《复数的概念》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】

教学设计：2024秋季人教A版高中数学必修第二册第七章复数《复数的概念》一、教学目标（核心素养）1.数学抽象：学生能够理解复数的产生背景，抽象出复数的概念，并认识复数集是实数集的扩展。

2.逻辑推理：通过实例分析，学生能够理解复数相等的充要条件，以及复数与实数在运算上的异同，培养逻辑推理能力。

3.数学运算：掌握复数的代数形式及其基本运算（加、减、乘、除），提高数学运算能力。

4.直观想象：借助复平面，培养学生的空间想象能力，理解复数与点的对应关系。

二、教学重点•复数的概念及其代数表示。

•复数相等的充要条件。

•复数的基本运算规则。

三、教学难点•理解复数概念的必要性和合理性。

•掌握复数运算的法则，特别是复数乘法和除法的运算。

四、教学资源•多媒体课件（包含复数历史背景、复平面图示、运算示例等）•黑板与粉笔（用于板书关键步骤和结论）•教材及配套习题册•复数计算器（可选，用于学生实践运算）五、教学方法•讲授法：系统介绍复数的概念、表示方法及基本运算。

•直观演示法：利用复平面直观展示复数与点的对应关系。

•练习法：通过例题和习题，加强学生对复数运算的掌握。

•讨论法：组织学生讨论复数在实际问题中的应用，加深理解。

六、教学过程1. 导入新课•历史背景引入：简述复数产生的历史背景，如解方程时遇到的根无法用实数表示的情况，引出复数的概念。

•生活实例：举出与复数相关的生活实例或科学应用，激发学生兴趣。

2. 新课教学•复数的概念：•定义复数：形如a+bi（a,b∈R，且i2=−1）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。

•强调复数集是实数集的扩展，复数与实数的关系。

•复数的代数表示：•展示复数在复平面上的表示方法，即每一个复数都对应复平面上的一个点，该点的横坐标是复数的实部，纵坐标是复数的虚部。

•强调复数与向量的联系，但指出它们之间的区别（复数具有代数运算性质，而向量主要关注方向和长度）。

•复数相等的充要条件：•说明两个复数相等的条件是它们的实部和虚部分别相等。

某某省民勤县第五中学高中数学《复数的概念及运算》教案 新人教A 版必修2授课类型：复习课教学目标：1. 知识与技能：复习复数的概念，掌握复数代数形式的四则运算。

2. 过程与方法：通过复习知识点和讲解典型例题，使学生建立这一章的知识体系， 并能运用所学知识解决高考中的复数问题。

3. 情感态度与价值观：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是的科学态度。

教学重点：复数的概念及四则运算。

教学难点：复数的几何意义及乘方，除法运算。

教学方法：讲授教学过程：一、 知识点梳理1、 复数的概念：⑴ 形如z=a+bi （R b R a ∈∈,）的数叫做复数，其中a 叫复数的实部，b 叫虚部。

① 当且仅当b=0时,z 为实数。

② 当且仅当a=0,b ≠0时，z 为纯虚数。

③ 当且仅当a=b=0时，z=0.（2）复数相等的条件a+bi=c+di 当且仅当 a=c,b=d2 复数的四则运算（a+bi ）+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（a+bi ）-(c+di)=(a-c)+(b-d)i（a+bi ）(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)ii d c ad bc d c bd ac di c bi a 2222+-+++=++ 乘方,14=n i i i n =+14,124-=+n i ,34i i n -=+(Z n ∈)4. 复数的几何意义复数的模 |z|=|oz |=22b a +，共轭复数：a+bi 与a-bi 互为共轭复数二．例题讲解例1：已知z=(652+-m m )+)103(2-+m m i, (m R ∈),求满足下列条件的m 的值 （1） z 是实数。

