南京师大附中2020届高三年级模拟考试数学答案

江苏省南师附中2020届高三年级第一次模拟考试数学Ⅰ2020.03.19参考公式：1．样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑；2．圆锥的体积13V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．集合{}0,e x A ，{}1,0,1B =-，若A BB ⋃=，则x =________． 2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是________． 3．24log 4log 2+=________．4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为________．5．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=________．6．已知函数()()()sin f x x x ϕϕ=++，0x ϕ≤≤，若()f x 是奇函数，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为________．7．已知()3log f x x =，若a ，b 满足()()121f a f b -=-，且2a b ≠，则a b +的最小值为________． 8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为________．9．若抛物线24x y =的点到双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为________．10．设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m αP ，m βP ，则αβP ； ②若m α⊥，m βP ，则αβ⊥； ③若m αP ，m n P ，则n αP ；④若m α⊥，αβP ，则m β⊥．其中的正确命题序号是________．1l ．设0x >，0y >，向量()1,4a x =-r ，(),b x y =-r ，若a b r rP ，则x y +的最小值为________．12．在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已如CP =4CA =，则CP CA ⋅=________． 13．已知正数a ，b ，c 满足()220b a c b ac ++-=，则ba c+的最大值为________． 14．若()21001m x m mx -<≠+对一切4x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是________． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算．15．如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且AB =2，BC =1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥．(1）求证：EF P 平面PAD ；（2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos C =．（1）求角A 的值；（2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长． 17．建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/2m 和80元/2m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域； （2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围； （3）求总造价y 的最小值．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22163x y +=，若圆O ：()2220x y R R +=>的一条切线与椭圆C 有两个交点A ，B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r．（1）求O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程．19．已知函数()()()222ln 12a f x ax x x x a R =+++∈． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范田（e 是自然对数的底数，271828e ≈L ．） 20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，()*n n n k c a a n +=+∈N ．若对任意的正整数n 满足：1n n b b +≤，且{}n c 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列．（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且11a =，11b =-，25c =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列．数学Ⅱ（附加题）2l ．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答理区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201a B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AB BA = （1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：3545x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长． C ．[选修4-5：不等式选讲]已知1x ，2x ，()30,x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡．．．指．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若()DC AB R λ=∈u u u r u u u r，且向量PC uuu r 与BD u u u r夹角的余弦值为15．（1）求λ的值：（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 23．已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++L ，*n N ∈．记()021k n n knT k a=-=+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈，n T 都能被42n +整除．参考答案1．0 2．-1 3．52 4．56 5．1 6．-1 7．32+ 8．499．3 10．②④ 11．9 12．6 13．22 14．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 15．证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， ∵F ，G 分别是PC ，PD 的中点FG CD ∴P ，且12FG CD =又∵E 为AB 中点AE CD ∴P ，且12AE CD =AE FG ∴P ．AE FG =四边形AEFG 为平行四边形EF AG ∴P ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD EF ∴P 平面PAD（2）设AC DE H =I ，由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点，得12AH AE CH CD ==又AB =1BC =AC ∴=，133AH AC ==AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∆∴∆: 90AHE ABC ∠∴∠==︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE16．解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，cos C =．得sin C =tan 3C =-所以()()()()13tan tan 2tan tan 111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦．0A π<<Q ，所以4A π= （2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理sin sin AB BCC A=得，a AB ⨯==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin B =所以ABC ∆的面积为21133sin 221010S AB BC B a a =⋅=⨯==，所以1a =，即1BC =． 17．（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， 48422801203204802y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+⨯⨯+⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()43204800y x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）43204802080y x x ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，解得14x ≤≤； []1,4x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记()4f x x x=+，设1202x x <<≤，则120x x -<，1240x x -<， ()()()()1212121212124440x x x x f x f x x x x x x x --∴-=+--=>，即()()12f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增， 所以函数4320480y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在(]0,2上递减，在[)2,+∞上递增， ∴2x =时，min 4320248017602y ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭． ()2x m ∴=，总造价最小为1760元．18（1）设的切为y kx b =+，点()11,A x y ，()22,B x y ．由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得122412kbx x k +=-+，2122212b b x x k -=+．因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=．又因为点()11,A x y ，()22,B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210kx xkb x x b++++=．所以()()2222222126401212k b k b b k k+---+=++，化简得2222b k =+， 所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=．此时，当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r．（2）设点()00,Q x y，点(M ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得023x N ⎛ ⎝⎭，代入椭圆和圆得220022001,63222,33x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛+⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或者00,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以点,2Q ⎛- ⎝⎭或2Q ⎛ ⎝⎭ 故直线MN的方程为y x =y x =+19．