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布莱克-斯科尔斯模型

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布莱克斯科尔斯模型计算公式

布莱克斯科尔斯模型计算公式

布莱克斯科尔斯模型计算公式【原创版】目录1.布莱克斯科尔斯模型简介2.布莱克斯科尔斯模型计算公式概述3.布莱克斯科尔斯模型计算公式详解4.布莱克斯科尔斯模型计算公式的应用实例5.总结正文【1.布莱克斯科尔斯模型简介】布莱克斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）是一种用于估算欧式期权价格的数学模型，由 Fisher Black 和 Myron Scholes 于 1973 年提出。

该模型基于假设：标的资产价格符合对数正态分布、市场无风险利率和波动率恒定等。

布莱克斯科尔斯模型为金融市场提供了一种较为准确的期权定价方法，被广泛应用于金融领域。

【2.布莱克斯科尔斯模型计算公式概述】布莱克斯科尔斯模型的计算公式较为复杂，包含多个变量和数学函数。

公式主要包括以下几个部分：标的资产价格、无风险利率、行权价格、到期时间、波动率和正态分布函数。

通过这些变量和函数的组合，可以计算出期权的理论价格。

【3.布莱克斯科尔斯模型计算公式详解】布莱克斯科尔斯模型的计算公式如下：C = S * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)P = X * e^(-r * T) * N(-d2) - S * N(-d1)其中，C 表示看涨期权的价格，P 表示看跌期权的价格，S 为标的资产价格，X 为行权价格，T 为到期时间，r 为无风险利率，e 为自然对数的底数，约等于 2.71828，N(d) 为正态分布函数，d1 和 d2 为中间变量，计算公式如下：d1 = (ln(S / X) + (r + σ^2 / 2) * T) / (σ * sqrt(T))d2 = d1 - σ * sqrt(T)其中，σ表示波动率，ln 表示自然对数函数。

【4.布莱克斯科尔斯模型计算公式的应用实例】假设某股票的当前价格为 100 元，行权价格为 105 元，无风险利率为 5%，波动率为 20%，到期时间为 1 年。

bs模型定价公式

bs模型定价公式

bs模型定价公式一、布莱克 - 斯科尔斯（Black - Scholes，BS）模型定价公式概述。

1. 公式的基本形式。

- 对于欧式看涨期权的定价公式：C = S_0N(d_1)-Ke^-rtN(d_2)- 对于欧式看跌期权的定价公式：P = Ke^-rtN( - d_2)-S_0N( - d_1)- 其中：- S_0是标的资产的当前价格。

- K是期权的执行价格。

- r是无风险利率（连续复利）。

- t是期权的到期时间（以年为单位）。

- σ是标的资产价格的波动率。

- N(x)是标准正态分布的累积分布函数，x = d_1或者d_2。

- d_1=frac{ln(S_0 / K)+(r+frac{σ^2}{2})t}{σ√(t)}- d_2 = d_1-σ√(t)2. 公式中各参数的意义。

- 标的资产当前价格S_0- 这是在当前时刻标的资产（如股票、期货等）的市场价格。

它是确定期权价值的基础，如果标的资产价格上涨，看涨期权价值可能增加，看跌期权价值可能减少（在其他条件不变的情况下）。

- 执行价格K- 是期权合约中规定的，在到期日时可以按照该价格买入（对于看涨期权）或卖出（对于看跌期权）标的资产的价格。

执行价格与标的资产当前价格的相对关系对期权价值有重要影响。

当S_0> K（对于看涨期权）时，期权处于实值状态，有更大的内在价值。

- 无风险利率r- 无风险利率反映了资金的时间价值。

在BS模型中，无风险利率越高，执行价格的现值Ke^-rt越低，对于看涨期权价值有正向影响，对看跌期权价值有反向影响（因为看涨期权持有者希望以更低的现值购买资产，而看跌期权持有者希望以更高的现值出售资产）。

