布莱克-斯科尔斯期权定价模型

布莱克斯科尔斯模型计算公式【原创版】目录1.布莱克斯科尔斯模型简介2.布莱克斯科尔斯模型计算公式概述3.布莱克斯科尔斯模型计算公式详解4.布莱克斯科尔斯模型计算公式的应用实例5.总结正文【1.布莱克斯科尔斯模型简介】布莱克斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）是一种用于估算欧式期权价格的数学模型，由 Fisher Black 和 Myron Scholes 于 1973 年提出。

该模型基于假设：标的资产价格符合对数正态分布、市场无风险利率和波动率恒定等。

布莱克斯科尔斯模型为金融市场提供了一种较为准确的期权定价方法，被广泛应用于金融领域。

【2.布莱克斯科尔斯模型计算公式概述】布莱克斯科尔斯模型的计算公式较为复杂，包含多个变量和数学函数。

公式主要包括以下几个部分：标的资产价格、无风险利率、行权价格、到期时间、波动率和正态分布函数。

通过这些变量和函数的组合，可以计算出期权的理论价格。

【3.布莱克斯科尔斯模型计算公式详解】布莱克斯科尔斯模型的计算公式如下：C = S * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)P = X * e^(-r * T) * N(-d2) - S * N(-d1)其中，C 表示看涨期权的价格，P 表示看跌期权的价格，S 为标的资产价格，X 为行权价格，T 为到期时间，r 为无风险利率，e 为自然对数的底数，约等于 2.71828，N(d) 为正态分布函数，d1 和 d2 为中间变量，计算公式如下：d1 = (ln(S / X) + (r + σ^2 / 2) * T) / (σ * sqrt(T))d2 = d1 - σ * sqrt(T)其中，σ表示波动率，ln 表示自然对数函数。

【4.布莱克斯科尔斯模型计算公式的应用实例】假设某股票的当前价格为 100 元，行权价格为 105 元，无风险利率为 5%，波动率为 20%，到期时间为 1 年。

bs模型定价公式一、布莱克 - 斯科尔斯（Black - Scholes，BS）模型定价公式概述。

1. 公式的基本形式。

- 对于欧式看涨期权的定价公式：C = S_0N(d_1)-Ke^-rtN(d_2)- 对于欧式看跌期权的定价公式：P = Ke^-rtN( - d_2)-S_0N( - d_1)- 其中：- S_0是标的资产的当前价格。

- K是期权的执行价格。

- r是无风险利率（连续复利）。

- t是期权的到期时间（以年为单位）。

- σ是标的资产价格的波动率。

- N(x)是标准正态分布的累积分布函数，x = d_1或者d_2。

- d_1=frac{ln(S_0 / K)+(r+frac{σ^2}{2})t}{σ√(t)}- d_2 = d_1-σ√(t)2. 公式中各参数的意义。

- 标的资产当前价格S_0- 这是在当前时刻标的资产（如股票、期货等）的市场价格。

它是确定期权价值的基础，如果标的资产价格上涨，看涨期权价值可能增加，看跌期权价值可能减少（在其他条件不变的情况下）。

- 执行价格K- 是期权合约中规定的，在到期日时可以按照该价格买入（对于看涨期权）或卖出（对于看跌期权）标的资产的价格。

执行价格与标的资产当前价格的相对关系对期权价值有重要影响。

当S_0> K（对于看涨期权）时，期权处于实值状态，有更大的内在价值。

- 无风险利率r- 无风险利率反映了资金的时间价值。

在BS模型中，无风险利率越高，执行价格的现值Ke^-rt越低，对于看涨期权价值有正向影响，对看跌期权价值有反向影响（因为看涨期权持有者希望以更低的现值购买资产，而看跌期权持有者希望以更高的现值出售资产）。

