新课标专题三第二讲(定稿)

第二讲全等三角形专题之“截长补短”一、知识精讲1.全等三角形的判定: SSS 、SAS 、ASA、AAS 、HL 共五种.2.角平分线:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全形同的角;角平分线上的点到角的两边的距离相等;在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.截长补短法:截长:1.过某一点作长边的垂线2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等.补短:1.延长短边2.通过旋转翻折等方式使两短边拼合到一起.适用范围:证明线段的和、差、倍、分时,考虑截长补短.二、典例解析引例: 已知:如图,在∆ABC 中, ∠C =2∠B,∠1 =∠2 .求证: AB =AC +CD .A1 2B DC 分析:从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,将不在同一条直线上的线段转化到一条直线上,即延长AC 至E 使CE =CD ,或在AB 上截取AF =AC .A方法一(截长法):1 2FB D CA方法二(补短法): 1 2B D CE【例1】如图, AD ∥BC ,点E 在线段上, ∠ADE =∠CDE , ∠DCE =∠ECB .求证:CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ,通常采用“截长补短法”进行证明.方法一是在“和线段”CD 上截取CF =CB ,只要再证DF =DA即可;方法二是延长CE 与AD 交与F ,证CD =CF ,再证BF =AD 即可.DAECB【练1】如图,已知∆ABC 中, AB =AC , ∠A =10 , BD 平分∠ABC ,求证: BC =BD +AD ．【练2】正方形ABCD 中,点E 在CD 上,点F 在BC 上, ∠EAF = 45 .求证: EF=DE+BF.【例2】已知,如图,在四边形ABCD 中, BC >AB , AD =DC , BD 平分∠ABC .求证: ∠BAD +∠BCD =180 .分析:因为平角等于180 ,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.ADB C【练3】已知四边形ABCD 中, AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB 于点E ，且AE =12(AB+AD)求证: ∠B +∠D = 180 .【例3】在∆ABC 中, AB =AC , ∠ABC = 40 , BD 是∠ABC 的平分线,延长BD 至点E ,使DE =AD .求∠ECA 的度数.分析:要求∠ECA的度数,则要考虑到与已知角的关系来求解.由条件DE =AD 可采用“截长法”来解决,通过构造全等三角形,得到角度相等,进而得出∠ECA 的度数.【练4】在三角形ABC 中, BD、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线. BE +CD =BC .求∠A 度数.三、课后练习1.如图, AC 平分∠DAB , ∠ADC +∠B =180 .求证:CD =CB .2.如图, ∠BDC +∠AEB = 180 , ∠ABC =12∠DBE, BD =BE.求证: AC =AE +CD .3.如图,已知AD // BC , AB =AD +BC , E 是CD 的中点,求∠AEB 的度数.4.已知梯形ABCD 中, AD // BC , AB =BC =DC ,点E 、F 分别在AD 、AB 上,且∠FCE =12∠BCD（1）求证: BF =EF -ED（2）连接AC ,若∠B = 80 , ∠DEC = 70 ,求∠ACF 的度数.5.(江汉区2017-2018 年期中)如图,在∆ABC 中, ∠ABC = 60 , AD、CE 分别是∠BAC、∠ACB 的平分线, AD、CE 相交于点P .（1）求∠CPD 的度数;（2）若AE =3,CD =7,求线段AC 的长.初二几何辅助线专题练习每日一题——截长补短法1.如图，AD∥BC，点E 在线段AB 上，∠ADE=∠CDE，∠DC E=∠ECB.求证：CD=AD+BC.2.已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.3.如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD 平分∠BAC 交BC 于D.求证：AB=AC+CD.4. 已知∆ABC 中，∠A=60，BD 、 CE分别平分 ∠ABX 和.∠AXB B D C E交于点O求证：BE + CD = BC ．5.如图，ΔABC 是正三角形，∠ADC=120°,求证：BD=AD+CD.6.如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B=∠D=90°，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，连接 CE，CF，且∠BCD=2∠ECF。