（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，()()()()()()2122ln 221ln 2221ln 1f x ax x ax x ax ax x ax ax x x'=+++⋅+=+++=++，则()()1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,+∞，()()2ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，解得1x e >；令()0f x '<，解得1x e<； 所以函数()f x 的单调增区间为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）函数()()222ln ln 12af x ax x x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线． 由（1）知()()()21ln 1f x ax x '=++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()0f x '>，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；2）当0a <时，令()0f x '=，得1x e =或1a -，其中11e<， ①若111-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()0f x '<，刚以函数()f x 在区间()1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102af e ae e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-， 其中()()2222213421330e e e e e +-----=>，即()222113e e+->-，所以a 的取值范是21a ≤≤-； ②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任()1,x e ∈，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>；所以函数()f x 在区间11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立；对于任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102a f e ae e e =+++<，解得229213e a e+<-， 其中()222221134221333e e e e e e e e e +----⎛⎫⎛⎫---==<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a 的取值范围是()22211e a e +-<<-．综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-．20．（1）当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 当1n =时，11a S a ==符合上式，则()211n a n n =-≥，2n b k ∴=-，422n c n k =--，则1n n b b +≤，14n n c c +-=对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}n a ∴为()H k 数列．（2）1a =Q ，11b =-，22a =，由数列{}n a 为()1H 数列，则{}n c 是等差数列，且13c =，25c = 21n c n ∴=+ 即121n n a a n ++=+，()11n n a n a n +∴-+=-，则{}n a n -是常数列，110a -=Q ，n a n ∴=．验证：11n n n b a a +=-=-，1n n b b +∴≤对任意正整数n 都成立 n a n ∴=． 又由121n n a a n ++=+，1223n n a a n +++=+， 两式相减得；22n n a a +-=，()2112121k a a k k -=+-=-，()22212k a a k k =+-=，n a n ∴=（3）由数列{}n a 为()2H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222n n n n n n n n c c a a a a b b d +++++∴-=+-+=--=， 132n n b b d ++∴--=则()()123220n n n n b b b b d d +++-+-=-= 又1n n b b +≤，1n n b b +∴=，∴数列{}n b 为常数列，则21n n n b a a b +=-=22n n n n n c a a a b +∴=+=-由()112n n n n c c a a d ++-=-=，12n n da a +∴-=，{}n a ∴是等差数列 21．A 解：（1）因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =，所以0a = （2）因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--，令()f λ=，解得2λ=，1λ=． B ．解：直线l ：3545x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）化为普通方程为430x y -=圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为()2211x y -+=， 则圆C 的圆心到直线1的距离为45d ==，所以65AB ==． C ．解：因为1x ，2x ，()30,x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=， 又()()21223312331121111119x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⋅++≥++=⎪⎝⎭， 所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号．【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用． 22．（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -()1,0,0B ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r，所以(),2,0C λ，从而(),2,2PC λ=-u u u r，则由cos ,PC BD =u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=．（2）易得()2,2,2PC =-u u u r ，()0,2,2PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(),,n x y z =r， 则0n PC ⋅=r u u u r ，0n PD ⋅=r u u u r，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量()0,1,1n =r ，又易得()1,0,2PB =-u u u r，故cos ,PB n PB n PB n⋅==⋅u u u r ru u u r r u u u r r ，所以直线PB 与平面PCD．23．（1）由二项式定理得21C ii n a +=，221035T a a a =++；（2）()()()()12221212121C C 21C C 221C n n n n nn n n n n n T n n n ----=+=++=+，进而可得到结论． 解析：由二项式定理得2C ii n i a +=（i =0，1，2，…，2n +1）． （1）210221055535C 3C +5C =30T a a a =++=+；（2）()()()()()()()()()()121221!212!1C 121C 1!!!!n kn kn n n n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-Q()()()12121002121C21C n nnn k n kn n k n n k k k T k a k k -++-++===∴=+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212102121C21C21C nnnn kn k n kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()()122122122011221C21C 2212C 21221C 22nnn kn k n n n nnn n n k k n n n n n +++++===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑．()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----∴=+=++=+． *21C n n N -∈Qn T ∴能被42n +整除。

江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷(2020．6)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n (x i －x)2，其中x ＝1nx i .锥体的体积V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．球体的表面积S ＝4πr 2，其中r 是球体的半径．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x||x|≤1，x ∈Z }，B ＝{x|－1，0，1，6}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝(1－2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部为0，则实数a 的值为________．3. 样本数据6，7，10，14，8，9的方差是________．4. 右图是一个算法流程图，若输入的x 的值为1，则输出S 的值为________．5. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛郑2次，则出现向上的点数之和为6的倍数的概率是________．6. 已知函数y ＝sin(2x ＋φ)(－π2＜φ＜π2)的图象关于点(2π3，0)对称，则φ的值是________．7. 已知P­ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16 π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，则该三棱锥的体积为________．8. 若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则抛物线y ＝14x 2的焦点到双曲线C 的渐近线距离为________．9. 已知函数f(x)＝sin x ＋2x ＋x 3.若f(a －6)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 10. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＋a 2＋a 5＝47，a 3＋a 4＝28.若存在正整数k ，使得对任意的n ∈N *都有S n ≤ S k 恒成立，则k 的值为________．11. 已知圆O ：x 2＋y 2＝m(m ＞0)，直线l ：x ＋2y ＝10与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．若圆O 上存在点P 使得△PAB 的面积为252，则实数m 的最小值为________．12. 