋅2n−1=8⋅2n−1=2n+2，即有a n−b n=2n+2−7，④由③④可得a n=23n−2+2n+1−4，b n=23n−2−2n+1+3，故A错误，B正确；S n=(2+16+...+23n−2)+(4+8+...+2n+1)−4n=2(1−8n)1−8+4(1−2n)1−2−4n=23n+1−27+2n+2−4−4n=17⋅23n+1+2n+2−4n−307，T n=2(1−8n)1−8−4(1−2n)1−2+3n=17⋅23n+1−2n+2+3n+267，所以S n−T n=2n+3−7n−8，故C错误；由a n+1S n S n+1+b n+1T n T n+1=S n+1−S nS n+1S n+T n+1−T nT n+1T n=(1S n−1S n+1)+(1T n−1T n+1)，可得数列{a n+1S n S n+1+b n+1T n T n+1}的前n项和为(1S1−1S2+1S2−1S3+...+1S n−1S n+1)+(1T1−1T2+1T2−1 T3+...+1T n−1T n+1)=(1S1−1S n+1)+(1T1−1T n+1)=32−723n+4+7⋅2n+3−28n−58−723n+4−7⋅2n+3+21n+47，故D错误．故选：ACD ．将已知两个数列的递推式分别相加和相减，可得a n ，b n ，再由数列的分组求和、裂项相消求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和，即可得到结论．本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的分组求和与裂项相消求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：曲线(x 2+y 2)2=4(x 2−y 2)≤4(x 2+y 2)， 则x 2+y 2≤4，所以√x 2+y 2≤2， 当x 2=4，y 2=0时取等号，所以曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2， 故选项B 正确；当x =0时，y =0，整点为(0,0)， 当|x|=1时，y 2=2√3−3∈(0,1],当|x|=2时，y 2=0，整点为(−2,0)，(2,0)， 所以曲线C 经过3个整点， 故选项A 错误；在曲线上任取一点(x,y)，经过直线y =x 对称后变为(y,x)， 所以有(x 2+y 2)2=4(y 2−x 2)，即曲线C 关于直线y =x 对称的曲线方程为(x 2+y 2)2=4(y 2−x 2)， 故选项C 正确；联立方程组{(x 2+y 2)2=4(x 2−y 2)y =kx ，可得x 2[(k 2+1)x 2−4(1−k 2)]=0，|k|≥1，所以(k 2+1)2x 2−4(1−k 2)≥0， 只有x =0一个根， 则交点为(0,0)，所以当|k|≥1，则直线y =kx 与曲线C 只有一个交点， 故选项D 正确． 故选：BCD ．直接计算整点，即可判断选项A ，利用不等式的性质，即可判断选项B ，求出(x,y)关于y =x 的对称点，即可判断选项C ，联立方程组，即可判断选项D ．本题以命题的真假判断为载体，考查了曲线与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】n 2−n2【解析】解：由f(x)=sinπx =0，得πx =kπ，又x ≥0，则x =k(k ∈N)， 所以x n =n −1(n ∈N ∗)，所以{x n }的前n 项和为S n =0+1+2++n −1=n−12(1+n −1)=n 2−n 2．故答案为：n 2−n 2．由f(x)=sinπx =0可得πx =kπ，又x ≥0，则x =k(k ∈N)，所以x n =n −1(n ∈N ∗)，进一步根据等差数列的前n 项和公式即可求出{x n }的前n 项和．本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，涉及函数零点问题，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．14.【答案】3x −4y +20=0或4x −3y +1=0或(25+3√41)x −16y +4(9−√41)=0或(25−3√41)x −16y +4(9+√41)=0【解析】解：圆A ：x 2+y 2−4x +2y +1=0整理可得(x −2)2+(y +1)2=4，所以圆心A(2,−1)，半径r =2，圆B ：x 2+y 2−6x −12y +44=0整理可得(x −3)2+(y −6)2=1，所以圆心B(3,6)，半径r′=1，所以圆心距|AB|=√(3−1)2+(6−1)2=√29>r +r′， 所以两圆相离，设公切线为y =kx +b ，即kx −y +b =0，所以{|2k+1−b|√k 2+1=2|3k−6+b|√k 2+1=1，整理可得：|2k +1−b|=2|3k −6+b|， 解得b =−8k +11代入|2k+1−b|√k 2+1=2中，解得{k =34b =5或{k =43b =13，或b =−4k 3+133代入√k 2+1=2中，解得{k =25+3√4116b =9−√414或{k =25−3√4116b =9+√414， 所以公切线的方程为：3x −4y +20=0或4x −3y +1=0或(25+3√41)x −16y +4(9−√41)=0或(25−3√41)x −16y +4(9+√41)=0． 故答案为：3x −4y +20=0或4x −3y +1=0，或(25+3√41)x −16y +4(9−√41)=0或(25−3√41)x −16y +4(9+√41)=0． 由两个圆的方程可知圆心的坐标及半径，求出圆心距可知两圆相离，设公切线的方程，由两圆的圆心到切线的距离等于半径求出参数的值，进而求出切线的方程． 本题考查两圆公切线的方程的求法，属于基础题．15.【答案】√32【解析】解：设P(x 0,y 0)，则直线PA 的方程为y =−12x +x 02+y 0，直线PB 方程为y =12x −x 02+y 0，联立方程组{y =−12x +x 02+y 0y =12x ，解得A(x2+y 0,x 04+y 02)，联立方程组{y =12x −x 02+y 0y =−12x，解得B(x2−y 0,−x 04+y 02)， 则PA 2+PB 2=(x 02−y 0)2+(x04−y 02)2+(x 02+y 0)2+(x 04+y 02)2=58x 02+52y 02， 又点P 在椭圆上，则有b 2x 02+a 2y 02=a 2b 2，又58x 02+52y 02=52(x 024+y 02)为定值， 则b 2a2=14，即e 2=a 2−b 2a 2=34，得e =√32． 故答案为：√32．设出P 点坐标，得到直线AP 、PB 的方程，与已知直线方程联立求得A 与B 的坐标，再求出PA 2+PB 2，结合平行四边形OAPB 四边长的平方和为定值，即可得到a 与b 的关系，进一步求得椭圆的离心率．本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】8【解析】解：根据题意，数列{a n }满足a 1=0，a 4n−1−a 4n−2=a 4n−2−a 4n−3=3，a4na 4n−1=a 4n+1a 4n=12；当n =1时，有a 3−a 2=a 2−a 1=3，则a 2=3，a 3=6，a 4=3，a 5=32， 分析可得：在a 4n−3、a 4n−2、a 4n−1、a 4n 中，最大为a 4n−1， 设b n =a 4n−1，则有b 1=a 3=6， 且b n+1=14b n +6，变形可得：b n+1−8=14(b n −8)，分析可得数列{b n −8}为首项为6−8=−2，公比为14的等比数列，则b n −8=(−2)×(14)n−1=−24n−1， 则b n =8−24n−1， 则a 4n−1=8−24n−1，若对任意n ∈N ∗都有a n <m 成立，则m ≥8，即m 的最小值为8； 故答案为：8根据题意，分析数列{a n }的前5项，结合递推公式分析可得在a 4n−3、a 4n−2、a 4n−1、a 4n 中，最大为a 4n−1，设b n =a 4n−1，分析可得b 1=a 3=6，且b n+1=14b n +6，将其变形可得b n+1−8=14(b n −8)，分析可得数列{b n −8}为首项为6−8=−2，公比为14的等比数列，结合等比数列的通项公式求出数列{b n }通项公式，则有a 4n−1=8−24n−1，据此分析a n <m 恒成立可得答案．本题考查数列的递推公式，注意分析数列{a 4n−1}的通项公式，属于综合题．17.【答案】解：(1)若直线l 1：ax +y +2=0，令y =0，求得l 1在x 轴上的截距为−2a =−2， ∴实数a =1．(2)若直线l 1：ax +y +2=0与直线l 2：2x −y +1=0平行，则a2=1−1≠21，求得a =−2，故l 1：−2x +y +2=0，即2x −y −2=0， 求两平行直线l 1与l 2之间的距离为√4+1=3√55．【解析】(1)由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得a 的值．(2)利用两条直线平行的性质求得a 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．本题主要考查直线在坐标轴上的截距的定义，两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：当n =1时，b 1=S 1，由2b 1+1b 1=1，解得b 1=32，当n ≥2时，b nbn−1=S n ，代入2S n+1b n=2，消去S n ，可得2 b n−1b n+1b n=2，所以b b −b n−1=12，所以{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列． (2)由题意，得a 1=S 1=b 1=32， 由(1)，可得b n =32+(n −1)×12=n+22，由2S n+1b n=2，可得S n =n+2n+1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1= n+2n+1−n+1n=−1n(n+1)，显然a 1不满足该式，所以a n ={32,n =1−1n(n+1),n ≥2．【解析】(1)由题意当n =1时，b 1=S 1，代入已知等式可得b 1的值，当n ≥2时，将b nb n−1=S n ，代入2S n+1b n=2，可得b b −b n−1=12，进一步得到数列{b n }是等差数列；(2)由a 1=S 1=b 1=32，可得b n =n+22，代入已知等式可得S n =n+2n+1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=−1n(n+1)，进一步得到数列{a n }的通项公式．本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．19.【答案】解：(1)因为a n >0，a n2=a n+1，n ∈N ∗，∴2lga n =lga n+1， 又lga 1=1，∴;数列{lga n }是以1为首项，公比为2的等比数列， ∴lga n =2n−1，∴a n =102n−1，(2)可得b n=a n2n−1=10(2n−1)⋅2n−1，令c n=(2n−1)⋅2n−1，S n=c1+c2+...+n n，S n=1×20+3×21+5×22+...+(2n−3)⋅2n−2+(2n−1)⋅2n−1，2S n=1×21+3×22+...+(2n−5)2⋅n−2+(2n−3)⋅2n−1+(2n−1)⋅2n∴−S n=1+2(21+22+...+2n−1)−(2n−1)2n=−3+(3−2n)⋅2n∴S n=(2n−3)⋅2n+3，∴数列{b n}的前n项积T n=10S n=10(2n−3)⋅2n+3．【解析】(1)由a n>0，a n2=a n+1可得2lga n=lga n+1，即可得数列{lga n}是以1为首项，公比为2的等比数列，利用等比数列通项求解；(2)可得b n=a n2n−1=10(2n−1)⋅2n−1，令c n=(2n−1)⋅2n−1，S n=c1+c2+...+n n，利用错位相减法求得S n即可．本题考查了利用数列递推式求通项，考查了转化思想，实践能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：点F1(−√5,0)，F2(√5,0)，P(x0,y0)，因为|PF1|−|PF2|=4<|F1F2|=2√5，所以点P的轨迹为双曲线的一支，且c=√5，a=2，则b2=c2−a2=1，所以点P的轨迹方程C为x44−y2=1(x≥2)；(2)证明：由题意，过点(−2,−1k)且斜率为k(k>0)的直线交C于A，B，则直线AB的方程为y+1k=k(x+2)，与方程C联立可得，(k2−4k4)y2+(2k−4k3)y−4k2+1=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2y1y2=2k−4k34k2−1，故1k1+1k2=x1−2y1+x2−2y2=ky1+1−4k2k2y1+4y2+1−4k2k2y2=2ky1y2+(1−4k2)(y1+y2)k2y1y2=2k+1−4k2k2⋅y1+y2 y1y2=2k+1−4k2k2⋅2k−4k34k2−1=4k，所以存在λ=4，使得满足1k1+1k2=4k．【解析】(1)利用双曲线的定义得到点P 的轨迹为双曲线的一支，然后求解方程即可； (2)求出直线AB 的方程与双曲线联立，得到韦达定理，利用两点间斜率公式表示出1k 1+1k 2，结合韦达定理进行化简，即可证明．本题考查了动点轨迹方程的求解，主要考查了定义法求解轨迹方程，直线与双曲线位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)由a n+1={2a n ,n 为奇数a n +3,n 为偶数.可得a 2n+1=a 2n +3=2a 2n−1+3，可得a 2n+1+3=2(a 2n−1+3)，又a 1+3=4， 所以数列{a 2n -1 +3}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以a 2n−1+3=4⋅2n−1=2n+1，即a 2n−1=2n+1−3， 选①时，b 1=4，b 2=8，b n =a 2n−1+3=2n+1；选②时，b 1=4，b 2=8，b n =a 2n+1−a 2n−1=2n+2−2n+1=2n+1． (2)因为a 2n =2a 2n−1=2(2n+1−3)，∴a 2n−1+a 2n =2n+1−3+2(2n+1−3)=3⋅2n+1−9，当n 为偶数时，S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+...+(a n−1+a n )=3(22+23+ (2)2+1)−n 2×9=12(1−2n2)1−2−92n =12(2n2−1)−92n ．当n 为奇数时，S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+...+(a n−1+a n−2)+a n =12(2n−12−1)−92(n −1)+2n+32−3=16⋅2n−12−92n −212．【解析】(1)可得a 2n+1=a 2n +3=2a 2n−1+3，即a 2n+1+3=2(a 2n−1+3)，从而得到数列{a 2n -1 +3}是首项为4，公比为2的等比数列，即可求解；(2)求得a 2n =2a 2n−1=2(2n+1−3)，a 2n−1+a 2n =2n+1−3+2(2n+1−3)=3⋅2n+1−9，即可求解．本题考查数列的通项公式的求法，考查了计算能力，是难题，解题时要注意挖掘隐含条件，22.【答案】(1)解：因为椭圆C 的焦距为2√2，所以2c =2√2，即c =√2，又因为a =√2b ，a 2=b 2+c 2，所以a 2=4，b 2=2， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；(2)证明：设切线l 与圆O 2：x 2+y 2=43的切点为H ， 当切线l 的斜率不存在时，此时直线方程为x =2√33或x =−2√33； 不妨设直线方程为x =2√33，此时H(2√33,0)，A(2√33,2√33)，P(2√33,2)， 易知∠AOH =π4,∠POH =π3，所以∠AOP =α=π12，同理∠BOQ =β=π12，所以α+β=π6为定值；当切线l 的斜率存在时，设切线l 方程为y =kx +m ， 因为直线l 与圆O 2：x 2+y 2=43相切，所以√1+k 2=2√33，即3m 2=4k 2+4；因为OH ⊥PQ ，|OH|=2√33,|OP|=4√33，所以∠POH =π3，即∠POQ =2π3．联立直线方程与椭圆方程可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−4=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4km1+2k 2,x 1x 2=2m 2−41+2k 2，所以y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =−4k 2m 21+2k 2+k 2(2m 2−4)1+2k 2+m 2=m 2−4k 21+2k 2所以x 1x 2+y 1y 2=m 2−4k 21+2k 2+2m 2−41+2k 2=3m 2−4k 2−41+2k 2=0，所以OA ⊥OB ，即∠AOB =π2，又因为∠POQ=2π3，所以∠AOP+∠BOQ=2π3−π2=π6，即α+β=π6为定值．【解析】(1)根据椭圆C的焦距为2√2，可求出c的值，然后根据a=√2b和a2=b2+c2，即可求出a，b的值，从求出椭圆方程；(2)首先根据边长关系求出∠POQ=2π3；然后设出切线方程及A(x1,y1)，B(x2,y2)，把切线方程与椭圆方程联立，消元，写韦达；利用韦达定理求出x1x2+y1y2=0，从而得到∠AOB=π2，从而可证出α+β为定值．本题主要考查椭圆方程的求解，圆锥曲线中的定值问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．。

