考研数学一(高等数学)模拟试卷199(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷199 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． f(x)在x0处可导，则|f(x)|在x0处( )。

A．可导

B．不可导

C．连续但不一定可导

D．不连续

正确答案：C

解析：由f(x)在x0处可导得|f(x)|在x0处连续，但|f(x)|在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但|f(x)|=|x|在x=0处不可导，选(C)． 知识模块：高等数学

2． 设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)=0，且f”(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为( )．

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

正确答案：B

解析：因为f’(a)=0，且f”(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x－a)+f”(ξ)／2!(x－a)2≥f(a)+(x－a)2，其中ξ介于a与x之间．而(x－a)2=+∞，故f(x)=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f’(a)=0，且f”(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)． 知识模块：高等数学

3． 设F(x)=∫xx+2πesintsintdt，则F(x)( )．

A．为正常数

B．为负常数

C．为零

D．取值与x有关

正确答案：A

解析：由周期函数的平移性质，F(x)=∫xx+2πesintsintdt=∫－ππesintsintdt，再由对称区间积分性质得F(x)=∫0π(esintsint－e－sintsint)dt=∫0π(esint－e－sint)sintdt，又(esint－e－sint)sint连续、非负、不恒为零，所以F(x)＞0，选(A)． 知识模块：高等数学

填空题

4． 设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)=1，则

正确答案：0

解析：－1～1／2f2(x)，∫0xlncos(x－t)dt=－∫0xlncosc(x－t)d(x－t)=∫x0lncosudu=∫0xlncosudu， 知识模块：高等数学

5．

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

6．

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

7． 两异面直线L1：之间的距离为_______．

正确答案：7

解析：s1={4，－3，1}，s2={－2，9，2}，n={4，－3，1}×{－2，9，2}={－15，－10，30}，过直线L2且与L1平行的平面方程为π：－15x－10(y+7)+30(z－2)=0，即π：3x+2y－6z+26=0， 知识模块：高等数学

8． 设f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f’1(1，2)=1，f’2(1，2)=4，则f(1，2)=_______．

正确答案：3

解析：f(tx，ty)=t3f(x，y)两边对t求导数得xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=3t2f(x，y)，取t=1，x=1，y=2得f’1(1，2)+2f’2(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3． 知识模块：高等数学

9．

正确答案：2(1－ln2)

解析：令S(x)=xn+1(－1＜x＜1)， 知识模块：高等数学

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

11． 设a1n=1，当n≥1时，an+1=，证明：数列{an}收敛并求其极限．

正确答案：令f(x)=＞0(x＞0)，所以数列{an}单调．又因为a1=1，0≤an+1≤1，所以数列{an}有界，从而数列{an}收敛，令an=A，则有 涉及知识点：高等数学

12．

正确答案：xx－(sinx)x当x→0时，1－(sinx／x)x 涉及知识点：高等数学

13． 证明：当x＞0时，(x2－1)lnx≥(x－1)2．

正确答案：令φ(x)=(x2－1)lnx－(x－1)2，φ(1)=0．φ’(x)=2xlnx－x+2－，φ’(1)=0．φ”(x)=2lnx+1+，φ”(1)=2＞0．故x=1为φ”(x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为φ”(1)=2＞0，故φ”(x)＞0(x＞0)．故x=1为φ(x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为φ(1)=0，所以x＞0时，φ(x)≥0，即(x2－1)lnx≥(x－1)2． 涉及知识点：高等数学

14． 设a＞0，讨论方程aex=x2根的个数．

正确答案：aex=x2等价于x2e－x－a=0．令f(x)=x2e－x－a，由f’(x)=(2x－x2)e－x=0得x=0，x=2．当x＜0时，f’(x)＜0；当0＜x＜2时，f’(x)＞0；当x＞2时，f’(x)＜0，于是x=0为极小值点，极小值为f(0)=－a＜0；x=2为极大值点，极大值为f(2)=f(x)=－a＜0．(1)当－a＞0，即0＜a＜4／e2时，方程有三个根；(2)当－a=0，即a=4／e2时，方程有两个根．(3)当－a＜0，即a＞4／e2时，方程只有一个根． 涉及知识点：高等数学

设平面曲线L上一点M处的曲率半径为ρ，曲率中心为A，AM为L在点M处的法线，法线上的两点P，Q分别位于L的两侧，其中P在AM上，Q在AM的延长线AN上，若P，Q满足|AP|．|AQ|=ρ2，称P，Q关于L对称．设L：y=x2／2，P点的坐标为(1／2，1)．

15． 求点M，使得L在M点处的法线经过点P，并写出法线的参数方程；

正确答案：设点M(x，y)∈L，则解得x=1，所以M的坐标为(1，1／2)． 涉及知识点：高等数学

16． 求点P关于L的对称点Q的坐标．

正确答案：y’=x，y”=1，曲率曲率中心为A(－1，5／2)，由|AP|．|AQ|=ρ2，解得t=－2／3，t=14／3(舍去)，则Q的坐标为(5／3，－1／6)． 涉及知识点：高等数学