已知点G 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若AB →·GD →＝6，AC →·GF →＝32，则BC →·GE →＝________．13. 已知函数f(x)＝a |x|，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，－x ＋116，x ≤0.若关于x 的方程f(x)＝g(x)有3个不同的实数根，则实数a 的取值集合为________．14. 在锐角三角形ABC 中，已知cos 2B ＋cos 2Asin 2B ＝4cos 2Acos 2B ，则sin 2Asin 2B4cos 2C ＋2sin 2Asin 2B的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在△ABC 中，已知sin 2A －2sin A ·sin C ＝sin 2(A ＋C)－sin 2C.(1) 求cos(B ＋π3)的值；(2) 若D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．16.(本小题满分14分)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为菱形，且AB ＝BC 1，点E ，F 分别为BB 1，A 1C 1的中点．求证：(1) 平面AA 1C 1C ⊥平面A 1BC ； (2) EF ∥平面A 1BC.某处有一块闲置用地，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧AB ︵和两条线段AC ，BC构成．已知圆心O 在线段AC 上，现测得圆O 半径为2百米，∠AOB ＝2π3，BC ⊥AC.现规划在这片闲置用地内划出一片梯形区域用于商业建设，该梯形区域的下底为AC ，上底为MN ，点M 在圆弧AD ︵(点D 在圆弧AB ︵上，且OD ⊥OA)上，点N 在圆弧BD ︵上或线段BC 上．设∠AOM ＝θ.(1) 将梯形ACNM 的面积表示为θ的函数；(2) 当θ为何值时，梯形ACNM 的面积最大？求出最大面积．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，其右焦点F 到其右准线的距离为1，离心率为22，A ，B 分别为椭圆Γ的上、下顶点，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆Γ交于C ，D 两点，与y 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q.(1) 求椭圆Γ的标准方程；(2) 当CD ＝852时，求直线l 的方程；(3) 求证：OP →·OQ →为定值．设f(x)＝a(x －1)2－e x ＋ex ，g(x)＝e x (x －1)＋12ax 2－(a ＋e)x ，a ∈R ，其中e 为自然对数的底数(e ＝2.718 2…)．(1) 当a ＝e 时，求g(x)在(1，g(1))处的切线方程； (2) 设F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的单调区间； (3) 当≥1时，f(x)≤0恒成立，求a 的取值范围．已知{a n}是各项均为正数的无穷数列，且满足a1＝a，a n＋1－a n＝d（a n＋1＋a n）.(1) 若d＝1，a3＝6，求a的值；(2) 设数列{b n}满足b n＝a n＋1－a n，其前n项的和为S n.①求证：{b n}是等差数列；②若对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得S n＝b m成立．求证：S n≤(2n－1)b1.江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2b ，点P(3，－1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(3，5)． (1) 求a 和b 的值；(2) 求矩阵A 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin(θ－π6)＝a ，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ.若直线l与曲线C 相切，求实数a 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋2ca ＋b的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某校举办的体育节设有投篮项目．该项目规定：每位同学仅有三次投篮机会，其中前两次投篮每投中一次得1分，第三次投篮投中得2分，若不中不得分，投完三次后累计总分．(1) 若甲同学每次投篮命中的概率为25，且相互不影响，记甲同学投完三次后的总分为X ，求随机变量X 的概率分布列；(2) 若(1)中的甲同学邀请乙同学一起参加投篮项目，已知乙同学每次投篮命中的概率为12，且相互不影响，甲、乙两人之间互不干扰．求甲同学的总分低于乙同学的总分的概率．23.在空间直角坐标系中，有一只电子蜜蜂从坐标原点O 出发，规定电子蜜蜂只能沿着坐标轴方向或与坐标轴平行的方向行进，每一步只能行进1个单位长度，若设定该电子蜜蜂从坐标原点O 出发行进到点P(x ，y ，z)(x ，y ，z ∈N )经过最短路径的不同走法的总数为f(x ，y ，z)．(1) 求f(1，1，1)，f(2，2，2)和f(n ，n ，n)(n ∈N *)；(2) 当n ∈N *，试比较f(n ，n ，n)与（4n ＋1）2n4n ·（n ！）2的大小，并说明理由．江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷数学参考答案及评分标准1. {－1，0，1}2. －23. 2034. 1005. 166. －π37. 9438. 139. ⎣⎡⎦⎤－2，32 10. 1011. 5 12. －92 13. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2e 14. [613，12)15. 解：(1) 因为A ＋B ＋C ＝π，sin 2A －2sin A ·sin C ＝sin 2(A ＋C)－sin 2C ，所以由正弦定理可知BC 2－2BC ·AB ＝AC 2－AB 2，BC 2＋AB 2－AC 2＝2BC ·AB ，(2分)cos B ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB＝22.因为在△ABC 中，B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(5分)所以cos(B ＋π3)＝cos Bcos π3－sin Bsin π3＝22×12－22×32＝2－64.(7分)(2) 由余弦定理可知，在△ACD 中，cos C ＝DC 2＋AC 2－AD 22AC ·DC ＝32＋72－522×7×3＝114，(9分)因为C ∈(0，π)，所以sin C ＞0，sin C ＝1－cos 2C ＝1－（114）2＝5314.(11分)由正弦定理可知，在△ABC 中，AB sin C ＝AC sin B ，所以AB 5314＝722，所以AB ＝562.(14分)16. 证明：(1) 连结AC 1交A 1C 于O 点，连结BO. 在△ABC 1中，因为AB ＝BC 1，所以BO ⊥AC 1.(2分) 因为侧面AA 1C 1C 为菱形，所以对角线A 1C ⊥AC 1.(4分)因为BO ∩A 1C ＝O ，BO ，A 1C ⊂平面A 1BC ，所以AC 1⊥平面A 1BC.(6分) 因为AC 1⊂平面AA 1C 1C ，所以平面AA 1C 1C ⊥平面A 1BC.(7分)(2) 连结FO ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，所以对角线互相平分，点O 为A 1C 的中点．因为点F 为A 1C 1的中点，所以在△A 1CC 1中，FO ∥CC 1，FO 綊12CC 1，(9分)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱BB 1綊CC 1，又点E 为BB 1的中点，所以BE 綊12CC 1.又FO 綊12CC 1，所以BE 綊FO ，四边形BEFO 是平行四边形，(12分)所以EF ∥BO.因为EF ⊄平面A 1BC ，BO ⊂平面A 1BC ，所以EF ∥平面A 1BC.(14分)17. 解：(1) 因为点M 在圆弧AD ︵上，OD ⊥OA ，当点M 分别与点A ，D 重合时，梯形不存在，所以θ∈(0，π2)．过点B 作BB′∥CA ，且BB′交圆弧AD ︵于点B′，连结B′O ，因为OD ⊥OA ，所以BB′⊥OD. 由垂径定理可知OD 垂直平分BB′，因此∠B′OD ＝∠BOD ＝∠AOB －∠AOD ＝2π3－π2＝π6，∠AOB ′＝∠AOD －∠B′OD＝π2－π6＝π3，因此，当θ∈(π3，π2)时，点N 在圆弧BD ︵上，当θ∈(0，π3]上时，点N 在线段BC 上．设OD ∩MN ＝H ，① 当θ∈(π3，π2)时，因为MN ∥CA ，所以∠HMO ＝∠AOM ＝θ.又OD ⊥OA ，所以MN ⊥OD.由垂径定理可知HM ＝HN ，在Rt △OHM 中，HM ＝OMcos ∠OMH ＝2cos θ， HO ＝OMsin ∠OMH ＝2sin θ，BC ⊥AC ，所以在Rt △OBC 中，∠COB ＝π－∠AOB ＝π－2π3＝π3，CO ＝OBcos ∠BOC ＝2cosπ3＝1，所以梯形ACNM 的面积S(θ)＝12OH ·(MN ＋AC)＝12OH ·(2MH ＋AO ＋OC)＝sin θ(4cos θ＋3)，(4分)② 当θ∈(0，π3]时，因为BC ⊥AC ，OD ⊥OC ，MN ⊥OD ，所以四边形OCNH 为矩形，故NH ＝OC ＝1， 所以梯形ACNM 的面积S(θ)＝12OH ·(MN ＋AC)＝12OH ·(MH ＋NH ＋AO ＋OC)＝2sin θ(cos θ＋2)．(6分)综上，S(θ)＝⎩⎨⎧2sin θ（cos θ＋2），θ∈（0，π3]，sin θ（4cos θ＋3），θ∈（π3，π2）.(7分)(2) ① 当θ∈(π3，π2)时，S(θ)＝sin θ(4cos θ＋3)，S ′(θ)＝cos θ(4cos θ＋3)＋sin θ(－4sin θ)＝8cos 2θ＋3cos θ－4.因为θ∈(π3，π2)时，cos θ∈(0，12)，cos 2θ＜14，所以S′(θ)＝8cos 2θ＋3cos θ－4＜8×14＋3×12－4＝－12＜0，故S(θ)在(π3，π2)上单调递减，S(θ)＜S(π3)＝sin π3·(4cos π3＋3)＝532.(10分)② 当θ∈(0，π3]时，S(θ)＝2sin θ(cos θ＋2)，S ′(θ)＝2cos θ(cos θ＋2)＋2sin θ(－sin θ)＝4cos 2θ＋4cos θ－2.因为θ∈(0，π3]时，cos θ∈[12，1)，cos 2θ≥14，。