南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组审阅人：高二数学备课组一．选择题1．过两点 2,4 和 4,1 的直线在x 轴上的截距为（）A ．145B ．145C ．73D ．732．过圆225x y 上一点 2,1M 作圆的切线l ，则直线l 的方程为（）A ．230x y B ．250x y C ．250x y D ．250x y 3．若k R ，则“22k ”是“方程221362x y k k表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若抛物线24y x 上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点的距离为（）A ．5B ．3C ．2D ．15．设直线l 的方程为 sin 10x y R ，则直线l 的倾斜角 的范围是（）A ．0,πB ．πππ3π,4224C ．π3π,44D ．ππ,426．若直线上存在到曲线T 上一点的距离为d 的点，则称该直线为曲线T 的d 距离可相邻直线．已知直线:430l x y m 为圆 22:2716C x y 的3距离可相邻直线，则m 的取值范围是（）A ． 48,22B ． 18,8C ．,4822, D ．,188, 7．已知双曲线 222210,0x y a b a b的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为双曲线右支上的一点．若M 在以12F F 为直径的圆上，且12π5π,312MF F，则该双曲线离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．1D ．18．已知A ，B 分别是椭圆2214x y 的左、右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点．若2PBA PAB ，则PAPB 的值是（）A ．5B C ．5D ．5二．多选题9．已知椭圆22:143x y C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．则下列说法错误的是（）A ．椭圆C 的离心率为22B ．12PF F △的周长为5C ．1290F PFD ．113PF 10．已知 0,2M ， 0,3N ，在下列方程表示的曲线上，存在点P 满足2MP NP 的有（）A ．370x B ．4320x y C ．221x y D ．2222140x y x y 11．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点 1,0F c ， 2,0F c ，动点P 满足212PF PF a （a ，0c 且均为常数）．设动点P 的轨迹为曲线E ．则下列说法正确的是（）A ．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．12PF PF 的最小值为2aC ．曲线E 与x 轴可能有三个交点D ．22ca时，曲线E 上存在Q 点，使得12QF QF 三．填空题12．与双曲线2212x y 有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为______．13．若直线l 过抛物线24y x 的焦点．与抛物线交于A ，B 两点．且线段AB 中点的横坐标为2．则弦AB 的长为______．14．已知点 5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x 的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______．四．解答题15．已知直线1:220l ax y 与直线2:220l x ay ．（1）当12l l 时，求a 的值；（2）当12l l ∥时，求1l 与2l 之间的距离．16．已知点 1,2A ， 1,2B ，点P 满足4PA PB．（1）求点P 的轨迹 的方程；（2）过点 2,0Q 分别作直线MN ，RS ，交曲线 于M ，N ，R ，S 四点，且MN RS ，求四边形MRNS 面积的最大值与最小值．17．已知椭圆 2222:10x y E a b a b 的一个焦点坐标为 2,0，离心率为23．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设动圆22211:C x y t 与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．动圆222222212:C x y t t t 与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．若矩形ABCD 与矩形A B C D 的面积相等，证明：2212t t 为定值．18．已知椭圆 2222:10x y C a b a b和抛物线 2:20E y px p ．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下： 12P ， 22,2P ，36,1P ， 49,3P ．（1）求椭圆C 和抛物线E 的方程；（2）设m 为实数，已知点 3,0T ，直线3x my 与抛物线E 交于A ，B 两点．记直线TA ，TB 的斜率分别为1k ，2k ，判断2121m k k 是否为定值，并说明理由．19．设a 为实数，点 2,3在双曲线2222:12x y C a a 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）过点1,12P作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN．（ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组审阅人：高二数学备课组一．选择题1．【答案】A【解析】直线的斜率 415246k，∴直线的方程为 5426y x ，即5763y x ，∴直线在x 轴上的截距为145，故选A ．2．【答案】B 【解析】00525xx yy x y ，故选B ．3．【答案】B【解析】方程221362x y k k 表示椭圆3602021362k k k k k或12k ，故选B ．4．【答案】C 【解析】设点2,4y M y，由MO 2220054y y ，∴24y 或220y （舍去），即214y x ，∴M 到抛物线24y x 的准线1x 的距离 112d ，根据抛物线定义得选项C ．5．【答案】C 【解析】当sin 0 时，则直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为π2，当sin 0 时，则直线的斜率 1,11,sin k，即直线倾斜角为πππ3π,,4224，综上所述，直线的倾斜角的范围为π3π,44．故选C ．6．【答案】A【解析】圆C 的半径为4，直线l 上存在到圆C 上一点的距离为3的点，故圆心 2,7C 到直线l 的距离7d ，即 423775m，解得 48,22m ，故选A ．7．【答案】D【解析】设21MF F ，则12sin MF c ，22cos MF c ，根据双曲线定义122sin 2cos 2MF MF c c a，1π4c a，π5π,312，故πππ,41261c e a ，故选D ．8．【答案】C【法一】由题意知 2,0A ， 2,0B ，设 00,P x y ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1214k k，由正弦定理得sin 2cos sin PA PBAPAB PB PAB，又22tan tan tan 21tan PABPBA PAB PAB，则122121k k k ，联立解得2119k ，即22211cos tan 9cos PAB PAB PAB ，所以310cos 10PAB，即3105PA PB ，【法二】设 00,P x y ，则00tan 2y PAB x，00tan 2y PBA x ，000200022102tan tan 221312y y x PBA PAB PBA PAB x x y x，20144169y3105PAPB二．多选题9．【答案】AB对于选项A ：由题意可知2a ，1c，∴离心率12c e a，故选项A 错误，对于选项B ：由椭圆的定义1224PF PF a ，1222F F c ，∴12PF F △的周长为426 ，故选项B 错误，对于选项C ：当点P 为椭圆短轴端点时，123tan23F PF c b ，又∵120902F PF，∴12302F PF ，即1260F PF ，∴1290F PF ，故选项C 正确，对于选项D ：由椭圆的几何性质可知1a c PF a c ，∴113PF ，故选项D 正确．10．【答案】BC【解析】 2254,39P x y x y对于A ，7233d R，所以直线与圆相离，不存在点P ；对于B ，5232553d R，所以直线与圆相交，存在点P ；对于C ，121252133C C R R，所以两圆外切，存在点P ；对于D ， 2212127321116433x y C C R R ，所以两圆内含，不存在点P ．11．【答案】ACD【解析】212a PF PF对于A ，用x 代x 得222x y c y 轴对称，用y 代y 得222x y cx 轴对称，用x 代x ，y 代y 得222x y c所以曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A 正确；对于B ，当0a 时，122PF PF a ，当0a 时，显然P 与1F 或2F 重合，此时122PF PF c ，所以B 错误；对于C ，根据对称性可得，曲线E 与x 轴可能有三个交点，所以C 正确；对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ，则12PF PF ，因为 1,PF c x y ， 2,PF c x y ，所以222x y c ，由222x y c22c 222c a ，所以D 正确．三．填空题12．【答案】2212x y 【解析】设所求双曲线方程为 2202x y ，将点代入双曲线方程得121 ，故方程为2212x y ．13．【答案】6【解析】设A 、B 两点横坐标分别为1x ，2x ，线段AB 中点的横坐标为2，则1222x x ，故12426AB x x p ．14．【答案】57【解析】由抛物线方程得 2,0F ，准线方程为2x ，又点 5,4P ，则25c PF ，在抛物线上取点H ，过H 作HG 垂直直线2x ，交直线2x 于点G ，过P 作PM 垂直直线1x ，交直线1x 于点M ，由椭圆和抛物线定义得 2527a HF HP HG HP PM ，故椭圆离心率2527c e a．四．解答题15．【解析】（1）由12l l ，则20a a ，解得0a ．（2）由12l l ∥得22244a a，解得1a ，直线2l 的方程为220x y ，即220x y ，直线1l 的方程为220x y ，因此，1l 与2l 之间的距离为2245541d．16．【解析】（1）设 ,P x y ，则 41,21,2PA PB x y x y ，故轨迹方程为229x y ．（2）假设点O 到MN 的距离为m ，到RS 的距离为n ，则2212992S MN RS m n ，因为MN RS ，所以224m n ，所以 22222295224904S mm m m ，所以65,14S，所以四边形MRNS 面积的最大值14，最小值65．17．【解析】（1）222222492513a b a b b e a椭圆22:195x y E （2）设 33,A x y ，矩形ABCD 与矩形A B C D 的面积相等∴331144x y x y ，即22221133x y x y ∵A ，A 均在椭圆上，∴22223113515199x x x x ，即22139x x ，222231135151599x x y y 故22222222222212113313131314t t x y x y x x x x y y 为定值．18．【解析】（1）将四个点带入抛物线方程解得12p ，12，162，12，故抛物线E 方程为2y x故 1P，31P 为椭圆上的点22222242186141a a bb a b椭圆C 方程22184x y （2）设 12,A x x ， 22,B x y ，则1222123303x my y y m y my y y y x121222212121212666136212my my m y y m m m k k y y y y y y 为定值．19．【解析】（1）因为点 2,3在双曲线C 上，所以22222312a a ，整理得42780a a ，即 22180a a ，解得21a ，则双曲线C 的方程为2213y x ；（2）（ⅰ）易知直线l 的方程为112y k x，即112y kx k ，联立2211213y kx k y x，消去y 并整理得 222132404k x k k x k k ，设 11,M x y ， 22,N x y ，因为直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点M ，N ，所以关于x 的方程222132404kxk k x k k有两个不同的正数根1x ，2x ，22222222212434033416043202301303404k k k k k k k k k k k k k k k k k，解得2,3k则斜率k的取值范围为2,3 ；（ⅱ）设 00,H x y ，由（ⅰ）得 12222233k k k k x x k k ，222122221144416443343k k k k k k x x k k k，因为1112x a，2112x a ， 01020x x x x ，又P ，M ，N ，H 在同一直线l 上，所以111222112122112122x x PM x PN x x x，0120MH x x HN x x ，由PM MH PN HN 得0112202121x x x x x x，即 1202012121x x x x x x ，化简得 1201212214x x x x x x x ，所以 202222241621333k k k k k k x k k k，整理得2202234162k k k x k k k k ，解得0832kx k，即003821x k x 又点 00,H x y 在直线112y k x上，所以 001136911223264k k y k x k k即00000386921386421x x y x x，故点H 恒在定直线3260x y 上．。

2023—2024学年南师附中高二期初测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，，则（ ）A B.C. D.2.已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）A.7B.15C.25D.354.有3个完全相同的小球，，，随机放入甲、乙两个盒子中，则两个盒子都不空的概率为（ ）A.B.C.D.5.设，，则“”是“且”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.设，且，则（ ）A.B.107.已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.8.平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）U =R {}13A x x =-<<{}2B x x =≤()U A B = ð(](),12,-∞-+∞ ()[),12,-∞-+∞ [)3,+∞()3,+∞()32i 12i z -=-+i za b c 112163413x y ∈R 224x y +≥2x ≥2y ≥152ab m ⎛⎫== ⎪⎝⎭112a b -=m =110()1f x +R 1x ∀[)21,x ∈+∞12x x ≠()()()12210x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦()()1215x f f +-+<1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(),1-∞1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()1,-+∞ABCD 1AB AD CD ===BD =BD CD ⊥BD A BCD '-A BD '⊥BCD A BCD '-B.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（）A. B.长度落在区间内的个数为35C.长度的众数一定落在区间内D.长度的中位数一定落在区间内10.已知，，且，下列不等式恒成立的有（）A. B.C.D.11.已知函数对任意，都有成立，且函数是奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）A.当时，B.函数的最小正周期为2C.函数的图象关于点（）中心对称D.函数在（）上单调递减12.连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦，的长度分别等于，分别为，的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则（ ）A.弦，可能相交于点B.弦，可能相交于点C 的最大值为5D.的最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.3π2π[)90,91[)91,92[)92,93[)93,94[)94,95[]95,960.25b =[)93,94[)93,94[)93,940a >0b >1a b +=22log log 2a b +≥-133a b ->113a ab +≥+11212a b +≥++()f x x ∈R ()()20f x f x ++=()f x [)1,0x ∈-()sin f x x =[]2,3x ∈()()sin 2f x x =-()1y f x =+()y f x =(),0k k ∈Z ()y fx =[]2,21k k +k ∈Z AB CD M N AB CD AB CD M AB CD N MN MN13.若直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为______.14.在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是______.15.已知函数（且），若函数的图象上有且仅有一组点关于轴对称，则的取值范围是______.16.已知的内角，，的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角.18.（12分）已知函数.（1）求函数的值域；（2）若的值.19.（12分）某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.20.（12分）已知函数，，若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数具有性质.（1）判断函数是否具有性质？并说明理由；（2）证明：函数具有性质.21.（12分）如图，在四棱柱中，侧棱垂直于底面，底面为等腰梯形，l ()1,2A -l 111ABC A B C -V AB BC ⊥6AB =8BC =15AA =V ()log ,02,30a x x f x x x >⎧=⎨+-≤≤⎩0a >1a ≠()f x Ya ABC △A B C abc ABC △S 22232a b c =+222Sb c+a b c ()1,2a =b =//a b b c =2a c + 43a c - a c θ()21cos sin cos 2222x x x f x =--()f x ()fα=sin 2α3411214()2231xf x x =-+()lng x x =()F x t ()()()11F t F t F +=+()F x M ()g x M ()f x M 1111ABCD A B C D -ABCD，，，，、、分别是棱、、的中点.（1）证明：直线平面；（2）求二面角的余弦值.22.（12分）设的三个内角、、所对的边分别为、、且.（1）求的大小；（2）若的取值范围.//AB CD 4AB =2BC CD ==12AA =E 1E F AD 1AA AB 1//EE 1FCC 1B FC C --ABC △A B C a b c 1cos 2a C cb +=A a =22b c +2023—2024学年南师附中高二期初测试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C.【解析】∵，，∴，∴.故选：C.2.【答案】C.【解析】因为，所以对应点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.3.【答案】B.【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为.故选：B.4.【答案】C.【解析】先求两个盒子中有一个空的概率为，所以两个盒子都不空的概率为.故选：C.5.【答案】B.【解析】若，则如满足条件，但不满足且，不是充分条件，若且，则，，所以，即，是必要条件，所以“”是“且”的必要不充分条件.故选：B.{}13A x x =-<<{}2B x x =≤{}{}{}1323A B x x x x x x =-<<≤=< (){}3U A B x x =≥ ð()()()()32i 34i i i 43i 43i 34i 34i 34i 25252512i z -+---=====-------+-+z 43,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭z 715715=311224⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭13144-=224x y +≥()2,2--2x ≥2y ≥2x ≥2y ≥24x ≥24y ≥228x y +≥224x y +≥224x y +≥2x ≥2y ≥6.【答案】D.【解析】∵，∴，，∴，∴故选：D.7.【答案】B.【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以关于轴对称，由向左平移1个单位得到，所以关于直线对称，，，且，都有，在上单调递增，∴在上单调递减，∵，且，，∴，∴，解得，∴原不等式的解集为.故选：B.8.【答案】B.【解析】由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，所以的中点就是球心，所以所以球的表面积为：.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题152ab m ⎛⎫== ⎪⎝⎭11log 2m a =1log 5m b =1111log log 5log 2210m m m a b -=-==m ==()1f x +R ()1f x +y ()y f x =()1f x +()y f x =1x =1x ∀[)21,x ∈+∞12x x ≠()()()12210x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦()y f x =[)1,+∞()y f x =(),1-∞()()1215x f f +-+<()()53f f =-1211x +-+<1213x +-+>-124x +<1x <(),1-∞A BCD -BCD △ABC △BC BC =24π3π⋅=目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】ABD.