第二讲技法篇完形填空主要考查考生在理解整篇文章的基础上具体运用语法知识和词语的能力，那么它的重点一定是放在对整篇文章的逻辑和结构的理解上，更多地考查考生把握文章的脉络以及分析上下文逻辑的能力，即根据上下文的已知信息来确定答案。

但有些考生在做题时，往往会犯以下三种错误：1．中式思维忽略英语文章的行文逻辑以及英语国家的语言习惯和文化常识。

2．主观臆断不从语境中寻找答案，而是凭自己的主观臆断去选择答案。

3．匆忙作答边看文章边选答案，看似很节省时间，但会造成“一错再错，连续犯错”的恶果。

考生做完形填空题，最根本的方法是在全面理解文章大意的基础上，综合运用语言知识、阅读能力和逻辑思维进行解题。

技法一通读全文明确大意，细研首句把握全篇完形填空的命题原则是“选项语境化，试题语篇化”，由此可知，答案就隐含在上下文语境之中。

所以，要正确解答完形填空的题目，首先要通读文章，准确把握文章大意。

[增分技法1]利用首句明大意完形填空一般不在首句设题，这是为了给考生提供一个清晰而完整的背景信息。

记叙文的首句往往介绍事件发生的时间、地点、人物和起因等细节信息，说明文和议论文一般通过文章首句点明全文的主题。

仔细分析首句，往往能获取许多解题信息，因此不可忽视文章的首句。

[典例](2018.全国卷Ⅰ)During my second year at the city college, I was told that the education department was offering a “free”course, called Thinking Chess, for three credits (I)managed to get an A in that __53__ and learned life lessons that have served me well beyond the 54.classroom．53．A.game B．presentationC．course D．experiment[解析]C本篇完形填空的第一句话没有设题，是一个完整的句子。

