江苏省南京师大附中届高三阶段性检试题(数学).pptx

南京师范大学附属中学2024学年下学期高三数学试题第二次月考考试试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ）A ．45B ．45-C ．45±D ．352．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）．A ．50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭ D ．(0,)A B =+∞3．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ） A ．5101900-米 B ．510990-米 C ．4109900-米 D ．410190-米 4．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）A 3B 6C ．36D ．336 5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( ) A ．12 B ．32C ．255D ．55 6．将函数2()3sin 22cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ）A ．3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭πC ．3,08⎛⎫- ⎪⎝⎭πD ．3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π 7．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞ C ．[)0,1 D ．(]1,0-8．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>= 9．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交10．若x yi +(,)x y ∈R 与31i i +-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0 B ．3C ．－1D ．4 11．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ）A ．14种B ．15种C ．16种D ．18种12．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ． 23i -+D ． 23i --二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．[]2,4- 2．二 3．6 4．55．()2,0 6．58 7．38．252 9．12 10．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．[)4,+∞ 12．19 13．[]1,11- 14．3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分） 解：（1）由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入a cos B ＋b cos A ＝c cos Acos C ，得 (sin A cos B ＋sin B cos A ) cos C ＝sin C cos A ，…………2分即sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A ．因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以sin C cos C ＝sin C cos A ，…………4分因为C 是ⅠABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A ．又因为A ，C 是ⅠABC 的内角，所以A ＝C ．…………6分（2）由（1）知，因为A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a 2．…………8分因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3．…………10分 所以cos B ＝13．…………12分因为B Ⅰ(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223．…………14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为AD Ⅰ平面BCC 1B 1，AD ⊂平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD ＝BC ， 所以AD ⅠBC ．…………4分又因为BC ⊄平面ADD 1A 1，AD ⊂平面ADD 1A 1， 所以BC Ⅰ平面ADD 1A 1．…………6分（2）由（1）知AD ⅠBC ，因为AD ⅠDB ，所以BC ⅠDB ，…………8分 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1Ⅰ平面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ， 所以DD 1ⅠBC ，…………10分又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1，DB ⊂平面BDD 1B 1，DD 1∩DB ＝D ， 所以BC Ⅰ平面BDD 1B 1，…………12分 因为BC ⊂平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1Ⅰ平面BDD 1B 1．…………14分 17．（本小题满分14分）解：（1）连接AB ，因为正方形边长为10米，所以10OA OB AB ===，则3AOB π∠=，所以»103AB π=，…………2分所以广场的面积为2211050(1010)10100233ππ⋅⋅+=+-答：广场的面积为501003π+-6分 （2）作OG CD ⊥于G ，OK AD ⊥于K G ，记OAK α∠=， 则2220sin AD DG OK α===，…………8分 由余弦定理得2222cos OD OA AD OA AD α=+-⋅221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22ααααα-=+-⨯⨯=+⨯-230045)1)α=-+≥o ，…………12分所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=o时取等号，所以201)OA OB OC OD +++≤+=因此求4条小路的总长度的最小值为答：4条小路的总长度的最小值为14分 18．（本小题满分14分）解：（1）设椭圆的焦距为2c (c ＞0)． 依题意，c a ＝12，且a 2c ＝4，解得a ＝2，c ＝1．故b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．…………4分（2）设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，14＋13·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，所以14＋13·k ·(－12)＝0，得k ＝32． …………8分（3）由题意，S 1S 2＝32，即12·|AF |·|y 1| 12·|BF |·|y 2|＝32，整理可得|y 1||y 2|＝12，…………10分所以→NF ＝2→FM ．代入坐标，可得⎩⎨⎧1－x 2＝2(x 1－1)－y 2＝2y 1，即⎩⎨⎧x 2＝3－2x 1y 2＝－2y 1．…………12分又点M ，N 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 124＋y 123＝1 (3－2x 1)24＋(－2y 1)23＝1，解得⎩⎨⎧x 1＝74y ＝38 5．所以M 的坐标为(74，358)．…………16分19．（本小题满分16分）解：（1）f ′(x )＝1x －a x 2，则f ′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f (x )＝ln x －1x ＋1，此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)， 代入切线方程，得b ＝－2， 所以a ＝－1，b ＝－2．…………2分（2）g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1，g ′(x )＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2．Ⅰ当a ＝0时，g ′(x )＝1x ＞0，则g (x )在区间(0，12)上为增函数，则g (x )在区间(0，12)上无最小值．…………4分Ⅰ当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0， 则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2． 设函数m (x )＝ax 2＋x －a (x ＞0)， （i ）若a ＞0，若x 2Ⅰ(0，12) ，则m (0)＝－a ＜0 ，m (12)＝a 4＋12－a ＞0 ，解得0＜a ＜23．此时x Ⅰ(0，x 2)时，m (x )＜0，则g (x )递减；x Ⅰ(x 2，12)时，m (x )＞0，则g (x )递增，当x ＝x 2时，g (x )取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x Ⅰ(0，12)，m (x )＜0，g (x )在(0，12)单调减，无最小值．…………6分（ii ）若a ＜0，此时x Ⅰ(0，x 2)时，m (x )＞0，则g (x )递增；x Ⅰ(x 2，＋∞)时，m (x )＜0，则g (x )递减， 在区间(0，12)上，g (x )不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g (x )在区间(0，12)上有最小值．…………8分（3）当a ＝0时，由方程f (x )＝bx 2，得ln x ＋1－bx 2＝0，记h (x )＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0，则h ′(x )＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x．Ⅰ当b ≤0时，h ′(x )＞0恒成立，即h (x )在(0，＋∞)上为增函数， 则函数h (x )至多只有一个零点，即方程f (x )＝bx 2至多只有一个实数根， 所以b ≤0不符合题意．…………10分Ⅰ当b ＞0时，当x Ⅰ(0，12b)时，h ′(x )＞0，所以函数h (x )递增； 当x Ⅰ(12b，＋∞)时，h ′(x )＜0，所以函数h (x )递减， 则h (x )max ＝h (12b)＝ln 12b ＋12． 要使方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，则h (12b)＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e2．…………12分 （i ）当0＜b ＜e 2时，h (1e )＝－be 2＜0．又(1e)2－(12b )2＝2b －e 22b e 2＜0，则1e＜12b， 所以存在唯一的x 1Ⅰ(1e ，12b)，使得h (x 1)＝0．…………14分 （ii ）h (1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k (b )＝－ln b ＋1－1b ，0＜b ＜e2，因为k ′(b )＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2，则k (b )在(0，1)上为增函数，在(1，e2)上为减函数，则k (b )max ＝k (1)＝0，则h (1b )≤0．又(1b)2－(12b )2＝2－b 2b 2＞0，即1b＞12b， 所以存在唯一的x 2Ⅰ(12b ，1b]，使得h (x 2)＝0， 综上，当0＜b ＜e2时，方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根．…………16分20．（本小题满分16分）解：（1）Ⅰ若1λ=，因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-，则()()1111n n n n S a S a +++=+，111a S ==． 又Ⅰ0n a >，0n S >，Ⅰ1111n n n nS a S a +++=+，Ⅰ3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++， 化简，得1112n n S a +++=．Ⅰ Ⅰ当2n ≥时，12n n S a +=．ⅠⅠ－Ⅰ，得12n n a a +=，即()122n na n a +=≥． Ⅰ当1n =时，22a =，1n =时上式也成立，Ⅰ数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -=．…………4分Ⅰ因为()1n n b n a =+，Ⅰ()112n n b n -=+⋅．所以012212232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，所以123122232422(1)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，所以1212222(1)2n nn T n --=++++-+⨯L 12(12)2(1)2212n n n n n --=+-+⨯=-⨯-，所以2nn T n =⋅．…………8分（2）令1n =，得21a λ=+．令2n =，得()231a λ=+．要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=． 当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==．…………10分 当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=．…………14分综上所述，()*1Nn a n =∈，所以0λ=时，数列{}n a 是等差数列．…………16分第Ⅰ卷（选做题，40分）21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1） M 2＝⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ＝⎣⎡⎦⎤5445 ．…………4分 （2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－1)(λ－3)．令f (λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3．