Black-Scholes模型综述
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BLACK-SCHOLES模型
BLACK-SCHOLES模型1. 简介BLACK-SCHOLES模型是一种用于定价期权合约的数学模型，由Fisher Black和Myron Scholes于1973年提出。
该模型是金融学领域最为重要的模型之一，广泛应用于期权交易和金融衍生品定价。
BLACK-SCHOLES模型基于以下假设： - 市场完全有效，不存在交易成本和税收。
- 资产价格的波动性是已知且常数。
- 资产价格的对数收益率服从几何布朗运动，即满足随机微分方程。
2. 基本原理BLACK-SCHOLES模型的基本原理是通过建立对冲组合，利用风险中性定价的原理来确定期权的价格。
其中，对冲组合由资产组成，通过买卖资产来抵消风险，使投资组合的价值在不同市场情况下保持稳定。
基于上述原理，BLACK-SCHOLES模型通过推导出具有完全对冲组合的几何布朗运动方程，得出了期权的定价公式。
该定价公式包括以下几个重要参数： - 资产价格（S）：期权标的资产的当前市价。
- 行权价格（K）：期权合约规定的买卖资产的价格。
- 无风险利率（r）：在期权有效期内，无风险投资所能获得的收益率。
- 期权有效期（T）：期权合约的剩余时间。
- 波动率（σ）：资产价格的对数收益率的标准差。
BLACK-SCHOLES模型的定价公式如下：$$C = S_0 \\cdot N(d_1) - Ke^{-rT} \\cdot N(d_2)$$$$P = Ke^{-rT} \\cdot N(-d_2) - S_0 \\cdot N(-d_1)$$其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格，N(x)表示标准正态分布的累积分布函数，d1和d2的计算公式如下：$$d_1 = \\frac{\\ln(\\frac{S_0}{K}) + (r +\\frac{\\sigma^2}{2})T}{\\sigma\\sqrt{T}}$$$$d_2 = d_1 - \\sigma\\sqrt{T}$$3. 应用与限制BLACK-SCHOLES模型具有广泛的应用领域，主要包括以下几个方面： - 市场定价：BLACK-SCHOLES模型通过考虑市场因素，对不同的期权合约进行定价，帮助投资者在期权交易中作出合理的决策。
black-scholes公式
black-scholes公式Black-Scholes Model（Black-Scholes公式）是一种用于定价欧式期权的数学模型，是金融工程学中的重要成果之一、该模型由费舍尔·布莱克（Fischer Black）和默顿·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年首次提出，他们也因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes Model基于一系列假设，包括市场具有无摩擦，交易是连续的，没有交易费用以及无风险无套利机会等。
Black-Scholes Model基于随机微分方程（随机演变过程），描述了金融资产（如股票）的价格波动。
该模型基于两个基本概念：股票价格是随机演变的几何布朗运动，市场是完全无套利的。
Black-Scholes Model的核心方程是Black-Scholes Equation，也称为Black-Scholes PDE（偏微分方程）。
Black-Scholes Model基于以下几个关键因素对期权价格进行估值：标的资产价格、执行价格、剩余期限、无风险利率和波动率。
其中，标的资产价格指的是期权所关联的金融资产（如股票）的当前价格。
执行价格是期权中约定的购买或出售标的资产的价格。
剩余期限是期权到期日与当前日期之间的时间间隔。
无风险利率是可以在市场上获得的无风险回报率。
波动率表示标的资产价格的波动性。
Black-Scholes Model的公式为：C=S_0*N(d1)-X*e^(-rT)*N(d2)P=X*e^(-rT)*N(-d2)-S_0*N(-d1)其中，C表示欧式看涨期权的价格，P表示欧式看跌期权的价格。
S_0是标的资产价格，X是执行价格，r是无风险利率，T是剩余期限，N表示标准正态分布的累积分布函数。
d1和d2分别为：d1 = (ln(S_0 / X) + (r + (sigma^2)/2)*T) / (sigma*sqrt(T))d2 = d1 - sigma*sqrt(T)其中，sigma表示标的资产价格的波动率。
BLACK-SCHOLES模型
BLACK-SCHOLES模型介绍BLACK-SCHOLES模型是金融学中一个重要的数学模型，用于定价欧式期权。
它由费希尔·布莱克（Fischer Black）和默顿·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年提出，1973年诺贝尔经济学奖授予了这个发现。
BLACK-SCHOLES模型是金融工程领域的重要里程碑，它为衍生证券的定价提供了一个强大而准确的工具。
原理与假设BLACK-SCHOLES模型的核心思想是基于偏微分方程构建的，通过对期权价格进行分析，得出隐含在期权价格中的一些参数，如股价、时间、利率等。
该模型建立在以下假设的基础上：1. 市场是完全有效的，不存在任何交易成本和税收，并且投资者可以自由买卖证券。