- 到期时间t- 期权距离到期日的剩余时间。

一般来说，到期时间越长，期权的价值越高（在其他条件不变的情况下）。

对于看涨期权，较长的到期时间给予标的资产更多的时间上涨超过执行价格；对于看跌期权，给予更多时间下跌低于执行价格。

- 标的资产价格的波动率σ- 波动率衡量了标的资产价格的波动程度。

布莱克斯科尔斯期权定价模型

布莱克斯科尔斯期权定价模型

•布莱克-斯科尔斯模型，简称BS模型，是一种为期权或权证等衍生性金融商品定价的数学模型，它是由美国经济学家迈伦·斯科尔斯与费雪·布莱克率先提出来的，用这个模型没能推导出布莱克-舒尔斯公式，这个公式还能够估算出欧式期权的理论价格。

除此之外，B-S模型还有7个比较重要的假设，如下所示：
1、股票价格行为服从对数正态分布模式；
2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是不会发生改变
的；
3、市场是没有摩擦的，也就是没有税收和交易成本，所有证券完全可分
割；
4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；
5、该期权是欧式期权，也就是在期权到期前不可以进行实施。

6、没有任何无风险套利机会；
7、证券交易是持续的；
8、投资者可以以无风险利率借贷。

【财务成本管理知识点】BS模型

【财务成本管理知识点】BS模型

（三）布莱克-斯科尔斯期权定价模型（BS模型）1.假设（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；（2）股票或期权的买卖没有交易成本；（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；（4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；（5）允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金；（6）看涨期权只能在到期日执行；（7）所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。

2.公式C0=S0[N（d1）]-X[N（d2）]或=S0[N（d1）]-PV（X）[N（d2）]其中：d1={ln（S0/X）+[]t}/或=ln[S0/PV（X）]/+（/2）d2=d1-式中：C0-看涨期权的当前价值；S0-标的股票的当前价格；N（d）-标准正态分布中离差小于d的概率；X-期权的执行价格；e-自然对数的底数，约等于2.7183；r c-连续复利的年度的无风险报酬率；t-期权到期日前的时间（年）；In（S0÷X）-的自然对数；-连续复利的以年计的股票回报率的方差。

【手写板】3.参数估计（1）无风险利率的估计①期限要求：无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券利率。

如果没有相同时间的，应选择时间最接近的国库券利率。

②这里所说的国库券利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期收益率），而不是票面利率。

③模型中的无风险利率是按连续复利计算的利率，而不是常见的年复利。

连续复利假定利息是连续支付的，利息支付的频率比每秒1次还要频繁。

【手写板】如果用F表示终值，P表示现值，r c表示连续复利率，t表示时间（年）；则：【手写板】前【教材例7-13】沿用[例7-10]的数据，某股票当前价格50元，执行价格52.08元，期权到期日前的时间为0.5年。

每年复利一次的无风险利率4%，相当连续复利的无风险利率r c=ln（1.04）=3.9221%。

【教材例7-14】假设t=1年，F=104元，P=100元，则：r c=ln（104/100）÷1=ln（1.04）÷1=3.9221%【提示】严格来说，期权估值中使用的利率都应当是连续复利，包括二叉树模型和BS模型。

bs模型 应用 方法

bs模型 应用 方法

bs模型应用方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：BS模型是一种在金融领域广泛应用的定价模型，也被称为布莱克-斯科尔斯模型。