【解析】对于A ：由频率之和为1，得，解得，所以选项A 正确，对于选项B ：长度落在区间内的个数为，所以选项B 正确，对于选项C ：对这100件产品，长度的众数不一定落在区间内，所以选项C 错误，对于选项D ：对这100件产品，因为，而，所以长度的中位数一定落在区间内，所以选项D 正确，故选：ABD.10.【答案】BC.【解析】因为正实数，满足，所以，当且仅当时取等号，，A 错误；∵正实数，满足，，则，B 成立；当且仅当，即时取等号，C 成立；，当且仅当，即，时取等号，D 错误.故选：BC.11.【答案】AB.【解析】因为函数对任意都有，所以，即，所以，所以，即恒成立，所以的周期为4.函数是奇函数，当时，.()0.350.150.120.0511b +++⨯+⨯=0.25b =[)93,941000.3535⨯=[)93,940.10.10.250.5++<0.10.10.250.350.5+++>[)93,94a b 1a b +=2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭12a b ==()22221log log log log 24a b ab +=≤=-a b 1a b +=()1211a b a a a -=--=->-11333a b -->=()11121212213a b b a a b a ab a ab a b a b a b+⎛⎫+=+=+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭2b aa b=a =()()()11112111222214124124b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++=++≥+= ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭12a b +=+1a =0b =()f x x ∈R ()()20f x f x ++=()()2220f x f x -++-=()()20f x f x +-=()()22f x f x +=-()()2222f x f x ++=+-()()4f x f x =+()f x ()f x [)1,0x ∈-()sin f x x =故时，.任取，则，因为函数对任意都有，即，所以.所以，作出的图象如图所示：对于A.由前面的推导可得：当时，.故A 正确；对于B.函数的图象可以看成的图象轴上方的图象保留，把轴上方的图象轴下方的图象翻折到轴上方，所以函数的最小正周期为2.故B 正确；对于C.由图象可知：函数的图象关于点（）中心对称，故C 错误；对于D.作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D 错误.故选：AB.[]1,1x ∈-()sin f x x =[]1,3x ∈()[]21,1x -∈-()f x x ∈R ()()20f x f x ++=()()20f x f x +-=()()()2sin 2f x f x x =--=--()()sin ,11sin 2,13x x f x x x -≤≤⎧=⎨--≤≤⎩()y f x =[]1,3x ∈()()()sin 2sin 2f x x x =--=-()y f x =()y f x =x x x ()y f x =()y f x =()2,0k k ∈Z ()y fx =[]2,1--()y f x =12.【答案】ACD.【解析】设球心为，则，.因为，所以弦，可能相交于点，不可能相交于点.因为，所以，当、、三点共线且，在两侧时，有最大值5；当、、三点共线且，在同侧时，有最小值1；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】或.【解析】当直线在坐标轴上的截距为0时，可设直线：，∵直线过点，∴，即直线的方程为，当直线在坐标轴上的截距不为0时，可设直线：，∵直线过点，∴，即，即直线的方程为.故答案为：或.14.【答案】.【解析】如图，由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切.需保证截面圆与内切，记圆的半径为，则由等面积法得，∴，又，，∴，得.由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，若增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为2，∴的最大值是.O 3OM ==2ON ==OM ON >AB CD M N OM ON MN OM ON -≤≤+15MN ≤≤O M N M N O MN O M N M O MN 20x y +=10x y ++=l l y kx =l ()1,2A -2k -=l 20x y +=l l x y a +=l ()1,2A -21a -+=1a =-l 10x y ++=20x y +=10x y ++=32π3ABC △O r ()12ABC S AB AC BC r =++⋅△()68AC AB BC r ++=⨯6AB =8BC =10AC =2r =r V 3432ππ233⨯=故答案为：.15.【答案】.【解析】易得时已有一个点关于轴对称，故只需当，且时，函数的图象上有且仅有1个点关于轴对称即可.由题意，时，显然成立；时，关于轴的对称函数为，则，∴，综上所述，的取值范围是，故答案为：.16..【解析】由，得，则，同时，则，时取等号，则，故，32π3()()0,11,3 0x =Y 3x ≥-0x ≠()f x y 01a <<1a >()log a f x x =y ()()log a f x x =-log 31a >13a <<a ()()0,11,3 ()()0,11,3 22232a b c =+222223332a b b c c =-+-()22222236cos b c b c a bc A +=+-=()222123a b c =+222222222223cos 226b c b c b c a b c A bc bc bc ++-+-+===≥=()2222221sin sin sin tan 22212cos 1222bc AS bc A bc A A b c b c bc A b c ====+++tan A =≤=b =22tan 212S A b c =≤+222Sb c +.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】（1），或；（2）.【解析】（1）∵；∴设，且，；∴；∴；∴，或；（2）∵与垂直，∴，即，又，，∴，∴，又，∴与的夹角.18.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，所以的值域为.（2）由（1）知，，()3,6b = ()3,6b=-- 4π//a b b ka = b = a =b k a ==3k =±()3,6b = ()3,6b =-- 2a c + 43a c - ()()2430a c a c +⋅-= 228230a a c c -⋅-= a = c = 852,3100a c ⨯--⨯= cos ,a c ∴= [],0,πa c ∈ a c π4θ=⎡⎢⎣725()21cos sin cos 2222x x x f x =--()()111π1cos sin 2224f x x x x ⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭()f x ⎡⎢⎣()π4f αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以，所以.19.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设事件表示“甲家庭回答正确这道题”，事件表示“乙家庭回答正确这道题”，事件表示“丙家庭回答正确这道题”，由题意得：，解得乙家庭回答正确这道题的概率，丙家庭回答正确这道题的概率.（2）甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为：.20.【答案】（1）否，理由见解析；（2）见解析.【解析】（1）函数不具有性质.由，可得，，，由，即，可得，即，该方程无解，故函数不具有性质；（2）证明：，由，可得，化简可得，即，由图像可知，两个函数必有交点，可得函数在定义域内存在实数，使得成立，π3cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πππ187sin2cos 2cos212cos 12442525αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭38232132A B C ()()()()()341111214P A P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎪⎡⎤⎡⎤--=⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩()38P B =()23P C =()()()()P P ABC P ABC P A C P ABC B =+++3321323523312148348348348332=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()g x M ()ln g x x =()()1ln 1g t t +=+()ln g t t =()10g =()()()11g t g t g +=+()ln 1ln ln1t t +=+()ln 1ln t t +=1t t +=()g x M ()2231x f x x =-+()()()11f t f t f +=+()2122311231t t t t +-++=-+2630t t --=263t t =+()f x t ()()()11f t f t f +=+故函数具有性质.21.【答案】（1）见解析；（2.【解析】（1）取的中点，连接，，，.∵，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴.∵，分别为，的中点，∴，∴，又平面，平面，∴平面.（2）过作交于，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则，，，，所以，，，由，所以.又平面，所以为平面的一个法向量.()f x M 11A B G 1C G GF CG 1A D //CD AB 111122CD AB A B ==112A G AF AB ==1//CD A G 1CD A G =1A DCG 1//A D CG E 1E AD1A A 11//EE A D 1//EE CG 1EE ⊄1FCC CG ⊂1FCC 1//EE 1FCC D DR CD ⊥AB R D )F )B ()0,2,0C ()10,2,2C ()0,2,0FB = ()11,2BC =- )DB = FB CB CD DF ===DB FC ⊥CC ⊥ABCD DB 1FCC设平面的一个法向量为，则由得，即，取，则，，因此，所以，.22.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得：，∴，∵，∴又∵，∴.（2）由正弦定理得：∵，，又由（1）知：，∴∴，1BFC (),,n x y z = 1n FB n BC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ()()()(),,0,2,00,,1,20x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅-=⎪⎩2020yy z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩1x =0y =z =n ⎛=⎝cos ,DB n DB n DB n ⋅===⋅ π3A =(]3,6()1sin cos sin sin sin 2A C CB AC +==+sin cos cos sin A C A C =+1sin cos sin 2C A C =sin 0C ≠1cos 2A =0πA <<π3A =sin 2sin sin a B b B A ==sin 2sin sin a C c C A==2π3B C +=2π3C B =-2222222π4sin 4sin 4sin 4sin 3b c B C B B ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭2224sin 3cos cos sin B B B B B =+++232sin cos B B B=++π4cos 2242sin 26B B B ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭∵，∴，∴，∴，∴.π3A =2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ7π2,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(]223,6b c +∈。

江苏省南京师大附中2023―2024学年高二上学期期中考试化学试题可能用到的相对原子质量：H 1C 12N 14O 16Na 23Mg 24S 32Cl 35.5Fe 56Cu 64Ce 140一、单项选择题：共14题。

每题只有一个选项最符合题意。

1.下列化学用语表示不．正确的是A.2CO 的空间填充模型：B.乙烯(24C H )的结构简式：22CH CHC.基态Cu 原子的价电子排布式：1013d 4s D.34CH COONH 的电离方程式：3434CH COONH CH COO NH2.下列盐的性质与用途具有对应关系的是A.4NH Cl 溶液呈酸性，可用于除铁锈B .3NaHCO 受热易分解，可用于制作泡沫灭火器C.24K FeO 易溶于水，可用于杀菌消毒D .3NaHSO 溶液呈酸性，可用于污水脱氯(2Cl )3.由水电离出来的 141c H110mol L的溶液中，一定能大量共存且溶液为无色的离子组是A.4NH、2Fe 、Cl 、3NOB.Na 、2Ba 、Cl 、3NOC.K 、2Mg 、3HCO、24SOD.K 、Na 、4MnO 、24SO4.下列物质在常温下水解的离子方程式中不．正确的是A.4CuSO ： 222Cu2H O Cu OH 2HB.4NH Cl ：4232NH H O NH H O HC.23Na CO ：23222CO 2H O H O CO 2OHD.NaF ：2F H O HF OH5.用下列装置进行相应实验，能达到实验目的的是A.用图甲装置吸收3NH 尾气B.用图乙装置配制11mol L 的24H SO C .用图丙装置以NaOH 待测液滴定224H C O 溶液D.用图丁装置制取2MgCl 固体6.下列有机反应属于加成反应的是A.33232CH CH Cl CH CH Cl HCl光照B.2232CH CH HBr CH CH Br催化剂△C.32222CH CH OH 3O 2CO 3H O 点燃D.4102624C H C H C H加热、加压催化剂7.下列关于甲烷的说法中不．正确的是A.4CH 是具有正四面体结构的非极性分子B.4CH 分子中的C 原子采取3sp 杂化C.4CH 具有还原性，常温下能使酸性4KMnO 溶液褪色D.在4CH 及其同系物中，4CH 的熔、沸点最低8.将等物质的量的CH 4和Cl 2混合后，在光照射下充分反应，生成物中物质的量最大的是A.CH 2Cl 2B.CH 3ClC.HCll 49.碳原子数小于20的烷烃中，一氯代物不存在同分异构体的烷烃有A.2种B.3种C.4种D.5种10.Fe 2＋、Fe 3＋、Zn 2＋较完全地形成氢氧化物沉淀的pH 分别为6.7、3.7、4.6。

南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试 高 二 数 学 2020.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，准线为l ，则点F 到直线l 的距离为A ．12B ．1C ．2D ．42．已知向量a ＝(－2，3，－1)，b ＝(4，m ，n )，且a ∥b ，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝ A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 3．若sin θ＝2cos(π－θ)，则tan(θ＋π4)的值为A ．3B ．13 C ．－3D ．－134．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x29＋y2m＝1与双曲线T ：x 2－y2m＝1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A ．y ＝±14x B ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±2x5．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －4＝0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为A ．x 2＋y 2＋6y －16＝0B ．x 2＋y 2－6y －16＝0C ．x 2＋y 2＋8y －9＝0D ．x 2＋y 2－8y －9＝06．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 37．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，∠BAC ＝90°，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2，则线段AO 的长度为A ．292 B ．29 C ．232D ．23 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点M ，N 在双曲线C 上．若四边形OFMN 为菱形，则双曲线C 的离心率为A ．3－1B ．5－1C ．3＋1D ．5＋1 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列说法正确的是A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βB ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βC ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β 10．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x24＋y22＝1的左、右焦点，点A 在椭圆上．若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为 A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到l 1，l 2的距离，则称(x ，y )为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是 A ．距离坐标为(0，0)的点有1个 B ．距离坐标为(0，1)的点有2个 C ．距离坐标为(1，2)的点有4个N（第11题）OMPl 2l 1 （第6题）C 1（第7题）ABCB 1OD ．距离坐标为(x ，x )的点在一条直线上12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则A ．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B ．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C ．它的体积为523D ．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x ＋ay ＝0和直线l 2：2x －(a －3)y －4＝0，a ∈R ．若l 1与 l 2平行，则l 1与 l 2之间的距离为▲________． 14．在空间直角坐标系中，若三点A (1，－1，a )，B (2，a ，0)，C (1，a ，－2)满足(AB →－2AC →)⊥BC →，则实数a 的值为▲________．15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，则四面体P ABC 的外接球的表面积为▲________．