2. 市场不存在任何风险溢价，即投资者对风险是中立的。
3. 股票价格服从几何布朗运动，即股票价格变动符合随机游走的过程。
模型的计算公式BLACK-SCHOLES模型将期权定价问题转化为一个偏微分方程的求解问题。
模型的核心公式如下：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-rt) * N(d2)其中：- C表示期权的价格（call option）；- S_0表示标的资产的当前价格；- N表示标准正态分布的累积分布函数；- d1 = (ln(S_0/X) + (r + σ^2/2) * t) / (σ * sqrt(t))；- d2 = d1 - σ * sqrt(t)；- X表示期权的执行价格；- r表示无风险利率；- t表示期权的剩余时间（年）；- σ表示标的资产的波动率。
C代表认购期权的价格，而对于认沽期权，则用相应的公式进行计算。
模型的优缺点BLACK-SCHOLES模型是一个非常重要的工具，它在金融市场的衍生品定价中被广泛使用。
然而，该模型也存在一些局限性。
优点：1. 计算简单：BLACK-SCHOLES模型提供了一个相对简单的数学公式，可以通过计算机程序迅速计算出期权的合理价格。
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
black-scholes 模型波动率的算法
black-scholes模型波动率的算法一、概述Black-Scholes模型是一种广泛应用于金融衍生品定价的数学模型。
它不仅可以用于股票、债券等固定收益产品的定价，也可以用于波动率分析和预测。
本文将详细介绍Black-Scholes模型中用于计算波动率的算法。
二、算法原理波动率是金融衍生品价格变化的标准差，反映了市场风险的大小。
Black-Scholes模型通过建立一个概率分布来估算波动率。
该模型假设期权价格遵循一个几何布朗运动，通过求解偏微分方程得到期权价格，进而可以推算出波动率。
三、算法实现1.参数估计：首先需要确定模型中的各种参数，如无风险利率、资产收益率、波动率等。
这些参数通常需要通过历史数据拟合得到。
2.构建概率分布：根据参数估计结果，可以构建一个概率分布函数（如正态分布），用于描述期权价格的概率分布。
3.计算波动率：通过求解期权价格的概率分布的标准差，可以得到波动率。
这种方法称为历史模拟法，其基本思想是通过历史数据回测，得到期权价格分布，进而计算波动率。
4.蒙特卡罗模拟：除了历史模拟法，还可以使用蒙特卡罗模拟法来计算波动率。
该方法通过随机生成大量的期权价格，统计这些价格分布，进而得到波动率。
四、优缺点1.优点：Black-Scholes模型是一个非常成熟且广泛应用的理论模型，它能够较为准确地估算期权价格和波动率，为投资者提供较为准确的决策依据。
2.缺点：该模型假设市场是有效的，即市场价格能够迅速反映所有可用信息。
但在实际市场中，市场可能存在无效性，导致模型估算结果与实际价格存在偏差。
此外，模型对于非线性期权的定价也存在一定难度。
五、应用场景Black-Scholes模型广泛应用于金融衍生品定价、风险评估和投资决策等领域。
通过该模型，投资者可以较为准确地估算期权价格和波动率，从而做出更为明智的投资决策。
同时，该模型也可以用于预测未来市场的波动率，为风险管理提供依据。
六、总结Black-Scholes模型是金融衍生品定价的重要理论工具，通过该模型可以较为准确地估算期权价格和波动率。
投资分析BlackScholes期权定价模型
st xt , a(st ,t) st ,b(st ,t) st dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
ds dt dw
s
证券的预期回报与其价格无关。
（13.6）
2024/6/27
11
▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t）
价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观
变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会 对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微
分方程求出价格f。
2024/6/27
22
13.4 几何布朗运动与对数正态分布
2024/6/27
4
wt t t
（13.1）
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
Ct St N (d1) Xer N (d2 )
其中，d1
ln(St
/
X
)
(r
2
/
2)
d2 d1 t [0,T ], T t
2024/6/27
27
B-S买权定价公式推导
▪ （1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票 价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t 的 值股 为票价格为St,则T时刻的股票价格的期望
2024/6/27
对期权定价模型的偏微分方程分析--Black-Scholes期权定价模型
对期权定价模型的偏微分方程分析--Black-Scholes期权定
价模型