它是由费雪-布莱克-斯科尔斯三位学者于20世纪70年代提出的，被认为是期权定价理论的里程碑之一。

BS模型基于随机微分方程和对冲的思想，通过对资产价格的随机性建模，实现对期权价格的准确估计。

BS模型的应用范围广泛，可以用于股票、期权、债券等各种金融资产的定价和风险管理。

BS模型的核心思想是对冲，即通过在风险资产和无风险资产之间建立对冲组合，消除风险从而获得无风险收益。

BS模型通过建立对冲组合来合成一个复制品来估计期权价格，具有非常高的准确性。

在BS模型中，价格的波动被建模为布朗运动，通过这种方式，可以对未来价格的概率分布进行估计。

模型中的参数包括标的资产价格、期权行权价、无风险利率、资产价格的波动率和期限等，通过这些参数的组合，可以计算出期权的理论价格。

BS模型在金融实践中有着广泛的应用，比如在期权交易中通过估计期权价格进行交易决策。

投资者可以根据BS模型计算出的期权价格，进行买入或卖出操作，以实现风险对冲或套利。

BS模型还可以应用于股票、债券等金融资产的风险管理，帮助投资者更好地控制风险，并提高投资收益。

除了期权定价之外，BS模型还可以用于其他金融领域的问题，比如风险管理和投资组合优化。

通过对资产价格的波动性进行建模，可以更好地评估不同投资工具的风险和回报，从而帮助投资者做出更明智的投资决策。

在实际应用中，BS模型需要对参数进行估计，比如波动率可以通过历史数据进行计算得出。

模型还需要不断调整参数来适应市场的变化，以保持模型的准确性。

还需要对模型的假设进行检验，确保模型的有效性和适用性。

BS模型是一种非常有用的金融工具，可以帮助投资者更好地理解金融市场并做出明智的投资决策。

随着金融市场的不断发展和变化，BS模型也在不断演进和完善，为投资者提供更准确的定价和风险管理工具。

熟练掌握BS模型的应用方法对于金融从业者来说非常重要，可以帮助他们在市场竞争中脱颖而出。

布莱克斯科尔斯模型中无风险利率

布莱克斯科尔斯模型中无风险利率

布莱克斯科尔斯模型中无风险利率在研究布莱克斯科尔斯模型中无风险利率的过程中，我们需要深入了解该模型的基本原理和应用场景。

本文将从三个方面进行探讨：1.1 无风险利率的概念与计算；2.1 无风险利率的影响因素；2.2 无风险利率的应用。

我们将对这些内容进行总结，以呼应文章的主题。

我们来了解一下什么是无风险利率。

简单来说，无风险利率是指在没有任何风险的情况下，投资者可以获得的收益率。

这个收益率是市场上所有投资项目中最高的，因为没有任何风险意味着投资者不需要承担任何损失。

通常，无风险利率是由央行设定的，用来引导市场利率水平和经济活动。

接下来，我们来探讨一下影响无风险利率的因素。

实际上，影响无风险利率的因素有很多，主要包括以下几个方面：1.1 中央银行的政策利率中央银行通过调整政策利率来影响市场利率水平。

当中央银行降低政策利率时，市场利率会下降，从而使借款成本降低，刺激经济增长。

相反，当中央银行提高政策利率时，市场利率会上升，从而使借款成本增加，抑制经济增长。

因此，中央银行的政策利率是影响无风险利率的一个重要因素。

1.2 通货膨胀预期通货膨胀预期是指市场参与者对未来一段时间内物价水平上涨的预期。

通货膨胀预期会影响投资者对未来收益的预期，从而影响无风险利率。

当市场普遍预期未来通货膨胀率较高时，投资者会要求更高的收益率来补偿通货膨胀带来的损失，因此无风险利率会上升。

反之，当市场预期未来通货膨胀率较低时，投资者会要求较低的收益率，因此无风险利率会下降。

1.3 全球经济环境全球经济环境对无风险利率的影响主要体现在国际资本流动和国际贸易方面。

当全球经济增长较快时，各国之间的资本流动会增加，从而导致国内市场的资金供应增加，无风险利率下降。

相反，当全球经济增长放缓时，资本流动减少，国内市场的资金供应减少，无风险利率上升。

国际贸易状况也会影响无风险利率。

当国际贸易顺差较大时，国内市场的资金供应充足，无风险利率下降；反之，当国际贸易逆差较大时，国内市场的资金供应紧张，无风险利率上升。

7 布莱克--斯克尔斯期权定价模型


S 2 ln( ) (r g )T 2 d1 T d2 K T
2 外币期权
rf代表国外利率。则： Ｃ=Ｓe- rf T· Ｎ(ｄ1)-K· -rＴ· ｅ Ｎ(ｄ2)
S 2 ln( ) (r rf )T K 2 d1 T
S 2 ln( ) (r rf )T K 2 d2 d1 T T