…………6分 Ⅰ当λ＝1时，⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤xy ，得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0．令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1．…………8分Ⅰ当λ＝3时，⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y ＝3⎣⎡⎦⎤xy ，得⎩⎨⎧x －y ＝0，x －y ＝0．令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤11． 因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1，⎣⎡⎦⎤11．…………10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：分别化为普通方程得直线1x =与圆22(1)1x y +-=，…………4分易得直线1x =与圆22(1)1x y +-=切于点Q ()1 1，，…………6分 所以交点Q 的极坐标是)π4，．…………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）因为l 过M (2，0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4， 所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1．…………2分 （2）设直线l 方程为：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －2)，消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4．…………4分因为C 为AB 中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k ，则直线l 1方程为：y ＝1k．…………6分因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则l 2方程为：y ＝－1k(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝1k ，y ＝－1k (x －2)，…………8分解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1k ，即P (1，1k)，所以，点P 在定直线x ＝1上．…………10分 23．（本小题满分10分） 解：（1）0111111101=-=+=a a S ；231121111112102=+-=++=a a a S ；011313111111132103=-+-=+++=a a a a S ；35114161411111111432104=+-+-=++++=a a a a a S ．…………4分（2）由二项式定理得，(1),,k kk na k n k =-∈C N ≤， 因为!()!1!C k nk n k n -=)!1(])!(!)][1()1[(21+-+++-⋅++=n k n k k k n n n )!1()!()!1()!1(!21+-+++-⋅++=n k n k k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-⋅++=)!1()!()!1()!1()!1(!21n k n k n k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++=+++111C 1C 121k n k n n n ，…………8分 所以∑==nk kn a S 01011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L高三数学参考答案 第 11 页 共 11 页 0111111(1)2C C n n n n n n +++⎛⎫+=⋅+- ⎪+⎝⎭()n n n )1(121-+⋅++=．…………10分。

江苏省南京市南京师大附中2025届数学高三第一学期期末学业质量监测试题 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( )A ．−8B ．−6C ．6D ．82．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ）A ．28B ．14C ．7D ．2 3．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．3(0,]4 C ．3[,1]4 D ．[1,)+∞4．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．85．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ） A．5 B．7 C- D．9-6．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ） A ．[2，4] B ．[4，6] C ．[5，8] D ．[6，7]7．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24B ．36C ．48D ．64 8．若函数()2x f x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 9．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<10．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37 D ．92811．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023届江苏省南京师范大学附属中学高三上学期期初阶段考试数学试题一、单选题1．已知集合2{|230}A x x x =--<，2{|log 2}B x x =<，则A B ⋂= A ．(1,4)- B ．(1,3)-C ．(0,3)D ．(0,4)【答案】C【详解】试题分析：解一元二次不等式2230x x --<，得13x -<<，∴(1,3)A =-，而(0,4)B =， ∴(0,3)A B ⋂=.【解析】1.解一元二次不等式；2.集合的交集. 2．已知复数z 的共轭复数2i3iz +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】由复数的运算法则计算后根据共轭复数概念得z ，再由几何意义得对应点坐标，从而得结论． 【详解】()()()()2i 3i 2i 55i 11i 3i 3i 3i 1022z ++++====+--+，故11i 22z =-，在复平面内对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限. 故选：D.3．已知函数()222,0,0x x x f x x a x ⎧-+>=⎨-+≤⎩的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】利用函数的单调性分别求出0x >和0x ≤时，所对应函数解析式的范围，根据函数()f x 的值域即可求出a 的取值范围. 【详解】由已知得当0x >时，()()222211f x x x x =-+=-+，值域为[)1,+∞；当0x ≤时，()f x x a =-+，值域为[),a +∞； ∵函数()f x 的值域为[)1,+∞， ∴1a ≥，则a 的最小值为1. 故选：A.4．函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 图象的一个对称中心是（ ）A ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭C ．5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先根据函数图象得到函数()f x 图象的一个对称中心与()f x 的最小正周期，进而利用函数的性质即可求解.【详解】解：由题图可知()f x 图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期4263T πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故()f x 图象的对称中心为,06k ππ⎛+⎫ ⎪⎝⎭，Z k ∈，结合选项可知，当1k =-时，()f x 图象的一个对称中心是5,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D.5．已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点()1,0F -的直线与椭圆交于不同的两点A ，B ，与y 轴交于点C ，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．22165x y +=B ．22154x y +=C ．22132x y +=D ．22143x y +=【答案】B【分析】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，易得21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得222414b a a +=，又2221c a b =-=，两式相结合即可求解【详解】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则C 为1AF 的中点，1F 为BC 中点，所以1A x =，所以22211A y a b +=，则2A b y a=即21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以220,2b C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将点坐标代入椭圆方程得4222441b a a b+=，即222414b a a +=，又221a b -=，所以25a =，24b =， 所以椭圆的标准方程是22154x y +=. 故选：B6．如图，已知正四棱锥P ABCD -的底面边长和高的比值为t ，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的正切值为（ ）A 22t +B 221t +C 22t +D 221t +【答案】C【分析】如图，连接,BD AC 交于点O ，连接,OE OP ，根据正四棱锥的几何特征可得O为,BD AC 的中点，OP ⊥平面ABCD ，则可得OE BP ∥，则异面直线PB 与CE 所成的角为OEC ∠或其补角，设AB a ，OP h =，结合已知在Rt OEC 中，分别求出,OE OC 即可得解.【详解】先根据正四棱锥的结构特征找到异面直线PB 与CE 所成的角，然后通过解三角形即可得解.如图，连接,BD AC 交于点O ，连接,OE OP ， 则O 为,BD AC 的中点，且OP ⊥平面ABCD ， 因为E 是棱PD 的中点，所以OE BP ∥，所以异面直线PB 与CE 所成的角为OEC ∠或其补角， 因为AC ⊂平面ABCD ，所以OP AC ⊥， 又,AC BD BD OP O ⊥⋂=， 所以AC ⊥面PBD ，又OE ⊂面PBD ，所以OC OE ⊥， 设AB a ，OP h =，则由题意得a t h =，22OB OC a ==，222211112222OE BP OB OP a h ==+=+， 所以在Rt OEC 中，22222222222tan 1122222a aOC a t h OEC OE a h t a a hh ⋅∠=====++⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 即异面直线PB 与CE 所成角的正切值为222t t +,故选：C.7．已知函数()()ln e f x x x =+，()()2131a g x x -=--，若直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =都相切，则实数a 的值为（ ）A ．54B ．1716C ．178D ．17e8【答案】B【分析】设直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =相切的切点分别为()11,x y ，()22,x y ，先针对()()ln e f x x x =+，根据导数的几何意义求出切线方程，再针对()()2131a g x x -=--还是利用导数的几何意义列方程组求出实数a 的值.【详解】设直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =相切的切点分别为()11,x y ，()22,x y ，因为()11f x x'=+，所以()11112f x x '=+=，解得11x =，又()lne 112f =+=，所以直线2y x b =+与曲线()y f x =相切的切点坐标为()1,2， 所以22b =+，解得0b =，所以2y x =． 又()()()()22111a g x x x -'=≠-，所以()()()()2222222121213211a g x x a x x x ⎧-==⎪-⎪⎪-⎪-=⎨'-⎪⎪≠⎪⎪⎩，解得2541716x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 故选：B ．8．已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线y kx =与Γ交于A ，B 两点（点A 在第一象限），线段AF 的中点为P ，O 为坐标原点．若OA OF =，2OP =，则Γ的两条渐近线的斜率之积为（ ）A．4--B．3--C．3-D．4-+【答案】B【分析】2c a -=，进而2224a b a =++即可求解【详解】如图，设双曲线Γ的左焦点为1F ，连接1AF ， 根据双曲线Γ与直线y kx =的对称性，知OA OB =． 因为OA OF =，23OP OB =，线段AF 的中点为P ， 所以123AF OP c ==， 且OP AF ⊥， 所以2AF PF c ==．根据双曲线的定义，知12AF AF a -=， 所以32c c a -=，所以222242331c a ⎛⎫==+⎪-⎝⎭， 所以222423a b a =++， 所以22323b a=+，所以双曲线Γ的两条渐近线的斜率之积为22323b a-=--，故选：B ．二、多选题9．教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数()()11,2,,i i z x x i n s=-=，其中i x 为原始分数，x为原始分数的平均数，s 为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩115x =，标准差10.8s =，转化为标准分数后，记平均成绩为m ，标准差为σ，则( ) A ．115m = B ．0m =C ．10.8σ=D ．