Black-Scholes（BS）期权定价模型是20世纪70年代由Fisher Black、Myron Scholes和Robert Merton独立发明和发展的。
BS模型将期权定价问题转化为偏微分方程问题，并提供了一种通过经济因素来解决期权定价的方法。
BS模型假设股票价格服从几何布朗运动，并使用随机微分方程来描述它们的漂移和随机波动性。
该模型还假定期权的价格服从Black-Scholes PDE：
$$\\frac{\\partial V}{\\partial
t}+\\frac{1}{2}\\sigma^2S^2\\frac{\\partial^2 V}{\\partial S^2}+rS\\frac{\\partial V}{\\partial S}-rV=0$$
其中，$V(S,t)$是期权价格，$S$是标的资产价格，
$\\sigma$是波动率，$r$是无风险利率，$t$是时间。
该方程可以被解释为投资组合在动态套利环境中的漂移和随机波动性，其中投资组合由一单股票和一个期权组成。
该方程的求解需要使用特殊函数，如Black-Scholes方程的解析解。
这个解析解有助于我们理解期权价格如何受到各种因素的影响，例如股票价格、波动率、时间和无风险利率。
总之，BS模型的偏微分方程分析提供了一种方法，使我们能够根据标的资产价格、波动率、时间和无风险利率来定价期权。
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
BS模型在资产评估中的应用
B-S模型在资产评估中的应用主讲老师赵强一、Black-Scholes模型介绍（一）Black-Scholes模型介绍Black-Scholes模型是Fisher Black和Myron Scholes首先提出了一种估算期权价值的方法：Black-Scholes模型（即：B-S模型）。
除此之外，期权价值还可以采用以下方法估算：（1）二项式定价模型方法；（2）风险中性定价方法。
期权定价存在多种方法中，B-S模型最为常用。
（二）B-S模型的适用前提B-S模型是建立在以下假设基础上的：（1）股票价格是一个随机变量服从对数正态分布；（2）在期权有效期内，无风险利率是恒定的；（3）市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；（4）该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；（5）不存在无风险套利机会；（6）证券交易是持续的；（7）投资者能够以无风险利率借贷。
设：μ为股票每年投资回报率期望值；σ为股票价格的年波动率。
在t时刻股票价格为S，则在t＋dt时刻股票的价格应该为S＋μS，如果用微分方程描述就是：上述推导过程说明，股票价格与时间之间的关系服从指数函数的关系。
进一步推导，可以得出结论：即：Ln（S T）－Ln（S0）＝Ln（S T/S0）～N（（μ－σ2/2）T，σ2T）。
其中：S0：股票初始价格；T：是初始时间距目前阶段的时间。
进一步：Ln（S T）～N（Ln（S0）＋（μ－σ2/2）T，σ2T）如果设S T是股票在T时刻的价值，则看涨期权的价值应该可以用下列函数表述：如果S T是一个随机变量，满足S T≥X的概率为P，则满足S T＜X的概率就是1－P，这样投资者获利的数学期望值就是：E（S T）＝（S T－X）×P＋0×（1－P）这就是看涨期权C的价值估算。
对于看跌期权P：如果满足S T＜X的概率为P，则满足S T≥X的概率就是1－P，这样投资者获利的数学期望值就是：E（S T）＝（X－S T）×P＋0×（1－P）这就是看跌期权P的价值估算。
bs模型资料
BS模型
Black-Scholes模型是一个用于定价金融期权的数学模型。
它由Fisher Black和Myron Scholes于1973年提出，后来Robert Merton也为其做出了贡献，并因此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。
BS模型被广泛应用于金融市场，尤其是股票期权市场，它提供了一种计算期权的公平价格的方法。
模型原理
BS模型基于一些基本假设：市场不存在交易成本、无风险收益率是恒定的、资产价格的波动率是已知且恒定的等。
它通过假设资产价格的变化服从几何布朗运动来描述资产价格的演变。
BS模型的主要方程式是一个偏微分方程，称为Black-Scholes方程，它描述了期权价格随时间和资产价格的变化而变化的过程。
BS模型的优点和局限
BS模型是一个非常有用的工具，能够提供期权价格的合理估计。
它的优点在于计算简单、结果清晰，并且广泛适用于欧式期权。
然而，BS模型也存在一些局限，例如对市场变动的敏感度较高、无法直接适用于美式期权等。
实际应用
虽然BS模型存在局限，但在实际金融市场中仍然被广泛使用。
许多金融从业者使用BS模型来评估期权的价格，进行风险管理和对冲等操作。
除了股票期权，BS模型也可以应用于其他金融产品的定价，如利率期权、商品期权等。
总结
Black-Scholes模型作为金融领域的一个重要工具，为理解和定价期权提供了一个坚实的基础。
虽然其基本假设可能与实际市场情况不完全符合，但BS模型的简单性和有效性使其在金融实践中得到广泛应用。
对于金融从业者来说，了解BS模型的原理和应用是至关重要的。
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( j !(n j)!) p (1 p)
j j 0
n
n!