第2讲立体几何(大题)热点一平行、垂直关系的证明高考常考平行、垂直关系的解题策略：(1)证明空间中的平行、垂直关系的常用方法是转化，如证明面面平行时，可转化为证明线面平行，而证明线面平行时，可转化为证明线线平行，但有的时候证明线面平行时，也可先证明面面平行，然后再得出线面平行．(2)在证明时，常通过三角形、平行四边形、矩形等平面图形去寻找平行和垂直的关系．例1(2018·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.跟踪演练1如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD；(2)求证：CE ∥平面P AD .热点二 体积、距离的计算高考常考体积和距离问题的解题策略：(1)求空间几何体的体积的常用方法有换底法，转化法，割补法．换底法的一般思路是找出几何体的底面和高，看底面积和高是否容易计算，若较难计算，则转换顶点和底面，使得底面积和高都比较容易求出；转化法是利用一个几何体与某几何体之间的关系，转化为求该几何体的体积；对于较复杂的几何体，有时也进行分割和补形，间接求得体积．(2)求立体几何中的距离问题时常利用等体积法，即把要求的距离转化成一个几何体的高，利用同一个几何体的体积相等，转换这个几何体的顶点去求解．例2 (2019·东北三省三校模拟)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且AG ＝13GD ，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，四面体P －BCG的体积为83.(1)求点D 到平面PBG 的距离；(2)若点F 是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求PFFC 的值．跟踪演练2 (2019·淄博模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝1，CD ＝3，AP ＝2，DP ＝23，∠P AD ＝60°，AB ⊥平面P AD ，点M 在棱PC 上．(1)求证：平面P AB⊥平面PCD；(2)若直线P A∥平面MBD，求此时三棱锥P－MBD的体积．热点三翻折与探索性问题高考中翻折与探索性问题的解题策略：(1)翻折问题有一定的难度，在解题时，一定要先弄清楚在翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化．一般情况下，长度不发生变化，而位置关系发生变化．再通过连线得到三棱锥、四棱锥等几何体，最后把问题转化到我们较熟悉的几何体中去解决．(2)对于探索性问题，一般根据问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设．例3如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB中点．将△ADE沿线段DE折起到△PDE的位置，如图2所示．(1)求证：DE⊥平面PCF；(2)求证：平面PBC⊥平面PCF；(3)在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．跟踪演练3(2018·全国Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD 上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．真题体验(2019·全国Ⅰ，文，19)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．押题预测如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面ABCD ⊥平面P AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝AP ＝12AD ，∠ADP＝30°，∠BAD ＝90°.(1)证明：PD ⊥PB ；(2)设点M 在线段PC 上，且PM ＝13PC ，若△MBC 的面积为273，求四棱锥P －ABCD 的体积．A 组 专题通关1．(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，AB ＝3，求四棱锥E －BB 1C 1C 的体积．2．(2019·哈尔滨模拟)如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形，∠BCD ＝π3，四边形BDEF 是正方形，且DE ⊥平面ABCD .(1)求证：CF ∥平面AED ；(2)若AE ＝2，求多面体ABCDEF 的体积V .3．(2019·长沙模拟)如图，在多边形ABPCD 中(图1)，ABCD 为长方形，△BPC 为正三角形，AB ＝3，BC ＝32，现以BC 为折痕将△BPC 折起，使点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上(图2)．(1)证明：PD ⊥平面P AB ；(2)若点E 在线段PB 上，且PE ＝13PB ，当点Q 在线段AD 上运动时，求三棱锥Q －EBC 的体积．B组能力提高4．(2019·潍坊模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，∠BAA1＝45°，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.(1)求证：AA1⊥BC；(2)若BB1＝2AB＝2，∠A1AC＝45°，D为CC1的中点，求三棱锥D－A1B1C1的体积．5．如图，在矩形AB′DE中，AE＝6，DE＝5，被截去一角(即△BB′C)，AB＝3，∠ABC＝135°，平面P AE⊥平面ABCDE，P A＋PE＝10.(1)求五棱锥P－ABCDE的体积的最大值；(2)在(1)的情况下，证明：BC⊥PB.。