1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经 济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院 教授罗伯特· 默顿(ＲｏｂｅｒｔＭｅｒ ｔｏｎ)和斯坦福大学教授迈伦· 斯克尔 斯(ＭｙｒｏｎＳｃｈｏｌｅｓ)。他们 创立和发展的布莱克———斯克尔斯期 权定价模型(Ｂｌａｃｋ-Ｓｃｈｏｌｅ ｓＯｐｔｉｏｎＰｒｉｃｉｎｇＭｏｄ ｅｌ)
2、如果ＳＴ<K,则期权所有人放弃购买权力, 期权以虚值(Ｏｕｔ-ｏｆ-ｔｈｅ-ｍｏｎｅｙ) 失效,且有: ｍａｘ(ＳＴ-K,0)=0
从而:
Ｅ[ＣＴ]=Ｐ×[Ｅ(ＳＴ|ＳＴ>K)-K]+(1-Ｐ)× Ｏ=Ｐ×[Ｅ(ＳＴ|ＳＴ>K)-K)]
其中: Ｐ—(ＳＴ>K)的概率 Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>K]—既定(ＳＴ>K)下ＳＴ的期望值将 Ｅ[CT]按有效期无风险连续复利ｒＴ贴现,得 期权初始合理价格: Ｃ=ｐ×ｅ-ｒＴ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>K]-K)(*) 这样期权定价转化为确定Ｐ和Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>K]。
①求ｄ1: ②求ｄ2: ③查标准正态分布函数表 ④求Ｃ:
因此理论上该期权的合理价格 为5.78。如果该期权市场实际价 格是5.25,那么这意味着该期权 有所低估。在没有交易成本的 条件下,购买该看涨期权有利可 图。
(三)看跌期权定价公式的推导 Ｂ-Ｓ模型是看涨期权的定价公式,根 据售出—购进平价理论(ｐｕｔ-ｃａｌ ｌｐａｒｉｔｙ)可以推导出看跌期权的 定价模型: P=-S×N(-d1)+K×N(-d2) ×e(-rT)

布莱克斯科尔斯模型课件


04
布莱克斯科尔斯模型的优缺点分析
优点分析
总结词
精确、简洁、易理解
详细描述
布莱克斯科尔斯模型是一种经典的货 币需求模型，其优点在于精确地揭示 了货币需求的决定因素，并且模型本 身简洁易懂，方便使用。
缺点分析
总结词
对利率变化反应不足、无法解释 通货膨胀现象
详细描述
布莱克斯科尔斯模型缺点在于它 未能充分考虑到利率变化对货币 需求的影响，同时也不能很好地 解释通货膨胀现象。
与其他模型的比较分析
总结词
广泛的应用、广泛的解释力、更全面的考虑 因素
详细描述
相比其他模型，布莱克斯科尔斯模型具有更 广泛的应用和解释力，能够更全面地考虑影 响货币需求的因素，如资产组合效应、交易
效应等。
05
布莱克斯科尔斯模型的实证研究与案例分 析
实证研究方法与结果
要点一
研究方法
采用时间序列分析方法，基于历史数据对模型进行估计和 预测。
人口增长预测
总结词
布莱克斯科尔斯模型可以用于人口增长 预测，能够提供准确的短期和长期人口 增长趋势。
VS
详细描述
基于布莱克斯科尔斯模型的人口增长预测 方法，考虑了人口自然增长、机械增长和 迁移等多种因素，能够提供准确的短期和 长期人口增长趋势，为政策制定者提供重 要参考。
经济指标预测
总结词
布莱克斯科尔斯模型可用于经济指标的预测 ，如GDP增长率、通货膨胀率等。
基本粒子的行为和相互作用。
该模型由物理学家保罗·布莱克 斯科尔斯在20世纪50年代提出 ，是现代物理学的基本理论之一
。
布莱克斯科尔斯模型的成功之处 在于它能够解释许多实验现象， 并提供对基本粒子相互作用的深

【实用文档】BS模型

（三）布莱克—斯科尔斯期权定价模型（BS模型）1.假设（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不作其他分配；（2）股票或期权的买卖没有交易成本；（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；（4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；（5）允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金；（6）看涨期权只能在到期日执行；（7）所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。

2.公式C0=S0[N（d1）]-X[N（d2）]或=S0[N（d1）]-PV（X）[N（d2）]其中：d1={ln（S0/X）+[r c+（σ2/2）]t}/σ或=ln[S0/PV（X）]/ σ+（σ/2）d2=d1-σ式中：—看涨期权的当前价值；—标的股票的当前价格；N（d）—标准正态分布中离差小于d的概率；X—期权的执行价格；e—自然对数的底数，约等于2.7183；—连续复利的年度的无风险报酬率；t—期权到期日前的时间（年）；In（）—的自然对数；σ2—连续复利的以年计的股票回报率的方差。

