考研数学一(高等数学)模拟试卷201(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷201 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设f(x)为单调可微函数，g(x)与f(x)互为反函数，且f(2)=4，f’(2)=，f’(4)=6，则g’(4)等于( )．

A．1／4

B．

C．1／6

D．4

正确答案：B

解析：因为g’(4)=1／f’(2)，所以选(B)． 知识模块：高等数学

2． 设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，其导数的图形如图，则f(x)有( )．

A．两个极大点，两个极小点，一个拐点

B．两个极大点，两个极小点，两个拐点

C．三个极大点，两个极小点，两个拐点

D．两个极大点，三个极小点，两个拐点

正确答案：C

解析：设当x＜0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；当x＞0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．当x＜x1时，f’(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f’(x)＜0，则x=x1为f(x)的极大值点；当x∈(x2，0)时，f’(x)＞0，则x=x2为f(x)的极小值点；当x∈(0，x3)时，f’(x)＜0，则x=0为f(x)的极大值点；当x∈(x3，x4)时，f’(x)＞0，则x=x3为f(x)的极小值点；当x＞x4时，f’(x)＜0，则x=x4为f(x)的极大值点，即f(x)有三个极大值点，两个极小值点，又f”(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，Y=f(x)有两个拐点，选(C)． 知识模块：高等数学

3． 设g(x)=∫0xf(u)du，其中f(x)=则g(x)在(0，2)内( )．

A．单调减少

B．无界

C．连续

D．有第一类间断点

正确答案：C

解析：因为f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以g(x)在(0，2)内连续，选(C)． 知识模块：高等数学

4． 设un条件收敛，且=r，则( )．

A．|r|＜1

B．|r|＞1

C．r=－1

D．r=1

正确答案：C

解析：因为un条件收敛，所以级数un一定不是正项或负项级数，故r≤0．若|r|＞1，则=|r|＞1，存在充分大的N，当n＞N时，{|un|}单调增加，un发散，矛盾，故|r|=1，再由r≤0得r=－1，选(C)． 知识模块：高等数学

填空题

5． 设f(x)连续，且

正确答案：1

解析：∫0xtf(x－t)dt=∫x0(x－u)f(u)(－du)=x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du，∫0xarctan(x－t)2dt∫x0arctanu2(－du)=∫0xarctanu2du， 知识模块：高等数学

6． 设∫0yetdt+∫0ycostdt=xy确定函数y=y(x)，则dy／dx=_______．

正确答案：

解析：∫0yetdt+∫0xcostdt=xy两边对x求导得 知识模块：高等数学

7． ∫max{x+2，x2}dx=_______．

正确答案：

解析：max{x+2，x2}当x≤－1时，∫max{x+2，x2}dx=+C1；当－1＜x＜2时，∫max{x+2，x2}dx=+2x+C2；当x≥2时，∫max{x+2，x2}dx=+C3．C1=C2－，C3=C2+，取C2=C，则∫max{x+2，x2}dx 知识模块：高等数学

8． 直线L：绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为_______．

正确答案：∑：x2+y2－z2=1

解析：设M(x，y，z)为旋转曲面∑上的任意一点，该点所在的圆对应与直线L上的点为M0(x0，y0，z)，圆心为T(0，0，z)，由||，得x2+y2=x02+y02．因为M0(x0，y0，z)∈L，所以即x0=1，y0=z，于是曲面方为∑：x2+y2－z2=1． 知识模块：高等数学

9． 设(ay－2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分，则a=_______，b=_______．

正确答案：4，－2

解析：令P(x，y)=ay－2xy2，Q(x，y)=bx2y+4x+3，因为(ay－2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分，=a－4xy，于是a=4，b=－2． 知

识模块：高等数学

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10． 设f(x)连续可导，

正确答案：由∫0xf(x－t)dt∫x0f(u)(－du)=∫0xf(u)du，x→0时，x－ln(1+x)=x－[x－+o(x2)]～x2／2得 涉及知识点：高等数学