1．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋S m ＝S n ＋m (n ，m ∈N *)且a 1＝5，则a 8＝________． [解析] 数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋S m ＝S n ＋m (n ，m ∈N *)且a 1＝5，令m ＝1，则S n ＋1＝S n ＋S 1＝S n ＋5，即S n ＋1－S n ＝5，所以a n ＋1＝5，所以a 8＝5．[答案] 52．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则S 3S 7－S 4的值为________．[解析] 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以a 23＝a 1a 4，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，因为d ≠0，所以a 1＝－4d ，所以S 3S 7－S 4＝3a 1＋3×22d7a 1＋7×62d －⎝⎛⎭⎫4a 1＋4×32d ＝3a 1＋3d 3a 1＋15d ＝－9d 3d＝－3．法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以a 23＝a 1a 4，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，因为d ≠0，所以a 1＝－4d ，所以S 3S 7－S 4＝3a 23a 6＝a 1＋d a 1＋5d ＝－3d d ＝－3．[答案] －33．(2019·泰州市高三模拟)设f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋ln x4，记a n ＝f (n－5)，则数列{a n }的前8项和为________．[解析] 数列{a n }的前8项和为a 1＋a 2＋…＋a 8＝f (－4)＋f (－3)＋…＋f (3)＝f (－4)＋[f (－3)＋f (3)]＋[f (－2)＋f (2)]＋[f (－1)＋f (1)]＋f (0)＝f (－4)＝－f (4)＝－(24＋ln 1)＝－16．[答案] －164．(2019·日照模拟改编)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________．[解析] 由S n ＝n 2－6n 可得，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7． 当n ＝1时，S 1＝－5＝a 1，也满足上式， 所以a n ＝2n －7，n ∈N *．所以n ≤3时，a n ＜0；n ≥4时，a n ＞0，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥45．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．[解析] 由S 10>0，S 11<0知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5．[答案] 56．(2019·南京高三模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为________．[解析] 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0且q ≠1)，则由a 3－a 1＝2，得a 1＝2q 2－1．因为a 3－a 1＝2＞0，所以q ＞1，所以a 5＝a 1q 4＝2q 4q 2－1．令q 2－1＝t ＞0，所以a 5＝2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2≥8，当且仅当t ＝1，即q ＝2时，等号成立，故a 5的最小值为8．[答案] 87．(2019·江苏名校高三入学摸底)定义实数a ，b 之间的运算⊕如下：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥b ）b （a <b ），已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝2（a n ＋1⊕2）a n (n ∈N *)，若a 2 017＝1，记数列{a n }的前n项和为S n ，则S 2 017的值为________．[解析] 因为a 1＝1，a 2＝1，所以a 3＝4，a 4＝8，a 5＝4， a 6＝1，a 7＝1，a 8＝4，…即此时{a n }是周期数列，且周期为5， 所以a 2 017＝a 2＝1，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝18， 故S 2 017＝403×18＋a 1＋a 2＝7 256． [答案] 7 2568．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．[解析] 因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ．所以S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2．[答案] 2n ＋1－29．(2019·徐州调研)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________．[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 7＝36， 所以a 4＋a 6＝36，与a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，所以a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，所以a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值． 综上，a n a n ＋1的最小值为－12． [答案] －1210．(2019·昆明调研)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：a 1a 2，a 3a 4，a 5，a 6a 7，a 8，a 9，a 10……记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n＝2b n －1，则a 56＝________．