16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为▲________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐．．（第12题）标．为▲________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在 ①sin(A －B )＝sin B ＋sin C ；②2a cos C ＝2b ＋c ；③△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2) 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，__________，D 是边BC 上的一点，∠BAD ＝π2，且b ＝4，c ＝2，求线段AD 的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：(x －2)2＋y 2＝1，动圆M 与直线l ：x ＝－1相切且与圆F外切．（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知A (－2，0)，曲线C 上一点P 满足P A ＝2PF ，求∠P AF 的大小． 19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 中点． （1）求证：B 1A ∥平面C 1BD ；（2）若AA 1＝AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B －B 1C 1D 的体积．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A ，B 是直线x －y ＋m ＝0(m ∈R )与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上．DBB 1A 1（第19题）C 1AC（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x －y －3＝0上存在点P 满足AP →·BP →＝0，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，P A ＝AD ＝4， BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝2，→PE＝λ→PC (0≤λ＜1)． （1）若λ＝12，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）设二面角B -AE -C 的大小为θ，若|cos θ|＝23417，求λ的值．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0) 的左顶点与上顶点的距离为23，且经过点(2，2)． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点．若椭圆上存在点N 满足ON→＝3MO →，求证：△PQN 的面积S 为定值．1【答案】B【考点】抛物线的定义【解析】由题意抛物线p 的几何意义为焦点到准线的距离，而该题中2p =2，所以p =1，故答案选B.2【答案】B【考点】空间向量共线的坐标运算（第21题）PABCDE（第22题图）【解析】由题意a ∥b ，则412432⨯-=-⨯=-n m ，，解得26=-=n m ，，所以m +n =－4；或利用空间向量共线定理可得a =λb ，即3×－2=m ，－1×（－2）=n ，解得26=-=n m ，，依旧有：m +n =－4，故答案选B.3【答案】D【考点】三角函数恒等变换公式的应用【解析】由题意()θθπθcos 2cos 2sin -=-=，则2tan -=θ， 所以tan(θ+π4 )=()()312121tan 1tan 1-=---+=-+θθ，故答案选D. 4【答案】D【考点】椭圆及双曲线的几何性质【解析】由题意9－m =1+m ，解得m =4，所以双曲线标准方程为1422=-y x ，则其渐近线方程为x x aby 2±=±=，故答案选D. 5【答案】A【考点】圆的标准方程及圆的性质【解析】由题意可解得A(4，0)，B(0，2)，且由圆心在y 轴上可设圆C 的圆心为(0，m )，因为圆C 经过A ，B ，所以|CA|=|CB|，即()r m m =-=+22224，化简解得m =－3，则圆C 的半径为5，所以圆C 的标准方程为()22253=++y x ，化为一般方程为：x 2＋y 2＋6y －16＝0 ，故答案选A.6【答案】D【考点】空间想象能力与椭圆的几何性质【解析】由题意可知椭圆的长轴长为Rt 三角形中的斜边，且一个直角边为底面直径，斜边与底面的夹角为60°，则解得长轴长为860cos 4=︒，而椭圆的短轴为底面的直径4，则椭圆的焦距为3424282222222=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=b a c ，故答案选D.7【答案】A【考点】空间向量基本定理（线性运算）、模长的求法【解析】由题意可知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，→→→→→+=+=121CB AC CO AC AO⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→121BB CB AC ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→121AA AC AB AO ，则21241⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→AA AC AB AO 22112122241241212121414141⋅+⋅=⋅+++⋅+++=→→→→→→→→→AA AC AA AB AC AB AA AC AB 42960cos 322160cos 3221341241241222=︒⋅⋅⋅+︒⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=，解得229=→AO ， 故答案选A.8【答案】C【考点】双曲线的几何性质应用：求离心率【解析】由题意可知|OF |=c ，由四边形OFMN 为菱形，可得|MN |=|OF |=c ，设点M 在F 的上方，可知M 、N 关于y 轴对称，可设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-232c c M ，，代入双曲线方程可得：12322222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-b c a c ，又由222c b a =+，化简可得0842244=-+c a a c ，方程两边同除4a ，可得8424=-+e e ，解得3242+=e ，因为1>e ，解得324+=e ()13312+=+=，故答案选C.9【答案】BC【考点】立体几何的位置关系：平行与垂直【解析】由题意，对于A 选项，β⊂m 也可以满足，选项A 错误；对于B 选项，可由线面垂直的性质定理证明，选项B 正确；对于C 选项，可由面面垂直的判定定理证明，选项C 正确；对于D 选项，α与β可以是任意关系：平行、垂直、相交，选项D 错误.故答案选BC.10【答案】ABC【考点】椭圆的几何性质：焦点三角形【解析】由题意，c =2，2a =4，由椭圆的定义可得：AF 1＋AF 2＝4，则有： ①若221π=∠AF F ，则有()()()222212c AF AF =+，联立解得AF 1＝2；②若221π=∠F AF ，则有()()()222212AF c AF =+，联立解得AF 1＝1；③若212π=∠F AF ，则有()()()212222AF AF c =+，联立解得AF 1＝3；故答案选ABC.11【答案】ABC【考点】直线与直线的位置关系及对称问题【解析】由题意，对于A 选项，距离坐标(0，0)的点是l 1与l 2的交点，即点O ，只有一个，选项A 正确；对于B 选项，距离坐标为(0，1)的点分别在l 2上方和下方，有2个点，选项B 正确；对于选项C ，距离坐标为(1，2)的点可由距离l 1为1的直线有两条，距离l 2为2的直线有两条，其四条直线共有4个交点，可满足题意，选项C 正确；对于D 选项，距离坐标为(x ，x )的点在l 1与l 2的角平分线上，有两条直线满足，选项D 错误.故答案选ABC.12【答案】ACD【考点】空间几何体的体积、外接球半径的计算、空间角的计算 【解析】由题意该立方八面体可看作是由棱长为2的立方体切去8个角得到，则呈现完全对称性，且外接球的球心为该立方八面体的中心，由勾股定理可得外接球半径为1，则直径为2，即选项A 、D 正确；对于选项B ，棱A 2A 3与B 2C 3不共面，则A 2A 3与B 2C 3所成的角即为A 2A 3与B 2A 3所成的角，可得为60°，所以选项B 错误；对于选项C ，该立方八面体的体积可利用割补法解得=V ()3252221318223=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-，选项C 正确.故答案选AC D.13【答案】2【考点】平行直线的判断及两平行线间的距离公式【解析】由题意可得－(a －3)×1=2a ，解得a =1，则直线l 1：x ＋y ＝0，直线l 2：x +y －2＝0，由平行线距离公式得222==d . 14【答案】29-【考点】空间向量得坐标运算【解析】由题意()a a AB -+=→，，11，()a a AC --+=→210，，，()201--=→，，BC ，所以()()()0924212014112=--=+--=--⋅+--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→→a a a a BC AC AB ，，，，，解得29-=a . 15【答案】4π【考点】立体几何中三棱锥的外接球【解析】由题意∠ACB =90°，则取PB 的中点为点O ，可得OA=OB=OP=OC ，即O 为球心，则其半径121212122222=++=+==BC AC PA AB PA PB R ，则其表面积ππ442==R S .另解：可把该三棱锥补成长宽高分别是1，2，1的长方体，则其体对角线为外接球的直径可求得()πππ412142222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++==R S .16【答案】()214365--=x y ；13140 【考点】抛物线的实际问题【解析】由题意可知拱桥为以原点为顶点的抛物线，且经过点C (20，－5)，可设拱桥所在抛物线的方程为2ax y =，带入点C 可解得801-=a .而溢流孔ABC 是以点B (14，0)可解得为顶点的抛物线，也经过点C (20，－5)，则设溢流孔ABC 所在抛物线的方程为()214-=x b y ，代入点C 可解得365-=b ，所以溢流孔ABC 所在抛物线的方程为()214365--=x y 。

一、选择题1．(0分)[ID ：13007]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．2．(0分)[ID ：12997]在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．143．(0分)[ID ：12992]从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2m nB ．2mnC ．4m nD ．16m n4．(0分)[ID ：12988]甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 5．(0分)[ID ：12984]某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25B ．1225C ．1625D ．456．(0分)[ID ：12982]我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,157．(0分)[ID ：12979]统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④8．(0分)[ID ：12970]以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，89．(0分)[ID ：12965]微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ）A ．1.19B ．1.23C ．1.26D ．1.3110．(0分)[ID ：12955]远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．360311．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥12．(0分)[ID ：13015]某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元13．(0分)[ID ：13013]已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．1414．(0分)[ID ：13009]一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于11222422226C C C C +的是 ( )A．P(0<X≤2)B．P(X≤1)C．P(X=1)D．P(X=2)15．(0分)[ID：12972]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（）A．13B．14C．15D．16二、填空题16．(0分)[ID：13124]某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是______.17．(0分)[ID：13110]在区间[-3，5]上随机取一个实数x，则事件“11422x≤≤（）”发生的概率为____________．18．(0分)[ID：13108]从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________．19．(0分)[ID：13106]某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x=_____________.20．(0分)[ID：13097]执行如图所示的程序框图,如果输入3n=，则输出的S为________．21．(0分)[ID：13089]如图所示，正六边形ABCDEF中，线段AD与线段BE交于点G，圆O1，O2分别是△ABG与△DEG的内切圆，圆O3，O4分别是四边形BCDG与四边形AGEF的内切圆，则往六边形ABCDEF中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．22．(0分)[ID ：13065]已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x ，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据x 的所有可能值为__________．23．(0分)[ID ：13060]已知x ，y 取值如表，画散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为35y x =-，则m 的值为__________．x 0 13 5 6y 1 2m 3m - 3.8 9.224．(0分)[ID ：13055]从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是______．25．(0分)[ID ：13104]在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：13202](1)从区间[1，10]内任意选取一个实数x ，求26160x x --≤的概率；(2)从区间[1，12]内任意选取一个整数x ，求()ln 22x -<的概率.27．(0分)[ID ：13169]高一(1)班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求高一(1)班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选2人进行某项研究，求至少有1人分数在[90,100]之间的概率．28．(0分)[ID ：13168]随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现．某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了100名用户，得到用户的满意度评分，现将评分分为5组，如下表：(1)求表格中的a ，b ，c 的值； (2)估计用户的满意度评分的平均数；(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？ 29．(0分)[ID ：13144]设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.30．(0分)[ID ：13136]一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率； (Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C7．B8．C9．C10．B11．A12．B13．B14．B15．C二、填空题16．7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法求得样本间隔进行抽取即可求解得到答案【详解】由题意从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生其样本间隔为因为在33～48这16个数中取的数是39所以从17．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的18．【解析】从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张基本事件总数n=5×5=25抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（21）（31）（32）（41）19．8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数考查基本运算能力属基础题20．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题21．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相22．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x的值不同所得的结果不同所以要讨论x的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是23．3【解析】由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心(3)在分析两个变量的相关关系时可根据样本数据24．【解析】两球颜色不同的概率是25．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.4．B解析：B 【解析】 【分析】计算18x =，27.2x =，210.4s =，22 2.16s =得到答案.【详解】17888985x ++++==，26677107.25x ++++==，故12x x >.()()()()()222222178888888980.45s -+-+-+-+-==；()()()()()222222267.267.277.277.2107.2 2.165s -+-+-+-+-==，故2212s s <.故选：B. 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.5．C解析：C 【解析】 【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率． 【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=．故选C ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．6．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 7．