考研数学一(高等数学)模拟试卷120(题后含答案及解析)
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考研数学一（高等数学）模拟试卷120 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． =
A．0．
B．－∞．
C．+∞．
D．不存在但也不是∞．
正确答案：D
解析：因为et=+∞，et=0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选(D)． 知识模块：高等数学
2． 设f(x)=x－sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的
A．高阶无穷小．
B．低价无穷小．
C．同阶非等价无穷小．
D．等价无穷小．
正确答案：C
解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选(C)． 知识模块：高等数学
填空题
3． 设有定义在(－∞，+∞)上的函数：(A)f(x)= (B)g(x)=(C)h(x)=
(D)m(x)=则(I)其中在定义域上连续的函数是____________；(II)以x=0为第二类间断点的函数是____________．
正确答案：(I)B(Ⅱ)D
解析：(I)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=，其中g(x)在(－∞，0]连续h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(－∞，0])f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．(B)中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx－1)｜x=0，又sinx，cosx－1均连续g(x)在x=0连续．因此，(B)中的g(x)在(－∞，+∞)连续．应选(B)．(Ⅱ)关于(A)：由x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由e≠h(0)=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选(D)．或直接考察(D)．由=+∞x=0是m(x)的第二类间断点． 知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4． 判断下列结论是否正确，并证明你的判断．(I)若xn＜yn(n＞N)，且存在极限xn=A，yn=B，则A＜B；(II)设f(x)在(a，b)有定义，又c∈(a，b)使得极限f(x)=A，则f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若f(x)=∞，则δ＞0使得当0＜｜x－a｜＜δ时有界．
正确答案：(I)不正确．在题设下只能保证A≤B，不能保证A＜
B．例如，xn=，则xn＜yn，而yn=0．(Ⅱ)不正确．这时只能保证：点c的一个空心邻域U0(c，δ)=｜x｜0＜｜x－c｜＜δ｜使f(x)在U0(c，δ)中有界，一般不能保证f(x)在(a，b)有界．例如：f(x)=， (a，b)=(0，1)，取定c∈(0，1)，则在(0，1)无界．(Ⅲ)正确．因为=0，由存在极限的函数的局部有界性δ＞0使得当0＜｜x－a｜＜δ时有界． 涉及知识点：高等数学
5． 设f(x)=又a≠0，问a为何值时f(x)存在．
正确答案：f(0+0)==π，f(0－0)==1.a.1=a(a≠0)，由f(0+0)=f(0－0)，得a=π．因此，当且仅当a=π时，存在f(x)=π．
解析：分别求右、左极限f(0+0)与f(0－0)，由f(0+0)=f(0－0)定出a值． 知识模块：高等数学
6． 证明：(I)不存在；(Ⅱ)设f(x)=，则f(x)不存在．
正确答案：(I)取xn=，yn=，则均有xn→0，yn→0(n→∞)，但=1，因此不存在．(II)已知f(x)=，其中g(x)=cost2dt，由于cosx2=1≠0，而不存在，所以不存在． 涉及知识点：高等数学
7． 求w=
正确答案：这是求型极限，用相消法，分子、分母同除以(ex)2得 w==0×2=0．其中=0(用洛必达法则)． 涉及知识点：高等数学
8． 求极限w=
正确答案：w==2.e20=2e． 涉及知识点：高等数学
9． 求下列极限：(Ⅰ)w=(II)w=
正确答案：(I)注意x→0时，1－cos(xx4，ex4－1～x4w==4．(II)因为～2x.x3(x→0)，ln(1+2x3)～2x3(x→0)，所以w= 涉及知识点：高等数学
10． 求w=
正确答案：属型．先作恒等变形然后用等价无穷小因子替换：x→0时 sin3x～
x3，ln(1+～x2～sin2x，于是 w=最后用洛必达法则得w=2 涉及知识点：高等数学
11． 求w=
正确答案：属∞－∞型．先通分化成型未定式，则有w=直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到 [ln(x+，从而=1．这表明ln(x+)～x(x→0)．因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用ln(1+x)～x(x→0)就有 涉及知识点：高等数学
12． 求w=
正确答案：由于，而或者 ln(x→0)，若用该等价无穷小因子替换(可简化计算)，则有因此w= 涉及知识点：高等数学
13． 求下列极限f(x)：(I)f(x)=(Ⅱ)f(x)=
正确答案： 涉及知识点：高等数学
14． 求数列极限w=－1)