（2） z 是虚数。

（3） z 是纯虚数分析：（1）本题主要是巩固学生对复数中实数，虚数，纯虚数的概念的掌握。

（2）教学中可以提问学生，由学生解答，教师板书解答过程（3）学生易出现逻辑错误，通过提问和分析引起学生注意。

《复数的概念》说课稿及教案教学目标：（1）理解复数相等、复平面和复数的模的概念；初步掌握复数集与复平面上的点的集合之间的一一对应关系。

（2）在培养学生类比、转化和数形结合的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。

（3）培养学生科学探索精神和辨证唯物主义思想。

教学重点：复数相等的内涵、复平面的概念。

教学难点：复平面的概念。

教学方法：启发式。

教学手段：运用多媒体技术和实物投影仪。

教学过程：引言：在人和社会的发展过程中，常常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。

符合客观发展规律的要发扬和完善，不符合的要否定和抛弃。

那么，在实数集向复数集发展的过程中，我们应该如何发扬和完善，否定和抛弃呢？思考：如何探索复数集的性质和特点？探索途径：(1)实数集原有的有关性质和特点能否推广到复数集？(2)从复数的特点出发，寻找复数集新的（实数集所不具有）性质和特点？回顾实数集具有的一些性质。

引入课题：复数的有关概念问题一：你认为满足什么条件，可以说这两个复数相等？（请学生议论，对复数相等的概念达成共识，并揭示复数相等的内涵。

）例1 设x，y∈R，并且(2x－1)+xi=y－(3－y)i，求x，y。

解题思考：复数相等的问题转化为求方程组的解的问题。

问题二：任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。

（让学生议论后发言，教师点评。

）问题三：对于实数，我们找到了一个几何模型------数轴(一条规定了正方向、原点和单位长度的直线)------用数轴上的点来表示实数，并且使它们一一对应。

你能否找到一个几何模型，用它来表示复数？（请学生议论后发言，教师点评。

）引入复平面，实轴，虚轴概念。

阅读教材第39页有关内容，然后进行概念辨析。

例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m 允许的取值范围。

变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。

学情分析在前一节数系的扩充的学习中，学生对已知的数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有了比较清晰认识，学生体会到了数系的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要，感受到了人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

这个班的同学数学基础较好，对数系的扩充有了很好的了解。

在学习本节课的过程中，复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，由于前一节课已经讲解过的数集的扩充的历史，学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.所以我在课前让其自己寻找几个著名数学家关于虚数的贡献，教学中通过方程的解在不同数系中的变化，从问题出发通过问题探究教学从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。

效果分析现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本课从方程根的改变有意识地营造一个较为自由的空间，让学生能主动地去观察、发现、归纳，积极地动脑，能够抓住复数的概念进行相关问题的研究，从问题出发，自然发现新知识、巩固新知识又过渡到下一个新知识，以问题串起学习的所有知识，达到了使探讨的问题层层递进深入的目的。

