高二新人教A版数学选修1-2同步练习3-1-1数系的扩充与复数的概念 Word版含答案]

第三章 3.1 3.1.1
1．复数i －i 2的实部等于( B )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．i
[解析] i －i 2＝i ＋1，∴复数i －i 2的实部为1，故选B ．
2．以3i －1的虚部为实部，以－2＋i 的实部为虚部的复数是( B )
A ．－2＋3i
B ．－2i ＋3
C ．－3＋i
D ．1－3i
[解析] 3i －1的虚部为3，－2＋i 的实部为－2，故以3i －1的虚部为实部，以－2＋i 的实部为虚部的复数是3－2i ，故选B ．
3．如果复数－a ＋2i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于__2__．
[解析] ∵复数－a ＋2i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a ＋2＝0，∴a ＝2．
4．若y 为纯虚数，x 为实数，且满足1＋y ＝2x －1＋2i ，求x ，y 的值．
[解析] 设y ＝a i(a 是不为0的实数)，则1＋a i ＝2x －1＋2i ，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧ 1＝2x －1，a ＝2， 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，a ＝2， 所以x ＝1，y ＝2i ．
莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。

这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。

加油！！。

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课堂10分钟达标练1.复数z=2+m-i(m∈R)的虚部为( )A.1B.-1C.iD.-i【解析】选B.根据复数的概念可知,复数z=2+m-i=(2+m)+(-1)i(m∈R)的虚部为-1.2.“复数a+bi(a，b∈R)为纯虚数”是“a=0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a+bi(a，b∈R)为纯虚数时，则a=0，b≠0，但当a=0时，a+bi不一定是纯虚数，因为时，a+bi=0为实数.3.已知复数3+4i与复数a+bi相等,则实数a,b的值为( )A.a=3,b=4B.a=4,b=3C.a=3,b=-4D.a=-3,b=4【解析】选A.由已知得3+4i=a+bi(a,b∈R),根据复数相等的充要条件可知故选A.4.已知z1=m2-3m+m2i，z2=4+(5m+6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1=z2，则m的值为( )A.4B.-1C.6D.0【解析】选B.因为z1=z2，所以解得m=-1.5.有下列四个命题：①方程2x-5=0在自然数集N中无解；②方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；③x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解；④x4=1在R中有两解，在复数集C中也有两解.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.①方程的解为x=∉N，故①正确.②方程的解为x1=∈Q，x2=-5∈Z⊆Q，故②正确.③由i2=-1，知x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解，故③正确.④x4=1在复数集C中的解的个数为4，故④不正确.6.下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；④若a∈R，则(a+2)i是纯虚数.其中，假命题的序号是.【解析】①当这两个复数都是实数时，可以比较大小.②若a=0，则ai不是纯虚数.③由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集.④当a∈R且a=-2时，(a+2)i=0不是纯虚数.因此所给的4个命题全部是假命题.答案：①②③④7.已知复数z=(m2-8m+15)+(m2-9m+18)i，实数m取什么值时，(1)复数z是实数.(2)复数z是纯虚数.(3)复数z为0.【解题指南】根据不同的条件列出不同的方程(组)求解.【解析】(1)当m2-9m+18=0，即m=6或m=3时，z为实数.(2)当m2-8m+15=0且m2-9m+18≠0，即m=5时，z为纯虚数.(3)当即m=3时，z为0.关闭Word文档返回原板块。

