考研数学一(高等数学)模拟试卷101(题后含答案及解析)
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考研数学一（高等数学）模拟试卷101 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设x→x0时，f(x)不是无穷大量，则下述结论正确的是( )
A．当x→x0时，g(x)是无穷小量，则f(x)g(x)必是无穷小量．
B．当x→x0时，g(x)不是无穷小量，则f(x)g(x)必不是无穷小量．
C．设在x=x0的某邻域g(x)无界，则当x→x0时，f(x)g(x)必是无穷大量．
D．设在x=x0的某邻域g(x)有界，则当x→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大量．
正确答案：D
解析：(反例排除法)取f(x)=，当x→0时，f(x)是无界的，不是无穷大量；取g(x)=x，当x→0时，g(x)是无穷小量，但不存在，排除A．取f(x)=x2，g(x)=，当x→0时，f(x)不是无穷大量，g(x)不是无穷小量，且在x=0的某邻域无界，但，排除B、
C． 知识模块：高等数学
2． 设函数f(x)=则x=1是f(x)的( )
A．连续点．
B．可去间断点．
C．无穷间断点．
D．跳跃间断点．
正确答案：B
解析：因为所以x=1是f(x)的可去间断点． 知识模块：高等数学
3． 设f(x)在点x0处不可导，g(x)在点x0处可导，则下列4个函数中在点x0处肯定不可导的是( )
A．f(x)+g(x)．
B．f(x)g(x)．
C．f2(x)．
D．f[g(x)]．
正确答案：A
解析：(推理法) 设f(x)+g(x)在点x0处可导，则f(x)=[f(x)+g(x)]-g(x)也在点x0处可导，与f(x)在点x0处不可导矛盾．所以f(x)+g(x)在点x0处肯定不可导． 知识模块：高等数学
4． 设f(x)在x=x0的某一邻域内具有四阶导数，f’(x0)=f’’(x0)=f’’(x0)=0，且f(4)(x0)＞0，则下列选项中正确的是( )
A．x0是f(x)的极大值点．
B．x0是f(x)的极小值点．
C．(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．
D．x0不是f(x)的极值点，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点．
正确答案：B
解析：将f(x)在x0点展开成四阶泰勒公式在x0的某一去心邻域内，，从而f(x)-f(x0)＞0，即f(x)＞f(x0)，故f(x0)是f(x)的极小值，即x0是f(x)的极小值点，故应选
B． 知识模块：高等数学
5． 设f(x)的一个原函数为arcsinx，则f(x)的导函数为( )
A．
B．sinx．
C．xarcsinx．
D．
正确答案：D
解析：因为f(x)的一个原函数为arcsinx，所以 知识模块：高等数学
6． 等于( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：本题主要考查凑微分法与分部积分法． 知识模块：高等数学
7． 曲线y=sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2+y2=2的周长的( )
A．1倍．
B．2倍．
C．3倍．
D．4倍．
正确答案：A
解析：设s1为曲线y=sinx的一个周期的弧长，s2为椭圆2x2+y2=2的周长，由弧长计算公式，有将椭圆2x2+y2=2化为参数方程则由参数方程表示下面曲线的弧长计算公式，有从而s1=s2. 知识模块：高等数学
8． 设函数f(x，y)为可微函数，且对任意x，y都有f’x(x，y)＞0，f’y(x，y)＜0，则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是( )
A．x1＞x2，y1＜y2．
B．x1＞x2，y1＞y2．
C．x1＜x2，y1＜y2．
D．x1＜x2，y1＞y2．
正确答案：D
解析：由f’x(x，y)＞0得当y固定时，f(x，y)对x是单调增加的；由f’y(x，y)＜0得当x固定时，f(x，y)对y是单调减少的． 于是当x1＜x2时，f(x1，y1)＜f(x2，y1)；当y1＞y2时，f(x2，y1)＜f(x2，y2). 综上所述，当x1＜x2，y1＞y2时，f(x1，y2)＜f(x2，y2)． 知识模块：高等数学