- 到期时间t- 期权距离到期日的剩余时间。

一般来说，到期时间越长，期权的价值越高（在其他条件不变的情况下）。

对于看涨期权，较长的到期时间给予标的资产更多的时间上涨超过执行价格；对于看跌期权，给予更多时间下跌低于执行价格。

- 标的资产价格的波动率σ- 波动率衡量了标的资产价格的波动程度。

•布莱克-斯科尔斯模型，简称BS模型，是一种为期权或权证等衍生性金融商品定价的数学模型，它是由美国经济学家迈伦·斯科尔斯与费雪·布莱克率先提出来的，用这个模型没能推导出布莱克-舒尔斯公式，这个公式还能够估算出欧式期权的理论价格。

除此之外，B-S模型还有7个比较重要的假设，如下所示：
1、股票价格行为服从对数正态分布模式；
2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是不会发生改变
的；
3、市场是没有摩擦的，也就是没有税收和交易成本，所有证券完全可分
割；
4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；
5、该期权是欧式期权，也就是在期权到期前不可以进行实施。

6、没有任何无风险套利机会；
7、证券交易是持续的；
8、投资者可以以无风险利率借贷。

（三）布莱克-斯科尔斯期权定价模型（BS模型）1.假设（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；（2）股票或期权的买卖没有交易成本；（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；（4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；（5）允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金；（6）看涨期权只能在到期日执行；（7）所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。

2.公式C0=S0[N（d1）]-X[N（d2）]或=S0[N（d1）]-PV（X）[N（d2）]其中：d1={ln（S0/X）+[]t}/或=ln[S0/PV（X）]/+（/2）d2=d1-式中：C0-看涨期权的当前价值；S0-标的股票的当前价格；N（d）-标准正态分布中离差小于d的概率；X-期权的执行价格；e-自然对数的底数，约等于2.7183；r c-连续复利的年度的无风险报酬率；t-期权到期日前的时间（年）；In（S0÷X）-的自然对数；-连续复利的以年计的股票回报率的方差。

【手写板】3.参数估计（1）无风险利率的估计①期限要求：无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券利率。

如果没有相同时间的，应选择时间最接近的国库券利率。

②这里所说的国库券利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期收益率），而不是票面利率。

③模型中的无风险利率是按连续复利计算的利率，而不是常见的年复利。

连续复利假定利息是连续支付的，利息支付的频率比每秒1次还要频繁。

【手写板】如果用F表示终值，P表示现值，r c表示连续复利率，t表示时间（年）；则：【手写板】前【教材例7-13】沿用[例7-10]的数据，某股票当前价格50元，执行价格52.08元，期权到期日前的时间为0.5年。

每年复利一次的无风险利率4%，相当连续复利的无风险利率r c=ln（1.04）=3.9221%。

【教材例7-14】假设t=1年，F=104元，P=100元，则：r c=ln（104/100）÷1=ln（1.04）÷1=3.9221%【提示】严格来说，期权估值中使用的利率都应当是连续复利，包括二叉树模型和BS模型。

Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。

该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。

Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。

它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。

Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。

Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。

它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。

2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。

3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。

通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。

4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。

然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。

2
当时，该模型是为了解决金融衍生品，特别是期 权定价的问题而建立的。
3
金融衍生品是一种金融合约，其价值取决于其他 金融资产或指标。
模型发展历程
布莱克斯克尔斯模型的发展得益于许多重要的突破，其 中包括
无套利原则：模型利用无套利原则，这意味着在市场上 不能通过买卖资产来赚取无风险利润。
欧式期权定价：该模型适用于欧式期权，即只能在到期 日行使的期权。
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研究前景展望
随着金融市场的不断发展和全球化进程的加速，布莱克斯克尔斯期权定价模型的应用前景将更加广泛 。例如，在跨境资本流动、国际金融市场分析以及企业风险管理等领域，布莱克斯克尔斯模型都有着 广泛的应用前景。
随着金融创新和科技进步的不断推进，未来的研究也可以探索将布莱克斯克尔斯模型与其他金融理论 和模型相结合，以得到更加全面和准确的金融市场分析和风险管理方法。例如，可以将布莱克斯克尔 斯模型与风险管理、投资组合优化等理论相结合，以得到更加全面和实用的金融解决方案。
与随机波动率模型的比较
总结词
考虑了波动率随机性，但模型更加复杂。
详细描述
相比于随机波动率模型，布莱克斯克尔斯模型能够更好地刻画波动率的随机性和 自相关性，从而更准确地预测金融衍生品价格的变动。但是，这也使得模型的数 学表达式更加复杂，需要更多的计算资源和更精细的数值计算技术。
与跳跃扩散模型的比较
总结词
考虑了价格跳跃，但跳跃参数难以确定。
详细描述
跳跃扩散模型相比于布莱克斯克尔斯模型，能够更好地刻画金融衍生品价格的 跳跃行为，从而更准确地预测价格变动。但是，跳跃扩散模型的参数更加难以 确定，需要更多的历史数据和更精细的统计方法。
06