课堂注重学生的参与和互动，使学生的思维得到了发展，激发了学生的学习兴趣，使学生在学知识的同时形成方法。

本节课注重知识的衔接，使学生在不知不觉中学习新知识。

通过学生创造，观察，归纳，反思、潜移默化的培养良好的数学思维品质和学习习惯，同时通过自我评价来获得成功的快乐，提高学生学习的自信心。

整个教学过程突出了三个注重： 1. 注重学生参与知识的形成过程，体验新知识的作用。

2. 注重师生间、同学间的互动协作、共同提高。

3.注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活应用。

通过本节课的学习，学生当堂能够掌握复数的概念，能解决复数分类和相等问题。

教材分析《复数的概念》是人教版普通高中数学实验教材选修2-2第三章第2节的内容，课时安排2课时,本节课是第一课时。

《复数的概念》教学设计第1课时◆教学目标1.了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．◆教学重难点◆教学重点：理解复数的必要性，明白复数及其相关概念，掌握复数的几种类．教学难点：复数的分类及相关概念的辨析．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本章将要研究哪类问题？（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容.预设的答案：（1）本章将要研究复数.（2）复数，一方面是解决人类生活生产实际问题的需要，另一方面也是解决数学自身发展所遇到矛盾的需要.（3）起点是“数”的认识过程，目标是通过研究复数，明确复数的概念，了解复数的运用.设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、问题导入问题2：类似=1的方程，在实数范围内无解，那么能否向前面一样引入一种新的数，使得这个方程有解，并将实数进行扩充呢？师生活动：学生先回忆初中学过的有理数集、实数集等．【想一想】是否可以引入一个新的单位使得类似=－1的方程有解？师生活动：引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：（1）i 2= -1；（2）实数与i 可以进行加法和乘法运算：实数a 与数i 相加记为：a +i实数b 与数i 相乘记为：b i ，并规定0• i =0实数a 与 b i 相加记为：a +b i 引语：要解决这个问题，就需要进一步学习复数的概念.（板书：复数的概念）【新知探究】1．分析实例，感知复数的概念，逐步分析出实数与 i 的四则运算．问题3：规定i 的平方等于1-，即2i 1=-，称i 为虚数单位．（1）你认为可以怎样表示2与的和？又该怎样表示3减去 ？（2）你认为5与的乘积可以怎样表示？预设的答案：（1）2,3i i +-；（2）5i追问：这些还表示实数吗？如何定义复数集，复数集中原有的加法、乘法运算律仍然成立吗？（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.） 预设的答案： 全体复数组成的集合叫做复数集，记作C ，记作(,)z a bi a R b R =+∈∈ ，其中 i 为虚数单位，a 实部； b 虚部．复数集中原有的加法、乘法运算律仍然成立．设计意图：感知复数的概念，分析出实数与 i 的四则运算2.在大量实例感知的基础上，总结出复数的概念．问题4：下列数32,2,6i i +-，分别有什么特点？预设的答案：32i +的实部是3，虚部是2；－2的实部是－2，虚部是0；6i 的实部是0，虚部是6.追问：根据实数a 和b 的取值不同，我们可以将复数分成哪几类？师生活动：当且仅当 时，Z =a +b i 表示实数；当 时，Z =a +b i 叫做虚数；特别的，当 时，Z =a +b i 叫做纯虚数．预设的答案：0b = 0b ≠ 0,0a b =≠即：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题5：两个实数可以相等，两个复数可以相等吗？师生活动：两个复数12,z z ，如果实部与虚部都对应相等，我们就说着两个复数相等，记作12z z =．追问：两个复数可以比较大小吗？预设的答案：两个复数当且仅当都是实数时，可以比较大小．设计意图：进一步理解复数的概念【巩固练习】例1. (1)给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是a ＝________，b ＝________.(3)下列命题正确的是__________(填序号)．①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋2i 的充要条件是x ＝1，y ＝2；②若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；③实数集的补集是虚数集．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)对于①，当z ∈R 时，z 2≥0成立，否则不成立，如z ＝i ，z 2＝－1＜0，所以①为假命题；对于②，2i －1＝－1＋2i ，其虚部为2，不是2 i ，所以②为假命题；对于③，2 i ＝0＋2i ，其实部是0，所以③为真命题(2)由题意，得a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5.(3)①由于x ，y 都是复数，故x ＋y i 不一定是代数形式．因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．②当a ＝0时，a i ＝0为实数，故②为假命题．③由复数集的分类知，③正确，是真命题．设计意图：通过类比理解复数的表示方法，让学生经历抽象过程、发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．例2. 已知m ∈R ，复数z ＝(2)1m m m +-＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时． ①z 为实数？ ②z 为虚数？ ③z 为纯虚数？师生活动：依据复数的分类列出方程(不等式)组求解．预设的答案：①要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且(2)1m m m +-有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.②要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且(2)1m m m +-有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.③要使z 为纯虚数，需满足(2)1m m m +-＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.设计意图：通过例题，进一步明确复数的分类，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养．例3. (1)若(x ＋y )＋y i ＝(x ＋1) i ，求实数x ，y 的值；(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值． 师生活动：根据复数相等的充要条件求解．预设的答案：(1)由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧ x ＝－12，y ＝12.(2)设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ． 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，a ＝11，或⎩⎨⎧ m ＝－52，a ＝－715，所以实数a 的值为a ＝11或－715. 设计意图：根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理的核心素养．【课堂小结】问题：1．复数的概念是什么，如何分类的？2. 如何运用两复数相等的充要条件？3. 两个复数能比较大小的充要条件是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数b i(b ≠0，b ∈R )不要只记形式，要注意b ≠0.2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．设计意图：通过梳理本节课的内容，体会虚数引入的必要性，并让学生类比理解复数的表示方法，让学生经历虚数产生及复数表示过程，发展学生数学抽象、逻辑推理等核心素养．布置作业：【目标检测】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( )(3)b i 是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 设计意图：巩固复数的概念．2．设i 为虚数单位，若2i 3i a b +=-，a ，b ∈R ，则a+bi =( )A ．23i +B ．32i -+C ．32i -D ．32i -- 设计意图：巩固运用复数相等的充要条件．3．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1) i 是纯虚数；②若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i(x ∈R )是纯虚数，则x ＝±1；③两个复数不能比较大小．其中错误命题的序号是__________．设计意图：巩固纯虚数的概念．4．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9) i ＜0，则实数m ＝________.设计意图：巩固运用复数的分类．5．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0. 设计意图：巩固运用复数的分类．参考答案：1． (1)× (2)√ (3)× (4)√2． B 【详解】由23ai b i +=-，a ，b ∈R ，得3a =-，2b =，则32a bi i +=-+.故选：B.3． ①②③ 当a ＝－1时，(a ＋1) i ＝0，故①错误；若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2) i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝1，故②错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，③中忽视了这 一特殊情况，故③错．4．－3 ∵z ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0m ＋1＜0，∴m ＝－3. 5．由m 2＋5 m ＋6＝0得，m ＝－2或m ＝－3，由m 2－2 m －15＝0得m ＝5或m ＝－3.(1)当m 2－2 m －15＝0时，复数z 为实数，∴m ＝5或m=－3.(2)当m 2－2 m －15≠0时，复数z 为虚数，∴m ≠5且m ≠－3.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是纯虚数，∴m ＝－2. (4)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －15＝0 ，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是0，∴m ＝－3.。

