布莱克-斯科尔斯模型汇总

据此，我们可以将公式（５）表述如下：
2 St E[ln ] t r t 2 S0
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这就是所要求解的平均收益μ的表达式。
在前述式（２）中，收益的标准差被定义为
t
将式（１０）和式（１１）合并，有
X P Pr ST X Pr 收益 ln( ) S0 X ln S 0 1 N
lnSt ~ lnS0 N t , t
（3） 其中S0是常数, ln(S0)=0.



ln1 loge e 0
0
• 由式（2），还可得到：
St N t , t ~e S0
以及预期收益：
4
St E[ln S 0
] t
5
S0 ln r X 2 d 2 d1 t t
2
t
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期权定价两大问题的汇总
• 回顾一下，期权定价要解决的两大问题： １. 确定Ｐ－－即期权到期时溢价的概率。 ２. 确定E[ST|ST>X]－－ 即期权到期时溢 价的话，基础资产的期望值。
X P Pr S T X Pr 收益 ln( ) S0 其中， S 0－－基础资产的初始价 格 X－－期权执行价格
(10)
在正态分布条件下，变量Ｘ大于某种既定 值xc的概率可由下式表达：
xc Pr X xc 1 N 其中，
• 连续价格变动的刻度标示
67.03 74.08 81.87 90.48
100
110.52
122.14
134.99
149.18
连续价格递减
连续价格递增
• 从上述分析可知，价格的分布将是扭曲的 正态分布，称之为对数正态分布。价格上 涨时，分布呈扩张型态；价格下跌时，分 布呈压缩型态。
价格对数正态分布
2 r 2 t
t
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正态分布的对称性意味着： １－N（d）= N（－ｄ） 于是，我们所要求解的概率Ｐ，就表述如下：
X 2 ln r 2 t S 0 P Pr ST X N t
• 出售一份欧式看涨期权，到期时间为ｔ， 执行价格为Ｘ。 • 买入一份具有同样期限和执行价格的欧式 看跌期权。
• 借入一笔资金，数额为 Xe 。以无风险利 率ｒ计息。 • 买入基础金融资产。
rt
在上述资产组合中，如果假定基础 资产的初始价格为Ｓ0，看涨期权的价格 为Ｃ，看跌期权的价格为Ｐ。那么，按 上述方式构造的组合所产生的现金流 为：（这里假定具有相同执行价格的期 权具有相同的期权费或期权价格）
随机密度
收益
• 现在，我们求证价格分布的特征。 设：价格每年上涨10%，四年内价格分别如 下： 100; 110.52; 122.14; 134.99; 149.18。 后一年的价格变动幅度大于前一年的价格变 动幅度。 再看： 价格每年下降10%,四年内价格分别如下： 100; 90.48; 81.87; 74.08; 67.03。 后一年的价格变动幅度小于前一年的价格变 动幅度。
ECT P (ST ST X X ) 1 P 0
8
其中， E[ST|ST>X]－－ 当ST >X时，ST的期望 值。 P－－ ST >X的概率。
• 上式（８）就是看涨期权到期时的期望值。那么， 在期权交易之初的合理价格就是对式（８）的贴现 值。 • 于是，期权的价格表达如下：
• 根据期望值的对数与对数的期望值之间的 关系，如果x是一随机变量，则有： ln [E(x)] = E [ ln(x)] + 0.5 var [ ln(x)] 其中:
E ln x t 1 2 0.5 varln x t 2
St x S0
• 所以，相对价格的期望就可以表达如下：
• 期权到期时，基础资产价格有两种可能： 1. 如果
ST >X 期权到期时溢价，并且 max（ST－X,0）＝ST－X
2. 如果
ST <X 期权到期时损价，并且 max（ST－X,0）＝0
• 如果把P定义为ST>X的概率，那么（7）式 可以重新表达为：
P E ST ST X X
C Pe 其中，
rt
E ST ST X X
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C 看涨期权的合理价格 ｒ－－无风险利率 ｔ－－期权的有效期
• 至此，我们可以将期权定价的复杂问题转 化为两个相对简单的问题： １. 确定Ｐ－－即期权到期时溢价的概率。 ２. 确定E[ST|ST>X]－－ 即期权到期时溢 价的话，基础资产的期望值。
S1 100 eFra bibliotek.10 110.52
0.10
S 2 110.52 e
价格回到初始水平。
100
• 收益通常符合正态分布。 例如，投资者以100元的价格买入一种股票， 投资收益增长10%的可能性或概率，与收益 减少-10%的可能性同样存在。所以，收益 符合正态分布的特征。
收益正态分布
以上两个问题的答案可以从基础 金融资产价格呈对数正态分布的 特征出发来求解。
• 导出概率Ｐ 这一问题是要求解期权到期时，基础资产 价格超过期权执行价格的概率Ｐ。
这一问题的性质等同于：求解同样时期收 益超出某种既定值的概率。由于收益呈正 态分布，比起对数正态分布更容易处理， 故我们先从收益入手。
此前，我们已经将收益定义为相对价格的 对数，所求出的概率必须满足：
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三.Ｂ－Ｓ模型的基本假设
• 收益呈正态分布，价格呈对数正态分布。 • 基础金融资产的交易数量不限。 • 允许空头出售。 • 期权有效期内，基础资产不支付红利或股 息，且无其它任何形式的收益。 • 无风险利率，复利计息。 • 欧式期权。
• 没有交易成本、税收及任何额外费用。 • 基础资产价格的变动具有连续性。 • 价格和利率的波动率为常数。
• 也可以将相对价格相乘而获得同样的 结果，即： 110/100=1.10 以及 99/110=0.90 相对价格的乘积为： 1.10×0.90=0.99 再将此结果乘以初始价格就是所得到结 果。
• 我们还可以取相对价格的对数之和计算： ln(110/100)＝0.0953 ln(99/110)＝－ 0.1054 根据两个数字的对数之和等于其乘积的对 数，有： ln [ (110/100)×(99/110) ]＝－0.0101 由于，
四. 跌－－涨平价定理
• 由上所述，我们已经求出看涨期权的定价 公式。如何求解看跌期权的定价公式呢？ 我们可以利用看涨期权与看跌期权之间的 内在联系，导出看跌期权的定价公式。不 需要建立独立的模型考虑看跌期权的定价 问题 • 跌－－涨平价定理 构造由若干笔交易构成的组合金融资产。
组合金融资产的构造方式如下：
• 现在，我们可以将这两部分的计算公式 （１４）和（１５）代入前面的期权定价 公式（９），就是看涨期权的定价模型。
Ｂ－Ｓ 期权定价模型
看涨期权的Ｂ－Ｓ模型
C N d 2 e
rt
rt N d 1 S e X 0 N d 2
rt
C S 0 N d1 Xe N d 2
e
0.0101
0.99
与前一种方法计算结果相同。
• 在金融领域，采用相对价格的对数比采用 相对价格本身计算，应用更为广泛。 • 首先，将相对价格的对数定义为收益：
St 1 收益＝相对价格的对数 ＝ln S t
（1）
• 例如：当初始价格为100，第一期收益提高（＋ 10%），第二期收益下降（－10%），由式（1） 计算得到：
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２. σ的确定 为了求出基础金融资产到期时的期望值 E[ST|ST>X]的表达式，需要将正态分布曲线
从Ｘ至∞的值加总起来。期望值公式的推导 过程比较复杂，这里给出最终结果如下：
N d1 EST ST X S 0 e N d 2
rt
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其中：
2 S0 ln r t X 2 d1 t
随机密度
价格
• 现在我们回到收益定义：“收益为相对价格 的对数”，由于收益呈正态分布，满足：
St ln S 0
~ N t ,