1σ=【答案】BD【分析】根据平均数和方差公式，结合()()11,2,,i i z x x i n s=-=即可计算m 和σ．【详解】根据平均数与方差公式，得()()1111111110n n n i i i i i i m z x x x x x x n n s s n s===⎛⎫==-=-=-= ⎪⎝⎭∑∑∑，22211s s σ=⋅=， 即0m =，1σ=． 故选：BD ．10．已知动点M 到点(2,1)N k k -M 的运动轨迹为Γ，则（ ） A ．直线12xy =-把Γ分成面积相等的两部分 B ．直线230x y -+=与Γ没有公共点 C ．对任意的k ∈R ，直线2xy =被Γ截得的弦长都相等 D ．存在k ∈R ，使得Γ与x 轴和y 轴均相切 【答案】ABC【分析】根据题意知曲线Γ为圆，由直线过圆心可判断A ，由圆心到直线的距离判断B ，由圆心到2xy =的距离为定值判断C ，根据圆心到坐标轴的距离判断D. 【详解】依题意得，Γ是以(2,1)N k k -则Γ的方程为22(2)(1)3x k y k -+-+=.易知直线12xy =-经过Γ的圆心(2,1)N k k -， 所以直线12xy =-把Γ分成面积相等的两部分，故A 正确； (2,1)N k k -到直线230x y -+=的距离1d ==所以直线230x y -+=与Γ没有公共点，故B 正确； 圆心(2,1)N k k -到直线2xy =的距离2d ==所以直线2x y =被圆Γ截得的弦长为=C 正确； 若存在一个圆Γ与x 轴和y轴均相切，则|2||1|k k =-=D 错误. 故选：ABC11．已知等比数列{}n a 满足10a >，公比1q >，且1220211220221,1a a a a a a <>，则（ ）A ．20221a >B ．当2021n =时，12n a a a 最小C ．当1011n =时，12n a a a 最小D ．存在1011n <，使得12n n n a a a ++= 【答案】AC【分析】由等比数列的性质、单调性及不等式的性质可对每一个选项进行判断 【详解】对A ，∵10a >，1q >，∴0n a >，又1220211a a a ⋅⋅⋅<，1220221a a a ⋅⋅⋅>， ∴202212202111a a a a >>⋅⋅⋅，故A 正确；对B 和C ，由等比数列的性质可得21202122020101010121011a a a a a a a ==⋅⋅⋅==，故202112202110111a a a a ⋅⋅⋅=<即101101a <<，∵22202232021101110131012a a a a a a a ==⋅⋅⋅==，∴202123420221012a a a a a ⋅⋅⋅=，因为123420222342022111a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=>，所以2021101211a a >，∵1220211a a a ⋅⋅⋅<，10a >，1q >，∴101a <<，111a >， ∴10121a >，故当1011n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小，所以B 错误，C 正确；对D ，因为101a <<，1q >，所以{}n a 是单调递增数列，所以当1011n <时，10111n a a <<，故112n n n n a a a a +++<<，故D 错误， 故选：AC12．已知函数()e xf x x =，则（ ）A ．曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为y x =B ．曲线()y f x =的极小值为e -C ．当2213e 2ea ≤<时，()()1f x a x <-仅有一个整数解 D ．当223e 2e 2a ≤<时，()()1f x a x <-仅有一个整数解【答案】AC【分析】对于A,利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； 对于B ，利用函数极值的定义及导数法求函数极值的步骤即可求解；对于C ，D ，根据 B 选项结论，画出函数()f x 图象，利用函数()()1f x a x <-仅有一个整数解，只需要()f x 的图象在()1y a x =-的图象的下方的横坐标为整数且只有一个即可求解.【详解】对于A ，()()()1x x x f x x x x '''=+=+e e e ， 所以曲线()y f x =在点()0,0处的斜率为()()00011k f '==+=e ，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()010y x -=⨯-即y x =，故A 正确；对于B, ()()()1x x x f x x x x '''=+=+e e e ， 令0fx，则()10x x +=e ，解得1x =-，当1x >-时，0f x ， 当1x <-时，0fx，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增，在(),1-∞-上单调递减.当1x =-时，()f x 取得极小值为()()1111f --=-=-e e，故B 不正确；对于C ，D,由B 选项知，()f x 在()1,-+∞上单调递增，在(),1-∞-上单调递减. 当1x =-时，()f x 取得极小值为()()1111f --=-=-e e，如图所示由题意可知，2121,,2,,e e A B ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭直线()1y a x =-恒过1,0P ，所以11e 112e PAk --==--，22202e 123ePB k --==--， 要使()()1f x a x <-仅有一个整数解，只要是()e xf x x =的图象在()1y a x =-的图象的下方的横坐标为整数且只有一个，即PB PA k a k ≤<,于是有2213e 2ea ≤<，故C 正确，D 不正确. 故选：AC.【点睛】解决此题的关键，对于A ，利用导数的几何意义即可，对于B ，利用导数法求函数极值的步骤即可，对于C ，D, 画出函数图象，要使()()1f x a x <-仅有一个整数解，只要是()e xf x x =的图象在()1y a x =-的图象的下方的横坐标为整数且只有一个，即PB PA k a k ≤<即可.三、填空题13．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 1αα-=，则cos2=α______．【答案】79【分析】由题，结合三角恒等变换，求出sin α或tan α的值，即可由2cos 212sin αα=-或221tan cos 21tan ααα-=+求值 【详解】解法一sin 1αα-=1sin αα=+，两边平方得222cos 12sin sin ααα=++，23sin 2sin 10αα+-=，解得1sin 3α=或sin 1α=-（π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，舍去），故2cos21279sin αα=-=解法二sin 1αα-=两边同时平方，得222cos sin sin 1αααα+-=，即2cos sin ααα=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，所以sin tan cos 4ααα==，则22111tan 78cos 211tan 918ααα--===++． 故答案为：7914．某学校团委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为______． 【答案】16【分析】利用古典概型的概率计算公式求解即可【详解】先将3人分成两组，再安排到市图书馆和科技馆，共有2232C A 6=种不同的情况，图书馆恰好只有丙去只有1种情况，故所求概率16P =． 故答案为：1615．若对任意的[]1,4x ∈，都有234x x a x x ->-+，则实数a 的取值范围为___________.【答案】()(),16,-∞-⋃+∞【分析】对任意的[]1,4x ∈，都有234x x a x x ->-+等价于对任意的[]1,4x ∈，都有43x a x x->+-， 由题意可知，函数()14y x a x =-≤≤的图象在函数()4314y x x x=+-≤≤的图象的上方，结合图象列式即可求解 【详解】对任意的[]1,4x ∈，都有234x x a x x ->-+等价于对任意的[]1,4x ∈，都有43x a x x->+-， 作出函数()4314y x x x=+-≤≤的大致图象，如图中实线所示，由题意可知，函数()14y x a x =-≤≤的图象在函数()4314y x x x=+-≤≤的图象的上方，①若14a ≤≤，显然不符合题意；②若4a >，当直线y a x =-经过点()4,2时，6a =，所以要使()14y x a x =-≤≤的图象在()4314y x x x=+-≤≤的图象的上方，需6a >； ③若1a <，当直线y x a =-经过点()1,2时，1a =-，所以要使()14y x a x =-≤≤的图象在()4314y x x x=+-≤≤的图象的上方，需1a <-. 综上，实数a 的取值范围为()(),16,-∞-⋃+∞.故答案为：()(),16,-∞-⋃+∞16．有一张面积为82ABCD ，其中O 为AB 的中点，1O 为CD 的中点，将矩形ABCD 绕1OO 旋转得到圆柱1OO ，如图所示，若点M 为BC 的中点，直线AM 与底面圆O 2EF 为圆柱的一条母线（与AD ，BC 不重合），则当三棱锥A EFM -的体积取最大值时，三棱锥A EFM -外接球的表面积为___________.【答案】412π 【分析】先根据矩形ABCD 的面积为2直线AM 与底面圆O 2求出圆柱的底面半径与高，连接BE ，再由基本不等式求出三棱锥A EFM -的体积取最大值时AE ，BE 的长，最后设三棱锥A EFM -外接球的球心到平面AEF 的距离为x ，列出关于x 的方程，求出x ，进而求出外接球半径，即可求得外接球的表面积 【详解】设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则282rh =42rh =. 因为直线AM 与底面圆O 2所以222hr =2hr =由422rh h r⎧=⎪⎨=⎪⎩，得22h r ⎧=⎪⎨=⎪⎩连接BE ，由题意得AE BE ⊥，AE EF ⊥， 又BEEF E =，所以AE ⊥平面MEF ，而AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面MEF . 过点M 作MN EF ⊥于点N ，则MN ⊥平面AEF . 设AE a =，BE b =，则2216a b +=， 于是三棱锥A EFM -的体积221122822322A EFM a b V a b -+=⨯⨯=≤=当且仅当22a b ==设此时三棱锥A EFM -外接球的球心到平面AEF 的距离为x ，外接球半径为R ， 则()22422x x +=+，解得24x =， 于是229414488R x =+=+=，所以当三棱锥A EFM -的体积取最大值时，三棱锥A EFM -外接球的表面积24142S R ππ==. 故答案为：412π.四、解答题17．在ABC .中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos b c Ca A-=，3a =. (1)求角A ；(2)若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值.【答案】(1)3π【分析】（1）利用正弦定理将2cos cos b c Ca A-=，化为2sin cos sin B A B =，由此即可求出结果；（2）由题意可知13CD CA =，进而可得13BCD ABC S S ==△△，再根据余弦定理和基本不等式可得bc 的最大值，进而求出结果. 【详解】(1)解：因为2cos cos b c Ca A-=，所以()2cos cos b c A a C -=， 所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=， 因为sin 0B >，所以1cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =.(2)解：因为1233BD BA BC =+，所以13CD CA =；所以11sin 36BCD ABC S S bc A ===△△，因为2222cos a b c bc A =+-，所以229b c bc bc =+-≥，当且仅当b c =时，等号成立，所以BCD S =≤△BCD △18．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=. (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足对任意的正整数n ，2312123(1)n nb b b b n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+恒成立，求证：4n b ≥. 【答案】(1)n a n = (2)证明见解析【分析】（1）利用11,2,,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，进而求得答案；（2）根据题意先求出nnb a ，然后根据（1）求出n b ，进而通过基本不等式证明问题. 【详解】(1)因为22n n nS +=，所以当2n ≥时，221(1)122n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=.当1n =时，2111112a S +===，满足n a n =.所以{}n a 的通项公式为n a n =. (2)因为2312123(1)n nb b b b n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+， 所以当2n ≥时，231121231n n b b b b n a a a a --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以22(1)(2)n n b n n a n+=≥， 又1n =时，21124b a ==，满足22(1)n n b n a n +=，所以对任意正整数n ，22(1)n n b n a n+=，由（1）得，n a n =， 所以22(1)21n n n n b n n +++===112224n n n n++≥⋅+=，当且仅当1n =时等号成立. 19．随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量y （单位：辆）与全国居民人均可支配收入x （单位：万元）绘制的散点图.(1)由图可知，可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）(2)已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.参考数据：()510.06 1.34+≈，()610.06 1.42+≈，()710.06 1.50+≈.参考公式：回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】(1)11.460.24y x =+；(2)预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.