（三）布莱克—斯科尔斯期权定价模型（BS模型）1.假设（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不作其他分配；（2）股票或期权的买卖没有交易成本；（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；（4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；（5）允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金；（6）看涨期权只能在到期日执行；（7）所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。

2.公式C0=S0[N（d1）]-X[N（d2）]或=S0[N（d1）]-PV（X）[N（d2）]其中：d1={ln（S0/X）+[r c+（σ2/2）]t}/σ或=ln[S0/PV（X）]/ σ+（σ/2）d2=d1-σ式中：—看涨期权的当前价值；—标的股票的当前价格；N（d）—标准正态分布中离差小于d的概率；X—期权的执行价格；e—自然对数的底数，约等于2.7183；—连续复利的年度的无风险报酬率；t—期权到期日前的时间（年）；In（）—的自然对数；σ2—连续复利的以年计的股票回报率的方差。

3.参数估计（1）无风险利率的估计①期限要求：无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券利率。

如果没有相同时间的，应选择时间最接近的国库券利率。

②这里所说的国库券利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期收益率），而不是票面利率。

③模型中的无风险利率是按连续复利计算的利率，而不是常见的年复利。

连续复利假定利息是连续支付的，利息支付的频率比每秒1次还要频繁。

如果用F表示终值，P表示现值，表示连续复利率，t表示时间（年）；则：F=PP=F即：=In（F/P）/t前【教材例7-13】沿用[例7-10]的数据，某股票当前价格50元，执行价格52.08元，期权到期日前的时间为0.5年。

每年复利一次的无风险利率4%，相当连续复利的无风险利率r c=ln（1.04）=3.9221%。

【教材例7-14】假设t=1年，F=104元，P=100元，则：r c=ln（104/100）÷1=ln（1.04）÷1=3.9221%【提示】严格来说，期权估值中使用的利率都应当是连续复利，包括二叉树模型和BS模型。

『交易所期权不需要用现金股息来调节。』
购买看涨期权的人不希望股价下跌，然而股息的支付将必 然引起价格下跌。股息越高，价格下跌越多。交易所期权不 需要用现金股息支付来调节。在其它条件都相同的情况下， 支付高额股息的公司的期权费要比支付低额股息的公司的期 权费更低。这是容易理解的，让我们来考虑一个极端的例子， 一个公司宣布支付清算股息并停止经营活动的意图。在支付 股息后，公司的股份就没有价值了，与之相应的看涨期权也 就没有价值了。任何拥有这些看涨期权并在上一个除息日之 前没有执行该期权的人将损失其所有的投资。期权持有者关 注公司股息公告，并且在某些情况下会发现在除息日之前行 执行期作西格玛 (sigma)。』
表现出价格波动的资产适合于进行期权交易。资产的价格波 动性越大，它的期权费就越高。在布莱克－斯科尔斯模型中， 波动率是在期权剩余期间里基础资产预计收益的年标准差。 如同金融学的其他方面，过去发生的不像预计未来将要发生 的那样重要。可以测量出过去的波动率，但对未来的波动率 就只能进行估计。估计的波动率叫做西格玛（sigma），它 是一个不能被直接观察到的变量。
布莱克－ 布莱克－斯科尔斯期权定价模型
模 型 在第五章中我们简要地了解了这个著名 的模型。表6－1又重复列出了该模型。这是 以不支付股息的股票为基础的欧式看涨期权 的基本估价模型。
表6-1
C=SN(d1)-ke-RTN(d2)
布莱克—斯科尔斯权定价模型 布莱克 斯科尔斯权定价模型
（６－１）
其中：d1= In
布莱克－ 布莱克－斯科尔斯模型的假设
我们已经回顾了影响期权费的因素，现在让我们 着眼于模型的假设并看看它们构成了多少与现实的 背离。 1、在期权有效期内股票不支付股息。布莱克 －斯科尔斯模型假设在期权有效期内基础证券不支 付股息。如果你试图建立两个证券的模型，一个不 支付股息而另一个有3%的股息收益，通过模型会预 测到同样的看涨期权期权费，而这结果并没有反应 实际情况。股息越高，看涨期权的期权费就越低， 金融版面上反映出来的关于这两个期权的期权费很 可能也不相同。

Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。

它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。

该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。

此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。

根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。

Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。

d1和d2是通过一系列数学计算得出的。

利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。

它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。

然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。

首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。

其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。

另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。

因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。

此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。

Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。

它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。

该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。

Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。

∞
න

1
2

− 2 Τ2
−
= න
−∞
1
2
2 Τ2
−


• 上面的积分是标准正态变量的分布函数，因此
2 =
− − 2 Τ2
1
−
−

‫ ׬‬
2 −∞
= − − −
2024/10/8
BS公式推导
• 现在我们再对第一个积分进行整理
1
∞
1
∞
1
∞
2
2

+
+
− = 0
2
2


• 可以写成如下形式
1 2 2
+ + =
2
2024/10/8
Delta（希腊字母Δ）
• 定义
• 是期权价值相对于基础资产价格的变动率
• 相当于衡量债券价格利率敏感性的久期
• 公式

=
= 1
• 为BS公式（Black –Scholes Formula）
= 0 1 − − 2
= − −2 − 0 −1
• 其中
2024/10/8
0 = 即期股票价格
= 期权执行价
= 无风险利率
= 股价波动性
= 期权到期时间( − )
2024/10/8
布莱克-斯科尔斯偏微分方程
• 为了导出BS偏微分方程
• 我们构造一个投资组合
• 该组合包括
• Δ 份的股票
• 金额为 Lt 的无风险银行借款
2024/10/8
布莱克-斯科尔斯偏微分方程
• 我们使该组合与一个看涨期权 等值：

金融行业的金融产品定价模型金融行业的金融产品定价模型是指通过一系列的数学和统计方法，对金融产品的价格进行建模和定价的过程。

金融产品的定价对于金融机构和投资者来说非常重要，它直接影响着金融市场的稳定性和经济的发展。

本文将介绍金融行业常用的一些金融产品定价模型。

一、期权定价模型期权是金融市场上常见的一种金融衍生品，它赋予了持有者在未来一定时间内以约定价格购买或出售某个标的资产的权利。

期权的定价模型主要有两个，分别是布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes Model）和考夫曼期权定价模型（Cox-Ross-Rubinstein Model）。