3.参数估计（1）无风险利率的估计①期限要求：无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券利率。

如果没有相同时间的，应选择时间最接近的国库券利率。

②这里所说的国库券利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期收益率），而不是票面利率。

③模型中的无风险利率是按连续复利计算的利率，而不是常见的年复利。

连续复利假定利息是连续支付的，利息支付的频率比每秒1次还要频繁。

如果用F表示终值，P表示现值，表示连续复利率，t表示时间（年）；则：F=PP=F即：=In（F/P）/t前【教材例7-13】沿用[例7-10]的数据，某股票当前价格50元，执行价格52.08元，期权到期日前的时间为0.5年。

每年复利一次的无风险利率4%，相当连续复利的无风险利率r c=ln（1.04）=3.9221%。

【教材例7-14】假设t=1年，F=104元，P=100元，则：r c=ln（104/100）÷1=ln（1.04）÷1=3.9221%【提示】严格来说，期权估值中使用的利率都应当是连续复利，包括二叉树模型和BS模型。

布莱克斯科尔斯模型公式

布莱克斯科尔斯模型公式一、什么是布莱克斯科尔斯模型？说到“布莱克斯科尔斯模型”，可能很多人都觉得这像是某种复杂的金融工具，听起来就让人头疼对吧？不急，咱们慢慢来。

其实这模型就像是一个预测未来价格的小魔法，专门用来计算期权的定价。

你知道，期权就是那种你可以选择买或者卖某种股票、资产的合约，但又不一定要执行，挺有趣是不是？布莱克斯科尔斯模型是由两个聪明的大佬——费舍尔·布莱克和麦伦·斯科尔斯——在20世纪70年代提出的。

它的出现，可以说是金融界的一次“革命”，让投资者不再依赖传统的“拍脑袋”式决策，而是有了一个更为科学的方法来估算期权的价值。

简单点说，布莱克斯科尔斯模型就像是给你提供了一个穿越未来的“时光机”，让你提前知道期权未来可能的价值。

是不是很神奇？二、布莱克斯科尔斯模型公式：别怕，咱们一步步来接下来最让人胆寒的部分——公式。

别着急，咱们分解一下，别让那些复杂的字母把你吓跑。

布莱克斯科尔斯模型的核心公式看起来其实也没有那么恐怖：C=S_0N(d_1)Xe^{rTN(d_2)哇，看起来是不是有点晕？放心，咱们一个个字母来解释，慢慢就能搞清楚了。