【分析】（1）根据参考数据和公式算出b ，a ，进而得到y 关于x 的线性回归方程； （2）先根据线性回归方程计算出当50y =时x 的值，将其与通过已知数据计算所得的值相比较即可得解.【详解】(1)解： ()()()515215.2711.460.46iii i i x x y y b x x==--==≈-∑∑， 32.5611.46 2.820.24a y bx =-≈-⨯≈，所以y 关于x 的线性回归方程为11.460.24y x =+. (2)解：由5011.460.24x =+，得 4.34x ≈.因为2020年全国居民人均可支配收入为3.2189万元， 且()53.218910.06 3.2189 1.344.31 4.34⨯+≈⨯≈<，()63.218910.06 3.2189 1.424.57 4.34⨯+≈⨯≈>，所以预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.20．如图1，在平行四边形ABCD 中，,1,2AB AC AB BC ⊥==，将ACD △沿AC 折起，使得点D 到点P 的位置，如图2，设经过直线PB 且与直线AC 平行的平面为α，平面α平面为PAC m =，平面α平面为ABC n =.(1)证明：//m n ；(2)若6PB =，求二面角A PB C --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)265【分析】（1）根据已知条件及线面平行的性质定理，结合空间平行线的传递性即可求解； （2）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PAB 和平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式及同角三角函数的平方关系即可求解. 【详解】(1)因为//AC 平面为α，AC ⊂平面PAC ,平面α平面为PAC m =，所以//AC m ，因为//AC 平面为α，AC ⊂平面ABC ,平面α平面为ABC n =，所以//AC n ， 所以//m n(2)由题意可知，以A 为坐标原点，建立空间直线坐标系A xyz -，如图所示则()()()0,0,0,1,0,0,3,0,A B C 设(),,P a b c ，0c >，则由21PA PC PB ⎧===⎪⎨⎪⎩,即(()2222222224116a b c a b c a b c ++=++=⎧⎪⎪⎨-++=⎪⎪⎩，解得12a b c ⎧⎪⎪⎪=-==⎨⎪⎪⎪⎩或12a b c ⎧⎪⎪=-==⎪⎨⎪⎪⎪⎩（舍），所以12P ⎛- ⎝⎭. 所以()()13131,0,0,,3,,,0,,1,3,02222AB AP PC BC ⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则00n AB n AP ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪=⎩,即0102x x =-=⎧⎪⎨⎪⎩，令1y =，则0,2x z ==-， 所以()0,1,2n =-.设平面PBC 的法向量为()111,,m x y z =，则00n PC n BC ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪=⎩,即11111020x x ⎧=-=⎪⎨⎪⎩，令11y =，则111x z =， 所以()3,1,1m =.设二面角APB C --的大小为θ，则1cos cos ,5n m n m n mθ⋅=-<>=-=-=-，所以sin θ===故所求二面角APB C --. 21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2P ⎛⎝⎭在C 上. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设1F ，2F 为椭圆C 的左，右焦点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若1ABF l 的方程. 【答案】(1)2212x y +=(2)210x y +-=或210x y --=.【分析】（1）根据离心率可得,,a b c 的关系，再将P 的坐标代入方程后可求,a b ，从而可得椭圆的方程.（2）设直线l 的方程为1x ty =+，()()1222,,,A x y B x y ，结合1ABF 内切圆的半径为34可得1262y y -=，联立直线方程和椭圆方程，消元后结合韦达定理可得关于t 的方程，求出其解后可得直线方程. 【详解】(1)因为椭圆的离心率为22，故可设()2,2,20a k c k b k k ===>， 故椭圆方程为2222142x y k k +=，代入21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭得2211144k k +=，故212k =， 故椭圆方程为：2212x y +=.(2)1ABF 的周长为442a =，故113642242ABF S =⨯⨯=△. 设()()1222,,,A x y B x y ，由题设可得直线l 与x 轴不重合，故可设直线1x ty =+， 则1121216222ABF S y y y y =⨯⨯-=-=△，由22122x ty x y =+⎧⎨+=⎩可得()2122ty y ++=， 整理得到()222210t y ty ++-=，此时2880t ∆=+>，故2122221622t y y t ⨯+-==+，解得2t =±， 故直线l 的方程为：210x y +-=或210x y --=.22．已知函数()sin cos f x x x x =-． (1)证明：当()0,x π∈时，()0f x >；(2)记函数()()g x f x x =-，判断()g x 在区间()2,2ππ-上零点的个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)5个零点【分析】（1）求导后可知()f x 在()0,π上单调递增，由()()00f x f >=可得结论； （2）由()0g π=可知x π=是()g x 的一个零点；分别在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦、,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和(),2x ∈ππ的情况下，结合零点存在定理判断导函数的正负，从而得到()g x 的单调性，确定区间内零点个数，得到()g x 在()0,2π上的零点个数；根据奇函数性质可得最终结果.【详解】(1)由题意得：()sin f x x x '=；当()0,x π∈时，sin 0x >，()0f x '∴>，()f x ∴在()0,π上单调递增，()()00f x f ∴>=.(2)()sin cos g x x x x x =--，()sin 1g x x x '=-，()sin cos 0g πππππ=--=，x π∴=是()g x 的一个零点；①当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，设()sin h x x x =-，则()cos 10h x x '=-<，()h x ∴在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，00h x h ，又cos 0x x -<，()0g x ∴<，即()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上无零点；②当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos g x x x x ''=+，()2cos sin 0g x x x x '''=-<，()g x ''∴在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又102g π⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，()0g ππ''=-<，0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x ''=，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>；当()0,x x π∈时，()0g x ''<；()g x '∴在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减；()01022g x g ππ⎛⎫''>=-> ⎪⎝⎭，()10g π'=-<，()g x '∴在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点1x ，当1,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当()1,x x π∈时，()0g x '<；()g x ∴在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,πx 上单调递减，()()10g x g π>=，1022g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()g x ∴在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一零点；③当(),2x ∈ππ时，sin 0x <，()0g x '∴<，()g x ∴在(),2ππ上单调递减，()()0g x g π∴<=，()g x ∴在(),2ππ上无零点；综上所述：()g x 在()0,2π上有两个零点；()()sin cos g x x x x x g x -=-++=-，()g x ∴为奇函数，图象关于原点对称，()g x ∴在()2,0π-上有两个零点；又()00g =， ()g x ∴在()2,2ππ-上共有5个零点.【点睛】思路点睛；本题考查利用导数研究函数零点个数的问题，解题基本思路是能够根据导函数的形式，对所给区间进行分段，通过说明导函数在每段区间内的符号，得到原函数在区间内的单调性，结合零点存在定理确定零点个数.。

江苏省南京师大附中2015届高三12月段考数学试卷2014.12.30注意事项：本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．．．．．．．．．1．在复平面内，复数－3＋i 和1－i 对应的点间的距离为 ▲ ．2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 ▲ ．3．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种花卉的平均花期为 ▲ 天．4．若sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝ ▲ ．5．直线x cos α＋3y ＋2＝0(α∈R)的倾斜角的范围是 ▲ ．6．设函数f (x )是奇函数且周期为3，f (－1)＝－1， 则f (2014)＝ ▲7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i 的值为 ▲ ．8．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足1263CM CB CA =+，则MA MB ⋅＝ ▲ ．9．有下面四个判断：①命题“设a 、b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题；③命题“∀a 、b ∈R ，a 2＋b 2≥2(a －b －1)”的否定是“∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤2(a －b －1)”； ④若函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫a ＋2x ＋1的图象关于原点对称，则a ＝3．其中正确的有 ▲ 个．10．若双曲线x 2a 2－y 23＝1的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为▲ ．11．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为 ▲ ．12．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为 ▲ ．13．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为 ▲ ．14．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x ) 成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2．则数列的通项公式a n ＝ ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且b 2＝12ac ．(1)求证：cos B ≥34；(2)若cos(A －C )＋cos B ＝1，求角B 的大小．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝CC 1，E ，F 分别为AB ，AA 1的中点． (1)求证：直线EF ∥平面BC 1A 1；(2)求证：EF ⊥B 1C ．17．(本小题满分14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--． （Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）．18.（本小题满分16分）已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：x 216＋y 215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．（1）求抛物线D 的方程；（2）过椭圆C 右顶点A 的直线l 交抛物线D 于M 、N 两点． ① 若直线l 的斜率为1，求MN 的长；② 是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如 果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由． 19．（本小题满分16分）设函数1()ln ().f x x a x a R x=--∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12x x 和，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2?k a =-若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）记数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈N*），若存在实常数A ，B ，C ，对于任意正整数n ，都有2n n a S An Bn C +=++成立．