[解析] 当n ≥2时，因为S n ＝2b n －1，所以S n －1＝2b n －1－1，所以b n ＝2b n －2b n －1，所以b n ＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *)，因为b 1＝2b 1－1，所以b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以b n ＝2n －1．设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1，2，4，7，11，…构成数列{c n }，则c 2－c 1＝1，c 3－c 2＝2，c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，c n －c n －1＝n －1，累加得，c n －c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，所以c n ＝n （n －1）2＋1，由c n ＝n （n －1）2＋1＝56，得n ＝11，所以a 56＝b 11＝210＝1 024．[答案] 1 02411．(2019·江苏名校高三入学摸底)构造数组，规则如下：第一组是两个1，即(1，1)，第二组是(1，2a ，1)，第三组是(1，a (1＋2a )，2a ，a (2a ＋1)，1)，…，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和的a 倍得到下一组，其中a ∈⎝⎛⎭⎫0，14．设第n 组中有a n 个数，且这a n 个数的和为S n (n ∈N *)．(1)求a n 和S n ；(2)求证：a 1－1S 1＋a 2－1S 2＋…＋a n －1S n ≥n2．[解] (1)由题意可得a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋(a n －1)＝2a n －1，所以a n ＋1－1＝2(a n －1)，又a 1－1＝1，则a n －1＝2n －1，所以a n ＝2n －1＋1．又S 1＝2，且S n ＋1＝S n ＋2a (S n －1)＝(2a ＋1)S n －2a ，则S n ＋1－1＝(2a ＋1)(S n －1)，又S 1－1＝1，所以S n －1＝(2a ＋1)n －1，所以S n ＝(2a ＋1)n －1＋1． (2)证明：令b n ＝a n －1S n ，则b n ＝2n －1（2a ＋1）n －1＋1． 下面用分析法证明数列{b n }为单调递增数列．要证b n <b n ＋1，即证2n －1（2a ＋1）n －1＋1<2n（2a ＋1）n ＋1，又a ∈⎝⎛⎭⎫0，14，故即证2(2a ＋1)n －1＋2>(2a ＋1)n ＋1，只需证2(2a ＋1)n －1≥(2a ＋1)n ，即证2≥2a ＋1，显然成立，则数列{b n }为单调递增数列．所以a 1－1S 1＋a 2－1S 2＋…＋a n －1S n ≥n⎝⎛⎭⎫a 1－1S 1＝n2．12．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＝a ，a 2＝b ，a n＋1＝a n a n ＋2＋m (n ∈N *)，其中m ，a ，b 均为实常数． (1)若m ＝0，且a 4，3a 3，a 5成等差数列． ①求ba的值；②若a ＝2，令b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数2log 2a n －1，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和S n ；(2)是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意的n ∈N *都成立？若存在，求出实数λ的值(用m ，a ，b 表示)；若不存在，请说明理由．[解] (1)①因为m ＝0，所以a 2n ＋1＝a n a n ＋2，所以正项数列{a n }是等比数列，不妨设其公比为q ．又a 4，3a 3，a 5成等差数列， 所以q 2＋q ＝6，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)， 所以ba＝2．②当a ＝2时，数列{a n }是首项为2、公比为2的等比数列，所以a n ＝2n ，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即数列{b n }的奇数项依次构成首项为2、公比为4的等比数列，偶数项依次构成首项为3、公差为4的等差数列．当n 为偶数时，S n ＝2（1－4n2）1－4＋n2（3＋2n －1）2＝2n ＋13＋n 2＋n 2－23；当n 为奇数时，S n ＝2（2n ＋1－1）3＋（n ＋1）（n ＋1＋1）2－(2n ＋1)＝2n ＋23＋n 2－n 2－23．所以S n ＝⎩⎨⎧2n ＋13＋n 2＋n 2－23，n 为偶数2n ＋23＋n 2－n 2－23，n 为奇数．(2)存在常数λ＝a 2＋b 2－mab，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意的n ∈N *都成立．证明如下：因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋m (n ∈N *)， 所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋m ，n ≥2，n ∈N *， 所以a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1， 即a 2n ＋1＋a n －1a n ＋1＝a n a n ＋2＋a 2n ．由于a n >0，此等式两边同时除以a n a n ＋1，得a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n ，所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n ＝…＝a 1＋a 3a 2，即当n ≥2，n ∈N *时，都有a n ＋a n ＋2＝a 1＋a 3a 2a n ＋1．