3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．了解数系的扩充过程.2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点)3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念并能够进行简单应用．(难点、易混点)教材整理1 复数的有关概念及复数相等的充要条件阅读教材P50～P51“思考”以上内容，完成下列问题．1．复数(1)定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a 叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．2．复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．(2)表示：通常用大写字母C表示．3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，则a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d，a＋b i＝0⇔a＝b＝0.1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2【解析】 2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 【答案】 D2．已知(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.【解析】 由复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2m －5n ＝3n ，3＝－m ＋，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－8，n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.【答案】 －10 教材整理2 复数的分类阅读教材P 51“思考”以下至“例”题以上内容，完成下列问题． 1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数b ＝，虚数b⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：图3­1­1判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数．( ) (3)两个虚数不能比较大小．( )【解析】 (1)错误．若b ＝0，则z ＝a ＋b i 为实数． (2)错误．当a ＝－1时，(a ＋1)i 不是纯虚数． (3)正确．【答案】 (1)× (2)× (3)√(1)①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．0 B．1C．2 D．3(2)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【精彩点拨】首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部．【自主解答】(1)①由于x，y∈C，所以x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题．(2)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i, 其实部是0，所以③为真命题．【答案】(1)A (2)B正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答.1．(1)给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是________． (2)给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________． 【解析】 (1)2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数．(2)因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；故答案为1.【答案】 (1)2＋3，0.618，i 2 (2)1已知复数z ＝a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【精彩点拨】 根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等式)组求解．【自主解答】 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，a 2－7a ＋6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，a ＝6或a ＝1，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式等式或不等式组，求解参数时，注意考虑问题要全面.2．已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？ 【解】 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.(1)12z 1＝z 2，实数x ＝________，y ＝________.(2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．【精彩点拨】 (1)根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解； (2)设出方程的实数解，代入原式整理为a ＋b i ＝0(a ，b ∈R )的形式解决．【自主解答】 (1)由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝6.【答案】 －9 6 (2)设a 是原方程的实根， 则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ， 所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3m ＝0，所以m ＝112.【答案】112 －12应用复数相等的充要条件时，要注意：必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部的相等，虚部与虚部相等列方程组利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.3．(1)适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( ) A ．x ＝0，且y ＝3 B ．x ＝0，且y ＝－3 C ．x ＝5，且y ＝3D ．x ＝3，且y ＝0(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值为________．【解析】 (1)由复数相等的条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.【答案】 (1)A (2)11或－715探究1 若a 【提示】 不成立．如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小． 探究2 若(a －2)＋b i>0，则实数a ，b 满足什么条件？ 【提示】 b ＝0，a >2.已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围．【精彩点拨】 两复数若能比较大小，则两复数的虚部都为零．只需满足一复数的实部大于另一复数的实部．【自主解答】 因为x 2－1＋(y ＋1)i>2x ＋3＋(y 2－1)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，x 2－1>2x ＋3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，x 2－2x －4>0，解不等式x 2－2x －4>0，得x >1＋5或x <1－ 5.所以实数x ，y 的取值范围分别是{x |x <1－5或x >1＋5}，{y |y ＝－1}．实数属于复数，但复数不一定是实数，因此实数的有些性质不适用于复数，如实数能比较大小，而复数中只有等与不等的关系，不能比较大小.只有当两个复数都是实数时才能比较大小.换言之，若两个复数能比较大小，则它们必为实数，即若a ＋b i>c ＋da ，b ，c ，d ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >c ，b ＝d ＝0.4．已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，求实数x 的值． 【解】 ∵z >0，∴z ∈R .∴x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3. ∵z >0，∴3x －1－x >0.对于不等式3x －1－x >0，x ＝1适合，x ＝3不适合． ∴x ＝1.1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32i 的虚部为( ) A ．2B ．－32C ．2－32D ．0【解析】 由复数定义知C 正确． 【答案】 C2．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( )A ．A ∪B ＝C B ．A ＝BC ．A ∩(∁S B )＝∅D ．(∁S A )∪(∁S B )＝C【解析】 集合A ，B ，C 的关系如图，可知只有(∁S A )∪(∁S B )＝C 正确．【答案】 D3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )【导学号：81092036】A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4【解析】 由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴a ＝－4. 【答案】 C4．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0，求实数m 的值为________． 【解析】 ∵(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0， ∴(m 2－1)＋(m 2－2m )i 是实数，且符号为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞0，解得m ＝2. 【答案】 25．若x ∈R ，试确定实数a 的值，使等式3x 2－a2x ＋(2x 2＋x )i ＝1＋10i 成立．【解】 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x ＝1， ①2x 2＋x ＝10. ②由②得x ＝2或x ＝－52，分别代入①得a ＝11或a ＝－715.学业分层测评 (建议用时：45分钟)一、选择题1．复数－2i 的实部与虚部分别是( ) A ．0,2 B ．0,0 C ．0，－2D ．－2,0【解析】 －2i 的实部为0，虚部为－2. 【答案】 C2．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1或－2D ．1或2【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，得a ＝2.【答案】 B3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且b ＋(a －2)i ＝1＋i ，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 由b ＋(a －2)i ＝1＋i ，得b ＝1，a ＝3，所以a ＋b ＝4. 【答案】 D4．在下列命题中，正确命题的个数是( ) ①两个复数不能比较大小；②若z 1和z 2都是虚数，且它们的虚部相等，则z 1＝z 2；③若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 必为纯虚数． A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R ，且d ≠0)，因为b ＝d ，所以z 2＝c ＋b i.当a ＝c 时，z 1＝z 2，当a ≠c 时，z 1≠z 2，故②错误；③当a ＝b ≠0时，(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数，当a ＝b ＝0时，(a －b )＋(a ＋b )i ＝0是实数，故③错误，因此选A.【答案】 A5．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 因为复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a －3≠0⇔a ＝±2, 所以“a ＝2”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件．【答案】 A 二、填空题6．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是________． 【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i ，实部为－3，故应填3－3i. 【答案】 3－3i7．若x 是实数，y 是纯虚数，且(2x －1)＋2i ＝y ，则x ，y 的值为________.【导学号：81092037】【解析】 由(2x －1)＋2i ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝0，2i ＝y ，∴x ＝12，y ＝2i.【答案】 x ＝12，y ＝2i 8．给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②满足x 2＝－1的数x 只有i ；③形如b i(b ∈R )的数不一定是纯虚数；④复数m ＋n i 的实部一定是m .其中正确说法的个数为________．【解析】 ③中，b ＝0时，b i ＝0不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－1的数是±i；④中，m ，n 不一定为实数，故①②④错误．【答案】 1三、解答题9．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时：(1)复数z 是零；(2)复数z 是纯虚数．【解】 (1)∵z 是零，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m m －＝0，m 2＋2m －3＝0， 解得m ＝1. (2)∵z 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m m －＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0.综上，当m ＝1时，z 是零；当m ＝0时，z 是纯虚数．10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．【解】 因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知，m ＝1或m ＝2.1．已知复数z ＝a 2＋(2a ＋3)i(a ∈R )的实部大于虚部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1或3B ．{a |a >3或a <－1}C ．{a |a >－3或a <1}D ．{a |a >3或a ＝－1} 【解析】 由已知可以得到a 2>2a ＋3，即a 2－2a －3>0，解得a >3或a <－1，因此，实数a 的取值范围是{a |a >3或a <－1}．【答案】 B2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z ) D ．k π＋π4(k ∈Z ) 【解析】 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )． 【答案】 D3．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x 2－3x －，log 2x 2＋2x ＋＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >4或x <－1，x ＝0或x ＝－2.∴x ＝－2.【答案】 －24．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值.【导学号：81092038】【解】 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22或⎩⎨⎧ x 0＝－2，k ＝2 2. ∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2。