（1）已知0A B ==，10a ≠，求证：数列{}n a （n ∈N*）是等比数列；（2）已知数列{}n a （n ∈N*）是等差数列，求证：3A C B +=； （3）已知11a =，0B >且1B ≠，2B C +=．设λ为实数，若n ∀∈N*，1nn a a λ+<， 求λ的取值范围．南京师大附中2015届高三12月段考试卷数 学 2014.12.30注意事项：本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．．．．．．．．．1．在复平面内，复数－3＋i 和1－i 对应的点间的距离为 ▲ ． 解析 －3＋i －1＋i|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝20＝2 5. 答案 2 52．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 ▲ ．解析 设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为12π×124＝π8.答案 π83．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种花卉的平均花期为 ▲ 天．解析 x ＝1100(12×20＋15×40＋18×30＋21×10)＝15.9(天)．答案 15.94．若sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝ ▲ ． 解析 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝35，所以cos α＝45， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝－22(cos α－sin α)＝－210. 答案 －2105．直线x cos α＋3y ＋2＝0(α∈R)的倾斜角的范围是 ▲ ． 解析:由x cos α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－33cos α. ∵－1≤cos α≤1，∴－33≤k ≤33. 设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33. 结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象可知，0≤θ≤π6或5π6≤θ<π. 6．设函数f (x )是奇函数且周期为3，f (－1)＝－1，则f (2014)＝ ▲ ．解析 因为f (－x )＝－f (x )，f (x ＋3)＝f (x )，f (－1)＝－1，所以f (1)＝1，f (2 014)＝f (3×671＋1)＝f (1)＝1. 答案 17．阅读下面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i 的值为 ▲ ． 解析 第一次运行结束：i ＝1，a ＝2； 第二次运行结束：i ＝2，a ＝5； 第三次运行结束：i ＝3，a ＝16；第四次运行结束：i ＝4，a ＝65，故输出i ＝4. 答案 48．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足1263CM CB CA =+，则MA MB ⋅＝ ▲ ．3)，则M ⎝⎛⎭⎫332，12，解析 建立直角坐标，由题意，设C (0,0)，A (23，0)，B (3，MA MB ⋅＝⎝⎛⎭⎫32，－12·⎝⎛⎭⎫－32，52＝－2.答案 －29．有下面四个判断：①命题“设a 、b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题；③命题“∀a 、b ∈R ，a 2＋b 2≥2(a －b －1)”的否定是“∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤2(a －b －1)”； ④若函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫a ＋2x ＋1的图象关于原点对称，则a ＝3．其中正确的有 ▲ 个．解析 对于①：此命题的逆否命题为“设a 、b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，①错误；“p 或q ”为真，则p 、q 至少有一个为真命题，②错误；“∀a 、b ∈R ，a 2＋b 2≥2(a －b －1)”的否定是“∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2<2(a －b －1)”，③错误；对于④：若f (x )的图象关于原点对称，则f (x )为奇函数，则f (0)＝ln(a ＋2)＝0，解得a ＝－1，④错误． 答案 010．若双曲线x 2a 2－y 23＝1的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为▲ ． 答案 2解析 双曲线x 2a 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3a x ，即3x ±ay ＝0，圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2,0)，半径为r ＝2，如图，由 圆的弦长公式得弦心距|CD |＝22－12＝3，另一方面，圆心 C (2,0)到双曲线x 2a 2－y 23＝1的渐近线3x －ay ＝0的距离为d ＝|3×2－a ×0|3＋a 2＝233＋a 2，所以233＋a 2＝3，解得a 2＝1，即a ＝1，该双曲线的实轴长为2a ＝2.11．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为 ▲ ．解析 由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n )≥n ＋22. 答案 f (2n )≥n ＋2212．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为 ▲ ． 答案26解析 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍. 在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.13．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为 ▲ ． 解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4.当x <0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1x 3.g (x )在区间[－1,0)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4， 综上可知a ＝4. 答案 414．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x ) 成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2．则数列的通项公式a n ＝ ▲ ． 解析 由a n ＋1＝f (2n ＋1)＝2f (2n )＋2n f (2)＝2a n ＋2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n2n ＝n ，a n ＝n ·2n .答案 n ·2n二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定．．．．．区域内．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且b 2＝12ac .(1)求证：cos B ≥34；(2)若cos(A －C )＋cos B ＝1，求角B 的大小．解 (1)因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ……………2分＝a 2＋c 2－12ac 2ac ≥2ac －12ac2ac ＝34，所以cos B ≥34 ……6分(2)因为cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ＝1， 所以sin A sin C ＝12.……………8分又由b 2＝12ac ，得sin 2B ＝12sin A sin C ＝14， ……………10分又B ∈(0，π)，且cos B ≥34>0,知B 为为锐角 ……………12分故sin B ＝12，得B ＝π6.……………14分16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝CC 1，E ，F 分别为AB ，AA 1的中点． (1)求证：直线EF ∥平面BC 1A 1； (2)求证：EF ⊥B 1C .证明 (1)由题知，EF 是△AA 1B 的中位线， 所以EF ∥A 1B ……………2分由于EF ⊄平面BC 1A 1，A 1B ⊂平面BC 1A 1，所以EF ∥平面BC 1A 1. ……………6分(2)由题知，四边形BCC 1B 1是正方形，所以B 1C ⊥BC 1. ……8分 又∠A 1C 1B 1＝∠ACB ＝90°，所以A 1C 1⊥C 1B 1.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面A 1C 1B 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1B 1，从而A 1C 1⊥CC 1， 又CC 1∩C 1B 1＝C 1，CC 1，C 1B 1⊂平面BCC 1B 1，所以A 1C 1⊥平面BCC 1B 1 又B 1C ⊂平面BCC 1B 1，所以A 1C 1⊥B 1C . . ……………10分因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面BC 1A 1，所以B 1C ⊥平面BC 1A 1. ……………12分 又A 1B ⊂平面BC 1A 1，所以B 1C ⊥A 1B .又由于EF ∥A 1B ，所以EF ⊥B 1C . ……………14分17．(本小题满分14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--. （Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）. 解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t=⋅=+-- ………5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩…………………7分①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t=++=++4401441≥⨯=当且仅当25t t=，即5t =时取等号 …………………10分 ②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t =+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033……………………13分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元 ………14分18.（本小题满分16分）已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：x 216＋y 215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．（1）求抛物线D 的方程;（2）过椭圆C 右顶点A 的直线l 交抛物线D 于M 、N 两点． ① 若直线l 的斜率为1，求MN 的长;② 是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如 果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由． 解：(1)由题意,可设抛物线方程为()022>=p px y . 由13422=-=-b a ,得1=c .∴抛物线的焦点为()0,1,2=∴p . ∴抛物线D 的方程为x y 42=…………… 4分(2)设()11,y x A ,()22,y x B .① 直线l 的方程为：4-=x y , 联立⎩⎨⎧=-=xy x y 442,整理得:016122=+-x x)522,526(),522,526(++--A A AB ∴=()()221221y y x x ---104=9分② 设存在直线a x m =:满足题意,则圆心114,22x y E +⎛⎫⎪⎝⎭,过E 作直线a x =的垂线,垂足为F ,设直线m 与圆E 的一个交点为G .可得: 222,FG EG FE =- ……………11分即222FGEA FE=-=()2121212444⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-a x y x =()()()21212121444441a x a x x y -+++--+=()211144a x a x x -++-=()2143a a x a -+-……………………………… 14分当3=a 时, 23FG =,此时直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值32. 因此存在直线3:=x m 满足题意 ……………………………………16分 19．（本小题满分16分） 设函数1()ln ().f x x a x a R x=--∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12x x 和，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2?k a =-若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．解：（1）()f x 的定义域为(0,).+∞22211'()1a x ax f x x x x-+=+-=……………………………………2分 令2()1,g x x ax =-+其判别式D =a 2-4.当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥时故()(0,)f x +∞在上单调递增．……………………………………3分当2a <-时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在上单调 递增．……………………………………5分当2a >时,>0,g(x)=0的两根为12x x == 当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时， '()0f x <；当2x x >时， '()0f x >，故()f x 分别 在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减．………………8分（2）由（1）知，2a >． 