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图9．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.10．B解析：B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.11．A解析：A 【解析】试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是2362222++++，所以判断框中应该填i>6?.考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程13．B解析：B 【解析】 【分析】推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =12S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率． 【详解】以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB PC +=PD ，∵20PB PC PA ++=，∴2PB PC PA +=-， ∴2PD PA =-，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点， ∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12． ∴S △PBC =12S △ABC ． ∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为： P=PBC ABCS S=12． 故选B ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．14．B解析：B 【解析】 【分析】由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得P （X=1）和P （X=0），即可判断等式表示的意义． 【详解】由题意可知112224222226261,0C C C P X P X C C ⋅====：（）（） ， ∴11222422225C C C C +表示选1个白球或者一个白球都没有取得即P （X≤1）， 故选B ． 【点睛】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件数．15．C解析：C 【解析】 【分析】【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.二、填空题16．7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法求得样本间隔进行抽取即可求解得到答案【详解】由题意从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生其样本间隔为因为在33～48这16个数中取的数是39所以从 解析：7 【解析】 【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法，求得样本间隔，进行抽取，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生，其样本间隔为8001650=， 因为在33～48这16个数中取的数是39， 所以从33～48这16个数中取的数是第3个数， 所以第1组1～16中随机抽到的数是392167-⨯=． 【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的概念和抽取的方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．17．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的 解析：38【解析】 【分析】解不等式11422x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，可得出所求事件的区域长度，又可求出所有基本事件构成的区域长度，由几何概型可求出概率． 【详解】设事件A 表示11|422xx ⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由11422x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭得2111222x-⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21x-≤≤，即构成事件A的区域的长度为12=3+.又因为所有的基本事件构成的区域的长度为53=8+，所以事件A的概率3 ()8 P A=.故答案为38．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属基础题．18．【解析】从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张基本事件总数n=5×5=25抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（21）（31）（32）（41）解析：2 5【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=2 . 5故答案为2 5 .19．8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数考查基本运算能力属基础题解析：8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数.【详解】由茎叶图得1617101920188.5xx+++++=∴=【点睛】本题考查茎叶图以及平均数，考查基本运算能力，属基础题.20．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题解析：37【解析】 【分析】根据框图可知，该程序实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和的功能，输入3n =时，求3S .【详解】根据框图可知，执行该程序，实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和，当3n =时，3111111111=++=1)133557233557S -+-+-⨯⨯⨯（ 1131)277-=（， 故填37. 【点睛】本题主要考查了程序框图，裂项相消法求和，属于中档题.21．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相【解析】 【分析】不妨设2AB =AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为1222AB ⨯=，由几何概型概率公式可得结果. 【详解】依题意，不妨设2AB =，AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，可得大圆半径为12AB =由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222P ππ⨯⨯+⨯⨯==. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.22．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同所以要讨论x 的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是解析：-11或3或17 【解析】分析：设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．详解：由题得这组数据的平均数为10252422577x x +++++++=，众数是2，若x ≤2，则中位数为2，此时x=﹣11，若2＜x ＜4，则中位数为x ，此时2x=2527x++，x=3， 若x ≥4，则中位数为4，2×4=2527x++，x=17， 所有可能值为﹣11，3，17. 故填 -11或3或17.点睛：本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．在求数列的中位数时，必须分类讨论,不能不分类讨论.23．3【解析】由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心(3)在分析两个变量的相关关系时可根据样本数据【解析】由题意可得：0135635x ++++== ，回归方程过样本中心点，则：=3354y ⨯-= ，即：()123 3.89.245m m ++-++= ，解得：3m = .点睛：(1)正确理解计算,a b 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．24．【解析】两球颜色不同的概率是解析：35【解析】两球颜色不同的概率是252363105C ⨯== 25．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间， 则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间， 满足条件的P 点对应的线段长为2cm ， 而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15.三、解答题 26．(1)79；（2）712. 【解析】（1）求解不等式26160x x --≤可得x 的范围，由测度比为长度比求得26160x x --≤的概率；（2）求解对数不等式可得满足()ln 22x -<的x 的范围，得到整数个数，再由古典概型概率公式求得答案． 【详解】 解：（1）26160x x --≤，∴28x -，又[]1,10x ∈[]1,8x ∴∈故由几何概型可知，所求概率为8110971-=-． （2）()ln 22x -<，222x e ∴<<+，则在区间[]1,12内满足()ln 22x -<的整数为3,4,5,6,7,8,9共有7个， 故由古典概型可知，所求概率为712． 【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题．27．（1）0. 016；（2）3()5P A = 【解析】试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，可得到参加校生物竞赛的人数，再根据分数在[80,90)之间的频率求频数，根据矩形高等于对应频率除以组距得高（2）先根据枚举法列出所有基本事件，再计数至少有1人分数在[90,100]之间基本试卷数，最后根据古典概型概率公式求概率试题解析： (1)因为分数在[50,60)之间的频数为2，频率为0. 008×10＝0. 08，所以高一(1)班参加校生物竞赛的人数为＝25．分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率为＝0. 16，所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为＝0. 016．(2)设“至少有1人分数在[90,100]之间”为事件A ，将[80,90)之间的4人编号为1、2、3、4，[90,100]之间的2人编号为5、6．在[80,100]之间任取2人的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．其中，至少有1人分数在[90,100]之间的基本事件有9个， 根据古典概型概率的计算公式，得P (A )＝＝．28．(1)37a =，0.1b =，0.32c =；(2) 5.88；(3) 13.【分析】（1）由频数分布表，即可求解表格中的,,a b c 的值； （2）由频数分布表，即可估计用户的满意度平分的平均数；（3）从这100名用户中随机抽取25人，由频数分布表能估计满意度平分低于6分的人数． 【详解】(1)由频数分布表得510320.050.37a b c===，解得37a =，0.1b =，0.32c =； (2)估计用户的满意度评分的平均数为：10.0530.150.3770.3290.16 5.88⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(3)从这100名用户中随机抽取25人，估计满足一度评分低于6分的人数为：()250.050.10.3713⨯++=人.【点睛】本题主要考查了频数分布表的应用，以及平均数、频数的求解，其中解答中熟记频数分布表的性质，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题．29．（1）见解析；（2）29(,]28. 【解析】试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可.试题解析：(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，∴sin cos B A =， 即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈， 故2B A π=+，即2B A π-=；(Ⅱ)由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴0sin 2A <<，因此21992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是9]8． 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.30．（1）34（2）716 【解析】【分析】【详解】 古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点 （1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果，可以列举出，而满足条件的事件数字之和大于7的，可以从列举出的结果中看出．（2）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字3，从前面列举出的结果中找出来．解：(Ⅰ)设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共4种，数字之和大于或等于7的是（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共3种， 所以P(A)=34. (Ⅱ)设B 表示事件“至少一次抽到2”，第一次抽1张，放回后再抽取1张的全部可能结果为：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个事件B 包含的结果有（1、2）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共7个所以所求事件的概率为P(B)=716.。

2023-2024学年江苏省南京师大附中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若连续抛两次骰子得到的点数分别是m ，n ，则点P （m ，n ）在直线2x ﹣y ＝6上的概率是（ ） A ．13B ．14C ．112D ．1182．已知直线l 1：mx +2y ﹣2＝0与直线l 2：5x +（m +3）y ﹣5＝0，若l 1∥l 2，则m ＝（ ） A ．﹣5 B ．2C ．2或﹣5D ．53．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c ，0）到其渐近线的距离为√32c ，则b c=（ ） A ．√32B ．√22C ．√2D ．√34．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，0），动点P （x ，y ）满足PA PO=2，则动点P 的轨迹与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3=4，则S 9S 6=（ ）A ．94B ．23C ．53D ．46．已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在y 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →⋅OB →=−12，则抛物线C 的方程为（ ） A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．x 2＝8yD ．x 2＝4y7．设A ，B 是椭圆C ：x 23+y 2m=1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是（ ） A ．（0，1]∪[9，+∞） B ．（0，√3]∪[9，+∞） C ．（0，1]∪[4，+∞）D ．（0，√3]∪[4，+∞）8．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC ，满足AB ＝AC ＝5且B （﹣1，3），C （4，﹣2），若△ABC 的“欧拉线”与圆M ：（x ﹣3）2+y 2＝r 2（r ＞0）相切，则下列结论正确的是（ ） A ．圆M 上点到直线x ﹣y +1＝0的最小距离为2√2 B ．圆M 上点到直线x ﹣y +1＝0的最大距离为4√2 C ．点P 在圆M 上，当∠PBA 最小时，PB =√23 D ．点P 在圆M 上，当∠PBA 最大时，PB =√29二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知一组样本数据2，4，4，5，7，8，则这组数据的（ ） A ．极差为6B ．众数为4C ．方差为4D ．中位数为510．下列化简正确的是（ ） A ．sin75°cos75°=14B ．12cos40°+√32sin40°=sin80°C ．sin10°cos20°cos40°=18D ．tan105°=−2−√311．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，其准线与x 轴交于点A ．过点F 作直线l 与抛物线交于点M ，N ，且MF →=λFN →（λ＞1），直线AM 与抛物线的另一交点为E （点E 在点M 的左边）．下列结论正确的是（ ） A ．直线l 的斜率为2√λλ−1B ．tan ∠MAF =2√λλ+1C ．∠MAF ＝∠NAFD ．AE ＝AN12．已知曲线C ：y =√3(12x +x3)是双曲线，下列说法正确的是（ ） A ．直线x ＝0是曲线C 的一条渐近线 B ．曲线C 的实轴长为√3C ．(1，√3)为曲线C 的其中一个焦点D ．当t 为任意实数时，直线l ：y ＝x +t 与曲线C 恒有两个交点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过直线4x +2y +5＝0与3x ﹣2y +9＝0的交点，且垂直于直线x +2y +1＝0的直线方程是 ． 14．已知椭圆x 225+y 216=1的右焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方．若线段PF 的中点M 在以原点O为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 ．15．设ω是正实数，已知函数f （x ）＝sin ωx ﹣cos ωx 在区间（0，π）上恰有两个零点，则ω的取值范围是 ．16．双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，过双曲线C 右支上任意一点作其切线l ，过点F 作直线l 的垂线，垂足为H ，则点H 的轨迹方程为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔．第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试．最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立．现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙，丙三名考生笔试合格的概率分别是23，12，34，面试合格的概率分别是12，23，13．（1）求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率； （2）求三人中至少有一人获得决赛资格的概率．18．（12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2+a 6＝2，S 9＝﹣18． （1）求a n ；（2）当n 为何值时，|S n |最小？