正确答案：由lnn (n→∞)．用等价无穷小因子替换得w=lnn．引入函数f(x)=(x＞0)，则w==0． 涉及知识点：高等数学
15． 设xn=，求xn．
正确答案：作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小．注意，已知=1，于是=1因此xn=1． 涉及知识点：高等数学
16． 求数列极限：(I)(M＞0为常数)； (II)设数列｜xn｜有界，求
正确答案：(I)存在自然数k，k≥M，使1＞＞…，当n＞k时，有即当n＞k时，有0＜是常数，且=0，由夹逼定理知=0．(II)由于｜xn｜有界，故M＞0，对一切n有｜xn｜≤M．于是0＜n)，由题(I)的结论及夹逼定理知=0． 涉及知识点：高等数学
17． 设f(x)在[0，1]上连续，求xnf(x)dx．
正确答案：因为xndx=，且连续函数｜f(x)｜在[0，1]存在最大值记为M，于是又=0，则xnf(x)dx=0． 涉及知识点：高等数学
18． 设a1＞0，an+1=(n=1，2，…)，求an．
正确答案：显然，0＜an＜3(n=2，3，…)，于是｜an｜有界．令f(x)=，则
an+1=f(an)，f′(x)=＞0 (x＞0) ．于是f(x)在x＞0单调上升，从而｜an｜是单调有界的，故极an存在．令an=A，对递归方程取极限得A=，解得A=．因此an=． 涉及知识点：高等数学
19． 设x1=2，xn+1=2+，n=1，2，…，求xn．
正确答案：令f(x)=2+，则x=n+1=f(xn)．显然f(x)在x＞0单调下降，因而由上面的结论可知｜xn｜不具单调性．易知，2≤xn≤．设xn=a，则由递归方程得a=2+，即a2－2a－1=0，解得a=，则由a≥2知a=+1＞2．现考察｜xn+1－a｜=｜xn－a｜，因此，xn=a=+1． 涉及知识点：高等数学
20． 求w=
正确答案：x→0时，t=(1+x)x－1→0，则(1+x)x－1=t－ln(1+t)=ln(1+x)x=xln(1+x)，于是用等价无穷小因子替换得w==1． 涉及知识点：高等数学
21． 设f(x)=(I)若f(x)处处连续，求a，b的值；(II)若a，b不是(I)中求出的值时f(x)有何间断点，并指出它的类型．
正确答案：(I)首先求出f(x)．注意到故要分段求出f(x)的表达式．当｜x｜＞1时，f(x)=当｜x｜＜1时，f(x)==ax2+bx．于是得其次，由初等函数的连续性知f(x)分别在(－∞，－1)，(－1，1)，(1，+∞)上连续．最后，只需考察f(x)在分界点x=±1处的连续性．这就要按定义考察连续性，分别计算：从而f(x)在x=1连续f(1+0)=f(1－0)=f(1)a+b=1=(a+b+1)a+b=1； f(x)在x=－1连续f(－1+0)=f(－1－0)=f(－1)a－b=－1=(a－b－1) a－b=－1．因此f(x)在x=±1均连续a=0，b=1．当且仅当a=0，b=1时f(x)处处连续．(II)当(a，b)≠(0，1)时，若a+b=1(则a－b≠－1)，则x=1是连续点，只有x=－1是间断点，且是第一类间断点；若a－b=－1(则a+b≠1)，则x=－1是连续点，只有间断点x=1，且是第一类间断点；若a－b≠一1且a+b≠1，则x=1，x=－1均是第一类间断点． 涉及知识点：高等数学
22． 求下列极限：(I)w=(II)w=
正确答案：(I)恒等变形：分子、分母同乘，然后再同除x2，得(II)恒等变形：分子、分母同除－x(x＜0，－x=｜x｜=)，得 涉及知识点：高等数学
23． 求下列极限：(I)w=(II)w=
正确答案：(I)先恒等变形，并作等价无穷小因子替换：1－cosx～x(x→0+)，(II)这是求型极限，用洛必达法则得 涉及知识点：高等数学
24． 求下列极限：(I)w=(Ⅱ)w=
正确答案：(I)属∞.0型．可先作恒等变形，然后用等价无穷小因子替换即得w=ln3=ln3，其中ln3(x→∞)．(Ⅱ)属∞.0型．可化为型后作变量替换，接着再用洛必达法则求极限． 涉及知识点：高等数学
25． 求下列极限：(I)w=(Ⅱ)w=
正确答案：(I)属∞.∞型．先化成型未定式，即w=，作等价无穷小因子替换与恒等变形再用洛必达法则即得(II)属∞.∞型．先作变量替换并转化成型未定式，然后用洛必达法则． 涉及知识点：高等数学
26． 求下列极限：(I)w=(arcsinx)tanx；(Ⅱ)w=(Ⅲ)w=(Ⅳ)w=
正确答案：(I)属00型．[tanxln(arcsinx)]=[xln(arcsinx)]因此 w==e0=1．(Ⅱ)属1∞型．用求1∞型极限的方法(limf(x)g(x)=eA，A=limg(x)[f(x)－1])． w==eA，而故w=e2(Ⅲ)属∞0型．＝－1因此w=e－1．(Ⅳ)属∞0型．利用恒等变形及基本极=1可得w==1.20=1． 涉及知识点：高等数学
27． 求w=
正确答案：属型．先用等价无穷小关系arctan4x～x4(x→0)化简分母后再用洛必达法则得 涉及知识点：高等数学
28． 设f(x)在[0，+∞)连续，且满足=1．求w=
正确答案：先作恒等变形转化为求型极限，然后用洛必达法则． 涉及知识点：高等数学
29． (I)设f(x)，g(x)连续，且=1，又φ(x)=0，求证：无穷小g(t)dt (x→a)；(II)求w=ln(1+2sint)dt／[ln(1+2sint)dt]3｝．
正确答案：(I)由(II)因ln(1+2sinx)～2sinx一2x(x→0)，由题(I)2tdt=x2．因此，利用等价无穷小因子替换即得w==1． 涉及知识点：高等数学
30． 已知=2，求a，b之值．
正确答案：原式可改写成=2．由于该式成立，所以必有3－=0，即a=9．将a=9代入原式．并有理化得由此得b=－12．故a=9，b=－12． 涉及知识点：高等数学
31． 确定常数a，b，c的值，使=4．