因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--，所以 1212121212()()ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+--- 又由(1)知，121x x =．于是1212ln ln 2x x k ax x -=--……………………………………10分 若存在a ，使得2.k a =-则1212ln ln 1x x x x -=-．……………………………………12分 即1212ln ln x x x x -=-． 亦即222212ln 0(1)(*)x x x x --=> 再由（1）知，函数1()2ln h t t t t=--在(0,)+∞上单调递增，而21x >， 所以222112ln 12ln10.1x x x -->--=与(*)式矛盾．故不存在a ，使得2.k a =-.…16分20．（本小题满分16分）记数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈N*），若存在实常数A ，B ，C ，对于任意正整数n ，都有2n n a S An Bn C +=++成立．（1）已知0A B ==，10a ≠，求证：数列{}n a （n ∈N*）是等比数列；（2）已知数列{}n a （n ∈N*）是等差数列，求证：3A C B +=；（3）已知11a =，0B >且1B ≠，2B C +=．设λ为实数，若n ∀∈N*，1n n a a λ+<，求λ的取值范围． 解：（1）由0A B ==，得n n a S C +=（n ∈N*）， ①从而11n n a S C +++=． ② ………2分 ②－①式得12n n a a +=，又10a ≠，所以数列{}n a 为等比数列． ………4分（2）由数列{}n a 是等差数列，可令公差为d ，则11(1)(1),2n n n n a a n d S na d -=+-=+． 于是由2n n a S An Bn C +=++得1221()22d d n a n a n B C d A n ++++=+-． 由正整数n 的任意性得11,2,2.d A d B a C a d ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=-⎪⎪⎩………6分 从而得113223d d a a B A d C +-=+==+． ………8分 （3）由11a =，2B C +=，及2n n a S An Bn C +=++，得12a A B C =++，即2A B C =++， 则有0A =． ………9分于是(2)n n a S Bn B +=+-，从而11(1)(2)n n a S B n B +++=++-，相减得12n n a a B +-=，11()2n n a B a B +-=-， 又11a =，1B ≠，则10a B -≠， 所以111()2n n a B a B --=-，即11(1)2n n a B B -=-+． ………12分 于是111(1)121(1)2(11)2n n n n n B B B B BB a B a -+-+=--+-=++．由0B >且1B ≠，下面需分两种情形来讨论．（i ）当01B <<时，10B ->，则式子1(1)2n B B B --+的值随n 的增大而减小， 所以，对n ∀∈N *,1n n a a +的最大值在1n =时取得，即max 12()111(1)2n n n a B B B B a +--+==+=+．于是，对于n ∀∈N *,121n n a a B +≤+，又1n n a a λ+<，21B λ∴>+． ………14分 （ii ）当1B >时，由(1)2(1)210n B B B B B -+≥-+=+>，2221n B B B ≥>-， 得110(1)2n B B B--<<-+．所以，对于n ∀∈N *， 11011(1)2n n n a B a B B+-<=+<-+． ① 假设1λ<，则有0λ>，且111(1)2n n n a B a B B λ+-=+<-+, 得(1)(2)2(1)n B B λλ--<-,即2(1)(2)log (1)B n Bλλ--<-， 这表明，当n 取大于等于2(1)(2)log (1)B B λλ---的正整数时，1n n a a λ+<不成立， 与题设不符，矛盾．所以1λ≥．又由①式知1λ≥符合题意． 故1B >时，1λ≥．综上所述，当01B <<时，21Bλ>+；当1B >时，1λ≥． ……16分。

江苏省南京师大附中四校2020届高三联考调研测试数学试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. 已知集合，且，则实数的值是__________．2. 已知复数，其中是虚数单位，则的实部是__________．3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为__________．4. 如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以天计算，估计这家面包店一个月内日销售量个到个的天数为__________．5. 有一个质地均匀的正四面体木块个面分别标有数字.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于的概率为__________．6. 已知，则的值为__________．7. 设数列为等差数列，为数列的前项和，已知为数列的前项和，则__________．8. 在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数的值为__________．9. 高为的正四棱锥的侧面积为，则其体积为__________．10. 设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其函数解析式是，其中.若，则的值是__________．..........................................11. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是__________．12. 如图，在四边形中，，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同．．的两点，则的值为_________．13. 已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，.当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为__________．14. 已知，则的最小值为__________．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 在中，角的对边分别为.已知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的周长.16. 如图，在三棱锥中，,平面平面分别为中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.17. 如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地米，米，以为直径的半圆和半圆（半圆在矩形内部）为两个半圆形水上主题乐园，都建有围墙，游客只能从线段处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着修建不锈钢护栏，沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为上的动点，，且线段与线段在圆心和连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为元/米，直线部门的平均修建费用为元/米.（1）若米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点的位置，使得修建费用最低.18. 已知椭圆的方程：，右准线方程为，右焦点为椭圆的左顶点.（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆在轴上方一点，点在右准线上且满足且，求直线的方程.19. 已知函数（是自然对数的底数）（1）若直线为曲线的一条切线，求实数的值；（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；（3）设，若在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数的取值范围.20. 设数列的首项为，前项和为，若对任意的，均有（是常数且）成立，则称数列为“数列”.（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列为“数列”，，设，证明：.附加题[选做题]在四个小题中只能选做2道，每小题10分，请把答案写在答题卡指定区域内.B. 选修4-2：矩阵与变换A. 选修4-1：集合证明选讲21. 如图，为的边上的一点，经过点，交于另一点，经过点，交于另一点，与交于点.求证：.22. 已知二阶矩阵的特征值所对应的一个特征向量.（1）求矩阵；（2）设曲线在变换矩阵作用下得到的曲线的方程为，求曲线的方程.C. 选修4-4：坐标系与参数方程23. 已知曲线（为参数）和曲线（为参数）相交于两点，求两点的距离.D. 选修4-5：不等式选讲24. 如图，已知长方体，直线与平面所成角为垂直于点为的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.25. 如图，一只蚂蚁从单位正方体的顶点出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过步回到点的概率.（1）分别写出的值；（2）设顶点出发经过步到达点的概率为，求的值；（3）求.江苏省南京师大附中四校2020届高三联考调研测试数学试题参考答案第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. 已知集合，且，则实数的值是__________．【答案】【解析】∵，∴，∴．答案：32. 已知复数，其中是虚数单位，则的实部是__________．【答案】【解析】∵，∴的实部是．答案：3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为__________．【答案】【解析】执行循环得结束循环，输出4. 如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以天计算，估计这家面包店一个月内日销售量个到个的天数为__________．【答案】【解析】由频率分布直方图可得，后3组的频率为，所以．故估计这家面包店一个月内日销售量个到个的天数为．答案：5. 有一个质地均匀的正四面体木块个面分别标有数字.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于的概率为__________．【答案】【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有种情况，其中两次看不到的数字都大于的情况有，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为．答案：6. 已知，则的值为__________．【答案】【解析】由题意得，解得．∴．答案：点睛：在三角变换中，要注意寻找式子中的角、函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，以减少函数的种类，从而达到对式子进行化简的目的．对于齐次式的求值问题常将所求问题转化为正切的形式求解，在变形时有时需要添加分母1，再用平方关系求解．7. 设数列为等差数列，为数列的前项和，已知为数列的前项和，则__________．【答案】【解析】设等差数列的公差为，由题意得，即，解得．∴，∴，∴．答案：8. 在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】令，得，故双曲线的渐近线方程为．由题意可得，解得．答案：9. 高为的正四棱锥的侧面积为，则其体积为__________．【答案】【解析】设正四棱锥的底面边长为，斜高，则．由题意得，整理得，解得或（舍去）．∴．∴．答案：10. 设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其函数解析式是，其中.若，则的值是__________．.......................................... 【答案】【解析】∵是周期为的函数，，∴，∴，∴．∴，∴．答案：111. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是__________．【答案】【解析】∵，∴．又函数在上单调递减，∴在上恒成立，∴，即，解得或．∴实数的取值范围是．答案：12. 如图，在四边形中，，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同．．的两点，则的值为_________．【答案】0【解析】如图，连AC，取AC的中点E，连ME，NE，则分别为的中位线，所以, 所以．由与共线，所以，故．答案：0点睛：（1）根据题中的，添加辅助线是解题的突破口，得到是解题的关键，然后根据向量的共线可得，再根据向量的数量积运算求解。

