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第6章 布莱克-斯科尔斯期权定价模型 PPT课件

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金融工程布莱克斯科尔斯莫顿模型.pptx

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基本思路
• 我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资 产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产 收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期 权价格的最根本因素。
• 要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在 了解了股票价格的规律 后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。
4
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13.2收益率的分布 The distribution of the rate
of return 若 x代表从0~T之间以连续复利的收益率,则
ST S0 exT
x = 1 ln ST
T S0
x
m
s2 2
,
s2 T
5
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6
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13.3 预期收益率 The expected return
• 其在一个小的时间间隔△t中，S的变化值△S:
DS mSDt sSDz
• 设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理 可得：
•
在一
：
个小
的时
间
间
隔
中
，
fd的f
变 (化Sf值m△S
f为f:t
1 2
2 f S 2
s
2S
2 )dt
f S
sSdz
Df ( f mS f 1 2 f s 2 S 2 )Dt f sSDz
t S 2
S 2
**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，
它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有

布莱克—舒尔斯定价PPT课件

布莱克—舒尔斯定价PPT课件

简化的模拟式: t 1 S0 1
S1 exp( z) exp(0.15 0.3z)
区间 [0，0.15]
股价个数 0
区间 [1.20,1.35]
股价个数 139
[0.15,0.30]
0
[1.35,1.50] 113
[0.30,0.45]
0
[1.50,1.65] 74
[0.45,[t

z
t ] 2t
13
E[ln(Stt / St )]
t
2 var[ln(Stt / St )]
t
通过计算对数收益序列
ln(Stt / St ),t 1, 2, , m
的均值和方差，再除以时间区间的长度 t ， 就可得资产收益对数的均值和方差。
下界:
38.56 40exp(0.15 0.004 0.31.96 0.004) S2
对于给定的置信水平 ,由标准正态分布表可
确定随机变量z的取值范围(z , z )，把所得取 值的上下界分别代入模拟式中, 即可得出该置 信水平下股票价格的变动范围。
12
估计资产收益对数的均值及其波动性( , )
票价格 )，如果采用正态分布的假定进行模拟
有可能产生负的价格.
8
实际的模拟过程
把整个时段分成若干个小的时间区间，对每 个时间区间递推使用模拟式, 得出资产在整个 时段内价格的一个走势，由此得出资产在期 末的一个价格。
假设需要模拟某股票一年以后的价格及其分布， 按一年有250个工作日算，把一年分成250个 时段, 在每一个时段使用模拟式
利用资产价格的历史数据来估计
Stt St exp(t z t )

第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型

第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型

第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型一、 影响期权价值的主要因素由前面的分析知道决定期权价值（价格）C V 的因素是到期的股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。

但是到期m S 是未知的，它的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。

1)标的股票价格与股票执行价格的影响。

标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。

2）标的股票价格变化范围的影响。

在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。

如下图：)(s f )(1s f)(2s fx s股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。

3）到期时间距离的影响。

距离愈长，股价变动的可能性愈大。

由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期权到期的时间越长，期权的价值就越高。

4）利率的影响。

利率越高，则到期m S 的现值就越低，使得买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。

5）现金股利的影响。

股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。

二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。

2． T 时期内各时段的预期收益率r i 和收益方差σi 保持不变。

3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即在t 1-t 2时段内有： ()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=-股票的年收益率（单利）R 应该是：)3651()3651)(3651()364()365()1()0()2()1()0()365(136521R R R S S S S S S S S R +++===+ 为了简化计算两边同时取自然对数可得：∑=+=+3651)3651()1(t t R In R In 设r ，r 1，r 2，…，r 365为和R ，R 1，R 2，…，R 365相对应的连续复利。

第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型

第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型

第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型一、 影响期权价值的主要因素由前面的分析知道决定期权价值（价格）C V 的因素是到期的股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。

但是到期m S 是未知的，它的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。

1)标的股票价格与股票执行价格的影响。

标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。

2）标的股票价格变化范围的影响。

在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。

如下图： )(s f )(1s f)(2s fx s股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。