人教新课标A版选修1-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步检测（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）(2020·西安模拟) 复数的虚部为（）A . —1B . —3C . 1D . 22. （2分）复数的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·南阳模拟) 若复数 ,则复数在复平面内对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分）已知复数，为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·深圳月考) 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限6. （2分） (2016高二下·广州期中) 在复平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量，其中O为坐标原点，则 =（）A .B . 2C .D . 47. （2分）复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是（）A . |a|＝|b|B . a<0且a＝－bC . a>0且a≠bD . a<08. （2分）复数（i为虚数单位）的模是（）A .B .C . 5D . 89. （2分） (2016高二下·会宁期中) 复数z= 的共轭复数是（）A . 2+IB . 2﹣IC . ﹣1+ID . ﹣1﹣i10. （2分）若复数是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=（）A . 2B .C .D . -211. （2分） (2017高二下·西安期中) 设a，b为实数，若复数，则（）A .B . a=3，b=1C .D . a=1，b=312. （2分）复数z=（a2﹣9）+（a+3）i是纯虚数，则a=（）A . ﹣3B . ±3C . 3D . ∅13. （2分）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（）A . 0B . -1C . 1D . -i14. （2分）已知复数f（n）=in（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 无数15. （2分）若复数是纯虚数，则的值为（）A . -7B .C . 7D . -7 或二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）(2020·南京模拟) 设复数，其中为虚数单位，则 ________.17. （1分）(2019·和平模拟) 如果（表示虚数单位），那么________.18. （1分）设复数z满足i（z﹣4）=3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为________19. （1分） (2017高二上·红桥期末) 设i为虚数单位，若复数z=（2m﹣8）+（m﹣2）i是纯虚数，则实数m=________．20. （1分） (2019高二下·上海月考) 若复数z满足（i是虚数单位），则＝________．三、解答题 (共5题；共30分)21. （5分） (2016高二下·浦东期末) 设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．22. （5分）含有参数形式的复数如：3m+9+（m2+5m+6）i，（m∈R）何时表示实数、虚数、纯虚数？23. （10分） (2018高二上·陆川期末) 已知复数 .（1）求；（2）若，求实数，的值.24. （5分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．25. （5分）已知复数满足:求的值.参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共30分) 21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、25-1、。