(C)代表期权的价格，就是你想知道的那个东西，咱们要算的目标。

然后，(S_0)是当前股票的价格，也就是你现在可以买到那只股票的价格。

(N(d_1))和(N(d_2))是标准正态分布的函数，嗯，听起来很高大上，但其实它们就是帮你把“未来可能性”计算出来的神奇函数。

这个就像是你的“幸运星”，指引你去走出一条最可能的道路。

再来看(X)，这个是期权的行权价格，也就是说，如果你决定执行这个期权，股票的价格就是这个数。

(r)是无风险利率，嗯，这个就是你可以无忧无虑投资得到的回报率。

(T)是期权到期的时间，简单来说，就是期权合约结束的时间点。

说白了，公式就是通过一堆数学运算，把你当前的股票价格、期权的行权价、时间等因素都考虑进去，从而给出一个合理的期权定价。

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S1 = 100 × e
+0.10
= 110.52
− 0.10
S 2 = 110.52 × e
价格回到初始水平。
= 100
• 收益通常符合正态分布。 例如，投资者以100元的价格买入一种股票， 例如，投资者以100元的价格买入一种股票， 投资收益增长10%的可能性或概率，与收益 投资收益增长10%的可能性或概率，与收益 减少-10%的可能性同样存在。所以，收益 减少-10%的可能性同样存在。所以，收益 符合正态分布的特征。
2. 如果 ST <X 期权到期时损价，并且 max（ST－X,0）＝ （ ）＝0 ）＝
• 如果把P定义为ST>X的概率，那么（7）式 如果把P定义为S >X的概率，那么（7 可以重新表达为：
= P × (E [ST S T > X ] − X )
E [CT ] = P × ([ST S T > X ] − X ) + (1 − P )× 0
St x= S0
• 所以，相对价格的期望就可以表达如下： 所以，相对价格的期望就可以表达如下：
µt + St E = e S 0 σ 2t
2
(6)
小结
• 利用相对价格的自然对数估算收益。 式（1 式（1） • 收益遵循正态分布。式（2） 收益遵循正态分布。式（2 • 价格遵循对数正态分布。式（4） 价格遵循对数正态分布。式（4 • 相对价格的期望表达式（6）。 相对价格的期望表达式（6
ln (S t ) ~ ln (S 0 ) + N µ t , σ
（3） 其中S 是常数, 其中S0是常数, ln(S0)=0.
(
t
)
∵
ln 1 = log e e = 0
0
• 由式（2），还可得到： 由式（ ），还可得到 还可得到：
St N (µt ,σ t ) ~e S0
以及预期收益： 以及预期收益：
• 根据看涨期权的定义，期权到期时的期望 值是：
E [CT ] = E [max (ST − X ,0 )] 其中，
(7 )
E [CT ] − −看涨期权到期时的期望 值 ST − −到期时的基础资产价格 X − −期权的执行价格
• 期权到期时，基础资产价格有两种可能： 1. 如果 ST >X 期权到期时溢价，并且 max（ST－X,0）＝ T－X （ ）＝S ）＝
• 计算结果如下： 价格上涨10%：100×10%＝ 价格上涨10%：100×10%＝10, S1=100+10=110 价格下降10%：110×（－10％） 价格下降10%：110×（－10％） ＝11, S2=110 - 11=99 结果：价格小于初始水平。
• 也可以将相对价格相乘而获得同样的 结果， 结果，即： 110/100=1.10 以及 99/110=0.90 相对价格的乘积为： 相对价格的乘积为： 1.10× 1.10×0.90=0.99 再将此结果乘以初始价格就是所得到结 果。
收益正态分布
随机密度
收益
• 现在，我们求证价格分布的特征。 设：价格每年上涨10%，四年内价格分别如 设：价格每年上涨10%，四年内价格分别如 下： 100; 110.52; 122.14; 134.99; 149.18。 149.18。 后一年的价格变动幅度大于前一年的价格变 动幅度。 再看： 价格每年下降10%,四年内价格分别如下： 价格每年下降10%,四年内价格分别如下： 100; 90.48; 81.87; 74.08; 67.03。 67.03。 后一年的价格变动幅度小于前一年的价格变 动幅度。
(14)
２. σ的确定 为了求出基础金融资产到期时的期望值 E[ST|ST>X]的表达式，需要将正态分布曲线 >X]的表达式，需要将正态分布曲线 从Ｘ至∞ 从Ｘ至∞的值加总起来。期望值公式的推导 过程比较复杂，这里给出最终结果如下：
N (d1 ) E [S T ST > X ] = S 0 e N (d 2 )
二. 期权定价的B－S模型 期权定价的B
• 金融资产的合理价格是这种资产的期望值。 这一原理同样适用于期权。 • 期权到期时的合理价格就是可能出现的每 一种价值与其概率的乘积之和。 • 期权可以取任意多的价值，所以应该采用 连续分布。 • 在连续分布条件下，某一范围的特定结果 的概率应由该段曲线以下的面积来表示。