3）到期时间距离的影响。

距离愈长，股价变动的可能性愈大。

由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期权到期的时间越长，期权的价值就越高。

4）利率的影响。

利率越高，则到期m S 的现值就越低，使得买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。

5）现金股利的影响。

股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。

二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。

2． T 时期内各时段的预期收益率r i 和收益方差σi 保持不变。

3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即在t 1-t 2时段内有：()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=-股票的年收益率（单利）R 应该是：)3651()3651)(3651()364()365()1()0()2()1()0()365(136521R R R S S S S S S S S R +++===+为了简化计算两边同时取自然对数可得：∑=+=+3651)3651()1(t tR In R In设r ，r 1，r 2，…，r 365为和R ，R 1，R 2，…，R 365相对应的连续复利。

财务成本管理考点：布莱克-斯科尔斯期权定价模型

财务成本管理考点：布莱克-斯科尔斯期权定价模型

财务成本管理考点：布莱克-斯科尔斯期权定价模型财务成本管理考点：布莱克-斯科尔斯期权定价模型财务成本管理考点：布莱克-斯科尔斯期权定价模型1.假设(1)在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配;(2)股票或期权的买卖没有交易成本;(3)短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变;(4)任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金;(5)允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金;(6)看涨期权只能在到期日执行;(7)所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。

3.参数估计(1)无风险利率①期限要求：无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券利率。

如果没有相同时间的，应选择时间最接近的国库券利率。

②这里所说的国库券利率是指其市场利率(根据市场价格计算的到期收益率)，而不是票面利率。

③模型中的无风险利率是按连续复利计算的利率，而不是常见的年复利。

连续复利假定利息是连续支付的，利息支付的频率比每秒1次还要频繁。

4、看涨期权—看跌期权平价定理对于欧式期权，假定看涨期权和看跌期权有相同的执行价格和到期日，则下述等式成立：看涨期权价格C-看跌期权价格P=标的资产的价格S-执行价格的现值PV(X)这种关系，被称为看涨期权-看跌期权平价定理(关系)，利用该等式中的4个数据中的3个，就可以求出另外1个。

5、派发股利的期权定价考虑派发股利的期权定价公式如下：在期权股价时要从股价中扣除期权到期日前所派发的全部股利的现值。

6、美式期权估价(1)美式期权在到期前的任意时间都可以执行，除享有欧式期权的全部权力之外，还有提前执行的优势。

因此，美式期权的价值应当至少等于相应欧式期权的价值，在某种情况下比欧式期权的价值更大。

(2)对于不派发股利的美式看涨期权，可以直接使用布莱克-斯科尔斯模型进行估价。

(3)理论上不适合派发股利的美式看跌期权估价。

但是BS模型有参考价值，误差不大。

考点练习：多选题利用布莱克-斯科尔斯期权定价模型估算期权价值时，下列表述正确的有()。

布莱克-舒尔斯期权定价模型

布莱克-舒尔斯期权定价模型
第三节 期权定价中的希腊字母 第四节 B-S公式的实证研究和应用
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：

BS期权定价模型


2020/1/13
9
思考题
1、造成Black-Scholes期权定价公式估计 的期权价格与市场价格存在差异的原因 有哪些？
① 计算错误；
② 期权市场价格偏离均衡；
③ 使用的错误的参数；
④ 布莱克——舒尔斯期权定价公式建立 在众多假定的基础上
思考题
B-S模型只解决了不分红股票的期权定价 问题,那么对于分红股票的期权定价问题 应该如何解决呢？
布莱克-斯克尔斯期权定价模型
1
主讲内容
背景知识 基本概念介绍 模型介绍 案例与实验操作 思考题
背景知识
1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学 奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯 特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈 伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发 展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、 债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的 各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合 理定价奠定了基础。
(1)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间 T(即除息日)支付已知红利DT，只需将该红利现值从股票现 价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即 可:S′=S-DT E-rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一 一减去。从而将B-S模型变型得新公式:
C=(S- E-γT N(D1)-L E-γT N(D2)
基本概念
期权 看涨期权与看跌期权 美式期权与欧式期权
模型介绍
基本假设：
1．股价遵循几何布朗运动： 2．允许使用全部所得卖空衍生证券； 3．没有交易费用或税金，且所有证券高度可分； 4．在衍生证券的有效期内没有支付红利； 5．不存在无风险的套利机会； 6．证券交易是连续的，股票价格连续平滑变动； 7．无风险利率r为常数，能够用同一利率借入或贷出资金 8．只能在交割日执行期权。