并求此最小值．19．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足b （sin B ﹣sin C ）＝a sin A ﹣c sin C ． （1）求角A 的值；（2）若a =2√3，且△ABC 的面积为2√3，求△ABC 的周长．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （2，a ）在抛物线C 上，且AF ＝3． （1）求抛物线C 的方程，并写出焦点坐标；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若点B （﹣1，1）满足∠MBN ＝90°，求直线l 的方程．21．（12分）已知椭圆C ：x 25+y 24=1和圆O ：x 2+y 2＝9，点P 是圆O 上的动点，过点P 作椭圆的切线l 1，l 2交圆O 于A ，B ．（1）若点P 的坐标为（0，3），证明：直线l 1⊥l 2； （2）求线段AB 的长．22．（12分）已知点A （2，1），B （﹣2，1）在双曲线C ：x 22−y 2=1上，过点D （0，﹣3）作直线l 交双曲线于点E ，F （不与点A ，B 重合）．证明：（1）记点P(0，2+√5)，当直线l 平行于x 轴，且与双曲线的右支交点为E 时，P ，A ，E 三点共线； （2）直线AE 与直线BF 的交点在定圆上，并求出该圆的方程．2023-2024学年江苏省南京师大附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若连续抛两次骰子得到的点数分别是m ，n ，则点P （m ，n ）在直线2x ﹣y ＝6上的概率是（ ） A ．13B ．14C ．112D ．118解：由题意可知，m 有6种可能，n 也有6种可能，所以点P （m ，n ）的个数为36， 而点P （m ，n ）在直线2x ﹣y ＝6上的点有（4，2），（5，4），（6，6），3个， 所以点P （m ，n ）在直线2x ﹣y ＝6上的概率是336=112．故选：C ．2．已知直线l 1：mx +2y ﹣2＝0与直线l 2：5x +（m +3）y ﹣5＝0，若l 1∥l 2，则m ＝（ ） A ．﹣5B ．2C ．2或﹣5D ．5解：若l 1∥l 2，则m （m +3）﹣2×5＝m 2+3m ﹣10＝（m ﹣2）（m +5）＝0， 所以m ＝2或m ＝﹣5．当m ＝2时，l 1，l 2重合，不符合题意，所以舍去； 当m ＝﹣5时，符合题意． 故选：A ． 3．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c ，0）到其渐近线的距离为√32c ，则b c=（ ） A ．√32B ．√22C ．√2D ．√3解：根据双曲线的几何性质可知：右焦点F （c ，0）到渐近线：bx ±ay ＝0的距离为√b 2+a 2=b =√32c ，∴bc =√32． 故选：A ．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，0），动点P （x ，y ）满足PA PO=2，则动点P 的轨迹与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切解：设P （x ，y ）， 则2222=2，化简可得（x +1）2+y 2＝4，则点P 的轨迹为以（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，又圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的圆心坐标为（1，1），半径为1， 且2−1＜√(−1−1)2+(0−1)2=√5＜2+1，则动点P 的轨迹与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是相交． 故选：C ．5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3=4，则S 9S 6=（ ）A ．94B ．23C ．53D ．4解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3=4，∴S 6S 3=6a 1+6×52d 3a 1+3×22d=2a 1+5d a 1+d=4，解得d ＝2a 1，S 9S 6=9a 1+9×82d 6a 1+6×52d=3a 1+12d 2a 1+5d=3a 1+24a 12a 1+10a 1=94．故选：A ．6．已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在y 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →⋅OB →=−12，则抛物线C 的方程为（ ） A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．x 2＝8yD ．x 2＝4y解：根据题意设抛物线C 的方程为x 2＝2py ，（p ＞0），则F （0，p 2）， 设直线AB 为y ＝kx +p2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =kx +p2x 2=2py，可得x 2﹣2pkx ﹣p 2＝0，∴x 1x 2=−p 2，y 1y 2=x 122p ⋅x 222p =p 24，又OA →⋅OB →=−12，∴x 1x 2+y 1y 2＝﹣12， ∴−p 2+p 24=−12，p ＞0， 解得p ＝4，∴抛物线C 的方程为x 2＝8y ． 故选：C ． 7．设A ，B 是椭圆C ：x 23+y 2m=1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是（ ） A ．（0，1]∪[9，+∞）B ．（0，√3]∪[9，+∞）C ．（0，1]∪[4，+∞）D ．（0，√3]∪[4，+∞）解：假设椭圆的焦点在x 轴上，则0＜m ＜3时， 设椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），设A （﹣a ，0），B （a ，0），M （x ，y ），y ＞0，则a 2﹣x 2=a 2y 2b2，∠MAB ＝α，∠MBA ＝β，∠AMB ＝γ，tan α=yx+a ，tan β=ya−x ，则tan γ＝tan[π﹣（α+β）]＝﹣tan （α+β）=−tanα+tanβ1−tanαtanβ=−2ay a 2−x 2−y 2=−2ay a 2y 2b2−y2=−2ab 2y(a2−b 2)=−2ab 2c 2y， ∴tan γ=−2ab2c 2y，当y 最大时，即y ＝b 时，∠AMB 取最大值，∴M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， ∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，tan ∠AMO =3√m≥tan60°=√3，解得：0＜m ≤1；当椭圆的焦点在y 轴上时，m ＞3，当M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， ∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，tan ∠AMO =√m 3≥tan60°=√3，解得：m ≥9，∴m 的取值范围是（0，1]∪[9，+∞） 故选A ．故选：A ．8．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC ，满足AB ＝AC ＝5且B （﹣1，3），C （4，﹣2），若△ABC 的“欧拉线”与圆M ：（x ﹣3）2+y 2＝r 2（r ＞0）相切，则下列结论正确的是（ ） A ．圆M 上点到直线x ﹣y +1＝0的最小距离为2√2 B ．圆M 上点到直线x ﹣y +1＝0的最大距离为4√2 C ．点P 在圆M 上，当∠PBA 最小时，PB =√23 D ．点P 在圆M 上，当∠PBA 最大时，PB =√29解：∵AB ＝AC ＝5，由题意可得三角形ABC 的欧拉线为BC 的中垂线， 由B （﹣1，3），点C （4，﹣2）可得BC 的中点为（32，12），且k BC =3+2−1−4=−1， ∴线段BC 的中垂线方程为：y −12=x −32，即x ﹣y ﹣1＝0， ∴△ABC 的“欧拉线”方程为x ﹣y ﹣1＝0；∵三角形ABC 的“欧拉线”与圆M ：（x ﹣3）2+y 2＝r 2相切， ∴圆心（3，0）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离d ＝r =|3−1|2=√2， ∴圆M 的方程为：（x ﹣3）2+y 2＝2， 圆心M （3，0）到直线x ﹣y +1＝0的距离d 1=|3−0+1|1+1=2√2，所以圆M 上点到直线x ﹣y +1＝0的最小距离为2√2−√2=√2，故A 错误； 圆M 上点到直线x ﹣y +1＝0的最大距离为2√2+√2=3√2，故B 错误；由AB ＝AC ＝5，可得A 在以B 为圆心，5为半径圆上，即（x +1）2+（y ﹣3）2＝25， 与x ﹣y ﹣1＝0，联立可求得A （4，3）或A （﹣1，﹣2），可得点A 在圆（x ﹣3）2+y 2＝2外，当点P 在圆M 上，当∠PBA 最大或最小时，直线PB 均与圆相切， 又|BM |=√42+32=5，所以|PB |=√25−2=√23，故C 正确，D 错误． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知一组样本数据2，4，4，5，7，8，则这组数据的（ ） A ．极差为6B ．众数为4C ．方差为4D ．中位数为5解：根据题意，依次分析选项：对于A ，数据的最大值为8，最小值为2，极差为6，A 正确； 对于B ，数据中4出现2次，次数最多，则数据的众数为4，B 正确； 对于C ，数据的平均数为16（2+4+4+5+7+8）＝5，其方程S 2=16（9+1+1+0+4+9）＝4，C 正确； 对于D ，数据的中位数为12（4+5）＝4.5，D 错误．故选：ABC ．10．下列化简正确的是（ ） A ．sin75°cos75°=14B ．12cos40°+√32sin40°=sin80°C ．sin10°cos20°cos40°=18D ．tan105°=−2−√3解：A 中，sin75°cos75°=12sin150°=12×12=14，所以A 正确； B 中，12cos40°+√32cos40°＝sin （30°+40°）＝sin70°，所以B 不正确；C 中，sin10°cos20°cos40°=12•2sin10°cos10°cos20°cos40°cos10°=12•sin20°cos20°cos40°cos10°=12•12sin40°cos40°cos10°=14•12sin80°sin80°=18，所以C 正确；D 中，tan105°＝tan （45°+60°）=tan45°+tan60°1−tan45°tan60°=1+√31−√3=−2−√3，所以D 正确．故选：ACD ．11．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，其准线与x 轴交于点A ．过点F 作直线l 与抛物线交于点M ，N ，且MF →=λFN →（λ＞1），直线AM 与抛物线的另一交点为E （点E 在点M 的左边）．下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的斜率为2√λλ−1B ．tan ∠MAF =2√λλ+1C ．∠MAF ＝∠NAFD ．AE ＝AN解：F(p2，0)，A(−p2，0)，设直线l 的方程为x =my +p2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则MF →=（p2−x 1，﹣y 1），FN →=(x 2−p 2，y 2)，因为MF →=λFN →(λ＞1)，所以{p 2−x 1=λ(x 2−p 2)−y 1=λy 2，所以{x 1=(1+λ)p 2−λx 2y 1=−λy 2， 联立{x =my +p2y 2=2px，消支x 得y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0， 则y 1+y 2＝2pm ，y 1y 2=−p 2，所以y 1+y 2＝（1﹣λ）y 2＝2pm ， 所以y 2=2pm1−λ，y 1=−2pmλ1−λ， 所以y 1y 2=−2pmλ1−λ⋅2pm1−λ=−p 2，解得1m =±2√λλ−1， 即直线l 的斜率为±2√λλ−1，故A 错误；由y 1=−2pmλ1−λ，得x 1=y 12p =4p 2m 2λ2(1−λ)22p=2pm 2λ2(1−λ)2=2pλ2×(λ−1)24λ(1−λ)2=pλ2， 由1m=±2√λλ−1，得y 1=−2pλ1−λ•（±2√λ）＝±p √λ，即M(pλ2，±p √λ)，k MA =±p √λpλ2+p 2=±2√λλ+1，故B 错误； k AM +k AN =y 1x 1+p 2+y 2x 2+p 2=y 1my 1+p +y 2my 2+p =2my 1y 2+p(y 1+y 2)(my 1+p)(my 2+p)=−2mp 2+2mp 2(my 1+p)(my 2+p)=0， 所以k AM ＝﹣k AN ，所以直线AM ，AN 关于x 轴对称，所以∠MAF ＝∠NAF ，故C 正确； 由题意可得E ，N 都在M 的左侧，且直线AM ，AN 关于x 轴对称， 根据抛物线的对称性可得|AE |＝|AN |，故D 正确． 故选：CD ．12．已知曲线C ：y =√3(12x +x3)是双曲线，下列说法正确的是（ ） A ．直线x ＝0是曲线C 的一条渐近线 B ．曲线C 的实轴长为√3C ．(1，√3)为曲线C 的其中一个焦点D ．当t 为任意实数时，直线l ：y ＝x +t 与曲线C 恒有两个交点解：对于选项A ：因为曲线C ：y =√3(12x +x3)是双曲线， 由对勾函数的性质可得x ＝0是双曲线的一条渐近线，故选项A 正确； 对于选项B ：当x →+∞时，双曲线的方程趋近于y =√33x ， 所以y =√33x 是双曲线的另外一条渐近线，倾斜角为30°，可得y =√3x 是双曲线的一条对称轴， 联立{y =√3x y =√3(12x+x 3)，解得{x =√32y =32或{x =−√32y =−32， 所以点（√32，32）和（−√32，−32）为曲线C 的顶点坐标，此时曲线C 的实轴长为√(√32+√32)2+(32+32)2=2√3，故选项B 错误；对于选项C ：不妨设双曲线的一个焦点为F ，过双曲线的一个顶点A 作AB 垂直y =√3x 交x ＝0于点B ， 此时∠AOB ＝30°，|OA|=√3， 所以虚轴长为2，焦距为4， 即|OF |＝2，则F(1，√3)，故选项C 正确；对于选项D ：因为y =√33x ，x ＝0为曲线C 的渐近线方程， 所以y ＝x +t 与双曲线有两个交点，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过直线4x +2y +5＝0与3x ﹣2y +9＝0的交点，且垂直于直线x +2y +1＝0的直线方程是 4x ﹣2y +11＝0 ．解：联立{4x +2y +5=03x −2y +9=0，解得x ＝﹣2，y =32，则过直线4x +2y +5＝0与3x ﹣2y +9＝0的交点，且垂直于直线x +2y +1＝0的直线方程为y −32=2（x +2），即4x ﹣2y +11＝0． 故答案为：4x ﹣2y +11＝0． 14．已知椭圆x 225+y 216=1的右焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方．若线段PF 的中点M 在以原点O为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 −2√2 ． 解：设椭圆得左焦点为F '，连接OM ，PF ′，由椭圆x 225+y 216=1得，a ＝5，b ＝4，c ＝3，则F '（﹣3，0），F （3，0），|FF '|＝2c ＝6，|PF |+|PF '|＝2a ＝10， 因为点M 在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上， 所以|OM |＝|OF |＝c ＝3，因为O ，M 分别为FF '，PF 得中点，所以|PF '|＝2|OF |＝6，所以|PF |＝10﹣|PF '|＝4， 所以cos ∠PFF ′=16+36−362×4×6=13，则sin ∠PFF ′=2√23， 所以tan ∠PFF ′=2√2，因为点P 在椭圆上且在x 轴上方，则直线PF 的倾斜角与∠PFF '互补， 所以直线PF 的斜率−2√2． 故答案为：−2√2．15．设ω是正实数，已知函数f （x ）＝sin ωx ﹣cos ωx 在区间（0，π）上恰有两个零点，则ω的取值范围是 （54，94] ．解：f （x ）=√2sin （ωx −π4）， x ∈（0，π），ω＞0，所以ωx −π4∈（−π4，ωπ−π4）， 由题意可知ωπ−π4∈（π，2π]， 解得ω∈（54，94]．故答案为：（54，94]．16．双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，过双曲线C 右支上任意一点作其切线l ，过点F 作直线l 的垂线，垂足为H ，则点H 的轨迹方程为 x 2+y 2＝4（x ＞4√55） ． 解：易知双曲线C ：x 24−y 2=1，所以a ＝2，因为右焦点为F 2，渐近线方程为y =±12x ， 不妨设双曲线C 右支上任意一点A ， 过点F 作直线l 的垂线，垂足为H ， 此时过点A 的切线为AH ， 由双曲线的光学性质，可得AH 为∠F 1AF 2的平分线，延长FH ，设FH 的延长线与AF 2的延长线交于点E ，此时AH 垂直平分FE ， 即点H 为FE 的中点，此时|OH|=12|F 2E|=12(|AE|−|AF 2|)=12(|AF|−|AF 2|)=a =2， 则点H 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 所以点H 的轨迹方程为x 2+y 2＝4， 联立{y =±12x x 2+y 2=4，解得x =±4√55， 因为A 在双曲线的右支上，且AH 为双曲线的切线， 所以|k AH |≥12，则点H 的轨迹方程为x 2+y 2＝4（x ＞4√55）． 故答案为：x 2+y 2＝4（x ＞4√55）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔．第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试．最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立．现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙，丙三名考生笔试合格的概率分别是23，12，34，面试合格的概率分别是12，23，13．（1）求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率； （2）求三人中至少有一人获得决赛资格的概率．解：（1）设事件A 表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B 表示“乙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A 、B 相互独立，结合两轮选拔之间相互独立，得P(A)=23×12=13，P(B)=12×23=13． 因此，甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为： P(AB +AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=13×(1−13)+(1−13)×13=49． 即甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率等于49；（2）设事件C 表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A 、B 、C 相互独立， 则P(C)=34×13=14． 因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格”， 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为P =1−P(ABC)=1−P(A)P(B)P(C)=1−(1−13)(1−13)(1−14)=23， 即甲、乙、丙三人中至少有一人获得决赛资格的概率等于23．18．（12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2+a 6＝2，S 9＝﹣18． （1）求a n ；（2）当n 为何值时，|S n |最小？