(完整版)高中数学复数讲义.教师版

高中数学必修第二册第七章复数（人教A 版2019）7.1复数的概念【基础梳理】 要点一、复数的概念我们把形如a bi +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位. 全体复数梭构成的集合C={}R b a bi a ∈+,|叫做复数集，其中.1i 2-= 复数的分类对于复数a bi +【a ，b R ∈】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b ≠0时，它叫做虚数，当a ＝0且b ≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R,是复数集C 的真子集，即CR ≠⊂.复数相等的充要条件在复数集C={}R b a |bi a ∈+，中任取两个数a bi +，c di +【a ，b ，c ，d ∈R 】，规定：a bi +与c di +相等当且仅当a=c 且b=d ，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。

要点二、复数的几何意义 复数z=a+bi()b a Z ,复平面内的点一一对应−−−→←.这是复数的一种几何意义.复数的几何意义---与向量对应 复数z=a+bi→−−−→←OZ平面向量一一对应,这是复数的另一种几何意义.复数的模和共轭复数 1.向量→OZ模叫做复数z=a bi +,的模或绝对值，记作z或bia +.即z=bia +=22b a +，其中a,b ∈R ，z表示复平面内的点Z ()b a ,到原点的距离。

2.如果b=0，那么z=a bi+是一个实数a，它的模就等于a()的绝对值a.共轭复数的定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复.虚部不等于 0的两个共轭复数，也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用-z表示，即如果z=a+bi,那么-z=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.共轭复数的几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.【课堂探究】例1.以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（）A. 2﹣2iB. 2+iC. ﹣+D. + i【答案】A【解析】解：的虚部为2，以=﹣2+ i的实部为﹣2，∴要求的新复数是2﹣2i，故选：A．【分析】利用实部与虚部的定义即可得出．例2已知z∈C，满足不等式的点Z的集合用阴影表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设z=x+yi（x，y∈R），则，化为x2+y2+xi﹣y﹣xi﹣y=x2+y2﹣2y=x2+（y﹣1）2﹣1＜0，即x2+（y﹣1）2＜1，故选：C．【分析】设z=x+yi（x，y∈R），代入，化简即可得出．【课后练习】1.已知复数是纯虚数，则实数（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】 D【解析】，因为为纯虚数且为实数，故，故，故答案为：D【分析】由题意利用纯虚数的定义，求得m的值。

第1章：复数与复变函数§1 复数1．复数域形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。

实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。

记为z x Re =， z y Im =虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数,实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。

复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数,z 的共轭复数记为z 。

设,复数的四则运算定义为加（减）法： 乘法：除法:相等：当且仅当复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域。

在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示,所有复数构成的集合用C 表示。

例 设i 3,i 5221+=-=z z ,求21z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐,可以利用共轭复数的运算结果。

解 为求21z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=zz z z z z z 2．复平面一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。

于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。

如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来,这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴,y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点所引的矢量与复数z 也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则,例如：这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系。

复数知识内容一、复数的看法1．虚数单位i:（1）它的平方等于 1 ，即i2 1 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律依旧建立．（3） i 与－ 1 的关系 :i 就是1的一个平方根，即方程21 的一个根，方程21 的另一个根是 -i ．x x（4） i 的周期性：i 4n 1i ， i 4n 2 1 ， i 4n 3i ， i 4 n 1 ．实数 a( b0)2．数系的扩大：复数a bibi( b0)纯虚数 bi( a0)虚数 a非纯虚数 a bi( a0)3．复数的定义：形如 a bi( a ，b R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的会集叫做复数集，用字母 C 表示4．复数的代数形式 :平时用字母 z 表示，即z a bi (a ，b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：关于复数 a bi ( a ，b R) ，当且仅当 b0时，复数 a bi( a ，b R) 是实数a；当 b 0 时，复数z a bi 叫做虚数；当a0 且 b0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时，z就是实数 06．复数集与其他数集之间的关系：N 苘Z Q 苘 R C7．两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，假如a，a，b，d，c ，d R ，那么 a bi c di a c ，b d二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数 z a bi( a ，b R ) 与有序实数对 a ，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是b，复数z a bi( a ，b R ) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．关于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 ，0 ，它所确立的复数是z 0 0i 0 表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数 z a bi一一对应复平面内的点 Z (a ，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数z1与z2的和的定义：z1z2 a bi c di a c b d i2．复数z1与z2的差的定义：z1 z2 a bi c di a c b d i3．复数的加法运算满足交换律: z1z2z2z14．复数的加法运算满足联合律: ( z1z2 )z3z1(z2 z3 )5．乘法运算规则：设 z1 a bi ， z2c di ( a、b、c、d R )是任意两个复数，那么它们的积 z1 z2 a bi c di ac bd bc ad i其实就是把两个复数相乘，近似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成1，而且把实部与虚部分别合并．两个复数的积依旧是一个复数．6．乘法运算律：（1） z1 z2 z3z1 z2 z3（2） (z1 z2 ) z3z1 ( z2 z3 )（3） z 1 z 2 z 3z 1 z 2 z 1 z 37． 复数除法定义：满足 c di x yia bi 的复数 x yi ( x 、 y R )叫复数 abi 除以复数 cdi 的商，记为：(a bi)c di 也许abic di8． 除法运算规则：设复数 a bi ( a 、 b R ) ，除以 c di ( c ， d R )，其商为 x yi （ x 、 yR ) ，即 ( a bi) c dixyi ∵ xyi c dicx dydx cy i∴ cxdydx cy i a bix ac bdcx dy ac 2d 2由复数相等定义可知，解这个方程组，得dxcyb bc，yadc 2d 2于是有 : (a bi)cdi ac bdbc adi2 222cdcd ②利用c di c di c 22abi的分母有理化得：d 于是将 c di原式a bi (abi)( c di) [ ac bi ( di)] (bc ad)ic di (cdi)( cdi)c2d2(acbd ) (bc ad)i ac bd bc adc 2d 2 c 2 d 2 c 2d 2 i ．∴ ( (abi)c di ac bd bc adc 2d 22d 2ic评论 : ①是惯例方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采纳的分母有理化思想方法，而复数 c di 与复数 c di ，相当于我们初中学习的3 2 的对偶式 3 2 ，它们之积为1是有理数，而 c di c dic 2d 2 是正实数．所以可以分母实数化．把这类方法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

知识内容一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于，即；1-21i =-（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:i 就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i ．1-21x =-21x =-（4）i 的周期性：， ， ， ．41n i i +=421n i +=-43n i i +=-41n i =2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3．复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做i()a b a b +∈R ，a b 复数集，用字母表示C 4．复数的代数形式:通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．z ()z a bi a b R =+∈，a bi +5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：0对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数()a bi a b R +∈，0b =()a bi a b R +∈，a 0b ≠叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数z a bi =+0a =0b ≠z bi =0a b ==z 0复数h i n6．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C ÜÜÜÜ7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，a ， ，，那么，a b d ，，c d ∈R i ia b c d +=+⇔a c =b d =二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横i()z a b a b =+∈R ，()a b ，Z 坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来a b i()z a b a b =+∈R ，()Z a b ，表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表x y 示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是()00，表示是实数．00i 0z =+=除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数复平面内的点z a bi =+←−−−→一一对应()Z a b ，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数与的和的定义：1z 2z 12z z +=()()i i a b c d +++=()()ia cb d +++2．复数与的差的定义：1z 2z 12z z -=()()i i a b c d +-+=()()ia cb d -+-3．复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4．复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++5．乘法运算规则：设，(、、、)是任意两个复数，1i z a b =+2i z c d =+a b c d ∈R 那么它们的积()()()()12i i izz a b c dac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与2i 1-虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z =（2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()1231213z z z z z z z +=+7．复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：()()()i i i c d x y a b ++=+x yi +x y ∈R a bi +c di +或者()()a bi c di +÷+a bi c di++8．除法运算规则：设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，i a b +a b ∈R i c d +c d ∈R i x y +x y ∈R 即∵()(i)i i a b c d x y +÷+=+()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++∴()()i icx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知解这个方程组，得cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adic d c d +-=+++②利用于是将的分母有理化得：()()22i i c d c d c d +-=+iia b c d ++原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+．222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d++-+-==++++∴(()(i)i a b c d +÷+=2222iac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，它们之积i c d +i c d --为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分1()()22c di c di c d +-=+母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

【知识要点】1.虚数单位引入一个新数i ，叫做虚数单位，规定：21i =-。

0a ≥a R ∈。

2.复数集及其分类形如(),a bi a b R +∈的数称为复数，复数集用字母C 表示。

只有实数之间才能比较大小。

复数()(0),(0,0)(0)(0,0)b a bi a b R a b b a b =⎧⎪+∈=≠⎧⎨≠⎨⎪≠≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数的虚数3.复数的实部、虚部、共轭、模对于(),z a bi a b R =+∈，a 叫做复数z 的实部，记作Re z ；b 叫做复数z 的虚部，记作Im z 。

对于(),z a bi a b R =+∈，定义它的共轭复数z a bi =-。

对于(),z a bi a b R =+∈，定义它的模z = 复数相等的充要条件(),a bi a b R +∈与(),c di c d R +∈相等的充要条件是a c =且b d =4.复数的运算加减法：()()()()a bi c di a c b d i +++=+++，()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+- 乘除法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++，()22220a bi ac bd bc adc di i c di cd c d++-+≠=++++ 把()n n N+∈个z 相乘记作nz，定义()1,0nn zn N z z-+=∈≠，定义()001z z ≠= n 次方根若(),2n x z n N n +=∈≥，则称x 为z 的n 次方根。

2次方根又称平方根，3次方根又称立方根。

非零复数在复数域内有n 个n 次方根。

复数及其三角形式【例题1】若()23f z z z i =+-，0()63f z i i +=-，试求0()f z -．【例题2】若()220,0x xy y x y ++=≠，求20182018x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【例题3】设z 为复数，且0z z -≠，2r z z+∈R ，0r >，证明：z r z r -+是纯虚数．【例题4】设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<． ⑴求z 的值及z 的实部的取值范围；⑵设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数；⑶求2w u -的最小值．【例题5】（1）12122,3,4z z z z ==+=，求1122,z z z z -（2）2z z z R z-=∈，求z【例题6】（1）设复数1z ，2z 满足12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=，其中A =12z A z A +⋅+的值．（2）已知复数12,z z 满足122,3z z ==；12632(3)5z z i -=+；试求12z z 的值；【例题7】k R ∈，z C ∈ ，1z =，求21z kz ++的最大值【例题8】复平面单位圆上四个不同点1234,,,Z Z Z Z 对应的复数是1234,,,z z z z ，12340z z z z +++=，求证：1234,,,Z Z Z Z 四个点组成的图形为矩形。

3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨]设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数， ∴由 az ＋2b z＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、 填空题1．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为________． 解析：(－i ＋3)－(－2＋5i) ＝－i ＋3＋2－5i ＝－6i ＋5.答案：5－6i2．若复数z ＝1－2i ，(i 为虚数单位)则z ·z ＋z 的实部是________． 解析：∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i＝－2i又z＋z＝2.∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.。