第六章布莱克舒尔斯期权定价模型

第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型一、 影响期权价值的主要因素由前面的分析知道决定期权价值（价格）的因素是到期的股票市场价格和股票的执行价格X 。

但是到期是未知的，它的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。

1)标的股票价格与股票执行价格的影响。

标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。

2）标的股票价格变化范围的影响。

在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。

如下图：)(s f )(1s f)(2s fx s股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。

3）到期时间距离的影响。

距离愈长，股价变动的可能性愈大。

由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期权到期的时间越长，期权的价值就越高。

4）利率的影响。

利率越高，则到期的现值就越低，使得买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。

5）现金股利的影响。

股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。

二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。

2． T 时期内各时段的预期收益率r i 和收益方差σi 保持不变。

3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即在t 1-t 2时段内有： ()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=-股票的年收益率（单利）R 应该是：)3651()3651)(3651()364()365()1()0()2()1()0()365(136521R R R S S S S S S S S R +++===+ 为了简化计算两边同时取自然对数可得：∑=+=+3651)3651()1(t t R In R In 设r ，r 1，r 2，…，r 365为和R ，R 1，R 2，…，R 365相对应的连续复利。

第六章 black-schols期权定价模型


的值
相互独立。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得:
（6.2）
N
z(T ) z(0) i t i 1
T i
(6.2)式t均值0为0，方差为
（ 是相互独立的 ）
当
时d，z我们就可dt以得到极限的标准布朗运动:
（6.3）
2.普通布朗运动
我们先引入两个概念: 漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
r( f
f S
S )t
布莱克——舒尔斯微分分程
化简为:
f rS f t S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它 适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生 证券的定价。
（二）风险中性定价原理
假设所有投资者都是风险中性的, 那么所有现金流量都可以通过无 风险利率进行贴现求得现值。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的 普通布朗运动:
dx adt bdz
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
（6.4）
(三)伊藤过程 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若
把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的
函数，dx我们a可(以x,从t )公dt式(b6(.x4), 得t )d到z伊藤过程
S f
t
1 2
2 f S 2
2S
2
)dt
f S
Sdz
(6.10)
根据伊藤引理，衍生证券的价格 f 应遵循如
伊藤引理证明:

Chapter布莱克休尔斯莫顿期权定价模型精讲

1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确 定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反 响；同年，Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般 化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经 济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地 介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-SM模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。
在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导
出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如
下过程：
dG (G a G 1 2G b 2 )dt G bdz
x t 2 x 2
x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
8
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
f ( f S f 1 2 f 2 S 2 )t f Sz
S
t 2 S 2
S
17
为了消除风险源 z ，可以构建一个包括一单位衍生证 券空头和 f 单位标的证券多头的组合。
S
令 代表该投资组合的价值，则：
f f S x
在 t 时间后，该投资组合的价值变化 为：
f f S S
－0.5)元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值
等于9 元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应 选择适当的 值，使3个月后该组合的价值不变，这意味
着：
11 －0.5=9
=0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头 和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元 还是9元，该组合价值都将等于2.25元。
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由（6.10）可得
x2 b2 2t
(6.10)
E(x2 ) E(b2 2t) b2tE( 2 ) （6.11）
由于 : N(0,1),则 D( ) E[( 0)2] E( 2) 1
由（6.11）得到
E(x2 ) b2t
（6.12）
19 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
▪ 半强式效率市场假说认为， ➢ 证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息 调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已 公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的 证券。
▪ 强式效率市场假说认为， ➢ 不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都 已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”） 对挑选证券都没有用处。
▪ 因此要为期权定价首先必须研究证券价格 的变化过程。目前，学术界普遍用随机过 程来描述证券价格的变化过程。
2 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程
E(wT ) 0, wT wT w0 D(wT ) T
8 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
▪ 证明： N wT wT w0 wi , wi wi wi1 i t i 1
wt t t
（6.1）
这里，wt wt wt1,t : iid N (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（6.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
有效市场
证券收益率单位 时间的标准差，
简称波动率
r(t)
dst st
dt dwt
证券的预期回报与其价格无关。
（6.6）
14 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
五、伊藤引理
3 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
▪ 效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 ▪ 弱式效率市场假说认为，
➢ 证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来 变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超 过平均收益率的收益。
▪ 从式（6.1）和（6.4）可知，在短时间 后t ， x值的变化值为：
xt at b t
▪ 因此，Δxt也具有正态分布特征，其均值 为at，标准差为 b t ，方差为 b2t。同样， 在任意时间长度T后x值的变化也具有正态 分布特征，其均值为aT，标准差为 b T ， 方差为b2T。
12 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
t 2
(6.8)
x a(x,t)t b(x,t)w
17 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
x2 [at b t ]2
3
a2t2 b2 2t 2abt 2
b2 )dt f b dw x
f f (x,t), a a(x,t),b b(x,t)
15 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
证明：将（6.7）离散化
➢ 方差率（Variance Rate）是指，单位时间的方差。
▪ 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。 ▪ 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为
b2，就可得到变量xt的普通布朗运动：
dxt adt bdwt （6.4）
▪ 其中，a和b均为常数，dw遵循标准布朗运动。
11 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
以上得到的随机过程wt，称为维纳过程。 10 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
（二）普通布朗运动
▪ 先引入两个概念：
➢ 漂移率（Drift Rate）是指，单位时间内变量z均值 的变化值。
二、布朗运动
▪ 根据有效市场理论，股价、利率和汇率具 有随机游走性，该特性可以采用维纳过程 （布朗运动），它是马尔科夫过程的一种。
（一）、标准布朗运动 ▪ 对于随机变量w是标准布朗运动，必须具
有两个条件：
1. 在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段 Δt满足
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▪ 满足上述两个条件的随机过程，称为标准 布朗运动，其性质有
E(wt ) 0, D(wt ) t
▪ 当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻 到未来的T时刻）随机变量ΔwT的满足
四、证券价格的变化过程
▪ B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特 例－几何布朗运动来代表股价的波动
证券在单位时间内 以连续复利表示的 期望收益率（又称
预期收益率）
st xt , a(st ,t) st , b(st , t) st
dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
▪ 伊藤引理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO过程表 示为（省略下标t）
dx a(x,t)dt b(x,t)dw （6.7）
▪ 令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以 标的资产x的衍生证券的价格，则f(x,t)的变动过程可以表 示为
df
(f t
f x
a
1 2
2 f x2
▪ 发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。
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▪ 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 （Markov Stochastic Process）来表述。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
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6.1 证券价格的变化过程
▪ 期权定价采用相对定价法
➢ 利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在 关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价 格，
(f f a 1 2 f b2 )dt f b dw
t x 2 x2
x
■
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六、几何布朗运动与对数正态分布
若股票价格服从几何布朗运动
x a(x,t)t b(x,t)w 由（7.1）知 w t
利用泰勒展开，忽略高阶项， f(x,t)可以展开为
f (f t f x 1 2 f x2 ) 2 f xt
t x 2 x2
xt
1 2
2 t
f
2
t2
（6.8）
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➢ 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式 随时间变化的过程。
➢ 如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有 “无后效性”，其未来价格的概率分布只取决 于该证券现在的价格。也就是，通过历史数据 不能预测未来
➢ B-S模型假设标的资产的价格服从几何布朗运 动，它是一种特殊的马尔可夫过程。
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▪ 弱式效率市场假说与马尔可夫过程
➢ 1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市 场假说,该假说认为:
投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，
证券价格能完全反应全部信息； 市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个
均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立 的。
由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值 就收敛为真实值，即 x2 b2t