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、填空题1．集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，若A ∪B ＝B ，则x ＝________. 2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是_______． 3．24log 4log 2+=________.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为_______.5．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．6．已知函数()sin())f x x x ϕϕ=++，0πϕ≤≤．若()f x 是奇函数，则π()6f 的值为____．7．已知3()log f x x =，若a ，b 满足(1)(21)f a f b -=-，且2a b ≠，则+a b 的最小值为_______．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___．9．若抛物线24x y =的焦点到双曲线C ：22221x y a b-=(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为____．10．设,m n 为空间两条不同的直线，,αβ为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若,m m αβP P ，则αβP ； ②若,m m P αβ⊥，则αβ⊥； ③若,m m n P P α，则n αP ； ④若,m P ααβ⊥，则m β⊥. 其中的正确命题序号是______.11．设0,0x y >>，向量a =r()1,4x -，b =r(),x y -，若a b r P r，则x y +的最小值为______．12．在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知CP =u u u v 4CA =u u u v ，23ACB π∠=，则CP CA ⋅=u u u v u u u v__________．13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则ba+c 的最大值为_____________．14．若2101m x mx -<+()0m ≠对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是______．二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，且AB =，1BC =，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥.(1)求证：//EF 平面PAD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PDE ．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos C =. （1）求角A 的值； （2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长. 17．建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元2/m 和80元2/m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围； （3）求总造价y 的最小值．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:163x y C +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程.19．已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+()n *∈N .若对任意的正整数n 满足：1nn bb +≤，且{}nc 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列.（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且112115a b c ==-=，，，求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列 ．21．已知矩阵10A ⎡=⎢⎣02⎤⎥⎦，20B ⎡=⎢⎣1a ⎤⎥⎦，且AB BA = （1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值. 22．在平面直角坐标系中，已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.23．已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥. 24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u v u u u v （R λ∈），且向量PC uuu v 与BD uuu v 夹角的余弦值为15.（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 25．已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++L ，n *∈N ．记()021?nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意n *∈N 的，n T 都能被42n +整除．参考答案1．0 【解析】 【分析】因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，再根据函数xy e =的值域可以得出1x e =，从而可以求出x 的取值. 【详解】解：集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，又0x e >，所以1x e =，即0x =. 故答案为：0. 【点睛】本题考查根据并集关系求集合，考查指数函数的值域和实数值的求法，属于基础题. 2．-1 【解析】 【分析】由题意，根据复数的运算，化简得2z i =-，即可得到复数z 的虚部． 【详解】 由题意，复数12i (12i)()2i i ()i z i i ++⋅-===-⋅-，所以复数z 的虚部为1-． 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类，其中解答中熟记复数的四则运算，正确化简、运算复数，再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．52【解析】 【分析】根据对数的运算公式得到结果. 【详解】根据题干得到24log 4log 2+=22152+log 22+=22= 故答案为52. 【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础. 4．56【解析】 【分析】直接模拟运行程序即得解. 【详解】 s=1-11=22,k=2,s=115+=236,k=3,输出s=56.故答案为：56【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5．1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形 6．-1 【解析】函数为奇函数，则：()0sin 2sin 03f πϕϕϕ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，据此有：,33k k ππϕπϕπ+==-，令1k =可得：23ϕπ=，故：()22sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22sin 166363f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7．32【解析】 【分析】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，得(1)(21)1a b --=，所以212a b+=，所以123(3)22b a a b a b +=++≥【详解】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，即3log (1)(21)0a b --=，所以(1)(21)1a b --=，得212a b+=，所以()121123(3)222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2b aa b =，即a =时，等号成立，综上，+a b 的最小值为32+ 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 8．49【解析】分析： 先求黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有339⨯=种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有224⨯=，所以黑白两球均不在一号盒的概率为49，故答案为49. 点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.9．3 【解析】 【分析】先求出抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为y ba=x ，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出． 【详解】 抛物线x 2＝4y的焦点坐标为（0，1），双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y ba=x ， ∴13a c==， ∴e ca==3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，属于基础题. 10．②④ 【解析】 【分析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案． 【详解】对于①，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交，故①错误；对于②，若m ⊥α，m ∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；对于③，若m ∥α，m ∥n 则n 可能在α内，故③错误；对于④，若m ⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β；故④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键． 11．9 【解析】 【分析】先根据向量平行得到1x +4y=1，再利用基本不等式即可求出最值．【详解】 ：因为a r∥b r， 所以4x+（1﹣x ）y=0， 又x ＞0，y ＞0， 所以1x +4y=1， 故x+y=（1x +4y ）（x+y ）=5+y x +4xy≥9． 当y x=4x y ，1x +4y =1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立． （x+y ）min =9． 故答案为9． 【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 12．6 【解析】22211()(2)24CP CA CB CP CA CB CA CB =+∴=++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vQ213(16||4)24CB CB CB ∴=+-∴=u u u v u u u v u u u v ,所以21111()()2222CP CA CA CB CA CA CB CA CA CB CA ⋅=+⋅=+⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1111624() 6.222=⨯+⨯⨯⨯-= 点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． 13．√5−22【解析】 【分析】利用求根公式得到b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，表示目标b a+c =−1+√1+ac(a+c )2，借助均值不等式求最值. 【详解】∵b 2+2(a +c)b −ac =0 ∴b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，∴ba+c =−(a+c )+√(a+c )2+aca+c=−1+√(a+c )2+aca+c=−1+√1+ac(a+c )2，=−1+√1+1a c +ca+2≤√5−22，当且仅当a=c 时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】若0m > ,则当x →+∞时2101m x mx ->+ ,所以0m < ,从而221114m m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ 或21114m m m⎧≤-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩所以112m -<<-或112m m ≤-∴<-点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 15．（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ，根据G ，E ，F 分别是PD ，AB ，PC 的中点，可知道四边形AEFG 为平行四边形，即可说明//EF 平面PAD（2）要证明平面PAC ⊥平面PDE ．