考研数学一(高等数学)模拟试卷213(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷213 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设直线L：及平面π：4x一2y+z一6=0，则直线L( )．

A．平行于平面π

B．在平面π上

C．垂直于平面π

D．与平面π斜交

正确答案：C

解析：直线L的方向向量为s=｛1，3，2｝×｛2，－1，－10｝=｛一28，14，一7｝，因为s／／n，所以直线L与平面π垂直，正确答案为(C)． 知识模块：高等数学

2． 设an＞0(n=1，2，…)且收敛，又0＜k＜( )．

A．绝对收敛

B．条件收敛

C．发散

D．敛散性与k有关

正确答案：A

解析：令μn=收敛，所以绝对收敛，选(A)． 知识模块：高等数学

填空题

3． 当x→0时，ex一为x的3阶无穷小，则a=_______，b=________．

正确答案：

解析：由ex=1+x++ο(x3)，=1一bx+b2x2一b3x3+ο(x)3，得=(1+ax)[1一bx+b2x2一b3x3+ο(x3)]=1+(a一b)x+(b2一ab)x2+(ab2一b3)x3+ο(x3)， 知识模块：高等数学

4． 设f(x)一阶可导，且f(0)=f’(0)=1，则=________．

正确答案：2

解析： 知识模块：高等数学

5． =_________．

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

6． 设f(x)是以T为周期的连续函数，且F(x)=∫0xf(t)dt+bx也是以T为周期的连续函数，则b=________．

正确答案：∫0Tf(t)dt

解析：F(x+T)=∫0x＋Tf(t)dt+b(x+T)=∫0xf(t)dt+bx+∫xx＋Tf(t)dt+bT=F(x)+∫xx＋Tf(t)dt+bT=F(x)+∫0Tf(t)dt+bT，由F(x+T)=F(x)，得b=∫0Tf(t)dt． 知识模块：高等数学

7． 由x=zey＋z确定z=z(x，y)，则dz｜(e，0)=________．

正确答案：dz(e，0)=

解析：x=e，y=0时，z=1．x=zey＋z两边关于x求偏导得1=；x=zey＋z两边关于y求偏导得，故dz(e，0)=． 知识模块：高等数学

8． 计算∫01dxdy=________．

正确答案：1一sin1

解析：改变积分次序得∫01=∫01(1－y)sinydy=∫01(y一1)d(cosy)=(y—1)(cosy)=(y－1)cosy｜01一∫01cosydy=1一sin1． 知识模块：高等数学

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9． 当x→0时，(1+xsin2x)a一1～1一cosx，求a的值．

正确答案：由x→0时，(1+xsin2x)a一1～axsin2x～2ax2，1—cosx～x2得

涉及知识点：高等数学

10． 求arctanx．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

11． 求．

正确答案：令f(x)=arctanx，由微分中值定理得 涉及知识点：高等数学

12． 设y=y(x)由x一∫1x＋ye－t2dt=0确定，求｜x=0．

正确答案：x=0时，y=1．x—∫1x＋ye－t2dt=0两边关于x求导得1一=e一1． 涉及知识点：高等数学

13． 设f(x)二阶可导，=1，f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)一

f’(ξ)+1=0．

正确答案：由=1得f(0)=0，f’(0)=1，由拉格朗日中值定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)==1．令φ(x)=e－x[f’(x)一1]，φ(0)=φ(c)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－x[f’’(x)一f’(x)+1]且e－x≠0，故f’’(ξ)一f’(ξ)+1=0． 涉及知识点：高等数学

14． 设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)使=0．

正确答案：令φ(x)=f(x)∫xbg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，φ(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且φ’(x)=[f’(x)∫xbg(t)dt—f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫axf(t)dt]=f’(x)∫xbg(t)dt+g’(x)∫axf(t)dt，因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)使φ’(ξ)=0，即f’(ξ)∫ξbg(t)dt+g’(ξ)∫aξf(t)dt=0，由于g(b)=0及g’(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0，从而就有∫xbg(t)dt＞0，于是有=0． 涉及知识点：高等数学