布莱克-斯科尔斯期权定价模型基于一系列假设，如股票价格服从几何布朗运动、利率是恒定的等，通过在二项式模型中构建对冲投资组合，得到对期权价格的理论估计。

这个模型通过对风险中性概率测度的引入，建立了期权价格和各种因素之间的关系，为期权交易提供了重要的参考依据。

考夫曼期权定价模型是一种离散化的方法，它认为股票价格可以在短时间内上涨或下跌，并根据股票价格的波动性和获利概率来评估期权的价格。

考夫曼期权定价模型更加贴近实际市场情况，考虑了离散的时间点和有限的价格变动，因此在金融市场中得到广泛应用。

二、债券定价模型债券是金融市场上的一种债务工具，债券的发行方会向债券持有者承诺在债券到期日支付债券的本金和利息。

债券的定价模型主要有两个，分别是贴现模型（Discounted Cash Flow Model）和收益率曲线模型（Yield Curve Model）。

贴现模型是一种基于现金流的方法，它认为债券的价值等于债券未来现金流的现值。

具体而言，贴现模型使用债券的到期日和到期收益率来计算债券的现值，从而确定债券的价格。

这个模型在实际中广泛使用，尤其是对于固定收益类债券的定价具有较高的准确性。

收益率曲线模型是一种基于债券的收益率曲线来估计债券价格的方法。

债券的收益率曲线反映了不同期限的债券的市场利率，通过对该曲线的拟合和插值，可以获得债券的预期收益率和价格。

欧式看涨期权的下限：c S D XerT 欧式看跌期权的下限：p D XerT S
其中：D表示期权有效期内红利的现值
Sichuan University
一、期权
注： 1、提前执行不付红利美式看涨期权是不明智的。 2、不付红利的美式看跌期权可能提前执行。 3、在红利的影响下，美式看涨期权可能提前执行。
那么，则有： 在第6个月末，该头寸将服从正态分布，均值为60,标准差 为：30√0.5=21.21的正态分布； 在第1年末，该头寸将服从正态分布，均值为70，标准差为 30。
分析：随机变量值在பைடு நூலகம்来某一确定时刻的不确定性（用标准 差来表示）是随着时间长度的平方根增加而增加的。
Sichuan University
3、股价过程是马尔科夫过程等于股票市场的弱有效性。
Sichuan University
二、随机过程
➢（二）标准布朗运动或维纳过程： 变量z是一个随机变量，设一个小的时间间隔长度为Δt，
定义Δz为在Δt时间内z的变化。要使z遵循维纳过程，Δz必须 满足两个基本性质：
性质1：Δz与Δt的关系满足方程式:
2、Put Option: Gives owner the right to sell an asset for a given price on or before the expiration date.
3、 European Option：Gives owner the right to exercise the option only on the expiration date.
所以有： XerT p 。
如果不存在这一关系，则套利者出售期权并将所得收入以 无风险利率进行投资，可以轻易获得无风险收益。

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p XerT N (d 2 ) S N (d1 ) 0.81
思考题
1、造成Black-Scholes期权定价公式估计 的期权价格与市场价格存在差异的原因 有哪些？ ① 计算错误； ② 期权市场价格偏离均衡； ③ 使用的错误的参数； ④ 布莱克——舒尔斯期权定价公式建立 在众多假定的基础上
基本概念
期权 看涨期权与看跌期权 美式期权与欧式期权
模型介绍
基本假设：
1．股价遵循几何布朗运动： 2．允许使用全部所得卖空衍生证券； 3．没有交易费用或税金，且所有证券高度可分； 4．在衍生证券的有效期内没有支付红利； 5．不存在无风险的套利机会； 6．证券交易是连续的，股票价格连续平滑变动； 7．无风险利率r为常数，能够用同一利率借入或贷出资金 8．只能在交割日执行期权。
S 42, X 40, r 0.1, 0.2, T 0.5
S 42, X 40, r 0.1, 0.2, T 0.5
d1 ln(42 ) (0.1 0.5 0.2 2 ) 0.5 40 0.7693 0.2 0.5
) (0.1 0.5 0.2 2 ) 0.5 40 0.6278 0.2 0.5
X ) (r 0.5 2 )T
ln(S
T
d1 T
S—股票现价；X—股票的执行价格；T—期权的有效期限； r—无风险利率；σ—股票价格波动率； N（x）—标准正态分布变量的累积概率分布函数
案例分析与实验
一种还有六个月的有效期的期权，股票 的现价为$42，期权的执行价格为$40， 无风险利率为每年10%，波动率为20%， 即
d2
ln(
Xe rT 40e 0.05 38.049

期权定价理论期权定价理论是衡量期权合约价格的数学模型。

它基于一系列假设和推导出的公式，通过评估期权的相关因素来确定其合理的市场价格。

这些因素包括标的资产价格、期权执行价格、期限、波动率以及无风险利率等。

期权的定价理论中最著名的模型是布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）。

该模型基于以下假设：市场无摩擦，即不存在交易费用和税收；标的资产价格服从连续时间的几何布朗运动；期权可以在任意时间点以市场价格进行买卖。

布莱克-斯科尔斯模型通过以下公式计算欧式期权的价格：C = S0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C是期权的市场价格，S0是标的资产的当前价格，N()是标准正态分布函数，d1和d2分别是两个维度上的标准正态分布变量，X是期权的行权价格，r是无风险利率，T是期权剩余时间。