因为a 1＝a ，a 2＝b ，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋m ，所以a 3＝b 2－ma，所以a 1＋a 3a 2＝a ＋b 2－m a b ＝a 2＋b 2－mab，所以当λ＝a 2＋b 2－m ab时，对任意的n ∈N *都有a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1成立．13．(2019·泰州市高三模拟)已知数列{a n }，{b n }满足2S n ＝(a n ＋2)b n ，其中S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若数列{a n }是首项为23，公比为－13的等比数列，求数列{b n }的通项公式；(2)若b n ＝n ，a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设c n ＝a nb n，求证：数列{c n }中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．[解] (1)因为a n ＝23⎝⎛⎭⎫－13n －1＝－2⎝⎛⎭⎫－13n ，S n ＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n 1－⎝⎛⎭⎫－13＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n ，所以b n ＝2S n a n ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫－13n－2⎝⎛⎭⎫－13n＋2＝12． (2)若b n ＝n ，则2S n ＝na n ＋2n ，① 所以2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1＋2(n ＋1)，② ②－①得2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2， 即na n ＝(n －1)a n ＋1＋2，③当n ≥2时，(n －1)a n －1＝(n －2)a n ＋2，④ ④－③得(n －1)a n －1＋(n －1)a n ＋1＝2(n －1)a n ， 即a n －1＋a n ＋1＝2a n ，由2S 1＝a 1＋2，得a 1＝2，又a 2＝3，所以数列{a n }是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列， 故数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1． (3)证明：由(2)得c n ＝n ＋1n，对于给定的n ∈N *，若存在k ≠n ，t ≠n ，k ，t ∈N *，使得c n ＝c k ·c t ，只需n ＋1n ＝k ＋1k ·t ＋1t ，即1＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k ·⎝⎛⎭⎫1＋1t ，即1n ＝1k ＋1t ＋1kt ，则t ＝n （k ＋1）k －n ， 取k ＝n ＋1，则t ＝n (n ＋2)，所以对数列{c n }中的任意一项c n ＝n ＋1n ，都存在c n ＋1＝n ＋2n ＋1和c n 2＋2n ＝n 2＋2n ＋1n 2＋2n ，使得c n＝c n ＋1·c n 2＋2n ．14．(2019·盐城高三模拟)已知数列{a n }满足a 1＝m ，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n ＝2k －1a n ＋r ，n ＝2k (k ∈N *，r ∈R )，其前n 项和为S n ．(1)当m 与r 满足什么关系时，对任意的n ∈N *，数列{a n }都满足a n ＋2＝a n?(2)对任意的实数m ，r ，是否存在实数p 与q ，使得{a 2n ＋1＋p }与{a 2n ＋q }是同一个等比数列？若存在，请求出p ，q 满足的条件；若不存在，请说明理由；(3)当m ＝r ＝1时，若对任意的n ∈N *，都有S n ≥λa n ，求实数λ的最大值．[解] (1)由题意，得a 1＝m ，a 2＝2a 1＝2m ，a 3＝a 2＋r ＝2m ＋r ，由a 3＝a 1，得m ＋r ＝0．当m ＋r ＝0时，因为a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n ＝2k －1a n －m ，n ＝2k (k ∈N *)，所以a 1＝a 3＝…＝m ，a 2＝a 4＝…＝2m ， 故对任意的n ∈N *，数列{a n }都满足a n ＋2＝a n ． 即当实数m ，r 满足m ＋r ＝0时，题意成立． (2)依题意，a 2n ＋1＝a 2n ＋r ＝2a 2n －1＋r ，则 a 2n ＋1＋r ＝2(a 2n －1＋r )，因为a 1＋r ＝m ＋r ，所以当m ＋r ≠0时，{a 2n ＋1＋r }是等比数列，且a 2n ＋1＋r ＝(a 1＋r )2n ＝(m ＋r )2n ．为使{a 2n ＋1＋p }是等比数列，则p ＝r ．同理，当m ＋r ≠0时，a 2n ＋2r ＝(m ＋r )2n ，则为使{a 2n ＋q }是等比数列，则q ＝2r ． 综上所述，①若m ＋r ＝0，则不存在实数p ，q ，使得{a 2n ＋1＋p }与{a 2n ＋q }是等比数列；②若m ＋r ≠0，则当p ，q 满足q ＝2p ＝2r 时，{a 2n ＋1＋p }与{a 2n ＋q }是同一个等比数列． (3)当m ＝r ＝1时，由(2)可得a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝2n ＋1－2， 当n ＝2k 时，a n ＝a 2k ＝2k ＋1－2，S n ＝S 2k ＝(21＋22＋…＋2k )＋(22＋23＋…＋2k ＋1)－3k ＝3(2k ＋1－k －2)， 所以S na n ＝3⎝⎛⎭⎫1－k 2k ＋1－2．令c k ＝k 2k ＋1－2，则c k ＋1－c k ＝k ＋12k ＋2－2－k2k ＋1－2＝（1－k ）2k ＋1－2（2k ＋2－2）（2k ＋1－2）<0， 所以S n a n ≥32，λ≤32．当n ＝2k －1时，a n ＝a 2k －1＝2k －1，S n ＝S 2k －a 2k ＝3(2k ＋1－k －2)－(2k ＋1－2)＝2k ＋2－3k －4， 所以S n a n ＝4－3k2k －1，同理可得S na n≥1，λ≤1．综上所述，实数λ的最大值为1．。