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课时自测·当堂达标
1.在2+,i,8+5i,(1-)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.因为2+为实数,i为纯虚数,8+5i为虚数,(1-)i为纯虚数,0.618为实数,所以纯虚数只有2个.
2.(1+)i的实部与虚部分别是( )
A.1,
B.1+,0
C.0,1+
D.0,(1+)i
【解析】选C.根据复数的代数形式的定义可知(1+)i=0+(1+)i,所以其实部为0,虚部为1+,故选C.
3.以3i-1的虚部为实部,以-2+i的实部为虚部的复数是( )
A.-2+3i
B.-2i+3
C.-3+i
D.1-3i
【解析】选B.3i-1的虚部为3,-2+i的实部为-2,所以所求复数为3-2i.
4.如果复数-a+2i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,则a的值等于________.
【解析】因为实部为-a,虚部为2,所以a=2.
答案:2
5.若y为纯虚数,x为实数,且满足1+y=2x-1+2i,求x,y的值.
【解析】设y=ai(a是不为0的实数),则1+ai=2x-1+2i,
所以得所以x=1,y=2i.
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3-1-1 数系的扩充和复数的概念基础要求1．设集合C ＝{复数}，R ＝{实数}，M ＝{纯虚数}，那么( ) A ．R ∪M ＝C B ．R ∩M ＝{0} C ．R ∪∁C R ＝CD ．C ∩∁C R ＝M解析：由复数的分类可知，复数由实数和虚数组成，A 错； 因为R ∩M ＝∅，B 错；因为∁C R 即为虚数集与C 的交集仍为∁C R ，D 错． 答案：C2．设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：如果b ＝0，此时a ＋b i ＝0是实数而不是纯虚数，因此不是充分条件；如果a ＋b i 是纯虚数，由定义其实部为零，虚部不为零，这样可以得到a ＝0，因此是必要条件，故选B.答案：B3．若复数(2x 2＋5x ＋2)＋(x 2＋x －2)i 为虚数，则实数x 满足( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－2或－12C ．x ≠－2或x ≠1D ．x ≠1且x ≠－2解析：若复数为实数，则x 2＋x －2＝0. (x －1)(x ＋2)＝0即x ＝1或x ＝－2.若复数为虚数，即不为实数，∴x ≠1且x ≠－2. 答案：D4．下列n 的取值中，使i n＝1(i 是虚数单位)的是( ) A ．n ＝2 B ．n ＝3 C ．n ＝4 D ．n ＝5 解析：因为i 4＝1，故选C. 答案：C5．设z 是复数，α(z )表示满足z n＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i)＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析：α(i)的含义是求最小的正整数n 使得i n＝1.选B.答案：B6．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 是虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：(5＋2i)2＝25＋20i ＋4i 2＝21＋20i. 答案：217．若(2x ＋1)＋i ＝y －(3＋y )i ，其中x ，y ∈R ，则x ＝__________，y ＝__________.解析：根据复数相等的充要条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝y1＝－(3＋y )⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－52y ＝－4答案：－52－48．若(m 2－m )＋(m 2－3m ＋2)i 是纯虚数，则实数m 的值为__________．解析：由纯虚数概念知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0m 2－3m ＋2≠0∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝0m ≠1且m ≠2∴m ＝0.答案：0能力要求1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1解析：纯虚数则实部为零，虚部不为零，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x －1≠0则x ＝－1.答案：A2．若方程x 2＋2i x －(2－m i)＝0有一实根则实数m 的值为( ) A ．8 B ．2 2 C ．－2 2 D ．±2 2 解析：∵x ，m ∈R ，∴方程化为x 2－2＋(2x ＋m )i ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2＝02x ＋m ＝0得：m ＝±2 2.∴选D.答案：D3．已知集合M ＝{1,2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，集合P ＝{－1,3}且M ∩P ＝{3}，则实数m 的值为( )A ．－1B ．－1或4C ．6D ．6或－1解析：由题意知3∈M ，即 (m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3从而⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3m 2－5m －6＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －4)(m ＋1)＝0(m －6)(m ＋1)＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝4m ＝－1或m ＝6 ∴m ＝－1.答案：A4．1＋i ＋i 2＋…＋i 2 009＝__________. 解析：∵i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0∴原式＝1＋(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 005＋i2 006＋i2 007＋i2 008)＋i2 009＝1＋i2 009＝1＋i.答案：1＋i5．已知m ∈R .复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，问当m 为何值时 (1)z 是实数？ (2)z 是虚数？ (3)z 是纯虚数？解：(1)若z 是实数有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0m －1≠0，∴m ＝－3(2)若z 是虚数有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m －1≠0∴m ≠1且m ≠－3(3)若z 是纯虚数有⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋2)m －1＝0m 2＋2m －3≠0⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝－2m ≠1且m ≠－3∴m ＝0或m ＝－2.拓展要求设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(3－m )(m ∈R )为纯虚数，求m 的值．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0log 2(3－m )≠0⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＝13－m ≠13－m ＞0⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝4m ≠2m ＜3∴m ＝－1.。