南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测数学2022.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，N ＝{x |－3＜x ＜1}，则M ∩N ＝()A ．{x |－3＜x ≤－1}B ．{x |－3＜x ＜－1}C ．RD ．{x |－3≤x ≤1}【答案】A2．若(z －1)i ＝i －2，则z ＝()A ．2－2i B ．2＋2iC ．2iD ．－2i【答案】B3．顶角为36°的等腰三角形被称为最美三角形，已知其顶角的余弦值为5＋14，则最美三角形底角的余弦值为()A ．5－14B ．5－12C ．5＋14D ．5＋12【答案】A4．在△ABC 中，→AB ·→AC ＝9，AB ＝3，点E 满足→AE ＝2→EC ，则→AB ·→BE ＝()A ．－6B ．－3C ．3D ．6【答案】B【解析】→AB ·→BE ＝→AB ·(→AE －→AB )＝→AB ·(23→AC －→AB )＝23→AB ·→AC －→AB 2＝23×9－32＝－3．5．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，点E 为线段DC 上一动点．现将△ADE 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 内的射影K 在直线AE 上．当点E 从D 运动到C 时，则点K 所形成轨迹的长度为()A ．233B ．32C ．π2D ．π3【答案】D6．已知椭圆长轴AB的长为4，N为椭圆点，满足|NA|＝1，∠NAB＝60°，则椭圆的离心率为()A．55B．255C．277D．377【答案】C7．第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案有()A．72种B．84种C．96种D．124种【答案】C【解析】由题意有一名女生的选法有C12⋅C24⋅A33，没有女生的选法有C34⋅A33，因此至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有C12⋅C24⋅A33＋C34⋅A33＝96，故选C．8．若a＝sin1＋tan1，b＝2，c＝ln4＋12，则a，b，c的大小关系为()A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a 【答案】A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题第Ⅰ卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知{}231,x A x xR +=≥∈，211,3x B x x R x ⎧⎫-=≤∈⎨⎬+⎩⎭，则A B =I __________．2．复数(1)z i i =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的在第__________象限． 3．某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为__________．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是__________．5．抛物线28y x =的焦点坐标为__________．（第4题）（第13题）6．若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从1，2两个数中任取的一个数，则关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率是__________．7．已知某圆锥底面圆的半径1r =，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为__________． 8．已知等差数列{}n a 中，3421a a -=-，30a =，则{}n a 的前10项和是__________．9．已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为__________．10．已知点A （0，3），直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，且圆心C 在直线l 上．若圆C 上存在点M ，使得|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为__________． 11．已知不等式2121xx ->-的解集为A ，不等式()22100x x m m ++-≤>的解集为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 12．已知0a >，0b >，且31126a b a b++≤+，则3ab a b +的最大值为__________．13．如图，已知AB AC ⊥，3AB =，AC =A 是以A 为圆心半径为1的圆，圆B是以B 为圆心的圆．设点P ，Q 分别为圆A ，圆B 上的动点，且12AP BQ =u u u r u u u r ，则CP CQ⋅u u u r u u u r的取值范围是__________．14．若1x ，2x 是函数()2ln 2f x x m x x =+-，m R ∈的两个极值点，且12x x <，则()12f x x 的取值范围为__________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个角A ，B ，C 所对的边，且满足a cos B ＋b cos A ＝c cos Acos C ．（1）求证：A ＝C ；（2）若b ＝2，BA →·BC →＝1，求sin B 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊥DB ．求证： （1）BC ∥平面ADD 1A 1；（2）平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．17．（本小题满分14分）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,A B 两点在O e 上，,,,A B C D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在,,A B ,C D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到,,,A B C D 四点线路,,,OA OB OC OD ．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路,,,OA OB OC OD 总长度的最小值．（第16题）BACDD 1B 1A 1C 1（第17题）18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为－12，求k 的值；（3）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝32，求M 的坐标．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ln x ＋ax＋1，a ∈R ．（1）若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；（2）记g (x )＝f (x )＋ax ，若函数g (x )在区间(0，12)上有最小值，求实数a 的取值范围；（第18题）（3）若当a ＝0时，关于x 的方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．20．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111λ+++-=-n n n n n na S a S a a 对一切*n ∈N 都成立．（1）当λ＝1时， ①求数列{}n a 的通项公式；②若,)1(n n a n b +=求数列{}n b 的前n 项的和T n ；（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列．如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题第Ⅱ卷（选做题，40分）21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤2 1 1 2．（1）求M 2；（2）求矩阵M 的特征值和特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系() (02π)ρθθ<≤, 中，求曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=的交点Q 的极坐标．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)及点M(2，0)，动直线l过点M 交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．23．（本小题满分10分）对于给定正整数n ，设nnnx a x a x a a x ++++=-Λ2210)1(，记01nn kk S a ==∑．（1）计算1234S S S S ，，，的值；（2）求n S ．南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．[]2,4- 2．二 3．6 4．55．()2,0 6．58 7．38．2529．12 10．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．[)4,+∞ 12．19 13．[]1,11- 14．3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分） 解：（1）由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入a cos B ＋b cos A ＝c cos Acos C ，得 (sin A cos B ＋sin B cos A ) cos C ＝sin C cos A ，…………2分即sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A ．因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以sin C cos C ＝sin C cos A ，…………4分因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A ． 又因为A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C ．…………6分（2）由（1）知，因为A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a 2．…………8分因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3．…………10分 所以cos B ＝13．…………12分因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223．…………14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊂平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD ＝BC ，所以AD ∥BC ．…………4分又因为BC ⊄平面ADD 1A 1，AD ⊂平面ADD 1A 1， 所以BC ∥平面ADD 1A 1．…………6分（2）由（1）知AD ∥BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ，…………8分 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1⊥平面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ， 所以DD 1⊥BC ，…………10分又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1，DB ⊂平面BDD 1B 1，DD 1∩DB ＝D ， 所以BC ⊥平面BDD 1B 1，…………12分 因为BC ⊂平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．…………14分 17．（本小题满分14分）解：（1）连接AB ，因为正方形边长为10米， 所以10OA OB AB ===，则3AOB π∠=，所以»103AB π=，…………2分所以广场的面积为2211050(1010)10100233ππ⋅⋅+=+-答：广场的面积为501003π+-6分 （2）作OG CD ⊥于G ，OK AD ⊥于K G ，记OAK α∠=， 则2220sin AD DG OK α===，…………8分 由余弦定理得2222cos OD OA AD OA AD α=+-⋅221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22ααααα-=+-⨯⨯=+⨯-230045)1)α=-+≥o ，…………12分所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=o时取等号，所以201)OA OB OC OD +++≤+=因此求4条小路的总长度的最小值为答：4条小路的总长度的最小值为14分 18．（本小题满分14分）解：（1）设椭圆的焦距为2c (c ＞0)． 依题意，c a ＝12，且a 2c ＝4，解得a ＝2，c ＝1．故b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．…………4分（2）设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，14＋13·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，所以14＋13·k ·(－12)＝0，得k ＝32． …………8分（3）由题意，S 1S 2＝32，即12·|AF |·|y 1| 12·|BF |·|y 2|＝32，整理可得|y 1||y 2|＝12，…………10分所以→NF ＝2→FM ．代入坐标，可得⎩⎨⎧1－x 2＝2(x 1－1)－y 2＝2y 1，即⎩⎨⎧x 2＝3－2x 1y 2＝－2y 1．…………12分又点M ，N 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 124＋y 123＝1 (3－2x 1)24＋(－2y 1)23＝1，解得⎩⎨⎧x 1＝74y ＝38 5．所以M 的坐标为(74，358)．…………16分19．（本小题满分16分）解：（1）f ′(x )＝1x －a x 2，则f ′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f (x )＝ln x －1x ＋1，此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)， 代入切线方程，得b ＝－2， 所以a ＝－1，b ＝－2．…………2分（2）g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1，g ′(x )＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2．①当a ＝0时，g ′(x )＝1x ＞0，则g (x )在区间(0，12)上为增函数，则g (x )在区间(0，12)上无最小值．…………4分②当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0， 则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2． 设函数m (x )＝ax 2＋x －a (x ＞0)， （i ）若a ＞0，若x 2∈(0，12) ，则m (0)＝－a ＜0 ，m (12)＝a 4＋12－a ＞0 ，解得0＜a ＜23．此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＜0，则g (x )递减；x ∈(x 2，12)时，m (x )＞0，则g (x )递增，当x ＝x 2时，g (x )取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x ∈(0，12)，m (x )＜0，g (x )在(0，12)单调减，无最小值．…………6分（ii ）若a ＜0，此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＞0，则g (x )递增；x ∈(x 2，＋∞)时，m (x )＜0，则g (x )递减， 在区间(0，12)上，g (x )不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g (x )在区间(0，12)上有最小值．