n j
max[0, u j d n jS K ]] / r n
a na
假设存在最小的 a,使得当股票价格上涨次数为 a,而下跌次数为 n-a 时， u d
n
S K >0 成立。可以解出
a 是大于 log(K/ Sd ) / log(u/ d) 的最小整数。接下来我们可以改写定价公式为：
X t X 0e
1 (r 2 ) t Bt 2
，注意到 Bt / t 是正态分布，那么可以改写④为：
1 (r 2 )(T t) BT t 2
C (X, t) E[e
r (T t)
g(xe
)] e
r (T t)
g (xe
1 (r 2 )(T t) T t z 2
Cu Cd ， (u d)S
B
uCd dCu ⑥ ( u d ) r
由无套利条件，该组合与期权 C 在期末价值相同，则期初价值也应该相同，即 C=ΔS+B。把⑥代入，得
r d ur ) Cu ( ) Cd ] / r ud ud r d 简记为 C [ p Cu (1 p) Cd ] / r ，其中 p 。 ud C [(
一、 B-S 模型简介
首先，在建立 Black-Scholes 模型时，我们用到了如下假设： 资产价格遵从随机微分方程： 不限制卖空。 无交易费用和税收。 不存在套利机会。 证券交易为连续进行。 短期无风险利率 r 是常数。 在期权期限内，股票不支付股息。
dSt dt dB(t) ，其中 和 为常数。 St
令
p ' ( u / r )1 p p' (d/ r)(1 p)
则可以得到两部分前后两项分别包含一个二项分布的概率形式，抽象为：
C S [a;n, p'] Kr n [a;n, p]
⑧
其中 p (r d) / (u d) ， P' (u/ r) / p 与 B-S 公式比较，我们接下来需要证明的就是 [a;n, p'] 趋向于 N(x)且 [a;n, p] 趋向于 N(x- t )，两 个问题证明方法相同，故我们此处只看后面的一个。 由⑧式的导出我们可以得到 [a;n, p] 实际上是一个以 p 为概率的二项分布求和值大于或等于 a 的概率。 则有
将以上分析合并之后⑨式便可以变形为：
1 [a; n, p] P[
p n
1 2
p n
]
⑩
可以验证当 n 趋向于无穷时，以上概率计算满足中心极限定理，且有：
p n (logr 2 ) t ， p n t ， log(u/ d) 0
故
1 [a; n, p] N[
log(Kr t / S) 1 t] 2 t
即
[a; n, p] N[
log(S/ Kr t ) 1 t] 2 t
与 B-S 公式等价。 用如上方法我们便证明了当时间划分趋向无穷，即分散时间趋向连续状态时，CRR 模型其实是与 B-S 模 型等价的。
三、 扩展
1、 期权定价的 Cox-Ross-Rubinstein 模型（二项定价模型） B-S 模型是建立在股价连续变动基础之上的，并非所有人都对这一点保持认同。1979 年，Cox、Ross 和 Rubinstein 提出了新的股票价格遵循跳跃过程的模型，被称为 Cox-Ross-Rubinstein（CRR）模型，也就是我们 通常说的二叉树模型。 该模型建立在离散时间上，假设目前股价为 S 的股票价格在下一个时点有概率 q 变为 uS，有概率 1-q 变为 dS，且 u 和 d 互为倒数。则一个建立在该股票上，目前价值为 C 的股票变化如下右图所示：
Black-Scholes 模型文献综述
摘要：
20 世纪 70 年代初，费希尔·布莱克，迈伦·斯科尔斯·莫顿在期权定价领域内取得了重大突破，他们 建立了被称为“布莱克-斯科尔斯”（Black-Scholes)或“布莱克-斯科尔斯-默顿"（Black-Scholes-Merton) 的模型。该模型对于期权定价与对冲产生了重大影响，并且对于近年来金融工程领域的发展与成功起到决 定性的作用。1997 年斯科尔斯及莫顿荣获诺贝尔经济学奖，这充分说明了这一模型的重要性。该阅读报告 将总结共七篇，参考共十篇国内外具有代表性的文献，从简介、证明、扩展及应用四个方面全面回顾介绍 B-S 模型。 关键词：Black-Scholes 模型，二叉树模型，Feynman-Kac 方程，matlab
(S K) , (看涨期权) 接下来要做的就是利用一定的方法来求解满足终值条件 V |t T ③ 的微分 + (K S) , (看跌期权)