9． 极坐标下的二次积分可写成( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：这是一个将极坐标下的二次积分转化为直角坐标下的二次积分问题，应根据极坐标下的二次积分画出积分区域图，根据积分区域图化为直角坐标下的二次积分．由r=2sinθ，得r2=2rsinθ，其直角坐标方程为x2+y2=2y，又0≤θ≤，故积分区域D为以(0，1)为圆心，半径为1的右半圆．在直角坐标下，X型区域可表示为Y型区域可表示为 D={(x，y)｜0≤y≤2，0≤x≤}，故应选
C． 知识模块：高等数学
10． 已知曲线L：x=y2(0≤y≤)，则∫Lyds=( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：这是一个平面曲线上对弧长的曲线积分的计算问题，其计算方法是转化为定积分．利用计算公式，有 知识模块：高等数学
11． 设级数收敛，则必收敛的级数为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：(推理法) 因为级数收敛，由级数的性质知，收敛．故应选
D． 知识模块：高等数学
12． 幂级数的和函数为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：令s(x)=，s(0)=1，等式两边求导得所以和函数s(x)满足方程s’(x)+s(x)=ex两边乘以ex，得 [s(x)ex]’=e2x，两边积分，得 s(x)ex=e2x+C，由s(0)=1，得C= 知识模块：高等数学
13． 已知微分方程y’’-6y’+9y=e2x的积分曲线y=y(x)经过原点，且在原点的切线平行于直线6x-3y+2=0，则该积分曲线的方程为( )
A．y=x2e2x+sin2x．
B．y=(x2cosx+sin 2x)e3x．
C．y=sin2x．
D．y=(x+4)e3x．
正确答案：D
解析：因为积分曲线y=y(x)过原点，所以y(0)=0；又在原点处的切线平行于直线6x-3y+2=0，由导数的几何意义知，y’(0)=2．故本题就是求微分方程
y’’-6y’+9y=e2x满足初始条件y(0)=0，y’(0)=2的特解． 首先求y’’-6y’+9y=0的通解．特征方程为r2-6r+9=0，特征根为r1=r2=3，所以其通解为y=C1e3x+C2xe3x． 其次求y’’-6y’+9y=e3x的一个特解．因为3为特征方程的二重根，所以设y*=Ax2e3x为其特解形式，求导得y’*=2Axe3x+3Ax2e3x，y’’*=2Ae3x+12Axe3x+9Ax2e3x，将y*，y’*，y’*代入到y’’-6y’+9y=e3x并化简，得A=x2e3x．写出y’’-6y+9y=e3x的通解，为y=C1e3x+C2xe3x+x2e3x．求导得
y’=3C1e3x+C2e3x+3C2xe3x+xe3x2+x2e3x，由y(0)=0，y’(0)=2得从而C1=0，C2=2．故所求积分曲线方程为y=2xe3x+x2e3x=(x+4)e3x． 知识模块：高等数学
填空题
14． =_____.
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
15． 设f(x)=，则f(x)的连续区间是_______．
正确答案：(-∞，0)∪(0，+∞)
解析：其连续区间为(-∞，0)∪(0，+∞)． 知识模块：高等数学
16． 设曲线y=ax2与y=ln2x相切，则切点坐标为_______．
正确答案：
解析：设切点坐标为(x0，y0)，则则y0=ln2x0=．故所求切点坐标为(x0，y0)=
知识模块：高等数学
17． 曲线的渐近线的条数为______．
正确答案：2
解析：因为所以y=1是曲线的水平渐近线，从而无斜渐近线．因为所以x=-1是曲线的铅直渐近线． 知识模块：高等数学
18． =______.
正确答案：
解析：由于被积函数中的arctan ex不易积出，故可考虑用变量代换方法．令arctan ex=t，则ex=tan t，x=ln tan t．从而 知识模块：高等数学
19． 设f(2x+1)=xex，则=_______.
正确答案：
解析：令t=2x+1，则 知识模块：高等数学
20． 已知两条直线的方程是L1：，则过L1且平行于L2的平面方程为_______．
正确答案：x-3y+z+2=0
解析：过L1平行于L2的平面的法向量n同时垂直于L1，L2，即n同时垂直于L1的方向向量s1=(1，0，-1)与L2的方向向量s2=(2，1，1)，故n=s1×s2==i-3j+k=(1，-3，1)．在L1上取一点(1，2，3)，由平面的点法式方程知，所求平面方程为 (x-1)-3(y-2)+(z-3)=0， 即x-3y+2+2=0． 知识模块：高等数学