17． 设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=1／2arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．

正确答案：由∫x2xtf(2x－t)dt∫2xx(2x－u)f(u)(－du)=∫x2x(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=1／2arctanx2，等式两边对x求导得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)+xf(x)=，整理得2∫x2xf(u)du－xf(x)=取x=得2∫122f(u)du－f(1)=1／2，故∫12f(x)dx=3／4． 涉及知识点：高等数学

18． 设f(x)连续，∫0xtf(x－t)dt=1－cosx，求∫0π／2f(x)dx．

正确答案：由∫0xtf(x－t)dt∫x0(x－u)f(u)(－du)=∫0x(x－u)f(u)du=x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du，得x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du=1－cosx，两边求导得∫0xf(u)du=sinx，令x=π／2得∫0π／2f(x)dx=1． 涉及知识点：高等数学

19． 设f(x)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)=0，令|f’(x)|=M．证明：|∫0af(x)dx|≤a2／2M．

正确答案：由微分中值定理得f(x)－f(0)=f’(ξ)x，其中ξ介于0与x之间，因为f(0)=0，所以|f(x)|=|f’(ξ)x|≤Mx，x∈[0，a]，从而|∫0af(x)dx|≤∫0a|f(x)|dx≤∫0aMxdx=a2／2M． 涉及知识点：高等数学

20． 设二元函数f(x，y)=|x－y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．

正确答案：(必要性)设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f’y(0，0)，f’y(0，0)存在．所以φ(0，0)=0．(充分性)若φ(0，0)=0，则f’x(0，0)=0．f’y(0，0)=0．即f(x，y)在点(0，0)处可微． 涉及知识点：高等数学

21． 已知f(x，y)=，设D为由x=0、y=0及x+y=t所围成的区域，求F(t)=f(x，y)dxdy．

正确答案：当t＜0时，F(t)=0；当0≤t＜1时，F(t)=1dxdy=1／21／t2；当1≤t＜2时，F(t)=f(x，y)dxdy=1－(2－t)2； 涉及知识点：高等数学

22． 设f(x)为连续函数，计算+yf(x2+y2)]dxdy，其中D是由y=x3，y=1，x=－1围成的区域．

正确答案：设f(x)的一个原函数为F(x)，则 涉及知识点：高等数学

23． 在变力F={yz，xz，xy}的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面=1上第一卦限的点M(ξ，η，ζ)，问ξ，η，ζ取何值时，F所做的功最大?求最大的功．

正确答案：设原点O到点M(ξ，η，ζ)的直线为L，L的参数方程为W=∫Lyzdx+xzdy+xydz=∫013ξηζt2dt=ξηζ当点M的坐标为()时，力F所做的功最大，且最大功为abc． 涉及知识点：高等数学

24． 设an＞0(n=1,2，…)且{an}n=1∞单调减少，又级数(－1)nan发散，判断(1／1+an)n的敛散性．

正确答案：因为{an}n=1∞单调减少且an＞0(n=1，2，…)，所以an=A，由(－1)nan发散，得A＞0．根据正项级数的根值审敛法，由 涉及知识点：高等数学

设f(x)的一个原函数为F(x)，且F(x)为方程xy’+y=ex的满足y(x)=1的解．

25． 求F(x)关于x的幂级数；

正确答案：由xy’+y=ex得=ex／x，解得因为y(x)=1，所以C=－1，于是

涉及知识点：高等数学

26．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

27． 将函数f(x)=2+|x|(－1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并求级数1／n2的和．

正确答案：显然函数f(x)是在[－1，1]上满足收敛定理的偶函数，则a0=2∫01f(x)dx=5，an=2∫01f(x)cosnπxdx=2／n2π2[(－1)n－1](n=1，2，…)，bn=0(n=1，2，…)，又f(x)∈C[－1，1]，所以2+|x|=cos(2n+1)πx(－1≤x≤1)令x=0得 涉及知识点：高等数学

28． 设有微分方程y’－2y=φ(x)，其中φ(x)=，在(－∞，+∞)求连续函数y(x)，使其在(－∞，1)及(1，+∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0．

正确答案：当x＜1时，y’－2y=2的通解为y=C1e2x－1，由y(0)=0得C1=1，y=e2x－1；当x＞1时，y’－2y=0的通解为y=C2e2x，根据给定的条件，y(1+0)=C2e2=y(1－0)=e2－1，解得C2=1－e－2，y=(1－e－2)e2x，补充定义y(1)=e2－1，则得在(－∞，+∞)内连续且满足微分方程的函数 涉及知识点：高等数学