习题课一、基础过关1． 复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是 ( ) A.15i B.15 C ．－15i D ．－152． 复数2＋i 1－2i的共轭复数是 ( ) A ．－35i B.35i C ．－i D ．i3． 若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( ) A ．1B ．0或2C ．2D ．04． 设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 25． 设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i 为纯虚数，则实数a 为 ( )A ．2B ．－2C ．－12 D.126． 复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于( ) A ．5B.13C.15D.17二、能力提升7．已知复数z ＝2－i 1－i，其中i 是虚数单位，则|z |＝________. 8．已知(a －i)2＝2i ，那么实数a ＝________.9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．10．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值． 12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.(1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数；(2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．答案1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B8．－19．410．解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限． 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．11．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4. 即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1.所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1.故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.13．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a . 消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0.所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0， 即－4≤a ≤4时，复数z 存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.。

3章章末一、选择题1．(2010·福建文，4)i 是虚数单位，(1＋i 1－i)4等于( ) A ．i B ．－iC ．1D ．－1[答案] C[解析] 本题主要考查复数． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1－i)22＝⎝⎛⎭⎪⎫2i －2i 2＝(－1)2＝1. 2．(2009·宁夏、海南文，2)复数3＋2i 2－3i＝( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i [答案] C[解析] 本题主要考查复数的运算．3＋2i 2－3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13＝i. 3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] z ＝(3＋i )(1－i )＝4－2i ，所以复数z 对应的点Z (4，－2)在第四象限．4．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i [答案] D[解析] 因为AB →对应的复数是2＋i ，BC →对应的复数是1＋3i ，所以AC →对应的复数是(2＋i )＋(1＋3i )＝3＋4i ，所以CA →对应的复数是－3－4i .二、填空题5．设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部是______．[答案] 1[分析] 设出z 1，计算出右边的结果，根据复数相等的定义求解．[解析] 设z 1＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则z 2＝a ＋bi －i (a －bi )＝a －b ＋(b －a )i .∵z 2的实部是－1.即a －b ＝－1，∴z 2的虚部b －a ＝1.[点评] 两个复数相等，则它们的实部与虚部分别相等．6．若a ，b 为非零实数，则下列四个命题都成立．①a ＋1a ≠0；②(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；③若|a |＝|b |，则a ＝±b ；④若a 2＝ab ，则a ＝b .则对于任意非零复数a ，b ，上述命题仍然成立的序号是______．[答案] ②④[分析] 实数的运算法则在复数范围内不一定成立，应逐一验证．[解析] 若a ＝i ，则①不成立；a ＝i ，b ＝1，则③不成立，②④成立．[点评] 实数的运算性质在复数范围内，应加以说明，不可盲目应用．三、解答题7．设复数z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，在下列条件下求动点Z (x ，y )的轨迹．(1)|2z ＋i |＝2(2)|z ＋1＋i |－|z －1－i |＝0(3)|z ＋i |＋|z －i |＝2 2(4)|z ＋1|－|z －i |＝ 2[解析] (1)方程即|z ＋i 2|＝1，表示圆，圆心(0，－12)，半径为1.(2)|z ＋1＋i |＝|z －1－i |，复数z 对应点Z 到两点A (－1，－1)和B (1,1)距离相等，∴点Z 的轨迹为线段AB 的垂直平分线．(3)以点(0，－1)和(0,1)为焦点，长轴为22的椭圆．(4)以点(0,1)为端点，倾斜角为π4的一条射线．(不是双曲线，因为两定点的距离为2)8．已知复数z 满足(z ＋z )－3z ·z i ＝1－3i ，求复数z .[解析] 解法一 设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，代入条件得2x －(3x 2＋3y 2)i ＝1－3i ，∴⎩⎨⎧ 2x ＝1－3x 2－3y 2＝－3解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12y ＝±32∴z ＝12±32i . 解法二 ∵z ＋z ∈R ，z ·z ∈R ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ z ＋z ＝1z ·z ＝1∴z 及z 是方程x 2－x ＋1＝0的两根．解此方程得z ＝12±32i .。

