高等数学(高等教育出版社)第十章D10_1二重积分概念ok

1 2 2 x − x2 2− x
f ( x, y )dy
(2) I= ∫1 dy ∫1 f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
2 y 1 y
2
2
2
2
解：根据积分限可得积分区域
1 1 D = {( x, y ) | ≤ y ≤ 1, ≤ x ≤ 2} 2 y U{( x, y ) |1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2}
2 2 1 1 D − x 1
1 1 1[+−)1x 1(|−x 2 2 2 d − | 31 = ∫( x y ] = ∫ x ) − 1 d x − − 1 1 3 3 1 2 x1 = =∫3 ) 1 − ( −x . d 0 3 2 3
D 直x 及 2 3 ∫ y ,其是 =2 物 线 线 例算 σ 中由y − 抛yx 计x = d ∫
6、会用二重积分计算质量、质心、一阶矩和转动惯 量等。 7、掌握第一型曲面积分的概念，会确定曲面在坐标 平面上的投影区域，会计算简单曲面上的第一型 曲面积分。 8、对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域 为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多 性质的理解有极大的帮助。 9、还应将三重积分和以前各类积分比较，一方面可 以加强理解，另一方面也使同学不易忘记和混淆。
xσ [ xx d ∫ y = yy] ∫ d ∫∫ dy 1
22 D
3 4 2 x2y 2 yyd [2 y2 9 = y ] = 2 ) = −] . [ ( y 1 ∫ ⋅2d ∫ − y y 8= 1 1 8 2 2
D 直1 = 2 ∫ +−d 其是 = x 1 线 − 例算12 yσ 中由y 、 计y x 2 , ∫

《二重积分的概念》 ppt课件
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的实际应用 • 二重积分的扩展概念
01
二重积分的定义
二重积分的几何意义
二重积分表示的是体积
当被积函数大于0时，二重积分表示 立体的体积；当被积函数小于0时， 二重积分表示立体的体积的负值。
对称性是指当被积函数 具有对称性时，二重积 分的值不变，即对于函 数f(x,y)和g(y,x)，有 ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(y,x)d xdy。
奇偶性是指当被积函数 具有奇偶性时，二重积 分的值也具有奇偶性， 即对于函数f(x,y)，有 ∫∫f(x,y)dxdy=2∫∫f(x,y) dxdy当f(-x,y)=f(x,y)时 ，有∫∫f(x,y)dxdy=0当 f(-x,y)=-f(x,y)时。
曲线积分与曲面积分
曲线积分
曲线积分是用来计算曲线段上某种物理量（如力、功 等）的数学工具。
曲面积分
曲面积分是用来计算曲面块上某种物理量（如流量、 散度等）的数学工具。
定义与性质
曲线积分和曲面积分采用类似的定义和性质，通过累 加无穷小曲线段或曲面元上的函数值来计算。
微分形式的二重积分
微分形式的二重积分
微分形式的二重积分是一种用微分形式表示 的二重积分，可以更方便地处理一些复杂的 积分问题。
定义与性质
微分形式的二重积分采用微分形式来表示，具有一 些特殊的性质，如可交换性、可加性等。
应用领域
微分形式的二重积分在数学、物理和工程等 领域有广泛应用，如计算面积、体积、重心 等。
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生物学中的二重积分模型
生物种群分布

z1 ( x, y) z z2 ( x, y).
即 积 分 区 域Ω由 不 等 式
x1 x x2 ,y1(x) y y2(x), z1(x,y) z z2(x,y)
则有
f(x,y,z)dv dσ z2(x,y)f(x,y,z)dz
Ω
z1(x,y) Dxy
D
a
1 ( x)
(2)D为Y
型区域，
即D：
c 1(y)

y x
d

2(y)
f (x, y)dxdy
d
dy
2 ( y)
f (x, y)dx
c
1( y)
D
2.极 坐 标 系
在极坐标系下， 通常先求对r积分， 后对积分
D : r1 ( ) r r2 ( )
M x y( x, y)d
D
M y x( x, y)d
D
(3)平面薄片 D的质心坐标 ( x,y )为
x
My

x( x, y)d
D
M ( x, y)d
D
y
Mx

y( x, y)d
D
M ( x, y)d
D
(4)平面薄片的转动惯量
D
z f(x, y)为 顶 的 曲 顶 柱 体 的 体 积之 代 数 和。
（二）二重积分的计算法（ 累次积分法）
1.直角坐标系
(1)D为X

型 区 域，
即D：
a 1(x)

x y
b
2(x)
f ( x, y)dxdy
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy

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求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似 分割、 代替、求和、取极限”的方法， 代替、求和、取极限”的方法，如下动 画演示． 画演示．
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似 分割、 代替、求和、取极限”的方法， 代替、求和、取极限”的方法，如下动 画演示． 画演示．
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似 分割、 代替、求和、取极限”的方法， 代替、求和、取极限”的方法，如下动 画演示． 画演示．
∴
∫∫ f (x, y)dσ ≤ ∫∫ D
D
f ( x, y) dσ
17
性质5 性质5 估值性质
设f ( x , y )在有界闭区域D上的最大值为M，最小值
为m，σ 是D的面积，则有
mσ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ .
D
性质6 (二重积分的中值定理 性质6 (二重积分的中值定理) 二重积分的中值定理)
若f ( x , y )在闭区域D上连续，σ 是D的面积，则在
D上至少存在一点(ξ ,η )，使得
∫∫ f ( x , y )dσ =
D
f (ξ ,η )σ .
18
∫∫ f ( x , y )dσ =
D
f (ξ ,η )σ .
由性质6 可知, 证明 由性质6 可知, 1 m ≤ ∫∫ f (x, y)dσ ≤ M
V = lim∑ f (ξi , ηi )∆σi
λ→0
i =1
n
平面薄片的质量: 平面薄片的质量:
M = lim∑µ(ξi , ηi )∆σi
λ→0
i =1
11
n
2. 二重积分的定义 定义 设 (x, y) 是定义在有界区域 D上的有界函数 , f 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点