方程②。原文中二人应用了热传导中的柯西问题原理来进行推导，变化较为复杂对于数学和物理基础不 足的人相对比较困难。 2、 用 Feynman–Kac 方法求解微分方程 我们也可以用 Feynman–Kac 公式来求解①②的微分方程。首先我们来看 Feynman-Kac 方程：
uS，以概率q S dS，以概率1-q
C u =max[0,uS-K]，以概率q C Cd =max[0,dS-K]，以概率1-q
假设我们构造投资组合：Δ份股票和 B 数目的现金。到期末总价值为：q 的可能ΔuS+rB，1-q 的可能 为ΔdS+rB。令它们分别于 Cu 和 Cd 相等，我们可以解出：
S0e^(rt)，另有看涨期权在今天的价格为：max(S0-Ke^(-rt),0)。接下来我们看 B-S 公式得到的价格：首先当 S0>Ke^(-rt)，则波动率趋向于 0 时，d1 和 d2 均趋向于正无穷，故 N(d1)和 N(d2)接近于 1，得 c= S0-Ke^(-rt)； 同理可得当 S0<Ke^(-rt)时，期权价格为 0。 因此在如上两种情况下，我们简单验证了 B-S 公式是符合直觉的。接下来我们将关注 B-S 公式的几种证 明方法。
⑦
以上即为 CRR 定价方法的基本内容。 2、 连续支付红利的 B-S 模型 对模型的基本假设作如下推广：
1 资产价格适合随机微分方程： 2 无风险利率 r=r(t); 3 原资产连续支付股息（红利） ，红利率是 q(t); ，选取△使得该组合在[t,t+dt]内是无风险的。
1 [a; n, p] P[j a 1] P[
j np a 1 np ] ⑨ np(1 p) np(1 p)
另外我们有 log(S*/ S) jlog(u/ d) nlogd ，其中 S*是期末价格，S 是股票的期初价格。 所以可得股票的收益率的期望和方差分别为： p p log(u / d) logd ， p 2 p(1 p)[log(u/ d)]2 于是
二、 证明
1、 布莱克和斯科尔斯原文的推导方法 首先来导出 B-S 方程：用△对冲的方法，构造投资组合： V S ，即买入一份期权，同时卖 出△份股票，我们试图选取△使得该组合在[t,t+dt]内是无风险的。 由无套利条件， t 时刻该资产的收益率应为无风险利率， 即 dVt t dSt rt dt ， 由于 Vt V (St , t) ， 由 Ito 公式可得： dVt (
1 z2 ) e dz 2
2
⑤
x K (x K)2 对 g 取满足建设条件的近似可微函数，即 g (x) ，且 趋向于零，⑤式积分结 2
果即为 B-S 期权定价公式。 3、 通过 Cox-Ross-Rubinstein 模型 该方法的核心建立在 CRR 模型上，由 Cox、Ross、Rubinstein 在其原文中给出。它事实上是当 CRR 模型 中的时段划分趋向于无穷时，离散模型向连续模型的一种逼近。关于 CRR 模型的介绍在下一模块扩展中详 细给出，此处我们直接运用该思想导出 B-S 公式。 首先我们来关注二项定价模型的最终公式：
C [ (
j a
n
n! ) p j (1 p)n j (u j d n jS K )] / r n j !(n j )!
分成两个部分也就是：
C S [ (
j a
n
n n! n! ) p j (1 p)n j (u j d n j / r n )] Kr n [ ( ) p j (1 p) n j ] j !(n j )! j !(n j )! j a
我们注意到其实 q 和 p 是相等的 （q(uS)+(1-q)dS=rS） 。 故 p 其实即为风险中性下股票上涨或下跌的概率。 将上述过程推广到两步的情形：
用同样方法可以求解得到：
类似的我们可以推广到 n 步的情形，最终可得在 n 个时段的情况下，期权价格为：
C [ (
j 0
n
n! ) p j (1 p)n j [u j d n jS K ]] / r n j !(n j )!
由于等式右端是无风险的，故等式右端随机项 dWt 的系数一定为 0，故可得： 消去 dt 后我们得到：
V ，带入①式 S
V 1 2 S S
②
②式即为注明的刻画期权价格的偏微分方程——Black-Scholes 方程。
在如上假设前提下，最终 B-S 期权定价公式形式如下（c 是欧式看涨期权的价格，p 是欧式看跌期权的 价格） ：
c S0 N (d1 ) Ke rT N (d 2 ) p Ke rT N ( d 2 ) S0 N( d1 )
其中：S0 指股票在期初的价格，K 为期权执行价格，T 为期限，r 为无风险利率，N 是正态分布。且，