高中数学选修2-2：实数系 复数的概念

数学中的实数与复数在数学中，实数和复数是两个重要的数学概念。

它们具有不同的性质和表示方式，对于数学研究和实际应用具有极大的意义。

本文将介绍实数和复数的定义、性质以及在数学和科学领域的应用。

一、实数的定义和性质实数是最基本也是最常见的数。

简单来说，实数是可以用于测量和计算的数，包括正数、负数和零。

实数可以用有理数和无理数来表示。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数等。

而无理数无法表示为整数的比值，如根号2、圆周率π等。

实数的性质包括封闭性、比较性和连续性等。

实数的封闭性指的是实数进行加、减、乘、除运算的结果仍然是实数。

比较性是指实数之间可以进行大小比较，满足大小关系的传递性、反对称性和完备性等。

实数的连续性是指实数可以填满数轴上的任意两个实数之间的间隙，不存在跳跃或间断的情况。

二、复数的定义和性质复数是由实部和虚部组成的数，形如a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部，i表示虚数单位，满足i²=-1。

复数有两种表示方式，一种是代数形式，即a+bi；另一种是三角形式，即r(cosθ + isinθ)。

复数的性质包括加法性、乘法性、除法性和共轭性等。

复数的加法性和乘法性分别满足交换律、结合律和分配律。

复数的除法性表示复数相除可以通过将分子和分母同时乘以分母的共轭来实现，以消除分母的虚部。

复数的共轭性是指复数的共轭是将虚部取负得到的数，即a-bi为a+bi的共轭。

三、实数和复数的应用实数和复数在数学和科学领域有广泛的应用。

实数广泛应用于几何、代数、概率与统计等领域，如解方程、函数图像的绘制和数学推理。

复数在电气工程、物理学等领域也有重要应用。

电气工程中，复数可用于描述交流电流和电压的振幅和相位差；物理学中，复数可用于描述波动和量子力学等现象。

总结：实数和复数作为数学中的两个重要概念，在数学理论和实际应用中都发挥着重要作用。

实数是最基本的数，包括有理数和无理数，具有封闭性、比较性和连续性等性质。

高中数学中的复数在高中数学学习中，我们常常会接触到复数这个概念。

复数是由实数部分和虚数部分构成的数，学习和理解复数对于我们深入了解数学的本质和应用具有重要的意义。

本文将介绍复数的定义、性质以及在高中数学中的应用。

一、复数的定义复数是由实数部分和虚数部分构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

二、复数的性质1. 复数的加法和减法：将实部相加或相减，虚部相加或相减。

2. 复数的乘法：实部和虚部分别相乘得到新的实部和虚部。

3. 复数的除法：分子和分母同时乘以共轭复数，并运用乘法规则进行计算。

4. 复数的模：复数的模等于实数部分和虚数部分的平方和的平方根。

5. 复数的共轭：将复数的虚数部分取相反数得到共轭复数。

6. 复数的指数表示：根据欧拉公式，复数可以表示为e^ix的形式。

三、复数在高中数学中的应用1. 解方程：复数可以用于解决各类方程，包括二次方程、三次方程等。

复数根定理告诉我们，若一个多项式方程没有实数根，则必定存在复数根。

2. 向量运算：复数可以用于表示平面上的向量，利用复数的加法和乘法可以进行向量的运算，如相加、相减、旋转等。

3. 三角函数：复数可以与三角函数建立联系，通过欧拉公式，我们可以将三角函数用复数表示，进而简化三角函数的计算。

4. 矩阵运算：复数在矩阵运算中也有广泛应用，包括复数矩阵的加法、乘法、求逆等。

5. 物理学中的应用：复数在物理学中也有重要应用，如交流电路中的分析、波动学中的表示等。

综上所述，复数在高中数学中扮演着重要的角色。

通过学习和理解复数的定义和性质，我们可以更好地应用复数解决各种数学问题，并将其应用到更广泛的领域中。

在学习过程中，我们应注重对复数概念的理解和运用能力的培养，以提高自己在数学领域的素养和能力。

通过深入研究和探索，我们能够更好地理解数学的本质，并在实际问题中灵活应用数学知识。

高中数学复数知识点总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i²=-1）组成的数，一般形式为a+bi，其中a和b都是实数。

实数部分a称为复数的实部，虚数部分b称为复数的虚部。

2. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，即把实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

3. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，即把实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

4. 复数的乘法复数的乘法是通过分配律展开计算的，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=ac+(ad+bc)i+bd(-1)=ac-bd+(ad+bc)i。

5. 复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即分子和分母都乘以分母的共轭形式，然后进行化简，最终得到结果。

例如，(a+bi)/(c+di)的结果为[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

6. 复数的模复数z=a+bi的模记为|z|，它表示复数到原点的距离，它的计算公式为|a+bi| = √(a²+b²)。

7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭记为z，它表示实部不变，虚部相反数的复数，即z=a-bi。

8. 复数的极坐标形式复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arctan(b/a)。

9. 复数的三角形式复数z=r(cosθ+isinθ)的三角形式表示为z=r∙e^(iθ)，其中e^(iθ)=cosθ+isinθ，称为欧拉公式。

10. 复数的指数形式复数z=r∙e^(iθ)的指数形式表示为z=r∙exp(iθ)，其中exp表示自然底数e的指数函数。

11. 复数的乘方复数的乘方可以通过三角形式或指数形式进行计算，即z^n = |z|^n∙(cos(nθ)+isin(nθ))或z^n = |z|^n∙exp(inθ)。

复数的相关概念引言复数是数学中的一种扩展形式，可以表示实数范围之外的数字。

它由实部和虚部组成，并且遵循特定的运算规则。

本文将介绍复数的定义、表示法、运算法则以及它在实际应用中的相关概念。

一、复数的定义复数是指由实部和虚部组成的数。

实部是一个实数，虚部是一个带有虚单位i的实数。

复数可以表示为a + bi，其中a是实部，b是虚部。

二、复数的表示法复数有多种表示法，常见的有直角坐标表示法和极坐标表示法。

1. 直角坐标表示法在直角坐标系中，一个复数被表示为一个有序实数对(a, b)。

其中，a是实部，b是虚部。

该表示法可以将复数视为复平面上的点，其中a沿着实轴表示，b沿着虚轴表示。

2. 极坐标表示法在极坐标系中，一个复数可以被表示为一个模和一个辐角的有序实数对(r, θ)。

其中，r是复数的模，表示复数与原点的距离；θ是辐角，表示复数与正实轴之间的夹角。

该表示法可以将复数视为复平面上的向量。

三、复数的运算法则复数的运算法则基于实数的运算法则，并额外考虑了虚部之间的运算。

1. 加法和减法复数的加法和减法遵循实部和虚部分别相加或相减的原则。

例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d均为实数，则有z1 + z2 = (a + c) + (b +d)i，z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。

复数的乘法涉及到实部和虚部之间的相乘。

例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，则有z1 z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i*。

3. 除法复数的除法涉及到实部和虚部的除法运算。

例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，则有z1 / z2 = ( (ac + bd) / (c^2 + d^2) ) + ( (bc - ad) / (c^2 + d^2) )i。

四、复数的相关概念1. 共轭复数共轭复数指的是虚部符号相反的复数。

复数的概念复数是数学中的一个重要概念，它可以用来描述不仅包括实数的数系统，而且还包括了虚数，其中虚数是实数范围之外的一类数。

复数是由实部和虚部构成的，通常写成(a+bi)的形式。

在数学、物理学、电子学等领域中，复数被广泛应用。

一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，用实部和虚部表示。

实数是人们日常生活中所接触到的数，它们可以直接用于计算。

而虚数则是不能用于直接计算的数。

虚数是指那些不满足平方根是实数的数，也就是说，虚数是不存在的，只是一种数学上的概念。

以一个复数z为例，它的实部和虚部分别是a和b。

因此可以将z表示为：z = a + bi其中i称为虚数单位，满足i²=-1。

a和b都是实数，可以是正数、负数、零或小数。

虚部b可以是负数或正数，但实部a只能为实数。

复数的实部和虚部是不同的，它们具有不同的物理意义。

通常情况下，实部表示了复数在x轴上的位置，而虚部则表示了复数在y轴上的位置。

二、复数的基本性质（1）加法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1+z2 =(a1+a2)+(b1+b2)i。

这说明了两个复数之和的实部是它们各自实部之和，虚部是它们各自虚部之和。

（2）减法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1-z2 = (a1-a2)+(b1-b2)i。

这说明了两个复数之差的实部是它们各自实部之差，虚部是它们各自虚部之差。

（3）乘法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1×z2 = (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。

这说明了两个复数的乘积的实部是它们各自实部的乘积减去各自虚部的乘积，虚部是它们各自实部的乘积加上各自虚部的乘积。

（4）除法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1÷z2 = [(a1a2+b1b2)÷(a2²+b2²)]+[(a2b1-a1b2)÷(a2²+b2²)]i。

高二数学复数知识点一、复数的概念与定义复数是实数的扩展，它由一个实部和一个虚部组成，一般形式为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1的条件。

在复数中，当b不等于零时，我们称b为复数的虚部，而a则是实部。

如果b等于零，则复数退化为实数。

复数的引入，极大地丰富了数学的内涵，使得许多在实数范围内无法解决的问题得以解决。

二、复数的几何意义复数不仅仅是一种代数结构，它还具有丰富的几何意义。

在复平面上，每一个复数z=a+bi可以对应一个点(a,b)，其中a是该点在实轴上的位置，b是该点在虚轴上的位置。

这样，复数与平面上的点建立了一一对应的关系。

复数的这种几何解释，使得我们可以用图形的方式直观地理解和处理复数问题。

三、复数的运算规则复数的运算是复数理论中的重要内容。

两个复数的加法、减法、乘法和除法都有明确的规则。

例如，两个复数相加时，只需将对应的实部和虚部分别相加即可；相乘时，则需要使用分配律，即将一个复数的实部与另一个复数的实部和虚部分别相乘，然后再将结果相加。

复数的除法则稍微复杂，需要引入共轭复数的概念，通过乘以分母的共轭来消除虚部，从而简化计算。

四、复数的模与辐角复数的模（或绝对值）是指复数在复平面上对应的点到原点的距离，用符号|z|表示，计算公式为√(a²+b²)。

复数的辐角（或称为相位角）则是复数向量与实轴正方向的夹角，用符号arg(z)表示。

辐角的计算需要使用反三角函数，并且在计算时需要注意角度的范围。

模和辐角是复数的两个重要属性，它们在解决复数问题时具有重要的应用价值。

五、复数的应用复数在数学的许多领域都有广泛的应用，例如在解析几何中，复数可以用来描述和解决平面上的点和直线的问题；在代数中，复数域是实数域的自然扩展，它使得多项式方程的根的个数不再受限于实数范围内；在物理学中，复数用于处理交变电流、波动等现象；在工程学中，复数则用于信号处理和系统分析等领域。

数学中的实数与复数概念实数与复数是数学领域中两个重要的数集，它们在数学的各个分支中都扮演着重要的角色。

本文将首先介绍实数的概念和性质，然后深入讨论复数的定义和特点，最后探讨实数和复数在数学中的应用。

通过对这两个概念的详细讨论和举例解释，我们将更好地理解数学中的实数和复数。

实数是我们日常生活中最常见的数，包括整数、分数和无限小数。

实数集包含了所有的有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，例如整数和分数。

无理数是不能表示为有理数的比值的数，例如根号2和π。

实数集在数轴上表示了一个无限延伸的直线，每一个点都对应一个实数。

实数有一些基本的性质。

首先，实数满足比较性，即对于任意两个不相等的实数a和b，必然有a小于b或a大于b。

其次，实数满足结合律、交换律和分配律等运算性质，这使得实数集成为一个完备的数学体系。

另外，实数集是无限的，它包含了无限的数，这使得实数能够描述各种现实生活中的量。

而复数是实数的扩展，它由一个实部和一个虚部组成。

复数的虚部用虚数单位i表示，满足i的平方等于-1。

复数的一般形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。

复数集包含了实数和虚数，可以在复平面上表示为复数轴上的点。

复平面是一个由实轴和虚轴构成的坐标平面，其中实轴代表实部，虚轴代表虚部。

复数具有许多有趣的性质。

首先，复数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律等基本运算性质，这使得复数成为一个有序域。

其次，复数集是代数闭域，也就是说，任何一个非常数的代数方程都有至少一个复数根。

这个性质在解析几何和复变函数等领域有着广泛的应用。

实数和复数在数学中有丰富的应用。

实数广泛应用于几何、代数、数论和计算等各个领域。

它们用于描述长度、面积、体积等物理量，也用于解决方程、证明定理和构造模型。

复数在电磁学、量子力学、信号处理等领域中扮演着重要的角色。

它们用于描述交流电路、谐振系统和波动现象等物理问题，也用于分析周期性信号和数学变换等工程应用。

实数复数知识点归纳总结一、实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。

有理数是指可以写成两个整数的比的数，包括整数和分数。

无理数是指不能写成两个整数的比的数，例如$\pi$、$\sqrt{2}$等。

1.1、有理数有理数是可以表示为分数的数，包括正整数、负整数、正分数、负分数以及0。

有理数可以用分数表示，形如$\frac{a}{b}$，其中a、b是整数且b≠0。

有理数的集合用符号Q表示。

1.2、无理数无理数是不是有理数的数，无法用分数形式表示。

无理数有无穷多位小数，也不能完全表示为连分数形式。

无理数的集合用符号R-Q表示。

1.3、实数的性质实数具有以下性质：① 闭合性：实数的四则运算结果仍为实数。

② 交换律和结合律：实数的加法和乘法满足交换律和结合律。

③ 分配律：实数的乘法对加法有分配律。

④ 0元素和1元素：实数集合中有加法单位元素0和乘法单位元素1。

1.4、实数的有序性实数集合具有有序性，对于任意的两个实数a和b，要么a>b，要么a<b，要么a=b。

这个性质也称为实数的大小关系。

通过大小关系可以定义实数的加法、乘法、除法等运算。

二、复数的概念复数是由实数和虚数单位i组成的数。

虚数单位i是满足i²=-1的数，实数和虚数单位i的组合称为复数。

复数的一般形式是a+bi，其中a是实部，bi是虚部。

复数的概念源自方程$x^2+1=0$，这个方程没有实数解，但引入虚数单位i后可以得到复数解。

2.1、复数的性质复数具有以下性质：① 互异性：两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。

② 加法和乘法：复数之间的加法和乘法满足分配律和结合律。

③ 共轭复数：设z=a+bi，z的共轭复数记作$\bar{z}$，是a-bi。

④ 复数的模：模是复数到原点的距离，模的平方是复数的实部平方和虚部平方的和。

2.2、复数的幂运算复数的幂运算是指求复数的正整数次方，其中包括幂的求解和求解复数方程。

高三复数的知识点归纳总结复数是数学中的一个重要概念，它在高中数学中被广泛研究和应用。

掌握复数知识对于理解和解决各类数学问题具有重要意义。

在高三阶段，学生需要对复数的基本概念、运算规则以及与其他数学知识的联系有较为深入的了解。

本文将对高三阶段复数的相关知识点进行归纳总结。

1. 复数的定义和性质复数是由实数和虚数组成的数。

其中，实数部分与虚数部分分别用虚数单位i表示，虚数单位i的平方为-1。

复数可以表示为 a+bi 的形式，其中a为实部，b为虚部。

复数包含了实数，并且可以在复平面上进行表示。

复数的共轭、模、幂等性质是复数运算的重要基础。

2. 复数的四则运算复数的加减法与实数的加减法类似，分别对实部和虚部进行运算。

复数的乘法可以使用分配律展开计算，利用虚数单位i的平方性质化简计算。

复数的除法可以通过乘以共轭形式，并结合有理化等技巧化简问题。

四则运算的结果仍为复数，需要对结果进行合并和化简。

3. 复数的模与论证复数的模是复数到原点的距离，也是复数自身的绝对值。

根据复数的定义，模的计算公式为√(a^2 + b^2)，其中a和b分别为实部和虚部。

复数的模具有非负性、三角不等式等性质。

通过模也可以计算复数的幂，利用三角函数的定义，可以将复数表示为模与辐角的形式，其中辐角表示复数与正实轴的夹角。

4. 复数与二次函数复数与二次函数之间存在着密切的联系。

对于二次函数的解，当判别式为负时，存在共轭的复数解；当判别式为零时，存在重根的解；当判别式为正时，存在两个不同的实数解。

在解二次函数问题时，通过运用复数知识可以得到更全面的解释和解答。

5. 复数平面与向量复数平面也称为阿尔及利亚平面，它由实轴和虚轴构成。

复数可以在复数平面上表示为点，复数的加减乘除运算可以通过复数平面上的几何对应关系进行解释和理解。

复数的模可以表示为原点到该复数所对应的点的距离。

复数还可以和向量一一对应，在复数平面上的几何运算可以转化为向量上的运算。

3.1.2复数的概念教学设计§3.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标：1.知识与技能：理解并掌握虚数单位i；理解复数的基本概念及复数相等的充要条件；2.过程与方法：在问题情境中了解数系的扩充过程及引入复数的必要性；3.情感、态度与价值观：通过数系的扩充过程体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

教学重点：虚数单位i、复数及其相关概念、复数的分类(实数、虚数、纯虚数)、复数相等的充要条件。

教学难点：虚数单位i的引进及复数概念的理解。

教学过程：x+=在实数集中无解，联系从自然数系到实数系的扩充过程，你一、创设情景：方程210能设想一种方法，使得这个方程有解吗？（意图：创设问题情境，使学生明确这里要解决什么问题，联系旧知识，了解解决问题的大致方向）二、探究新知：1.学生回顾从自然数系到实数系的扩充过程：（教师可以通过提问的方式帮助学生回顾数系的扩充过程）（意图：使学生能够通过从自然数系到实数系的扩充过程体会体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用。

）2.学生探究，引入虚数单位i：x-=在有理数集中无解的问题，怎么解决方程问题1：就可以解决方程220210x+=在实数集中无解的问题？（意图：通过类比，使学生了解扩充数系要从引入新数开始，引导学生引入虚数单位i）3.对虚数单位i 的理解：（1）虚数单位i 的平方等于-1，即 21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.（3）i 的周期性：41n ii +=, 421n i +=-, 43n i i +=-, 41()n i n Z =∈ 4.复数的引入：问题2：把实数和新引入的虚数单位i 像实数那样进行加法、乘法运算，并希望运算时有关的加法、乘法算律仍然成立，你能得到怎样的数？（意图：1.使学生感受为什么把集合{}|,a bi a b R +∈作为实数集扩充后的新数集） （方法：由学生自己动手试做，然后讨论，最后统一认识）（1）定义：把集合{}|,C a bi a b R =+∈中的数，即形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，其中i 叫做虚数单位，全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。

高中数学复数知识点在高中数学中，复数是一个重要且有趣的概念。

它由实数和虚数构成，可以用到各种数学问题的解决中。

接下来，我们将深入探讨高中数学中的复数知识点。

一、复数的定义复数是由实数和虚数构成。

实数是我们通常使用的正数、负数和零，而虚数是-1的平方根的倍数，用i表示。

复数形式可以写成a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部。

二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法复数的加法就是将实部和虚部相加。

例如，(3+2i) + (4-3i) = (7-i)。

而复数的减法则是将实部和虚部相减。

例如，(3+2i) - (4-3i) = (-1+5i)。

2. 复数的乘法和除法复数的乘法是将实部和虚部按照分配律相乘。

例如，(3+2i) * (4-3i)= (12+8i-9i+6i^2)= (18-1i) = (18-i)。

而复数的除法就是用乘法的逆运算。

例如，(3+2i) / (4-3i) = (18+7i) / 25。

三、复数的模和共轭1. 复数的模复数的模是一个复数到原点的距离，可以用来计算复数的大小或大小比较。

复数z=a+bi的模可以表示为|z|=√(a^2+b^2)。

例如，复数2+3i的模为√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13。

2. 复数的共轭复数的共轭是将复数的虚部取负。

例如，复数3+4i的共轭为3-4i。

共轭复数在复数的乘法和除法中起着重要的作用。

四、复数的指数形式复数的指数形式可以用极坐标来表示。

复数z可以有模和辐角表示，即z=r*e^(iθ)。

其中，r是复数的模，θ是复数的幅角。

复数的指数形式在复数的乘法和除法中特别有用。

五、复数的解析几何复数在解析几何中有广泛的应用。

实部和虚部可以分别表示平面上的横坐标和纵坐标，而复数的加法和减法可以表示平移移动。

同时，复数的乘法和除法可以表示旋转和缩放。

六、复数的应用1. 三角函数复数可以用来表示三角函数，例如正弦函数和余弦函数。

欧拉公式是复数和三角函数之间的重要关系，即e^(iθ)=cosθ+isinθ。

学情分析在前一节数系的扩充的学习中，学生对已知的数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有了比较清晰认识，学生体会到了数系的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要，感受到了人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

这个班的同学数学基础较好，对数系的扩充有了很好的了解。

在学习本节课的过程中，复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，由于前一节课已经讲解过的数集的扩充的历史，学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.所以我在课前让其自己寻找几个著名数学家关于虚数的贡献，教学中通过方程的解在不同数系中的变化，从问题出发通过问题探究教学从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。

效果分析现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本课从方程根的改变有意识地营造一个较为自由的空间，让学生能主动地去观察、发现、归纳，积极地动脑，能够抓住复数的概念进行相关问题的研究，从问题出发，自然发现新知识、巩固新知识又过渡到下一个新知识，以问题串起学习的所有知识，达到了使探讨的问题层层递进深入的目的。

课堂注重学生的参与和互动，使学生的思维得到了发展，激发了学生的学习兴趣，使学生在学知识的同时形成方法。

本节课注重知识的衔接，使学生在不知不觉中学习新知识。

通过学生创造，观察，归纳，反思、潜移默化的培养良好的数学思维品质和学习习惯，同时通过自我评价来获得成功的快乐，提高学生学习的自信心。

整个教学过程突出了三个注重： 1. 注重学生参与知识的形成过程，体验新知识的作用。

2. 注重师生间、同学间的互动协作、共同提高。

3.注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活应用。

通过本节课的学习，学生当堂能够掌握复数的概念，能解决复数分类和相等问题。

教材分析《复数的概念》是人教版普通高中数学实验教材选修2-2第三章第2节的内容，课时安排2课时,本节课是第一课时。

数学的实数与复数数学是一门抽象而深奥的学科，其中的数学体系分为实数和复数两大部分。

实数和复数是数学中最基本和最重要的概念之一，在现实生活和科学研究中都有着广泛的应用。

本文将探讨实数和复数的定义、性质以及在数学和实际问题中的应用。

一、实数的概念和性质实数是数学中最基本的数集，包括正数、负数和零。

它们是实数轴上的点，任意两个实数间都存在一个有理数，也存在一个无理数。

实数具有加法、减法、乘法和除法等运算，同时满足交换律、结合律和分配律等基本性质。

实数的有界性质是它的重要特点之一。

对于实数集合，可以存在上界和下界，若上(下)界存在，则称实数集合有上(下)界。

在实数系统中，每个有界的非空子集都有上确界和下确界。

此外，实数还可以通过截断和小数表示。

实数在几何学、物理学、经济学等领域都有广泛应用。

在几何学中，实数可以用来表示线段的长度、角度的度数等。

在物理学中，实数用于描述物体的位置、质量和时间等。

在经济学中，实数可以表示货币的金额、股票的价格等。

二、复数的概念和性质复数是实数的扩展，它既包括实部又包括虚部。

复数的一般形式为a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部，i是虚数单位。

虚数单位i具有平方等于-1的性质。

复数有加法、减法、乘法和除法等运算，同时满足交换律、结合律和分配律。

复数的共轭和模也是其重要的性质之一。

复数a+bi的共轭复数为a-bi，复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理得出。

复数在三角学和电子学等领域有广泛的应用。

在三角学中，复数可以表示角度、三角函数等。

欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ将复数与三角函数联系起来，为解决复杂的三角运算问题提供了便利。

在电子学中，复数可以用来描述交流电信号的振幅和相位。

三、实数与复数的联系与应用实数可以看作复数的一种特殊情况，即虚部为0的复数。

实数和复数相互补充和扩展了数学体系，使得我们能够更全面地描述和研究数学问题。

实数和复数的联系体现在复数平面中。

复数知识点归纳复数是高中数学中的一个重要概念，它既包含实数，又包含虚数，是实数和虚数的统一。

复数的概念和性质在数学的许多领域都有着广泛的应用，如在微积分、线性代数、信号处理等领域。

下面是对复数知识点较为详细的归纳和介绍。

一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足i^2 = -1。

2. 复数的分类：-纯虚数：当a = 0，b ≠0 时，复数z = bi 称为纯虚数。

-实数：当b = 0 时，复数z = a 称为实数。

-非纯虚数：当a ≠0，b ≠0 时，复数z = a + bi 称为非纯虚数。

3. 复数的几何意义：复数可以表示为复平面上的点，实部表示点在x 轴上的位置，虚部表示点在y 轴上的位置。

二、复数的四则运算1. 加法：两个复数相加，实部相加，虚部相加，即(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。

2. 减法：两个复数相减，实部相减，虚部相减，即(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。

3. 乘法：两个复数相乘，实部乘实部，虚部乘虚部，实部加虚部的乘积，即(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。

4. 除法：两个复数相除，先乘以共轭复数，即(a + bi)/(c + di) = (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc -ad)/(c^2 + d^2)i。

三、复数的特殊性质1. 复数的模：复数z = a + bi 的模定义为|z| = √(a^2 + b^2)，表示复数z 在复平面上到原点的距离。

2. 复数的共轭：复数z = a + bi 的共轭复数为z 的实部不变，虚部变号，即z 的共轭复数为a - bi。

3. 复数的乘方和开方：复数乘方遵循实数乘方规则，即(a + bi)^n = (a^n + n*a^(n-1)*bi) + ... + b^n*i^(n-1)。

第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念一、教学目标1.核心素养：通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标：（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.（2）理解复数的基本概念，复代数形式及复数相等的充要条件.（3）复数的向量表示.3.学习重点：复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示.4.学习难点：复数相等的条件，复数的向量表示.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务x+=在实数集中无解.联系从自然数系任务1、阅读教材P102，思考：方程210到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？任务2、阅读教材P103，思考：复数集C和实数集R有什么关系？任务3、阅读教材P104-P105,思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？2.预习自测1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )A.±1B.±iC.±2iD.±2i答案：C解析：略2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，1答案：C解析：略3、如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )A.1B.0C.－1D.－1或1答案：B解析：略（二）课堂设计1.知识回顾（1）对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2.问题探究问题探究一：数系的扩充x+=，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，对于实系数一元二次方程210使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？●活动一：回顾旧知，回顾数集的扩充过程对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数（教师引导）●活动二：类比旧知，探究数系的扩充.对于实系数一元二次方程210x +=，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？我们说，实系数一元二次方程210x +=没有实数根.实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？最根本的问题是要解决－1的开平方问题.即一个什么样的数，它的平方会等于－1.我们引入一个新数i ，它的平方等于－1 ●活动三：类比探究，研究新数i 的运算性质把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定： ①虚数单位i 的平方等于-1，即21i =-②i 的周期性：41n ii +=,421n i +=-43n +4n ③实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立.有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事.这样，就可以解决前面提出的问题（1-可以开平方，而且1-的平方根是i ±）.问题探究二：复数的概念 ●活动一：理解概念，复数的代数形式 怎样表示一个复数？根据虚数单位i 的第③条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加.由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a bi +这样，数的范围又扩充了，出现了形如(,)a bi a b R +∈的数，我们把它们叫做复数.复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋bi ，(其中a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部.复数的实部、虚部满足什么条件表示实数？ 对于复数a +bi (a,b ∈R ),当且仅当b =0时,它是实数; 当且仅当a =0且b =0时,它是实数0; 当b ≠0时,叫做虚数;当a =0且b ≠0时，叫做纯虚数; ●活动二：剖析概念复数m ＋ni 的实部、虚部一定是m 、n 吗？不一定，只有当m ∈R ，n ∈R ，则m 、n 才是该复数的实部、虚部. 对于复数a +bi 和c +di (a,b,c,d ∈R )，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？（a =c 且b =d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等.） 任意两个实数可以比较大小，复数呢？如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小. ●活动三：完善知识体系复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系是怎样的？复数z =(,)a bi a b R +∈包括：0,0)0)0,0)a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b●活动四：复数基本概念、复数的代数形式、复数充要条件的应用 例1、实数m 为什么值时()11z m m i=++-是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数答案：见解析解析：（1）当10m -=，即1m =时，复数z 是实数； (2)当10m -≠即1m ≠时，复数z 是虚数；(3)当10,10m m +=-≠即m 1=-时，复数z 是纯虚数.点拨：本题是对实数、虚数、纯虚数概念的考察.因为m R ∈,所以()()1,1m R m R +∈-∈.由z a bi =+是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定m 的值.例2、已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i (x ∈R )，求x 的值.答案：见解析解析：由复数相等的定义得⎩⎨⎧x 2－x －6x ＋1＝0.x 2－2x －3＝0.解得：x ＝3，所以x ＝3为所求.点拨：本题考察复数相等的充要条件.对于复数a +bi 和c +di (a,b,c,d ∈R )当且仅当a =c 且b =d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等例3、设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1＜z 2，求实数m 的取值范围. 答案：见解析解析：由于z 1＜z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0， m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1＜z 2. ∴z 1＜z 2时，实数m 的取值为m ＝1.点拨：本题考察对复数概念的理解.如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.●活动一 类比实数的几何意义，探究复数的几何意义若把a,b 看成有序实数对（a,b ），则（a,b ）与复数a +bi 是怎样的对应关系？有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系） 实数可以用数轴上的点来表示实数 一一对应实数轴上的点（几何模型）任何一个复数z =a +bi,都可以由一个有序实数对（a,b ）唯一确定.因为有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,复平面内的点Z (a ，b )；如图：复数z =a +bi 可以用点Z （a,b ）（复数的几何形式）来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点（除了原点）都表示纯虚数例4、实数m 取什么值时，复平面内表示复数()()22815514m m m m i -++--的点（1）位于第四象限；（2）位于y =x 上. 答案：见解析解析：(1)由()22815,514m m m m -+--位于第四象限，得2281505140m m m m ⎧-+>⎨--<⎩，解得，2357m m -<<<<或(2)由()22815,514m m m m -+--位于直线y =x 上，得22815=514m m m m -+--即293m =点拨：本题考察复数的几何意义即复数z =a +bi,与点Z （a,b ）一一对应.复数z a bi =+表示的点坐标为(),a b ，分别由条件，点()22815,514m m m m -+--位于第四象限、y =x 上可得●活动二：类比探究复数的另外一个几何意义除了用平面里的点表示复数，还可以用什么表示复数？还可以用向量！ 设复平面内的点Z （相对于原点来说）也可以由向量OZ 唯一确定.反之，也成立.因此，复数z =a +bi 与OZ 也是一一对应的（实数0与零向量对应），这是复数的另一种几何意义.复数z ，点Z (a,b ),OZ 三者关系如下：复数z a bi =+复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ . 复数的向量形式.以原点O 为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数. ●活动三：探究复数的模的几何意义向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +. 由模的定义知:22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈例5、已知复数z ＝3＋ai ，且|z |<4，求实数a 的取值范围.答案：见解析解析：方法一：∵z ＝3＋ai (a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7).方法二：利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋ai 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合. 由图可知：－7<a <7点拨：本题考察复数的几何意义即复数的模及考察数形结合思想.例6、设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形.(1)|z |＝2；(2)1≤|z |≤2. 答案：见解析解析：(1)方法一：|z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2， 这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.方法二：设z ＝a ＋bi ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.(2)不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.点拨：解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z |表示点Z 到原点的距离，可依据|z |满足的条件判断点Z 的集合表示的图形； 二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决 3.课堂总结 【知识梳理】(1)复数的分类：复数(z =a ＋bi ，a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎨⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋bi ＝c ＋di ⇔ a ＝c 且b ＝d . (3)复数与点、向量间的对应①复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,复平面内的点Z (a ，b )； ②复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,平面向量OZ →＝(a ，b ).(4)复数的模复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2. 【重难点突破】（1）对于复数概念，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数的实部、虚部，然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程（或不等式）的方法求出相应参数的取值(或取值范围)（2）对于复数相等的问题.必须保证实部和虚部都分别相等.（3）对于复数的向量表示，一定先准确找出复数所表示的向量是关键. 4.随堂检测1.若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i (a ∈R )不是纯虚数，则( ) A.a ＝－1 B.a ≠－1且a ≠2 C.a ≠－1 D.a ≠2 答案：C.解析：若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数.当a 2－a －2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a ≠－1且a ≠2；当a 2－a －2＝0且|a －1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a ＝2.综上所述，当a ≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数.点拨：纯虚数的概念、复数的代数形式2.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.1 B.0 C.－1 D.－1或1 答案：B解析：由题意知⎩⎨⎧m （m ＋1）＝0m 2－1≠0∴m ＝0.点拨：复数的概念、复数的代数形式3.在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案：B解析：∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限点拨：复数几何意义4.在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A.－2－iB.－2＋iC.1＋2iD.－1＋2i 答案：B解析：∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i点拨：复数几何意义 （三）课后作业 基础型自主突破1.说出复数i i 31,5,32--+的实部和虚部.答案：见解析解析： 复数2+3i 的实部是2，虚部是3；-5的实部是-5，虚部是0；i 31-的实部是0，虚部是31-点拨：复数的概念、复数的代数形式2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？72+，618.0，i 72，0，i ，2i ，85+i ，i 293-实数： 虚数： 纯虚数： 答案：实数有：72+，618.0，0，2i虚数有：i 72，i ，85+i ，i 293-纯虚数有：i 72，i 解析：略点拨：复数的概念、复数的代数形式3.设O 是原点，向量,OA OB →→对应的复数分别为23,32i i --+，那么向量BA →对应的复数是（ ）.55A i -+.55B i --.55C i +.55D i -答案：B解析：BA OA OB →→→=-(23)(32)i i =---+55i =-点拨：复数的概念、复数的几何意义4.下列n 的取值中，使n i =1(i 是虚数单位）的是（ ）A.n =2B .n =3C .n =4D .n =5答案：C.解析：因为41i =,点拨：复数的概念、复数的代数形式5.设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =（）A.8B.6C.4D.2答案：C解析：()a i =1=n i ，则最小正整数n 为4，点拨：复数的概念、复数的代数形式6.若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，试求实数m 的值.答案：见解析解析：若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，则⎪⎩⎪⎨⎧≠-=+-0306522m m m m ∴2=m 点拨：复数的概念、复数的代数形式能力型师生共研7.若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B.解析：∵θ∈(3π4，5π4)，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.点拨：复数的几何意义8.复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则有（ ）.0A a ≠.2B a ≠.02C a a ≠≠且.1D a =-答案：C 解析：需要110a --≠，即02a a ≠≠且.点拨：复数的概念、复数的代数形式9.集合｛Z ︱Z ＝Z n i i n n ∈+-,｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ）A.｛0，2，－2｝B.｛0，2｝C.｛0，2，－2，2i｝D.｛0，2，－2，2i，－2i｝答案：A解析：略点拨：根据n i成周期性变化可知.10.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解析：略点拨：复数的几何意义探究型多维突破11、复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A､B､C，若∠BAC是钝角，求实数c的取值范围.答案：见解析解析：在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC是钝角得AB AC<0,且B､A､C不共线,由(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0解得c>49,11其中当c=9时,(6,8)2AC AB==-,三点共线,故c≠9.∴c的取值范围是c>4911且c≠9.点拨：复数的几何意义，代数形式12、在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么？（1）|z-1-i|=|z+2+i|（2）|z+i|+|z-i|=4（3）|z+2|-|z-2|=1（4）若将（2）中的等于改为小于呢？答案：（1）直线；（2）椭圆；（3）双曲线延伸：（4）椭圆及其内部解析：略点拨；复数四则运算及复数几何意义自助餐1.已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（）A.0B.﹣1C.1D.﹣i答案：D解析：略点拨：复数的乘法运算2.设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（）A.﹣2﹣6iB.﹣2+2iC.4+2iD.4﹣6i答案：B解析：略点拨：复数的乘法运算3.实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（）A.2B.1C.﹣1D.﹣2答案：B解析：略点拨：复数的运算、复数相等的概念4.设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）A.B.C.±1D.答案：D解析：略点拨：复数的概念、复数的代数形式、复数的模5.2＋7，27i,0,8＋5i，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案：C.解析：27i，(1－3)i是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i是虚数.点拨：复数的概念、复数的代数形式6.已知复数z＝1a－1＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )A.1或－1B.1C.－1D.0或－1 答案：C.解析：因为复数z＝1a－1＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则⎩⎨⎧a2－1＝0，a－1≠0，解得a ＝－1点拨：复数的概念、复数的代数形式7.复数z ＝i cos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A.虚轴B.虚轴除去原点C.线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D.C 中线段PQ ，但应除去原点答案：C解析：略点拨：复数的几何意义8.已知(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.答案：－10解析：根据复数相等的充要条件可知：⎩⎨⎧ 2m －5n ＝3n ，3＝－(m ＋5)，解得⎩⎨⎧m ＝－8，n ＝－2.所以m ＋n ＝－10.点拨：复数的概念、复数的代数形式9.若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足________.答案：m ≠－1且m ≠6解析：m ≠－1且m ≠6. 因为m 2－3m －4＋(m 2－5m －6)i 是虚数，所以m 2－5m －6≠0，所以m ≠－1且m ≠6.点拨：复数的概念、复数的代数形式10、如果12log (m ＋n )－(m 2－3m )i >－1，如何求自然数m ，n 的值？答案：m ＝0，n ＝1 解析：因为12log (m ＋n )－(m 2－3m )i >－1，所以12log (m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数， 从而有21230log (m n)1m m ⎧-=⎪⎨+>-⎪⎩ 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾，综上可得m ＝0，n ＝1.点拨：复数的概念、复数的代数形式11.设复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i ，(1)当实数m 为何值时，z 是纯虚数？(2)当实数m 为何值时，z 是实数？答案：见解析解析：(1)因为复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧ m 2－2m －3＞0，lg(m 2－2m －3)＝0，m 2＋3m ＋2≠0.解得m ＝1±5，所以当m ＝1±5时，z 是纯虚数.(2)因为复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i 是实数，所以⎩⎨⎧m 2－2m －3＞0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2，所以当m ＝－2时，z 是实数.点拨：复数的概念、复数的代数形式12.已知复数|z |＝1，求复数3＋4i ＋z 的模的最大值及最小值.答案：见解析解析：令ω＝3＋4i ＋z ，则z ＝ω－(3＋4i ).∵|z |＝1，∴|ω－(3＋4i )|＝1，∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆， 如图，容易看出，圆上的点A 所对应的复数ωA 的模最大，为＋1＝6；圆上的点B 所对应的复数ωB 的模最小，为－1＝4，∴复数3＋4i ＋z 的模的最大值和最小值分别为6和4.点拨：复数的几何意义数学视野自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要.开始只有很少几个自然数，后来随着生产力的发展和记数方法的改进，逐步认识越来越多的自然数..从某种意义上说，幼儿认识自然数的过程，就是人类祖先认识自然数的过程的再现.随着生产的发展，在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中，都需要进行测量.在测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地度量下去，就必然产生自然数不够用的矛盾.这样，分数就应运而生.据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于分数的问题.引进分数,这是数的概念的第一次扩展.最初人们在记数时，没有“零” 的概念.后来，在生产实践中,需要记录和计算的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记数法，零的产生就不可避免的了.我国古代筹算中，利用“空位”表示零.公元6世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零. 但是，把“0”作为一个数是很迟的事.引进数0，这是数的概念的第二次扩充.以后,为了表示具有相反意义的量,负数概念就出现了.我国是认识正、负数最早的国家，《九章算术》中就有了正、负数的记载.在欧洲，直到17世纪才对负数有一个完整的认识.引进负数，这是数的概念的第三次扩充.数的概念的又一次扩充渊源于古希腊.公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯(Pythagqras，约公元前580～前500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的，为了得到不可公度线段比的精确数值，导致了无理数的产生.当时只是用几何的形象来说明无理数的存在，至于严格的实数理论，直到19世纪70年代才建立起来.引进无理数，形成实数系，这是数的概念的第四次扩充.数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾.16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案.由此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用,成功地经受了理论和实践的检验，最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位.引进虚数，形成复数系，这是数的概念的第五次扩充.上面,我们简要地回顾了数的发展过程.必须指出，数的概念的产生，实际上是交错进行的.例如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存在；在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了.直到19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过.后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构.从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G.Peano，1855～1939)、康托尔(G.Cantor，1845～1918)、戴德金(R.Dedekind，1831～1916)、外尔斯特拉斯(K.Weierstrass，1815～1897)等数学家的努力，完成了建立整个数系的逻辑工作.近代数学关于数的理论，是在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而建立起来的.作为数的理论系统的基础，首先要建立自然数系，然后逐步加以扩展.一般采用的扩展过程是N--------→Z--------→Q--------→R--------→C(自然数集) (整数集) (有理数集) (实数集) (复数集)科学的数集扩充，通常采用两种方法：一是添加元素法，即把新元素添加到已建立的数集中去；二是构造法,即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的.中、小学数学教学中，为了适应学生的年龄特征和接受能力,关于数系的扩充，主要是渗透近代数学观点，采用添加元素并强调运算的方法来进行的.其扩充过程是:自然数集(添零)→扩大的自然数集(添正分数)→算术数集(添负有理数) →有理数集(添无理数)→实数集(添虚数)→复数集数系的每一次扩充，都解决了一定的矛盾，从而扩大了数的应用范围.但是，数系的每一次扩充也会失去某些性质.例如，从自然数系N扩充到整数系Z后，Z 对减法具有封闭性，但失去N的良序性质，即N中任何非空子集都有最小元素.又如，由实数系R扩充到复数系C后，C是代数闭域，即任何代数方程必有根,但失去了R的顺序性，C中元素已无大小可言.数系扩充到复数系后，能否继续扩充?这个问题的答案是有条件的.如果要求完全满足复数系的全部运算性质,那么任何扩充都是难以成功的.如果放弃某些要求，那么进一步的扩充是可能的.比如，放弃乘法交换律，复数系C可以扩充为四元数系H,如果再适当改变对乘法结合律的要求，四元数系H又可扩充为八元数系Ca等等.当然,在现代数学中，通常总是把“数”理解为复数或实数，只有在个别情况，经特别指出，才用到四元数.至于八元数的使用就更罕见了.。

高中数学复数的基本概念与运算复数是数学中一个重要的概念，它在高中数学中有着广泛的应用。

本文将对高中数学中复数的基本概念与运算进行详述，以帮助读者更好地理解和应用复数。

1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi ，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分，i 为虚数单位，满足基本性质 i² = -1。

实数部分和虚数部分的乘积形成了复数的乘法关系。

2. 复数的表示形式复数可以用代数形式表示，如 a + bi，也可以用极坐标形式表示，如r(cosθ + isinθ)。

极坐标形式涉及到复数的模和辐角，用于方便进行复数的乘法和除法运算。

3. 复数的运算复数的加法和减法运算与实数的运算相似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

复数的乘法运算可以通过展开运算来实现，使用分配律进行实部和虚部的运算。

复数的除法运算可以通过乘以共轭复数的方法进行。

复数的运算满足交换律和结合律，但不满足除法的交换律。

4. 复数的共轭一个复数的共轭是保持实部不变，虚部取相反数的复数。

共轭复数在复数的乘法和除法运算中起到重要的作用。

两个复数的乘积的虚部为各自虚部的乘积取相反数，除法的结果为被除数与除数的共轭的商。

5. 复数的模和辐角复数的模表示复数到原点的距离，用数学符号表示为 |z|，计算公式为|z| = √(a² + b²)，其中 a 和 b 分别为复数的实部和虚部。

复数的辐角表示复数与实轴正半轴之间的夹角，用数学符号表示为 arg(z)。

辐角的计算可以利用三角函数的关系进行，例如tanθ = b/a。

6. 复数的幂与根对于一个复数 z = a + bi，它的整数幂可以通过将复数展开为极坐标形式来计算，即zⁿ = rⁿ(cos(nθ) + isin(nθ))，其中 r 和θ 分别为复数 z 的模和辐角。

复数的平方根可以通过解方程 z² = a + bi 来计算，解得的两个根分别为原根和共轭根。

实数与复数的性质及其运算规则实数与复数在数学中具有重要的地位。

实数是指数线上的数，它包括有理数和无理数。

而复数是指包含实数和虚数的数，它具有更加广泛的应用。

本文将从实数和复数的性质入手，分析它们的运算规则以及它们在数学和物理中的应用。

一、实数的性质实数的定义是任何可以在数轴上表示的数。

在实数范围内的数有加法、减法、乘法和除法。

对于任何两个实数a和b，它们之间都存在一个实数c，使得a+b=c；a-b=d；a×b=e；a÷b=f。

这些运算法则构成了实数的基本性质。

以下是实数的性质：1. 交换律：a+b=b+a；a×b=b×a。

2. 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；(a×b)×c=a×(b×c)。

3. 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c；a÷(b+c)=a÷b+a÷c。

4. 恒等律：a+0=a；a×1=a；a÷1=a。

5. 反元素律：a+(-a)=0；a×1/a=1。

二、复数的定义与性质复数是指由实数和虚数构成的数，其中实数部分为实数，虚数部分为i(虚数单位)乘以实数。

虚数部分可以表示为bi，其中b为实数，且i²=-1。

复数的一般形式为a+bi。

在复数范围内的数有如下的四种基本运算：加法、减法、乘法和除法。

加法：一个复数a+bi和另一个复数c+di相加，得到一个包含两个实部之和、两个虚部之和的新的复数：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

减法：一个复数a+bi和另一个复数c+di相减，得到一个包含两个实部之差、两个虚部之差的新的复数：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

乘法：一个复数a+bi和另一个复数c+di相乘，得到一个包含两个实部之积减去两个虚部之积的新的复数：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。