考研数学一(高等数学)模拟试卷139(题后含答案及解析)
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考研数学一（高等数学）模拟试卷139 (题后含答案及解析)
全部题型 2. 填空题 3. 解答题
填空题
1． 设f’’(x)连续，f’(x)≠0，则＝______．
正确答案：
解析：于是 原式＝ 知识模块：高等数学
2． ＝______．
正确答案：2
解析：原式＝[x2＋2x＋(1—x2)]dx＝＝2．(注意：——奇函数在对称区间上积分为零) 知识模块：高等数学
3． ＝______．
正确答案：2e2＋2
解析：原式＝4e2—2e2＋2＝2e2＋2． 知识模块：高等数学
4． ＝______．
正确答案：
解析：原式＝ 知识模块：高等数学
5． xarcsinxdx＝______．
正确答案：
解析：原式其中是单位圆的面积即 知识模块：高等数学
6． (n≠0)＝______．
正确答案：
解析：原式＝ 知识模块：高等数学
7． sinxcosxdx（自然数n或m为奇数）＝______．
正确答案：0
解析：由周期函数的积分性质得当n为奇数时，由于被积函数为奇函数，故
In，m＝0．当m为奇数(设m＝2k＋1，k＝0，1，2，…)时其中R(u)为u的某个多项式(不含常数项)．因此，In，m＝0． 知识模块：高等数学
8． (a＞0)＝______．
正确答案：
解析：【分析一】利用分部积分法【分析二】令t＝arctan，则cos2t＝，x＝acos2t．于是原式＝td(acos2t)＝atcos2tcos2tdt＝acos2tdt＝ 知识模块：高等数学
9． 设y＝f(x)满足△y＝△x＋o(△x)，且f(0)＝0，则f(x)dx＝______．
正确答案：
解析：由题设可知，从而由f(0)＝0可得C＝0．于是f(x)＝由定积分几何意义得 知识模块：高等数学
10． 设f(x)在[a，b]上连续可导，f(a)＝f(b)＝0，且f2(x)dx＝l，则xf(x)f’(x)dx＝______．
正确答案：
解析：因＝f(x)f’(x)，所以 知识模块：高等数学
11． 设f(x)具有连续导数，且F(x)＝(x2－t2)f’(t)dt，若当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，则f’(0)＝______．
正确答案：
解析：由于F(x)＝(x2—t2)f’(t)dt＝x2f’(t)dt—t2f’(t)dt，所以F’(x)＝2xf’(t)dt＋x2f’(x)—x2f’(x)＝2xf’(t)dt．又依题设，当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，从而＝2f’(0)＝1，故f’(0)＝ 知识模块：高等数学
12． 求．
正确答案：
解析：这是求型的极限．用洛必达法则时就要求变限积分的导数．这里被积函数f(x)＝还是变限积分．注意到这一点就容易求得 知识模块：高等数学
13． 已知f(x)＝，则＝______．
正确答案：
解析：用分部积分法．由于f’(x)＝(x2)’＝2x，故[注]*处由于f(x)＝，故f(1)＝0，所以． 知识模块：高等数学
14． ＝______．
正确答案：3
解析：【分析一】令x2＝t，则【分析二】令x2＝t，则原式＝，令∫t3e—tdt＝e—t(at3＋bt2＋dt＋e)＋C，两边求导得t3e—t＝e—t[—at3＋(3a—b)t2＋(2a—d)t＋d—e]，比较两边t的同次幂项的系数得a＝一1， b＝一3，d＝一6， e＝一6．于是，原式＝ 知识模块：高等数学
15． ＝______．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
16． ＝______．
正确答案：
解析：因(xex)’＝ex(x＋1)，令xex＝t，则dt＝ex(x＋1)dx，于是 知识模块：高等数学
17． 曲线x＝a(cost＋tsint)，y＝a(sint一tcost)(0≤t≤2π)的长度L＝______．
正确答案：2π2a
解析：曲线由参数方程表示出，直接代入弧长公式得 知识模块：高等数学
18． 曲线y2＝2x在任意点处的曲率为______．
正确答案：
解析：用曲率计算公式K＝由y2＝2x2yy’＝2， 知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19． 已知是f(x)的一个原函数，求．
正确答案：按题意：f(x)＝∫x3f’(x)dx∫x3df(x)＝x3f(x)—3∫x2f(x)dx＝x2cosx—xsinx—3∫(xcosx—sinx)dx＝x2cosx—xsinx—3∫xdsinx—3consx＝x2cosx—xsinx—(3xsinx＋3cosx)—3cosx＋C＝x2cosx—4xsinx—6cosx＋C
涉及知识点：高等数学
20． 求．
正确答案：注意分解1＋x6＝1＋(x2)3＝(1＋x2)(1一x2＋x4)．原式＝＝arctanx＋＝arctanx＋arctanx3＋C 涉及知识点：高等数学
21． 求．
正确答案：先作恒等变形，然后凑微分即得 涉及知识点：高等数学
22． 求．
正确答案：【解法一】记则【解法二】作变量替换x＝tant，则 涉及知识点：高等数学
23． 求．
正确答案：令x＝asint(｜t｜＜)，则 涉及知识点：高等数学
24． 求．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
25． 求．
正确答案：利用定积分的分段积分法与推广的牛顿一莱布尼兹公式得
解析：先用凑微分法求或用变量替换．令t＝tanx，则x＝arctant，dx＝．于是现用牛顿．莱布尼茨公式即得注意所得的积为负，无疑是错误的，但错在哪里呢?这是因为由函数∈在整个积分区间[0，]上的原函数，它在积分区间[0，]上也不连续，故不符合牛顿一莱布尼茨公式及其推广的条件．用换元法．令t＝tanx，则α＝tan0＝0，β＝tan＝一1．于是这当然也是错的，错在哪里呢?因为当t∈[一1，0]时，x＝arctant之值不落在原积分区间[0，]上． 知识模块：高等数学