1 §3.1 数系的扩充和复数的概念 3．1.1 数系的扩充和复数的概念 一、基础过关 1． “复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”是“a＝0”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2． 下列命题正确的是 ( ) A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数 B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i C．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1 D．两个虚数不能比较大小 3． 以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是 ( ) A．2－2i B．－5＋5i C．2＋i D.5＋5i 4． 若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为 ( )

A.12 B．2 C．0 D．1 5． 若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为 ( ) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 二、能力提升 6． 若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为 ( )

A．2kπ－π4(k∈Z) B．2kπ＋π4(k∈Z) 2

C．2kπ±π4(k∈Z) D.k2π＋π4(k∈Z) 7．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝______，n＝______. 8． 给出下列几个命题： ①若x是实数，则x可能不是复数； ②若z是虚数，则z不是实数； ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根． 则其中正确命题的个数为________． 9． 已知集合M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数a＝________.

10．实数m分别为何值时，复数z＝2m2＋m－3m＋3＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 11．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值． 12．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1三、探究与拓展

选修第三章一、选择题．复数＝－＋，则复数在复平面内对应的点位于( ) ．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限[答案][解析]复数在复平面内对应的点为(－)，位于第二象限．．若＝(，－)，则对应的复数为( )．．－．－．[答案][解析]复数的实部为，虚部为－，所以对应的复数为－．．复数＝＋(－θ)在复平面内对应的点所在的象限为( ) ．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限[答案][解析]∵>－θ>，∴复数对应的点在第一象限．．复数与它的模相等的充要条件是( )．为纯虚数．是实数．是正实数．是非负实数[答案][解析]∵＝，∴为实数且≥．．已知复数＝(－)＋(－)的模等于，则实数的值为( ) ．或．．．[答案][解析]依题意可得＝，解得＝或，故选．．复数＝＋α＋α(π<α<π)的模为( )．．－．．－[答案][解析]＝＝＝(α))＝．∵π<α<π，∴<<π，∴<，∴＝－，故选．二、填空题．(·广西南宁高二检测)设复数＝＋，则＝[答案][解析]＝＝．．已知复数－＋＋(－)在复平面内的对应点在第三象限，则实数的取值范围是[答案]()[解析]由已知，得(\\(－＋<－<))，解得<<．．若复数＝(－)＋(＋－)是纯虚数，其中∈，则＝[答案][解析]由条件知(\\(＋－≠－＝))，∴＝，∴＝，∴＝．三、解答题．如果复数＝(＋－)＋(－＋)(∈)对应的点在第一象限，求实数的取值范围[解析]∵＝(＋－)＋(－＋)，由题意得(\\(＋－＞－＋＞))，解得＜或＞，即实数的取值范围是＜或＞.一、选择题．已知复数＝(－)＋(－)的模小于，则实数的取值范围是( )．－<< ．<．>－．<－或>[答案][解析]由条件知，(－)＋(－)<，∴－－<，∴－<<．．设复数＝(＋－)＋(＋＋)，∈，则以下结论中正确的是( )．复数对应的点在第一象限．复数一定不是纯虚数．复数对应的点在实轴上方．复数一定是实数。