由题意已知PA DE ⊥，即只需证明DE AC ⊥,根据矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，AB =，1BC =，即可说明DE AC ⊥，即平面PAC ⊥平面PDE ． 【详解】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F Q ，G 分别是PC ，PD 的中点//FG CD ∴，且12FG CD =又E Q 为AB 中点//AE CD ∴，且12AE CD =//AE FG ∴，AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD//EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =I由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点 得12AH AE CH CD ==又AB =Q 1BC =AC ∴13AH AC ==AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆: 90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的证明，其中要证线面平行有两个方向：①利用线面平行的判定定理：,,l m m l l ααα//⊂⊄⇒// ；②利用面面平行的性质定理：,l l αβββ//⊂⇒// ．要证面面垂直，需利用面面垂直判定定理：在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面．属于基础题． 16．（1）4A π= （2）1BC =【解析】 【分析】（1）由题可知，cos 10C =-，根据同角三角函数关系求出sin ,tan C C ，在ABC ∆中，利用tan tan()A B C =-+，代入求出tan A ，即可得出A ∠；（2）利用正弦定理和三角形的面积公式13sin 210S AB BC B =⋅=，即可求出BC 的长. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，cos C =.得sin 10C =，故tan 3C =- 所以()()()13tan tan 2tan tan()111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦. ∵0A π<<，所以4A π=（2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理：sin sin AB BCC A=得：5a AB a ==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 5B =，所以ABC ∆的面积为：1sin 2S AB BC B =⋅213321010a a =⨯==. 所以1a =，即1BC =. 【点睛】本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式，求三角形的内角和边长，同时考查学生的计算能力.17．（1）4320()480(0)y x x x=++>；（2）[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）2x =()m ，总造价最小为1760元．【解析】 【分析】（1）求出池底和池壁面积后可得函数解析式； （2）解不等式2080y ≤可得； （3）由函数单调性可得最小值． 【详解】（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， ∴482()2801202y x x =+⨯⨯+⨯4320()480x x =++，∴4320()480(0)y x x x=++>；（2）4320()4802080y x x=++≤，解得14x ≤≤；[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记4()f x x x=+，设1202x x <<≤，则12120,40x x x x -<-<， ∴121212121212()(4)44()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=0>，即12()()f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增，所以函数4320()480y x x=++在(0,2]上递减，在[2,)+∞上递增， ∴2x =时，min 4320(2)48017602y =⨯++=． ∴2x =()m ，总造价最小为1760元． 【点睛】本题考查函数的应用，解题关键民根据所给模型列出函数解析式，利用函数单调性求出最小值．18．（1）222x y +=（2）y x y x ==+【解析】 【分析】（1）先讨论切线斜率存在时，设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y ，由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得1212,x x x x +，代入12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r可得出,k m 的关系，从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径，得圆方程，验证当斜率不存在的直线x =（2）设点()00,Q x y ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得023x N ⎛ ⎝⎭，由,Q N 分别在椭圆和圆上，联立方程组解得00,x y 后可得直线方程． 【详解】（1）设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y .由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-=++.因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=.又因为点()()1122,,,A x y B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210kx x kb x x b++++=.所以()()2222222126401212k bk b b k k+--+=++，化简得2222b k =+，所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=.此时，当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（2）设点()00,Q x y，点M ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得0022,33x y N ⎛⎫⎪⎝⎭.代入椭圆和圆得220022001,63222,33x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点22Q ⎛-- ⎝⎭或Q ⎝⎭ .故直线MN的方程为y x =+y x =.【点睛】本题考查求圆的方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，用设而不求的思想方法．解题时注意体会．19．（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()222123e a e +-<<-【解析】 【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x axf xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+， 令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<； 所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-， 所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立； 对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-， 其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭， 所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-. 【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 20．（1）见解析； （2）n a n =； （3）见解析. 【解析】 【分析】（1）采用1n n n a S S -=-可进行求解，要验证1n =是否成立（2）（3）通过题干，将n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+进行联立求解，代换掉n b ，n c ，可求得数列{}n a 的通项公式 【详解】（1）当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==符合上式， 则21(1)n a n n =-≥，2,422∴=-=--n n b k c n k ，则1,+≤n n b b 14+-=n n c c对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}∴a a 为()H k 数列.（2）121,1,2==-=Q a b a ，由数列{}n a 为(1)H 数列，则{}n c 是等差数列，且123,5==c c 21∴=+n c n 即121++=+n n a a n ，1(1)+∴-+=-n n a n a n则{}-n a n 是常数列，110,-=∴=Q n a a n ，验证：11+=-=-n n n b a a ，1+∴≤n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n ∴=．又由121++=+n n a a n ，1223+++=+n n a a n ， 两式相减，得：22n n a a +-=，211222(1)21,2(1)2-=+-=-=+-=k k a a k k a a k k ，n a n ∴=（3）由数列{}a a 为(2)H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222+++++∴-=+-+=--=n n n n n n n n c c a a a a b b d ， 132++∴--=n n b b d则()()123220+++-+-=-=n n n n b b b b d d 又1n n b b +≤，1+∴=n n b b ，数列{}n b 为常数列，则21+=-=n n n b a a b22+∴=+=-n n n n n c a a a b由()1112,2+++-=-=∴-=n n n n n n d c c a a d a a ， {}∴n a 是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差（公比）是求解的关键，涉及n a 与n S 的联系需用1n n n a S S -=-进行通项求解，但一定注意要验证1n =是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将已知条件代换成相应数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可 21．（1）0a =（2）1 【解析】 【分析】(1)分别计算,AB BA ,再根据AB BA =求解即可. (2)易得阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--,再令()0f λ=求解即可.【详解】解：()1因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =,所以0a =()2因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--令()0f λ=,解得2,1λλ== 【点睛】本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算,属于基础题. 22．