11． 设f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+…+anln(1+1256)，其中a1，a2，…，an为常数，且对一切x有|f(x)|≤|ex－1|．证明：|a1+2a2+…+nan|≤1．

正确答案：当x≠0时，由|f(x)|≤|ex－1|得|f(x)／x|≤|ex－1／x|，=a1+2a2+…+nan，且=1，根据极限保号性得|a1+2a2+…+nan|≤1． 涉及知识点：高等数学

12． 设f(x)连续，φ(x)=∫01f(xt)dt，且f(x)／x=A．求φ’(x)，并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．

正确答案：当x≠0时，φ(x)=∫01f(xt)dt=1／xr∫01f(xt)d(xt)1／x∫0xf(u)du，φ’(x)=1／x2[xf(x)－∫0xf(u)du]．当x=0时，φ(0)=∫01f(0)dt=0，所以φ’(x)在x=0处连续． 涉及知识点：高等数学

13． 设0＜a＜b，证明：

正确答案：首先证明方法一因为(b2+a2)(lnb－lna)－2a(b－a)＞0，所以令f(x)=(x2+a2)(lnx－lna)－2a(x－a)，f(a)=0，f(x)＞0(x＞a)，因为b＞a，所以f(b)＞f(a)=0，方法二令f(x)=lnx，则存在ξ∈(a，b)，使得=1／ξ，其中0＜a＜ξ＜b，则 涉及知识点：高等数学

14． 设k为常数，方程kx－+1=0在(0，+∞)内恰有一根，求k的取值范围．

正确答案：令f(x)=kx－+1，f’(x)=k+，x∈(0，+∞)．(1)若k＞0，由＞0，所以原方程在(0，+∞)内恰有一个实根；(2)若k=0，f(x)=1＞0，又f’(x)=1／x2＞0，所以原方程也恰有一个实根；又f”(x)=－2／x3＜0，所以f(x0)=1－2为f(x)的最大值，令1－2=0，得k=－1／4，所以k的取值范围是{k|k=－1／4或k≥0}． 涉及知识点：高等数学

15． 计算∫01

正确答案： 涉及知识点：高等数学

16． 设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，∫01f(x)dx=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．

正确答案：因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)=0，φ(1)=∫01f(x)dx=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=，所以∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)． 涉及知识点：高等数学

设f(x)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f’(0)=2．

17． 证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)]；

正确答案：令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)－F(0)=F’(θx)x，即∫0xf(t)dt+∫0－xf(f)dt=x[f(θx－f(－θx)]． 涉及知识点：高等数学

18．

正确答案：令θ=A，由∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)]，得

涉及知识点：高等数学

19． 设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0．证明：∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx．

正确答案：由f(a)=0，得f(x)－f(a)=f(x)=∫axf’(t)dt，由柯西不等式得f2(x)=(∫axf’(t)dt)2≤∫ax12dt∫axf’2(t)dt≤(x－a)∫abf’2(x)dx积分得If2(x)dx≤∫ab(x－a)dx．∫abf’2(x)dx=∫abf’2(x)dx 涉及知识点：高等数学

20． 已知二元函数f(x，y)满足且f(x，y)=g(u，v)，若=u2+v2，求a，b．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

21． 计算I=dxdy，其中D={(x，y)|－1≤x≤1，0≤y≤2}．

正确答案：令D1={(x，y)|－1≤x≤1，0≤y≤x2}，D2={(x，y)|－1≤x≤1，x2≤y≤2}， 涉及知识点：高等数学

22． 设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：

正确答案：等价于∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx≥∫01f(xdx∫01xf2(x)dx，等价于∫01f2(x)dx∫01yf(y)dy≥∫01f(x)dx∫01fy2(y)dy，或者∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)－f(y)]dy≥0令I=∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)－f(y)]dy，根据对称性，I=∫01dx∫01xf(x)f(y)[f(y)－f(x)]dy，2I=∫01dx∫01f(x)f(y)(y－x)[f(x)－f(y)]dy，因为f(x)＞0且单调减少，所以(y－x)[f(x)－f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0， 涉及知识点：高等数学