并求此最小值． 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 2+a 6＝2，S 9＝﹣18， ∴{2a 1+6d =29a 1+36d =−18， 解得a 1＝10，d ＝﹣3， ∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝13﹣3n ．（2）由（1）得，|S n |=12|n （23﹣3n ）|={12n(23−3n)，n ≤712n(3n −23)，n ≥8， 当n ≤7时，T n =12n(23−n)=−32（n −236）2+52924，当n≥8时，T n=12n(3n−23)=32(n−236)2−52924，T n在[8，+∞）上单调递增，又T8＝4，∴T n的最小值为4，综上，|S n|最小值为4．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足b（sin B﹣sin C）＝a sin A﹣c sin C．（1）求角A的值；（2）若a=2√3，且△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长．解：（1）∵a sin A﹣c sin C＝b（sin B﹣sin C）．∴由正弦定理可得：a2﹣c2＝b2﹣bc，即b2+c2﹣a2＝bc，即cos A=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，∴则在三角形内，由A∈（0，π），可得A=π3；（2）∵a=2√3，A=π3，且△ABC的面积为2√3=12bc sin A=√34bc，∴可得bc＝8，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得12＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣24，∴解得b+c＝6，∴△ABC的周长a+b+c＝2√3+6．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（2，a）在抛物线C上，且AF＝3．（1）求抛物线C的方程，并写出焦点坐标；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，若点B（﹣1，1）满足∠MBN＝90°，求直线l的方程．解：（1）易知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x=−p 2，因为点A（2，a）在抛物线C上，且|AF|＝3，所以|AF|=2+p2=3，解得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，焦点为F（1，0）；（2）由（1）知抛物线的焦点F（1，0），易知直线l的斜率不为0，不妨设直线l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立{x =my +1y 2=4x ，消去x 并整理得y 2﹣4my ﹣4＝0，此时Δ＝16m 2+16＞0，由韦达定理得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4， 所以x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2，x 1x 2=(my 1+1)(my 2+1)=m 2y 1y 2+m(y 1+y 2)+1=1， 又B （﹣1，1），所以BM →=(x 1+1，y 1−1)，BN →=(x 2+1，y 2−1)， 因为∠MBN ＝90°，所以BM →⋅BN →=(x 2+1)(x 1+1)+(y 1−1)(y 2−1)=0， 即x 1x 2+（x 1+x 2）+1+y 1y 2﹣（y 1+y 2）+1＝0， 可得1+4m 2+2+1﹣4﹣4m +1＝0， 解得m =12，所以直线l 的方程为 x =12y +1， 即2x ﹣y ﹣2＝0． 21．（12分）已知椭圆C ：x 25+y 24=1和圆O ：x 2+y 2＝9，点P 是圆O 上的动点，过点P 作椭圆的切线l 1，l 2交圆O 于A ，B ．（1）若点P 的坐标为（0，3），证明：直线l 1⊥l 2； （2）求线段AB 的长．解：（1）证明：由题意可设过P 的切线方程为y ＝kx +3， 联立{y =kx +34x 2+5y 2=20，可得（4+5k 2）x 2+30kx +25＝0， 由Δ＝900k 2﹣4×25（4+5k 2）＝400k 2﹣400＝0，解得k ＝±1， 可得l 1⊥l 2；（2）设P （m ，n ），当一条切线的斜率不存在时，另一条切线的斜率为0， 可得两条切线垂直，则|AB |为圆O 的直径6；当切线的斜率都存在，设切线的方程为y ＝k （x ﹣m ）+n ， 代入椭圆方程4x 2+5y 2＝20，可得（4+5k 2）x 2+10kx （n ﹣km ）+5（n ﹣km ）2﹣20＝0， 由Δ＝100k 2（n ﹣km ）2﹣20（4+5k 2）[（n ﹣km ）2﹣4]＝0， 整理可得（5﹣m 2）k 2+2kmn +4﹣n 2＝0， 则k 1k 2=4−n 25−m 2=4−(9−m 2)5−m 2=−1， 即有l 1⊥l 2，此时AB 为圆O 的直径，即|AB |＝6． 综上可得|AB |＝6．22．（12分）已知点A （2，1），B （﹣2，1）在双曲线C ：x 22−y 2=1上，过点D （0，﹣3）作直线l 交双曲线于点E ，F （不与点A ，B 重合）．证明：（1）记点P(0，2+√5)，当直线l 平行于x 轴，且与双曲线的右支交点为E 时，P ，A ，E 三点共线； （2）直线AE 与直线BF 的交点在定圆上，并求出该圆的方程． 解：（1）证明：当直线l 平行于x 轴时，此时直线l 方程为y ＝﹣3，其与双曲线的右支交点为E ， 所以x 22−(−3)2=1，解得E(2√5，−3)， 而k AE =42−25=−1+√52，k AP =1+√5−2=−1+√52=k AE ，所以P ，A ，E 三点共线；（2）证明：易知直线EF 斜率存在，且过D （0，﹣3）， 不妨设直线EF 的方程为y ＝kx ﹣3，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）， 联立{y =kx −3x 22−y 2=1，消去y 并整理得（1﹣2k 2）x 2+12kx ﹣20＝0， 易知1﹣2k 2≠0且Δ＝80﹣16k 2＞0， 由韦达定理得x 1x 2=202k 2−1，x 1+x 2=12k2k 2−1，不妨设直线AE 与直线BF 的交点为G ，斜率分别为k 1，k 2，此时tan ∠BGA =k 2−k 11+k 1k 2=y 2−1x 2+1−y 1−1x 1−21+y 2−1x 2+2⋅y 1−1x 1−2=(4−2k)(x 1+x 2)−8x 1+16(k 2+1)x 1x 2−(2+4k)(x 1+x 2)+4x 1+12=−8k 2−48k+161−2k 2−8x 14k 2+24k−81−2k2+4x 1=−2，可得sin∠BGA=2√5 5，在△BGA中，由正弦定理得|AB|sin∠BGA=2R，可得△BGA外接圆半径R=√5，所以点G在过A，B两点，且半径为√5的圆上，不妨设该圆的圆心为M，此时M线段AB的中垂线上，则点M在y轴上，不妨设M（0，t），t＞1，因为R2=(|AB|2)2+(t−1)2，混的t＝3或t＝0（舍去），故定圆的方程为x2+（y﹣2）2＝5．。

2019-2020高二上学期期初模拟卷（时间：120分钟，满分：150分）一、单选题（共8题，每小题4分，共32分） 1．函数()ln 11x f x x +=+的部分图象大致是A B C D 2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥3．已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 A ．（0，1）B ．2112⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， C ．2113⎛⎤-⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，4．已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b + A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19355．在ABC ∆中，角ABC 的对边分别为a,b,c,且sin 22,1,,1cos 26c b B c π===- 则a 的值为A ．31-B ．232+C ．232-D ．62+6．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为 A ．23岁 B ．32岁 C ．35岁 D ．38岁 7．已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 A ．30B ．45C ．90D ．1868．若121212120,0,1a a b b a a b b <<<<+=+=且，则下列代数式中值最大的是A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12二、多选题（共4题，每小题5分，共20分）9．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -10．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是 A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8 11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1223AA AC AB ===，AB AC ⊥，点D ，E 分别是线段BC ，1B C 上的动点（不含端点），且1EC DCB C BC=．则下列说法正确的是 A ．//ED 平面1ACCB ．该三棱柱的外接球的表面积为68πC ．异面直线1B C 与1AA 所成角的正切值为32D ．二面角A EC D --的余弦值为41312．某同学在研究函数()22145f x x x x =++-+的性质时，受两点间距离公式的启发，将()f x 变形为()()()()()2222001201x f x x =-+-+-+-，则下列关于函数()f x 的描述正确的是A ．函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增 B ．函数()f x 的图象是中心对称图形 C ．函数()f x 的值域是)22,⎡+∞⎣ D ．方程()()15ff x =+无实数解三、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13．现有红球n 个白球350个，用分层抽样方法从中随机抽取120个小球，其中抽出的红球有50个．则n =__________．14．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．15．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （在的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号） 16．已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则方程()12f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和为__________． 四、解答题（共6题，共78分）17．（12分）已知函数()22sin cos 3sin cos cos 6f x x x x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的振幅、最小正周期和初相位； （2）将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的取值范围.18．（12分）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．19．（12分）如图：在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11CA CB CC ===，D 是棱1BB 上一点，P 是1C D 的延长线与CB 的延长线的交点，且//AP 平面1A CD . （1）求证：1BD B D =；（2）求二面角11C A D C --的正弦值；（3）若点E 在线段AP 上，且直线1A E 与平面1A CD 所成 的角的正弦值为14，求线段AE 的长. 20．（12分）某公司有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*∈x x N名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10250x a ⎛⎫-⎪⎝⎭万元（0a >），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x ．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a 的取值范围．21．（15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ∶40x y -+=和圆O ∶224x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为,M N . （1）若PM PN ⊥，求点P 坐标；（2）若圆O 上存在点,A B ，使得60APB ∠=︒，求点P 的横坐标的取值范围； （3）设线段MN 的中点为Q ，l 与x 轴的交点为T ，求线段TQ 长的最大值.22．（15分）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A B C <<，cos a B =，若C 角满足()1f C =-，求a b c ++的取值范围；（3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值．。

2020届江苏省南京师大附中高三上学期第一次模拟考试（二）数学试题一、填空题1．集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B =I _____. 【答案】{1,3}【解析】分析出集合A 为奇数构成的集合，即可求得交集. 【详解】因为21,k k Z -∈表示为奇数，故A B =I {1,3}. 故答案为：{1,3} 【点睛】此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题.2．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.【答案】8-【解析】计算出2iz ai bi b ai =+=-+，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解. 【详解】2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-.故答案为：-8 【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟. 【答案】7.5【解析】分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数. 【详解】76+147+1584107.5714154⨯⨯⨯+⨯=+++故答案为：7.5 【点睛】此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.4．函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________. 【答案】(0,2)-【解析】令0x =，(0)132f =-=-，与参数无关，即可得到定点. 【详解】由指数函数的性质，可得0x =，函数值与参数无关， 所有()(1)3xf x a =--过定点(0,2)-. 故答案为：(0,2)- 【点睛】此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.5．等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____. 【答案】4【解析】根据等差数列关系，用首项和公差表示出2216a a a =，解出首项和公差的关系，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得: 2216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以21=4a a故答案为：4 【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.【答案】1 2【解析】从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.【详解】由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有246C=种，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有233C=种，所以其概率为23241=2CC.故答案为：12【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.7．在长方体1111ABCD A B C D-中，1AB=，2AD=，11AA=，E为BC的中点，则点A到平面1A DE的距离是______.6【解析】利用等体积法求解点到平面的距离【详解】由题在长方体中，1111211=323A ADEV-=⨯⨯⨯⨯，221115,2,3A D DE EA A A AE===+=所以22211A D DE A E=+，所以1DE A E⊥，11623=2A DES=△设点A 到平面1A DE 的距离为h1161=323A A DE V h -=⨯⨯，解得6=3h 故答案为：6【点睛】此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.8．如图所示的流程图中，输出n 的值为______.【答案】4【解析】根据流程图依次运行直到1S ≤-，结束循环，输出n ，得出结果. 【详解】由题：211,1,1log 0,211S n S n ===+==+， 22220log log ,3213S n =+==+， 222232log log log 1,43314S n =+==-=+，1S ≤-结束循环，输出4n =. 故答案为：4 【点睛】此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.9．圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____. 【答案】22(3)4x y -+=【解析】求出圆心关于直线的对称点，即可得解. 【详解】22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x =-对称点设为(,)x y ，则有: 2121222112y x y x +-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以对称后的圆心为(3,0)，故所求圆的方程为22(3)4x y -+=. 故答案为：22(3)4x y -+= 【点睛】此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标. 10．正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切于正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是______. 【答案】[0,1]【解析】根据向量关系表示()()PM PN PO OM PO OM ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r 2221PO OM PO =-=-u u u r u u u u r u u u r ，只需求出PO u u u r 的取值范围即可得解. 