65AB = 【解析】 【分析】先根据代入消元法将直线参数方程化为普通方程，根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据垂径定理求弦长：圆C 的圆心到直线l 的距离为，【详解】解：直线35:{(45x tl t y t==为参数)化为普通方程为，圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为，则圆C 的圆心到直线l 的距离为，所以.考点：参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理 23．证明见解析 【解析】 【分析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=， 所以2331121113x x x x x x ++=，又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++= ⎪⎝⎭， 所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24．（1）2λ=；（2）5. 【解析】【详解】 （1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r ，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-u u u r ，则由cos ,15PC BD 〈〉=u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r ，则0n PC ⋅=u u u r r ，0n PD ⋅=u u ur r ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =， 不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r ，又易得(1,0,2)PB =-uu r ，故cos ,PB n PB n PB n〈〉=⋅⋅=u u u r u u u r r r u u u r r所以直线PB 与平面PCD考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦. 25．（1）30；（2）()21221nn n T n C -=+，证明见解析. 【解析】【分析】（1）由二项式定理得21i i n a C +=，利用公式计算2T 的值；（2）由组合数公式化简n T ，把n T 化为42n +的整数倍即可．【详解】由二项式定理，得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+L ； （1）210221055535+3530T a a a C C C =++=+=；（2）因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n k n n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n k n n C +=+，所以()()()12121000212121n n nn k n k n n k n n k k k T k a k C k C -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212100021212121n n nn kn k n k n n n k k k n k n Cn k C n C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑ ()()()()()12212212001122121221221222n n n k n k n n n n n n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221n n n C =+，()()()()122121212121221n n n n n n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+，因为21n n C N *-∈，所以n T 能被42n +整除.【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题．。

2020届江苏省南京师大附中高三上学期第一次模拟考试（二）数学试题一、填空题1．集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B =I _____. 【答案】{1,3}【解析】分析出集合A 为奇数构成的集合，即可求得交集. 【详解】因为21,k k Z -∈表示为奇数，故A B =I {1,3}. 故答案为：{1,3} 【点睛】此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题.2．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.【答案】8-【解析】计算出2iz ai bi b ai =+=-+，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解. 【详解】2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-.故答案为：-8 【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟. 【答案】7.5【解析】分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数. 【详解】76+147+1584107.5714154⨯⨯⨯+⨯=+++故答案为：7.5 【点睛】此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.4．函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________. 【答案】(0,2)-【解析】令0x =，(0)132f =-=-，与参数无关，即可得到定点. 【详解】由指数函数的性质，可得0x =，函数值与参数无关， 所有()(1)3xf x a =--过定点(0,2)-. 故答案为：(0,2)- 【点睛】此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.5．等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____. 【答案】4【解析】根据等差数列关系，用首项和公差表示出2216a a a =，解出首项和公差的关系，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得: 2216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以21=4a a故答案为：4 【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.【答案】1 2【解析】从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.【详解】由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有246C=种，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有233C=种，所以其概率为23241=2CC.故答案为：12【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.7．在长方体1111ABCD A B C D-中，1AB=，2AD=，11AA=，E为BC的中点，则点A到平面1A DE的距离是______.6【解析】利用等体积法求解点到平面的距离【详解】由题在长方体中，1111211=323A ADEV-=⨯⨯⨯⨯，221115,2,3A D DE EA A A AE===+=所以22211A D DE A E=+，所以1DE A E⊥，11623=2A DES=△设点A 到平面1A DE 的距离为h1161=323A A DE V h -=⨯⨯，解得6=3h 故答案为：6【点睛】此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.8．如图所示的流程图中，输出n 的值为______.【答案】4【解析】根据流程图依次运行直到1S ≤-，结束循环，输出n ，得出结果. 【详解】由题：211,1,1log 0,211S n S n ===+==+， 22220log log ,3213S n =+==+， 222232log log log 1,43314S n =+==-=+，1S ≤-结束循环，输出4n =. 故答案为：4 【点睛】此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.9．圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____. 【答案】22(3)4x y -+=【解析】求出圆心关于直线的对称点，即可得解. 【详解】22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x =-对称点设为(,)x y ，则有: 2121222112y x y x +-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以对称后的圆心为(3,0)，故所求圆的方程为22(3)4x y -+=. 故答案为：22(3)4x y -+= 【点睛】此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标. 10．正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切于正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是______. 【答案】[0,1]【解析】根据向量关系表示()()PM PN PO OM PO OM ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r 2221PO OM PO =-=-u u u r u u u u r u u u r ，只需求出PO u u u r 的取值范围即可得解. 【详解】由题可得：0OM ON +=u u u u r u u u r r，PO ⎡∈⎣u u ur()()()()PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM ⋅=+⋅+=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r222[0,11]PO OM PO =-=-∈u u u r u u u u r u u u r故答案为：[0,1] 【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.11．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____.【答案】34-【解析】根据双曲线上的点的坐标关系得2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--=，PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥，建立等式1PA QB k k ⋅=-，两式作商即可得解. 【详解】设()()()00,,2,02,0P x y A B -2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩ 即1234k k λ==-. 故答案为：34- 【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.12．对于任意的正数,a b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____.【答案】【解析】根据,a b 均为正数，等价于2222234442322a ab b b abk a ab a ab ++-≤=+++恒成立，令,0b xa x =>，转化为2423,021x xk x x -≤+>+恒成立，利用基本不等式求解最值.