• 在现实金融市场上，绝大多数的金融产品 在现实金融市场上， 如价格、利率等的变化， 如价格、利率等的变化，都呈对数正态分 模型就是以此假定作为基础。 布。B－S模型就是以此假定作为基础。 • 假定： 假定： 投资者以100元的价格买入某种股票 元的价格买入某种股票， 投资者以100元的价格买入某种股票，如果 股价一开始上升10%，然后又下跌10%， 股价一开始上升10%，然后又下跌10%，股 价是否回到初始状态100元呢 元呢？ 价是否回到初始状态100元呢？最终结果是 99元，而不是100元。 99元 而不是100元
r =µ +
σ2
2
则可以将公式（６）改写为如下形式：
St = e rt E S0
据此，我们可以将公式（５）表述如下：
2 St σ ] = µt = r − t = µ ∗ E[ln 2 S0
(12)
这就是所要求解的平均收益µ 这就是所要求解的平均收益µ的表达式。
e
−0.0101
= 0.99
与前一种方法计算结果相同。 与前一种方法计算结果相同。
• 在金融领域，采用相对价格的对数比采用 相对价格本身计算，应用更为广泛。 • 首先，将相对价格的对数定义为收益：
S t +1 收益＝相对价格的对数 ＝ ln S t
（1）
• 例如：当初始价格为100，第一期收益提高（＋ 例如：当初始价格为100，第一期收益提高（＋ 10%），第二期收益下降（－10%），由式（1） 10%），第二期收益下降（－10%），由式（1 计算得到：
rt
(15)
其中：
d1 =
S0 σ 2 ln + r + t X 2
σ t
σ2 S0 ln + r − t X 2 d 2 = d1 − σ t = σ t
(16)
期权定价两大问题的汇总
• 回顾一下，期权定价要解决的两大问题： １. 确定Ｐ－－即期权到期时溢价的概率。 ２. 确定E[ST|ST>X]－－ 即期权到期时溢 确定E[S >X]－－ 价的话，基础资产的期望值。 • 现在，我们可以将这两部分的计算公式 （１４）和（１５）代入前面的期权定价 公式（９），就是看涨期权的定价模型。
(8)
其中， E[ST|ST>X]－－ 当ST >X时，ST的期望 >X]－－ >X时 值。 P－－ ST >X的概率。 >X的概率 的概率。
• 上式（８）就是看涨期权到期时的期望值。那么， 在期权交易之初的合理价格就是对式（８）的贴现 值。 • 于是，期权的价格表达如下：
C = P × e − rt × (E [S T S T > X ] − X ) 其中， C − − 看涨期权的合理价格 ｒ－－无风险利率 ｔ－－期权的有效期
• 连续价格变动的刻度标示
67.03 74.08 81.87 90.48
100
110.52
122.14
134.99
149.18
连续价格递减
连续价格递增
• 从上述分析可知，价格的分布将是扭曲的 正态分布，称之为对数正态分布。价格上 涨时，分布呈扩张型态；价格下跌时，分 布呈压缩型态。
价格对数正态分布
在前述式（２）中，收益的标准差被定义为
σ t
将式（１０）和式（１１）合并，有
X P = Pr [S T > X ] = Pr 收益 > ln( ) S0
2 X σ −r − t ln S 2 0 = 1− N σ t
随机密度
价格
• 现在我们回到收益定义：“收益为相对价格 现在我们回到收益定义：“ 的对数” 的对数”，由于收益呈正态分布，满足：
St ~ N µt,σ ln S 0
(
t
)
（2）
式中， µ－－均值，这里指年收益率 σ－－方差开根，这里指年收益标准差
• 由上式（2）可知，价格的对数（不仅相对 由上式（ 可知，价格的对数（ 价格的对数）也是正态分布，因为： 价格的对数）也是正态分布，因为：
(4)
St ] = µt E [ln S 0
(5 )
• 根据期望值的对数与对数的期望值之间的 关系，如果x 关系，如果x是一随机变量，则有： ln [E(x)] = E [ ln(x)] + 0.5 var [ ln(x)] 其中: 其中:
E [ln ( x )] = µ t 1 2 0 . 5 var [ln ( x )] = σ t 2
布莱克－斯科尔斯模型 布莱克－
B－S Model
一. 金融资产的价格特征
• 正态分布现象在自然界和社会中是一种常 见现象。那么， 见现象。那么，金融资产的价格是否也具 有正态分布的特点呢？ 有正态分布的特点呢？ • 符合正态分布的变量一般可以取负值，金 符合正态分布的变量一般可以取负值， 融资产的价格就不可能取负值。 融资产的价格就不可能取负值。因此价格 不符合正态分布的假设。 不符合正态分布的假设。 • 但收益却可以取负值，收益通常符合正态 但收益却可以取负值， 分布的假设。 分布的假设。
• 导出概率Ｐ 这一问题是要求解期权到期时，基础资产 价格超过期权执行价格的概率Ｐ。 这一问题的性质等同于：求解同样时期收 益超出某种既定值的概率。由于收益呈正 态分布，比起对数正态分布更容易处理， 故我们先从收益入手。