t

（2）
式中， μ－－均值，这里指年收益率 σ－－方差开根，这里指年收益标准差
• 由上式（2）可知，价格的对数（不仅相对 价格的对数）也是正态分布，因为：
• 在连续分布条件下，某一范围的特定结果 的概率应由该段曲线以下的面积来表示。
• 根据看涨期权的定义，期权到期时的期望 值是：
E CT E maxST X ,0 其中，
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E CT 看涨期权到期时的期望 值 ST 到期时的基础资产价格 X 期权的执行价格
• 在现实金融市场上，绝大多数的金融产品 如价格、利率等的变化，都呈对数正态分 布。B－S模型就是以此假定作为基础。 • 假定： 投资者以100元的价格买入某种股票，如果 股价一开始上升10%，然后又下跌10%，股 价是否回到初始状态100元呢？最终结果是 99元，而不是100元。
• 计算结果如下： 价格上涨10%：100×10%＝10, S1=100+10=110 价格下降10%：110×（－10％） ＝11, S2=110 - 11=99 结果：价格小于初始水平。
• Ｂ－Ｓ模型的最大优点：
１. 容易计算 ２. 定价较为合理可靠
在实务中，当实际情形与模型的严格假设 条件不一致时，只需对模型作简单的调整 即可加以应用。无需采用更为复杂的定价 模型。所以，得到广泛的运用。