【详解】由题,a b 均为正数，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，等价于2222234442322a ab b b abk a ab a ab ++-≤=+++恒成立， 令,0b xa x =>则24223212121x x k x x x -≤+=++++，22121x x ++≥+Q 当且仅当22121x x +=+即x = 故k的最大值为故答案为：【点睛】此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.13．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>o ，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____.【答案】3【解析】在直角三角形中设3BC =，3AC x =<，1tan tan()2DAB BAC DAC ∠=∠-∠=，利用两角差的正切公式求解. 【详解】设3BC =，3AC x =<， 则31tan ,tan BAC DAC x x∠=∠= 22221tan tan()13321x x DAB BAC DAC x x x ∠=∠-∠===⇒=++， 故tan 3BAC ∠=. 故答案为：3 【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.14．函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.【答案】26,83k⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【解析】对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解. 【详解】由题：函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，2210,(0,1]1982,(1,3)x x x xk x x x x ⎧∈⎪+-+⎪-==⎨⎪+∈⎪⎩，等价于函数()10,(0,1],82,(1,3)x xy k g x x x x ⎧∈⎪⎪=-=⎨⎪+∈⎪⎩恰有两个公共点，作出大致图象：要有两个交点，即268,3k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 所以26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 故答案为：26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.二、解答题15．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 向量()2m a =u r，向量s )(co ,n B cosC =r ，且//m n u r r .（1）求角C 的大小；（2）求()3y sinA B π=-的最大值.【答案】（1）6π（2）2【解析】（1）转化条件得()2sin cos A C B C =+，进而可得cos C =，即可得解；（2）由56A B π+=化简可得2sin 3y A π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，由50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）Q //m n u r r，∴()2cos cos a C B ，由正弦定理得2sin cos cos cos A C B C C B -=，∴)2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+即()2sin cos A C B C =+，又 B C A +=π-，∴2sin cos A C A =，又 ()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴cos C =， 由()0,C π∈可得6C π=.（2）由（1）可得56A B π+=，∴56B A π=-，∴5()()3632()y sinA B sinA A sinA A ππππ=-+=---=2sin 3sinA A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，Q 50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴(]2sin 1,23A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴3()3y sinA sin B π=+-的最大值为2.【点睛】本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题.16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD △为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥.（1）求证:OE P 平面PAB ； （2）求证:CD PA ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）通过证明//OE PB ，即可证明线面平行； （2）通过证明CD ⊥平面PAD ，即可证明线线垂直. 【详解】（1）连BD ，因为ABCD 为平行四边形，O 为其中心，所以，O 为BD 中点， 又因为E 为PD 中点，所以//OE PB ，又PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB 所以，//OE 平面PAB ； （2）作PH AD ⊥于H 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD I 平面ABCD AD =PH AD ⊥，PH ⊂平面PAD ， 所以，PH ⊥平面ABCD 又CD ⊂平面ABCD ， 所以CD PH ⊥又CD PD ⊥，PD PH P ⋂=，PD ⊂平面PAD ，PH ⊂平面PAD 所以，CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以，CD PA ⊥. 【点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.17．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PFQ V 的周长； （2）求1PF M V 面积的最大值. 【答案】（1）12（2）1354【解析】（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义1212412PF PF QF QF a +++==；（2）求出椭圆的标准方程，设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出1PF M V 面积，即可求解最大值. 【详解】（1）设椭园C 的焦距为2c ，则24c =，故2c =.则12(2,0),(2,0)F F -椭圆过点52,3A ⎛⎫⎪⎝⎭，由椭圆定义知:1226a AF AF =+=，故3a =， 因此，1PFQ V 的周长1212412PF PF QF QF a =+++==；（2）由（1）知:2225b a c =-=，椭圆方程为:22195x y +=设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，则()22,R x y -，()121212111212:,0y y y x x y PR y x x y M x x y y ⎛⎫++=-+⇒ ⎪-+⎝⎭()2222259202505945x my m y my x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩()221,221015190010,59m m m y m -±+=+>=+△，1212222025,5959m y y y y m m --+==++，()121212122902259my x x y my y y y m -+=++=+，1121211121131352||||24PF M x x y S y y y y y ⎛⎫+=+=≤ ⎪+⎝⎭△，当且仅当P 在短轴顶点处取等，故1PF M V 面积的最大值为135. 【点睛】此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.18．一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD AB ≥.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD 边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小. 【答案】（1）[15,25]AD ∈（2）当36025b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，30152b b AD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小. 【解析】（1）设AD x =米，总费用为450()22520015022f x x x ⎛⎫=⨯+⨯⋅+⎪⎝⎭，解()65400f x ≤即可得解；（2）结合（1）可得占地面积()225(8)2S x x b x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭结合导函数分类讨论即可求得最值. 【详解】（1）由题意知:矩形ABCD 面积4502252S ==米2， 设AD x =米，则225AB x =米，由题意知:2250x x≥>，得15x ≥， 设总费用为()f x ，则450225()225200150226004500065400f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⋅+=++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得:925x ≤≤，又15x ≥，故[15,25]x ∈，所以发酵池D 边长的范围是不小于15米，且不超过25米； （2）设发酵馆的占地面积为()S x 由（1）知:()2251800(8)2216225,[15,25]S x x b bx b x x x ⎛⎫=++=+++∈⎪⎝⎭， ()222900(),[15,25]bx S x x x-'=∈①4b ≥时，()0S x '≥，()S x 在[15,25]上递增，则15x =，即15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小； ②36025b <≤时，()0S x '=，()S x 在[15,25]上递减，则25x =，即25,9AD AB ==米时，发酵馆的占地面积最小； ③36,425b ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，x ⎡∈⎢⎣时，()0S x '<，()S x 递减；x ⎤∈⎥⎦时，()0,()S x S x '>递增，因此xb ==，即2AD AB b == 综上所述：当36025b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2AD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小.【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.19．已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a =，11b =，22b =，当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2(2)n nn n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P .【答案】（1）12n na =，n b n =（2）11(1)2n n P n =-+⋅ 【解析】（1）112(2)n n S a n -=-…，所112n n S a +=-，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由()221111122(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=-=-+…，整理得()()()1111111122(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++…，得到11(2)n n n n b b b b n +--=-…，即可求解通项公式；（2）由（1）可知，21(2)12(1)1112(1)22(1)2n n n n nn n n c n n n n n n -++-=⋅=⋅=-++⋅+⋅，即可求得数列{}n c 的前n 项和n P . 