15． 求arcsin2xdx．

正确答案：∫arcsin2xdx=xarcsin2x—arcsinxdx=xarcsin2x+arcsinxd(1一x2)=xarcsin2x+2∫arcsinxd()=xarcsin2x+arcsinx一2∫dx=xarcsin2x+arcsinx一2x＋

C． 涉及知识点：高等数学

16． 求．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

设L：．

17． 求曲线L与x轴所围成平面区域D的面积．

正确答案：所求的面积为A=∫02πaydx=∫02πa(1一cost)．a(1一cost)dt=a2∫02π(1一cost)2dt=2a2∫02π=3πa2． 涉及知识点：高等数学

18． 求区域D绕x轴旋转一周所成几何体的体积．

正确答案：所求体积为V=π∫02πay2dx=π∫02πa2(1一cost)2．a(1一cost)dt=2πa3∫02π=5π2a3． 涉及知识点：高等数学

19． 求∫01．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

20． 求由曲线y=4一x2 与x轴围成的部分绕直线x=3旋转一周所成的几何体的体积．

正确答案：取[x，x+dx][一2，2]，则dV=2π(3一x)(4一x2)dx，V=∫－22dV=2π∫－22(3－x)(4－x2)dx=6π∫－22(4－x2)dx=12π∫02(4一x2)dx=12π×=64π． 涉及知识点：高等数学

21． 设z=．

正确答案：=2xex2＋y2sinxy+yex2＋y2cosxy，=2yex2＋y2sinxy+xex2＋y2cosxy，=4xyex2＋y2sinxy+2x2ex2＋y2cosxy+ex2＋y2cosxy＋2y2ex2＋y2cosxy—xyex2＋y2sinxy=ex2＋y2[3xysinxy+(2x2+2y2+1)cosxy] ． 涉及知识点：高等数学

22． 求dxdydz，其中Ω为曲面z=所围成的立体．

正确答案：由得Ω在平面xOy上的投影区域为D：x2+y2≤，则Ω=｛(x，y，z)｜(x，y)∈D，｝， 涉及知识点：高等数学

23． 求I=，其中L为x2+y2=a2上从点A(a，0)沿逆时针方向到点B(一a，0)的有向曲线段，其中a＞0．

正确答案：取L0：y=0(起点x=一a，终点x=a)， 涉及知识点：高等数学

24． 设向量场A=｛xz2+y2，x2y+z2，y2z+x2｝，求rotA及divA

正确答案：rotA==｛2yz－2Z，2xz－2x，2xy－2y｝，divA==x2＋y2＋z2． 涉及知识点：高等数学

25． 求幂级数的收敛域．

正确答案：由=1得收敛半径为R=1，当x=一1时，发散；当x=1时，的收敛域为(一1，1]． 涉及知识点：高等数学

26． 设f(x)连续，且f(x)一4∫0xtf(x—t)dt=ex，求f(x)．

正确答案：∫0xtf(x－t)dtx∫0xf(μ)dμ—∫0xμf(μ)dμ，原方程两边求导得f’(x)一4∫0xf(μ)dμ=ex，再求导得f’’(x)一4f(x)=ex，解方程得f(x)=C1e－2x+C2e2x一ex，由f(0)=1，f’(0)=1得C1=，C2=1，故f(x)=e－2x＋e2x一ex． 涉及知识点：高等数学

27． 求微分方程(xy2＋y一1)dx＋(x2y＋x＋2)dy=0的通解．

正确答案：令P(x，y)=xy2+y一1，Q(x，y)=x2y+x+2，因为=2xy+1，所以原方程为全微分方程，令μ(x，y)=∫(0，0)(x，y)(xy2+y一1)dx+(x2y+x+2)dy=∫0x(一1)dx+∫0y(x2y+x+2)dy=一x+＋xy+2y则原方程的通解为＋xy+2y—x=

C． 涉及知识点：高等数学