【详解】由题可得：0OM ON +=u u u u r u u u r r，PO ⎡∈⎣u u ur()()()()PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM ⋅=+⋅+=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r222[0,11]PO OM PO =-=-∈u u u r u u u u r u u u r故答案为：[0,1] 【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.11．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____.【答案】34-【解析】根据双曲线上的点的坐标关系得2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--=，PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥，建立等式1PA QB k k ⋅=-，两式作商即可得解. 【详解】设()()()00,,2,02,0P x y A B -2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩ 即1234k k λ==-. 故答案为：34- 【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.12．对于任意的正数,a b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____.【答案】【解析】根据,a b 均为正数，等价于2222234442322a ab b b abk a ab a ab ++-≤=+++恒成立，令,0b xa x =>，转化为2423,021x xk x x -≤+>+恒成立，利用基本不等式求解最值.【详解】由题,a b 均为正数，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，等价于2222234442322a ab b b abk a ab a ab ++-≤=+++恒成立， 令,0b xa x =>则24223212121x x k x x x -≤+=++++，22121x x ++≥+Q 当且仅当22121x x +=+即x = 故k的最大值为故答案为：【点睛】此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.13．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>o ，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____.【答案】3【解析】在直角三角形中设3BC =，3AC x =<，1tan tan()2DAB BAC DAC ∠=∠-∠=，利用两角差的正切公式求解. 【详解】设3BC =，3AC x =<， 则31tan ,tan BAC DAC x x∠=∠= 22221tan tan()13321x x DAB BAC DAC x x x ∠=∠-∠===⇒=++， 故tan 3BAC ∠=. 故答案为：3 【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.14．函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.【答案】26,83k⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【解析】对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解. 【详解】由题：函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，2210,(0,1]1982,(1,3)x x x xk x x x x ⎧∈⎪+-+⎪-==⎨⎪+∈⎪⎩，等价于函数()10,(0,1],82,(1,3)x xy k g x x x x ⎧∈⎪⎪=-=⎨⎪+∈⎪⎩恰有两个公共点，作出大致图象：要有两个交点，即268,3k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 所以26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 故答案为：26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.二、解答题15．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 向量()2m a =u r，向量s )(co ,n B cosC =r ，且//m n u r r .（1）求角C 的大小；（2）求()3y sinA B π=-的最大值.【答案】（1）6π（2）2【解析】（1）转化条件得()2sin cos A C B C =+，进而可得cos C =，即可得解；（2）由56A B π+=化简可得2sin 3y A π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，由50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）Q //m n u r r，∴()2cos cos a C B ，由正弦定理得2sin cos cos cos A C B C C B -=，∴)2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+即()2sin cos A C B C =+，又 B C A +=π-，∴2sin cos A C A =，又 ()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴cos C =， 由()0,C π∈可得6C π=.（2）由（1）可得56A B π+=，∴56B A π=-，∴5()()3632()y sinA B sinA A sinA A ππππ=-+=---=2sin 3sinA A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，Q 50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴(]2sin 1,23A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴3()3y sinA sin B π=+-的最大值为2.【点睛】本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题.16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD △为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥.（1）求证:OE P 平面PAB ； （2）求证:CD PA ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）通过证明//OE PB ，即可证明线面平行； （2）通过证明CD ⊥平面PAD ，即可证明线线垂直. 【详解】（1）连BD ，因为ABCD 为平行四边形，O 为其中心，所以，O 为BD 中点， 又因为E 为PD 中点，所以//OE PB ，又PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB 所以，//OE 平面PAB ； （2）作PH AD ⊥于H 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD I 平面ABCD AD =PH AD ⊥，PH ⊂平面PAD ， 所以，PH ⊥平面ABCD 又CD ⊂平面ABCD ， 所以CD PH ⊥又CD PD ⊥，PD PH P ⋂=，PD ⊂平面PAD ，PH ⊂平面PAD 所以，CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以，CD PA ⊥. 【点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.17．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PFQ V 的周长； （2）求1PF M V 面积的最大值. 【答案】（1）12（2）1354【解析】（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义1212412PF PF QF QF a +++==；（2）求出椭圆的标准方程，设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出1PF M V 面积，即可求解最大值. 【详解】（1）设椭园C 的焦距为2c ，则24c =，故2c =.则12(2,0),(2,0)F F -椭圆过点52,3A ⎛⎫⎪⎝⎭，由椭圆定义知:1226a AF AF =+=，故3a =， 因此，1PFQ V 的周长1212412PF PF QF QF a =+++==；（2）由（1）知:2225b a c =-=，椭圆方程为:22195x y +=设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，则()22,R x y -，()121212111212:,0y y y x x y PR y x x y M x x y y ⎛⎫++=-+⇒ ⎪-+⎝⎭()2222259202505945x my m y my x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩()221,221015190010,59m m m y m -±+=+>=+△，1212222025,5959m y y y y m m --+==++，()121212122902259my x x y my y y y m -+=++=+，1121211121131352||||24PF M x x y S y y y y y ⎛⎫+=+=≤ ⎪+⎝⎭△，当且仅当P 在短轴顶点处取等，故1PF M V 面积的最大值为135. 【点睛】此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.18．一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD AB ≥.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD 边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小. 【答案】（1）[15,25]AD ∈（2）当36025b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，30152b b AD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小. 【解析】（1）设AD x =米，总费用为450()22520015022f x x x ⎛⎫=⨯+⨯⋅+⎪⎝⎭，解()65400f x ≤即可得解；（2）结合（1）可得占地面积()225(8)2S x x b x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭结合导函数分类讨论即可求得最值. 【详解】（1）由题意知:矩形ABCD 面积4502252S ==米2， 设AD x =米，则225AB x =米，由题意知:2250x x≥>，得15x ≥， 设总费用为()f x ，则450225()225200150226004500065400f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⋅+=++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得:925x ≤≤，又15x ≥，故[15,25]x ∈，所以发酵池D 边长的范围是不小于15米，且不超过25米； （2）设发酵馆的占地面积为()S x 由（1）知:()2251800(8)2216225,[15,25]S x x b bx b x x x ⎛⎫=++=+++∈⎪⎝⎭， ()222900(),[15,25]bx S x x x-'=∈①4b ≥时，()0S x '≥，()S x 在[15,25]上递增，则15x =，即15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小； ②36025b <≤时，()0S x '=，()S x 在[15,25]上递减，则25x =，即25,9AD AB ==米时，发酵馆的占地面积最小； ③36,425b ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，x ⎡∈⎢⎣时，()0S x '<，()S x 递减；x ⎤∈⎥⎦时，()0,()S x S x '>递增，因此xb ==，即2AD AB b == 综上所述：当36025b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2AD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小.【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.19．已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a =，11b =，22b =，当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2(2)n nn n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P .【答案】（1）12n na =，n b n =（2）11(1)2n n P n =-+⋅ 【解析】（1）112(2)n n S a n -=-…，所112n n S a +=-，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由()221111122(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=-=-+…，整理得()()()1111111122(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++…，得到11(2)n n n n b b b b n +--=-…，即可求解通项公式；（2）由（1）可知，21(2)12(1)1112(1)22(1)2n n n n nn n n c n n n n n n -++-=⋅=⋅=-++⋅+⋅，即可求得数列{}n c 的前n 项和n P . 【详解】（1）因为112(2)n n S a n -=-…，所112n n S a +=-，两式相减，整理得11(2)2n n a a n -=…，当2n =时，1121122S a a ===-，解得211142a a ==， 所以数列{}n a 是首项和公比均为12的等比数列，即12n n a =，因为()221111122(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=-=-+…，整理得()()()1111111122(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++…，又因为0n b >，所以0n T >，所以1121(2)nn n b n b b +-=+…，即11(2)n n n n b b b b n +--=-…，因为121,2b b ==，所以数列{}n b 是以首项和公差均为1的等差数列，所以n b n =； （2）由（1）可知，21(2)12(1)1112(1)22(1)2n n n n nn n n c n n n n n n -++-=⋅=⋅=-++⋅+⋅，211111112222322(1)2n n n P n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11(1)2n nP n =-+⋅.【点睛】此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.20．设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <). （i ）求a 的取值范围； （ii ）求证:12x x ⋅随着21x x 的增大而增大. 【答案】（1）见解析；（2）（i ）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析【解析】（1）求出导函数11(),(0,)axf x a x x x-'=-=∈+∞，分类讨论即可求解； （2）（i ）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii ）设211x t x =>，通过转化()1212(1)ln ln ln ln 1t tx x x x t +=+=-，讨论函数的单调性得证.【详解】（1）因为()ln f x x ax =-，所以11(),(0,)ax f x a x x x-'=-=∈+∞ 当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，()0f x '>的解集为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0f x '<的解集为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）（i ）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，至多一个零点，不符题意，当0a >时，因为()f x 有两个零点，所以max 11()ln 10f x f a a ⎛⎫==->⎪⎝⎭，解得10a e <<，因为(1)0f a =-<，且11a <，所以存在111,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =，又因为221111ln 2ln f a a a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，设11()2ln 0,g a a a a e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222112()0a g a a a a --'=+=>，所以()g a 单调递增，所以1()20g a g e e ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，即210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为211a a >，所以存在2211,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，综上，10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（ii ）因为1122ln ln 0x ax x ax -=-=，所以1212ln ln x x x x =，因为21x x >，所以211x x >，设211x t x =>，则21x tx =，所以()112121ln ln ln tx x x x x tx ==，解得1ln ln 1t x t =-，所以21ln ln ln ln 1t t x x t t =+=-，所以()1212(1)ln ln ln ln 1t tx x x x t +=+=-，设(1)ln ()(1)1t t h t t t +=>-，则2211ln (1)(1)ln 2ln ()(1)(1)t t t t t t t t t h t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，设1()2ln (1)H t t t t t =-->，则22212(1)()10t H t t t t-'=+-=>，所以()H t 单调递增，所以()(1)0H t H >=，所以()0H t >，即()0h t '>，所以()h t 单调递增，即()12ln x x 随着21x t x =的增大而增大，所以12x x 随着21x x 的增大而增大，命题得证.【点睛】此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命题.。