【详解】（1）因为112(2)n n S a n -=-…，所112n n S a +=-，两式相减，整理得11(2)2n n a a n -=…，当2n =时，1121122S a a ===-，解得211142a a ==， 所以数列{}n a 是首项和公比均为12的等比数列，即12n n a =，因为()221111122(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=-=-+…，整理得()()()1111111122(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++…，又因为0n b >，所以0n T >，所以1121(2)nn n b n b b +-=+…，即11(2)n n n n b b b b n +--=-…，因为121,2b b ==，所以数列{}n b 是以首项和公差均为1的等差数列，所以n b n =； （2）由（1）可知，21(2)12(1)1112(1)22(1)2n n n n nn n n c n n n n n n -++-=⋅=⋅=-++⋅+⋅，211111112222322(1)2n n n P n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11(1)2n nP n =-+⋅.【点睛】此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.20．设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <). （i ）求a 的取值范围； （ii ）求证:12x x ⋅随着21x x 的增大而增大. 【答案】（1）见解析；（2）（i ）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析【解析】（1）求出导函数11(),(0,)axf x a x x x-'=-=∈+∞，分类讨论即可求解； （2）（i ）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii ）设211x t x =>，通过转化()1212(1)ln ln ln ln 1t tx x x x t +=+=-，讨论函数的单调性得证.【详解】（1）因为()ln f x x ax =-，所以11(),(0,)ax f x a x x x-'=-=∈+∞ 当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，()0f x '>的解集为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0f x '<的解集为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）（i ）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，至多一个零点，不符题意，当0a >时，因为()f x 有两个零点，所以max 11()ln 10f x f a a ⎛⎫==->⎪⎝⎭，解得10a e <<，因为(1)0f a =-<，且11a <，所以存在111,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =，又因为221111ln 2ln f a a a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，设11()2ln 0,g a a a a e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222112()0a g a a a a --'=+=>，所以()g a 单调递增，所以1()20g a g e e ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，即210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为211a a >，所以存在2211,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，综上，10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（ii ）因为1122ln ln 0x ax x ax -=-=，所以1212ln ln x x x x =，因为21x x >，所以211x x >，设211x t x =>，则21x tx =，所以()112121ln ln ln tx x x x x tx ==，解得1ln ln 1t x t =-，所以21ln ln ln ln 1t t x x t t =+=-，所以()1212(1)ln ln ln ln 1t tx x x x t +=+=-，设(1)ln ()(1)1t t h t t t +=>-，则2211ln (1)(1)ln 2ln ()(1)(1)t t t t t t t t t h t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，设1()2ln (1)H t t t t t =-->，则22212(1)()10t H t t t t-'=+-=>，所以()H t 单调递增，所以()(1)0H t H >=，所以()0H t >，即()0h t '>，所以()h t 单调递增，即()12ln x x 随着21x t x =的增大而增大，所以12x x 随着21x x 的增大而增大，命题得证.【点睛】此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命题.。

南京师大附中2020届高三年级模拟考试数学2019.11参考公式： 锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 球体的体积343V r π=，其中r 是球体的半径． 一、填空题：本大题共14小题，不需写出解答过程，请把答案写在答题卡相应位置上．1．设集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x ｜4≤x ≤7}，则A ∩B ＝ ▲ ．2．若复数(1＋bi)(2－i)是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数b 的值是 ▲ ．3．在下图所示的算法中，若输出y 的值为6，则输入x 的值为 ▲ ．4．函数21lg(2)y x x x =++的定义域是 ▲ ．5．某中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为620人、680人、700人，为了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 ▲ ． 6．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，若从集合A 中随机抽取2个数，其和是偶数的概率为 ▲ ．7．已知正四棱锥的底面边长为228，则正四棱锥的侧面积为 ▲ ．8．设数列{a n }(n ∈N *)是等比数列，前n 项和为S n ．已知2a 3－3a 2＝9，a 4＝27，则S 3的值为 ▲ ． 9．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过点A 3的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则椭圆C 的离心率为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1,2)，点M(4,2)，点N 在线段OA 的延长线上，设直线MN 与直线OA 及x 轴围成的三角形面积为S ，则S 的最小值为 ▲ ．11．已知函数f(x)＝2x ＋lnx ，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f(x)相切，则实数k 的值为 ▲ ．12．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＝90°，AB ＝2，AD ＝1，E 为BC 的中点，若1AE BC ⋅=-，则AB AC ⋅= ▲ ．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2222sin sin 2sin sin 3sin A BA B C ++=，则sinC 的最大值为 ▲ ．14．已知函数|41|,1()6,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程f(f(x))＝a 恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数2()3cos 3sin cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π．(1) 当[,]2x ππ∈时，求函数f(x)的值域； (2) 设△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ．已知()32A f =，且a ＝3，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．16．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为菱形，且∠A 1AB ＝60°，AC ＝BC ，点D 、E 分别为AB 、A 1C 的中点．(1) 求证；平面A 1CD ⊥平面ABC ；(2) 求证；DE ∥平面BCC 1B 1．17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>2，且点2在此椭圆上．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于第一象限内的点P ，且l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程． 18．某人利用一根原木制作一件手工作品，该作品由一个球体和一个正四棱柱组成．假定原木为圆柱体(如图1)，底面半径为r ，高为h ．制作要求如下：首先需将原木切割为两部分(分别称为第Ⅰ圆柱和第Ⅱ圆柱)，要求切面与原木的上下底面平行(不考虑损耗)．然后将第Ⅰ圆柱切割为一个球体，要求体积最大，将第Ⅱ圆柱切割为一个正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分别为第Ⅱ圆柱上下底面圆的内接正方形．(1) 当r ＝2，h ＝8时，若第Ⅰ圆柱和第Ⅱ圆柱的体积相等，求该手工作品的体积；(2) 对于给定的r 和h(h ＞2r)，求手工作品体积的最大值．19．设m 为实数，已知函数()xx m f x e +=的导函数为f ′(x)，且f ′(0)＝0． (1) 求m 的值；(2) 设a 为实数，若对于任意x ∈R ，不等式x 2＋a ≥f(x)恒成立，且存在唯一的实数x 0使得200()x a f x +=成立，求a 的值； (3) 是否存在负数k ，使得3y kx e=+是曲线y ＝f(x)的切线．若存在，求出k 的所有值；若不存在，请说明理由．20．设数列{a n }(n ∈N *)是公差不为零的等差数列，满足a 3＋a 6＝a 9，25796a a a +=；数列{b n }(n ∈N *)的前n 项和为S n ，且满足4S n ＋2b n ＝3．(1) 求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2) 在b 1和b 2之间插入1个数x 11，使b 1，x 11，b 2成等差数列；在b 2和b 3之间插入2个数x 21，x 22，使b 2，x 21，x 22，b 3成等差数列；……；在b n 和b n ＋1之间插入n 个数x n1，x n2，…，x nn ，使b n ，x n1，x n2，…x nn ，b n ＋1成等差数列．(i) 求T n ＝x 11＋x 21＋x 22＋…＋x n1＋x n2＋…＋x nn ；(ii) 是否存在正整数m ，n ，使12m n ma T a +=成立?若存在，求出所有的正整数对(m,n)；若不存在，请说明理由．。