…………8分（3）当a ＝0时，由方程f (x )＝bx 2，得ln x ＋1－bx 2＝0，记h (x )＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0，则h ′(x )＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x．①当b ≤0时，h ′(x )＞0恒成立，即h (x )在(0，＋∞)上为增函数， 则函数h (x )至多只有一个零点，即方程f (x )＝bx 2至多只有一个实数根， 所以b ≤0不符合题意．…………10分 ②当b ＞0时，当x ∈(0，12b)时，h ′(x )＞0，所以函数h (x )递增； 当x ∈(12b，＋∞)时，h ′(x )＜0，所以函数h (x )递减， 则h (x )max ＝h (12b)＝ln 12b ＋12． 要使方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，则h (12b)＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e2．…………12分 （i ）当0＜b ＜e 2时，h (1e )＝－be2＜0．又(1e )2－(12b )2＝2b －e 22b e 2＜0，则1e ＜12b， 所以存在唯一的x 1∈(1e ，12b)，使得h (x 1)＝0．…………14分 （ii ）h (1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k (b )＝－ln b ＋1－1b ，0＜b ＜e2，因为k ′(b )＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2，则k (b )在(0，1)上为增函数，在(1，e2)上为减函数，则k (b )max ＝k (1)＝0，则h (1b )≤0．又(1b)2－(12b )2＝2－b 2b 2＞0，即1b＞12b， 所以存在唯一的x 2∈(12b ，1b]，使得h (x 2)＝0， 综上，当0＜b ＜e2时，方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根．…………16分20．（本小题满分16分）解：（1）①若1λ=，因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-， 则()()1111n n n n S a S a +++=+，111a S ==． 又∵0n a >，0n S >，∴1111n n n nS a S a +++=+，∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++， 化简，得1112n n S a +++=．① ∴当2n ≥时，12n n S a +=．②②－①，得12n n a a +=，即()122n na n a +=≥． ∵当1n =时，22a =，1n =时上式也成立，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -=．…………4分②因为()1n n b n a =+，∴()112n n b n -=+⋅．所以012212232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，所以123122232422(1)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，所以1212222(1)2n nn T n --=++++-+⨯L 12(12)2(1)2212n n n n n --=+-+⨯=-⨯-，所以2nn T n =⋅．…………8分（2）令1n =，得21a λ=+．令2n =，得()231a λ=+． 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=． 当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==．…………10分 当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=．…………14分综上所述，()*1Nn a n =∈，所以0λ=时，数列{}n a 是等差数列．…………16分第Ⅱ卷（选做题，40分）21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1） M 2＝⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ＝⎣⎡⎦⎤5445 ．…………4分 （2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－1)(λ－3)．令f (λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3．…………6分 ①当λ＝1时，⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x y ，得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0．令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1．…………8分②当λ＝3时，⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y ＝3⎣⎡⎦⎤xy ，得⎩⎨⎧x －y ＝0，x －y ＝0．令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤11．因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1，⎣⎡⎦⎤11．…………10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：分别化为普通方程得直线1x =与圆22(1)1x y +-=，…………4分易得直线1x =与圆22(1)1x y +-=切于点Q ()1 1，，…………6分 所以交点Q 的极坐标是)π4，．…………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）因为l 过M (2，0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4， 所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1．…………2分 （2）设直线l 方程为：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －2)，消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4．…………4分因为C 为AB 中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k ，则直线l 1方程为：y ＝1k．…………6分因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则l 2方程为：y ＝－1k (x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝1k，y ＝－1k(x －2)，…………8分 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1k ，即P (1，1k)，所以，点P 在定直线x ＝1上．…………10分 23．（本小题满分10分） 解：（1）0111111101=-=+=a a S ；231121111112102=+-=++=a a a S ；011313111111132103=-+-=+++=a a a a S ；35114161411111111432104=+-+-=++++=a a a a a S ．…………4分（2）由二项式定理得，(1),,k kk na k n k =-∈C N ≤， 因为!()!1!C k nk n k n -=)!1(])!(!)][1()1[(21+-+++-⋅++=n k n k k k n n n )!1()!()!1()!1(!21+-+++-⋅++=n k n k k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-⋅++=)!1()!()!1()!1()!1(!21n k n k n k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++=+++111C 1C 121k n k n n n ，…………8分 所以∑==nk k n a S 01011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L0111111(1)2C C n n n n n n +++⎛⎫+=⋅+- ⎪+⎝⎭()n n n )1(121-+⋅++=．…………10分。

2022-2023学年南京师范大学附属中学高三下学期开学测试一．选择题（共8小题）1. 设集合{}29A x Z x =∈<，集合()(){}2130B x x x x =++=，则A B ⋂=（ ）A.{-3,-1,0}B.{-1,0}C.{1,0}D.{3,1,0}2. 已知i 是虚数单位，11,,1,ai a b R z i b i z z +∈=++-=，则（ ） A. 21a b =-⎧⎨=⎩ B. 22a b =-⎧⎨=-⎩ C. 42a b =⎧⎨=-⎩ D. 42a b =-⎧⎨=⎩3. 已知向量,a b 的夹角的余弦值为()()()2,33,1,=3a b a b b a b b -⊥+=-则（ ） A.-4 B.-1 C.1 D.44. 已知抛物线C ：y 2=2px(p>0),M 为x 轴半轴上一点，O 为坐标原点，线段OM 的垂直平分线l 交抛物线于A,B 两点，若四边形OAMB 为菱形，且∠OAM =120°，则菱形OAMB 的周长为（ ）A5 B. 53 C.8 D. 1635. 我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何?这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行43，则绳索长为（ ） A. 37米 B. 45 C. 52 D. 163米6. 已知67,78,,p q r p q ===则p,q,r 的大小关系为（ ）A. r>p>qB. q>p>rC. p>r>qD. p>q>r7. 如图，已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 为矩形，SA ⊥AB ，SB=SC=2，SA=AD=1，则四棱锥S-ABCD 的外接球的表面积为（ ）A. 133πB. 4πC. 103πD. 3π 8. 已知函数()()212x f x e x ax a R =--∈有两个极值点，则实数a 的取值范围（ ）A. （-∞，1）B. （0,1）C. [0,1]D. （1，+∞）二．多选题（共4小题）9. 甲乙两人准备买一部手机，购买国产手机的概率分别为0.6,0.5，购买白色手机的概率分别为0.4,0.6，若甲乙两人购买哪款手机互相独立，则（ ）A.恰有一人购买国产手机的概率为0.5B. 两人都没购买白色手机的概率为0.52C.甲购买国产白色手机的概率为0.48D. 甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为0.46810. 已知经过点P （2,4）的圆C 的圆心坐标为（0，t ）(t 为整数)，且与直线l:30x y -=相切，直线m ：ax+y+2a=0与圆C 相交于AB 两点，下列说法正确的是（ ）A.圆C 的标准方程为x 2+(y-4)2=9B.若P A ⊥PB ，则实数a 的值为-2C.若|AB |=22则直线m 的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0D. 弦AB 的中点M 的轨迹方程为（x+1）2+(y-2)2=511. 如图，在五面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 与四边形ABEF 那等，且AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB=2,CD =1,则下列说法正确的是（ ）A. AD ⊥BEB. 若G 为棱CE 中点，则DF ⊥平面ABGC. 若AD=CD ，则平面ADE ⊥平面BDED. 若AE 3则平面安ADE ⊥平面BCE12. 已知函数f(x),g(x)是定义域为R 的奇函数，f(x+1)的图像关于直线x =1,对称，函数g(2x+1)的图像关于点（1,0）对称，则下列结论正确的是（ ）A.函数f(x)的一个周期为8B. 函数g(x)的图像关于点（3,0）对称C.若g(x)-3 g(x)-5 g(x)=6，则g (2023)=1D. 若f (88)+g (88)=6，则g (2)=6三．填空题（共4小题）13. 在()5611y x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 2y 2的系数为____________. 14. 已知函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<，将f(x)的图像向右平移8π个单位长度后的函数g(x)的图像，若g(x)为偶函数，则函数f(x)在[0, 2π]上的值域为___________. 15. 已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,a 1=m,2na n =2S n +n(n+1),若对任意n N *∈，等式2n n S k S =恒成立，则m=_______,k=_________16. 已知F 1,F 2分别为双曲线C ()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过点F 1且斜率存在的直线L 与双曲线C 的渐近线相交于AB 两点，且点AB 在x 轴的上方，AB 两个点到x 轴的距离之和为85c ，若22AF BF =,则双曲线的离心率________> 四．简答题题（共6小题）17. 在①（a+c ）sin2B=bsinA+csinB ②4cosAcosC+1=2sinAsinC(1+1tan tan A C )③2cos cos cos a b c C B C=+这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题，已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c 满足___________.（1）求角B 的大小（2）若asinB=12sinA 求△ABC 面积的最大值.18. 已知数列{n a }满足()23212333332n nn n n N a a a a *++++=+∈ （1）求数列{n a }的通项公式（2）设113n n n n a a b ++=，数列{n b }的前n 项和为T n ，若113m T =，求m 。