布莱克-斯科尔斯模型的原理是通过构建组合，使得期权价格与标的资产价格的变动相对冲，从而消除风险。

通过调整组合中的权重，可以确定合理的期权价格。

这一模型在市场上得到广泛应用，被视为期权定价的标准模型之一。

除了布莱克-斯科尔斯模型外，还有其他一些期权定价模型，如考虑股息的期权定价模型、跳跃扩散模型等。

这些模型在不同情况下，可以更准确地预测期权价格。

需要注意的是，期权定价理论是基于一系列假设和前提条件建立的。

市场实际情况中可能存在不符合这些假设的情况，因此实际期权价格可能与模型计算结果存在一定的差异。

此外，期权定价也受到市场供求关系、交易量以及市场情绪等因素的影响。

总之，期权定价理论是一种基于数学模型的方法，用于评估期权合约的合理价格。

布莱克-斯科尔斯模型是最著名的期权定价模型之一，通过构建相对冲抗风险的组合来确定期权价格。

然而，需要注意实际市场中的差异和其他影响因素。

期权定价理论是金融衍生品定价的核心理论之一，它对金融市场的有效运行和风险管理起着重要作用。

期权是一种约定，赋予期权持有人在未来某个特定时间以特定价格买入或卖出某个标的资产的权利，而不是义务。

2020/1/13
9
思考题
1、造成Black-Scholes期权定价公式估计 的期权价格与市场价格存在差异的原因 有哪些？
① 计算错误；
② 期权市场价格偏离均衡；
③ 使用的错误的参数；
④ 布莱克——舒尔斯期权定价公式建立 在众多假定的基础上
思考题
B-S模型只解决了不分红股票的期权定价 问题,那么对于分红股票的期权定价问题 应该如何解决呢？
布莱克-斯克尔斯期权定价模型
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主讲内容
背景知识 基本概念介绍 模型介绍 案例与实验操作 思考题
背景知识
1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学 奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯 特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈 伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发 展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、 债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的 各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合 理定价奠定了基础。
(1)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间 T(即除息日)支付已知红利DT，只需将该红利现值从股票现 价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即 可:S′=S-DT E-rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一 一减去。从而将B-S模型变型得新公式:
C=(S- E-γT N(D1)-L E-γT N(D2)
基本概念
期权 看涨期权与看跌期权 美式期权与欧式期权
模型介绍
基本假设：
1．股价遵循几何布朗运动： 2．允许使用全部所得卖空衍生证券； 3．没有交易费用或税金，且所有证券高度可分； 4．在衍生证券的有效期内没有支付红利； 5．不存在无风险的套利机会； 6．证券交易是连续的，股票价格连续平滑变动； 7．无风险利率r为常数，能够用同一利率借入或贷出资金 8．只能在交割日执行期权。

的值
相互独立。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得:
（6.2）
N
z(T ) z(0) i t i 1
T i
(6.2)式t均值0为0，方差为
（ 是相互独立的 ）
当
时d，z我们就可dt以得到极限的标准布朗运动:
（6.3）
2.普通布朗运动
我们先引入两个概念: 漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
r( f
f S
S )t
布莱克——舒尔斯微分分程
化简为:
f rS f t S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它 适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生 证券的定价。
（二）风险中性定价原理
假设所有投资者都是风险中性的, 那么所有现金流量都可以通过无 风险利率进行贴现求得现值。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的 普通布朗运动:
dx adt bdz
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
（6.4）
(三)伊藤过程 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若
把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的
函数，dx我们a可(以x,从t )公dt式(b6(.x4), 得t )d到z伊藤过程
S f
t
1 2
2 f S 2
2S
2
)dt
f S
Sdz
(6.10)
根据伊藤引理，衍生证券的价格 f 应遵循如
伊藤引理证明: