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第三节匀变速直线运动的位移与时间的关系一、位移时间公式1、推导：①图像法：（由v-t图像求位移）---微元的思想结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线与对应的时间轴所包围的面积．即：位移与时间关系式：x＝v0t＋12at2.②解析法：（由平均速度求得）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+==atvvvvvt vxtt2得：x＝v0t＋12at2.2、物理意义：在匀变速直线运动中位移随时间变化的规律。
3、注意：①适用范围：匀变速直线运动。
②决定关系：位移的决定式，即匀变速直线运动中位移是由初速度、加速度、时间共同决定。
③比例关系：二次关系，也叫非线性关系。
④同一性：x、a、v0、vt具有同一性。
⑤合理性：已知位移反求时间，可能有两个值，要合理取舍。
二、速度--时间公式应用1、使用方法：①判断：运动性质（a为定值）。
②确定：研究对象和研究过程。
③设定：正方向（一般初速度的方向为正方向，无初速度则选择加速度为正方向）。
④公式应用：x＝v0t＋12at2；（此式子为矢量式，应将方向带入求解）⑤结果：结果如何为矢量，大小方向都需要求解。
2、例子：已知一个物体以向西的初速度4m/s做匀变速直线运动，其加速度大小为2m/s2，求1s末、2s末、4s末、8s末的速度和位移和路程，如果该物体是汽车，则结果又将如何？．三、推论1、逐差相等原理：在匀变速直线运动中，相邻相等的时间间隔位移之差是一个定值。
表达式：△x=aT 2．推导：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=212022019213421221T a T v x T a T v x aT T v x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=-20232012521321T a T v x x T a T v x x 2aT x =∆ 2、比例关系：初速度为零的匀加速直线运动中①在前T ，前2T ，前3T 的位移之比1:4:9……n2②在第T ，第2T ，第3T 的位移之比1:3:4……（2n-1） 3、逆向思维法：末速度为零的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为零的匀加速直线运动。
匀变速直线运动的位移与时间的关系【考点归纳】（1）匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x＝v0t+at2。
（2）公式的推导①利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。
②利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t内的平均速度就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即＝．结合公式x＝vt和v＝v t+at可导出位移公式：x＝v0t+at2（3）匀变速直线运动中的平均速度在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度v t/2＝v0+a×t＝，该段时间的末速度v＝v t+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得＝＝＝v0+at＝＝＝＝v t/2。
即有：＝＝v t/2。
所以在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。
（4）匀变速直线运动推论公式：任意两个连续相等时间间隔T内，位移之差是常数，即△x＝x2﹣x1＝aT2．拓展：△x MN＝x M﹣x N＝（M﹣N）aT2。
推导：如图所示，x1、x2为连续相等的时间T内的位移，加速度为a。
【命题方向】例1：对基本公式的理解汽车在平直的公路上以30m/s的速度行驶，当汽车遇到交通事故时就以7.5m/s2的加速度刹车，刹车2s内和6s内的位移之比（）A.1：1B.5：9C.5：8D.3：4分析：求出汽车刹车到停止所需的时间，汽车刹车停止后不再运动，然后根据位移时间公式求出2s内和6s内的位移。
解：汽车刹车到停止所需的时间＞2s所以刹车2s内的位移＝45m。
t0＜6s，所以刹车在6s内的位移等于在4s内的位移。
＝60m。
所以刹车2s内和6s内的位移之比为3：4．故D正确，A、B、C错误。
匀变速直线运动位移与时间的关系知识集结知识元匀变速直线运动的位移与时间的关系知识讲解匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x=v0t+at2．公式的推导①利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示．②利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t内的平均速度就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即．结合公式x=vt和v=v0+at可导出位移公式：x=v0t+ at2例题精讲匀变速直线运动的位移与时间的关系例1.一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1s内的位移是1m，物体在第3s内的位移是（）A．2m B．3m C．5m D．8m例2.为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度（轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动），某人拍摄一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2s曝光一次，轿车车身总长为4.5m，那么这辆轿车的加速度为（）A．1m/s2B．2.25m/s2C．3m/s2D．4.25m/s2例3.2015年9月2日，“抗战专列”在武汉地铁4号线亮相，引得乘车市民纷纷点赞．若该地铁列车先从甲站开始做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，通过位移L后，立即做加速度大小也为a的匀减速直线运动，恰好到乙站停下．则列车从甲站到乙站所用时间为（）A．B．2C．2D．4当堂练习单选题练习1.一个物体在水平直线上做匀加速直线运动，初速度为3m/s，经过4s它的位移为24m，则这个物体运动的加速度等于（）A．1.5m/s2B．2m/s2C．4m/s2D．0.75m/s2练习2.小球以某一较大初速度冲上一足够长光滑斜面，加速度大小为5m/s2则小球在沿斜面上滑过程中最后一秒的位移是（）A．2.0m B．2.5m C．3.0m D．3.5m练习3.“蛟龙号”是我国首台自主研制的作业型深海载人潜水器，它是目前世界上下潜能力最强的潜水器．假设某次海试活动中，“蛟龙号”完成海底任务后竖直上浮，从上浮速度为v时开始计时，此后“蛟龙号”匀减速上浮，经过时间t上浮到海面，速度恰好减为零，则“蛟龙号”在t0（t0<t）时刻距离海平面的深度为（）A．B．C．D．练习4.一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1s内的位移是1m，物体在第3s内的位移是（）A．2m B．3m C．5m D．8m练习5.为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度（轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动），某人拍摄一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2s曝光一次，轿车车身总长为4.5m，那么这辆轿车的加速度为（）A．1m/s2B．2.25m/s2C．3m/s2D．4.25m/s2练习6.2015年9月2日，“抗战专列”在武汉地铁4号线亮相，引得乘车市民纷纷点赞．若该地铁列车先从甲站开始做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，通过位移L后，立即做加速度大小也为a的匀减速直线运动，恰好到乙站停下．则列车从甲站到乙站所用时间为A．B．2C．2D．4。
3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
一、匀变速直线运动的位移 1．利用v －t 图像求位移
v －t 图像与时间轴所围的 表示位移，如图1所示，x ＝1
2
(v 0＋v )t .
图1
2．匀变速直线运动位移与时间的关系式x ＝v 0t ＋12at 2，当初速度为0时，x ＝1
2at 2.
二、速度与位移的关系 1．公式：v 2－v 02＝
2．推导：由速度时间关系式v ＝ 位移时间关系式x ＝v 0t ＋1
2at 2
得v 2－v 02＝ .
1．判断下列说法的正误．
(1)在v －t 图像中，图线与时间轴所包围的“面积”与物体的位移相等．( )
(2)位移公式x ＝v 0t ＋1
2at 2仅适用于匀加速直线运动，而v 2－v 02＝2ax 适用于任意运动．( )
(3)初速度越大，时间越长，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大．( ) (4)因为v 2－v 02＝2ax ，v 2＝v 02＋2ax ，所以物体的末速度v 一定大于初速度v 0.( )
2．某质点的位移随时间的变化关系是x ＝4t ＋4t 2 (m)，则质点的初速度是v 0＝________ m/s ，加速度a ＝________ m/s 2，2 s 内的位移为________ m.
3．汽车沿平直公路从A 至B 的过程中做匀加速直线运动，A 、B 间距离为15 m ，经过A 点的速度为5 m/s.已知加速度为2.5 m/s 2，则汽车经过B 点时的速度为________ m/s.
一、匀变速直线运动的位移 1．位移公式的推导
某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v 0，在t 时刻的速度为v ，加速度为a .其v －t 图像如图2所示．
图2
(1)把匀变速直线运动的v －t 图像分成几个小段，如图所示．每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形的面积．故整个过程的位移≈各个小矩形的面积之和．
(2)把运动过程分为更多的小段，如图3所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移．
图3
(3)把整个运动过程分得非常细，很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC ，梯形面积就代表物体在相应时间间隔内的位移． 如图4所示，v －t 图线下面梯形的面积
图4
x ＝1
2(v 0＋v )t ① 又因为v ＝v 0＋at ② 由①②式可得 x ＝v 0t ＋1
2
at 2.
2．对位移时间关系式x ＝v 0t ＋1
2
at 2的理解
(1)适用条件：位移公式只适用于匀变速直线运动．
(2)矢量性：公式中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v 0的方向为正方向． ①匀加速直线运动中，a 与v 0同向，a 取正值；匀减速直线运动中，a 与v 0反向，a 取负值． ②若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反． (3)两种特殊形式
①当v 0＝0时，x ＝1
2at 2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x 与t 2成正比．
②当a ＝0时，x ＝v 0t ，即匀速直线运动的位移公式．
某物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s 2，求：
(1)物体在2 s 内的位移大小； (2)物体在第2 s 内的位移大小； (3)物体在第二个2 s 内的位移大小．
针对训练1 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1秒内的位移为2 m ，则下列说法正确的是( )
A ．物体运动的加速度为2 m/s 2
B ．物体第2秒内的位移为4 m
C ．物体在第3秒内的平均速度为8 m/s
D ．物体从静止开始通过32 m 的位移需要4 s 的时间 二、匀变速直线运动速度与位移的关系 导学探究
如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a ，起飞速度为v ，则跑道的长度至少为多长？
答案 由v ＝at 可得飞机从开始运动到起飞所用时间 t ＝v a
. 所以飞机起飞所通过的位移为x ＝12at 2＝v 2
2a .
知识深化
对速度与位移的关系v 2－v 02＝2ax 的理解 1．适用范围：仅适用于匀变速直线运动．
2．矢量性：公式中v 0、v 、a 、x 都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v 0方向为正方向：
(1)若是加速运动，a 取正值，若是减速运动，a 取负值．
(2)x ＞0，位移的方向与初速度方向相同，x ＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位
移．
(3)v ＞0，速度的方向与初速度方向相同，v ＜0则为减速到0，又返回过程的速度． 注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性． 3．公式的特点：不涉及时间，v 0、v 、a 、x 中已知三个量可求第四个量．
长100 m 的列车通过长1 000 m 的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度
是10 m/s ，完全出隧道时的速度是12 m/s ，求： (1)列车过隧道时的加速度的大小； (2)通过隧道所用的时间．
针对训练2 (2018·哈师大附中高一期中)假设某列车在某一路段做匀加速直线运动，速度由10 m/s 增加到30 m/s 时的位移为x ，则当速度由30 m/s 增加到50 m/s 时，它的位移是( ) A ．x B ．1.5x C ．2x D ．2.5x 三、刹车问题分析
一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h 的速度行驶，司机看见红色信号灯后便立即踩
下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s 2，求： (1)开始制动后，前2 s 内汽车行驶的距离； (2)开始制动后，前5 s 内汽车行驶的距离．
刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此类问题的思路是：
(1)先求出它从刹车到停止的刹车时间t 刹＝v 0a
；
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．若t >t 刹，不能盲目把时间代入；若t <t 刹，则在t 时间内未停止运动，可用公式求解．
针对训练3 汽车以20 m/s 的速度做匀速直线运动，某时刻关闭发动机而做匀减速直线运动，加速度大小为5 m/s 2，则它关闭发动机后通过37.5 m 所需时间为( ) A ．3 s B ．4 s C ．5 s
D ．6 s
1．(位移公式的应用)飞机起飞的过程可看成是由静止开始在平直跑道上做匀加速直线运动．飞
机在跑道上加速到某速度值时离地升空飞行．已知飞机在跑道上加速前进的距离为1 600 m ，所用时间为40 s ，则飞机的加速度a 和离地速度v 分别为( ) A ．2 m/s 2 80 m/s B ．2 m/s 2 40 m/s C ．1 m/s 2 40 m/s
D ．1 m/s 2 80 m/s
2．(位移公式的应用)一个做匀加速直线运动的物体，初速度v 0＝2.0 m/s ，它在第3 s 内通过的位移是4.5 m ，则它的加速度为( ) A ．0.5 m/s 2 B ．1.0 m/s 2 C ．1.5 m/s 2
D ．2.0 m/s 2
3．(速度与位移关系的应用)汽车紧急刹车后，车轮在水平地面上滑动一段距离后停止，在地面上留下的痕迹称为刹车线．由刹车线的长短可知汽车刹车前的速度．已知汽车刹车做减速运动的加速度大小为8.0 m/s 2，测得刹车线长25 m ．汽车在刹车前的瞬间的速度大小为( ) A ．10 m/s B ．20 m/s C ．30 m/s
D ．40 m/s
4．(速度与位移关系的应用)如图5所示，物体A 在斜面上由静止匀加速滑下x 1后，又匀减速地在水平面上滑过x 2后停下，测得x 2＝2x 1，则物体在斜面上的加速度a 1与在水平面上的加速度a 2的大小关系为( )
图5
A ．a 1＝a 2
B ．a 1＝2a 2
C ．a 1＝1
2
a 2
D ．a 1＝4a 2
5．(刹车问题)(2019·豫南九校高一上学期期末联考)汽车在平直公路上以10 m/s 的速度做匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小是2 m/s 2，求： (1)汽车经3 s 时速度的大小； (2)汽车经6 s 时速度的大小；
(3)从刹车开始经过8 s ，汽车通过的距离．。