（新）统编人教高中数学A版必修二第七章第1节《复数的概念》优质说课稿今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修二的第七章第1节《复数的概念》。

第七章主要讲复数知识.本章我们将体会数学家引入复数的必要性，了解从实数系到复数系的扩充过程和方法，研究复数的表示、运算及其几何意义，体会“数”与“形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用.第1节主要讲复数的概念。

本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。

一、说课程标准普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）【内容要求】主题三：几何与代数——２.复数。

复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用。

本单元的学习，可以帮助学生通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义。

内容包括：复数的概念、复数的运算、复数的三角表示。

二、教材分析。

复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的学习，可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识。

本节内容包括从实数系扩充到复数系的过程与方法、复数的概念、复平面、复数的模、共轭复数、复数与复平面内点、平面向量的一一对应。

三、说教学目标和核心素养。

（一）教学目标1.了解引入复数的必要性；2.了解数系扩充的一般“规则”，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养；3.理解复数的代数表示式、有关概念、复数相等的含义；4.理解复数的几何意义，在复平面内表示满足一定条件的复数. （二）核心素养1.数学抽象：通过理解复数及相关概念培养学生抽象思维能力；2.逻辑推理：掌握复数的分类及复数相等的充要条件；3.直观想象：复数的表示法；4.数学运算：复数相等的充要条件；5.数学建模：通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.四、说教学重难点。

复数的有关概念高中数学教案一、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的表示方法。

2. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。

3. 引导学生掌握复数的运算规则，提高学生的数学运算能力。

二、教学内容1. 复数的概念：引入复数的概念，解释实数和虚数的概念。

2. 复数的表示方法：用代数形式表示复数，介绍复数的标准形式。

3. 复数的运算规则：讲解复数的加法、减法、乘法和除法运算规则。

4. 复数的几何意义：介绍复数的几何表示，解释复平面的概念。

5. 复数的应用：举例说明复数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：复数的概念、表示方法、运算规则和几何意义。

2. 难点：复数的运算规则和几何意义。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解复数的有关概念和运算规则。

2. 利用图形和实例，直观地展示复数的几何意义。

3. 引导学生运用复数解决实际问题，提高学生的应用能力。

4. 组织课堂讨论，让学生提问、交流和分享。

五、教学准备1. 教案、教材、多媒体教学设备。

2. 复数的相关图形和实例。

3. 练习题和课后作业。

六、教学过程1. 导入：通过复习实数的概念，引导学生自然过渡到复数的概念。

2. 新课导入：讲解复数的概念，解释实数和虚数的概念。

3. 案例分析：分析一些实际的例子，让学生更好地理解复数的概念。

4. 复数的表示方法：用代数形式表示复数，介绍复数的标准形式。

5. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数表示的练习题。

七、复数的运算规则1. 讲解复数的加法、减法、乘法和除法运算规则。

2. 利用具体例子，让学生理解和掌握复数的运算规则。

3. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数运算的练习题。

八、复数的几何意义1. 介绍复数的几何表示，解释复平面的概念。

2. 利用图形，直观地展示复数的几何意义。

3. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数几何意义的练习题。

九、复数的应用1. 举例说明复数在实际问题中的应用，如信号处理、控制系统等。

一、复数的概念1.虚数单位i:(1)它的平方等于1-，即2i 1=-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. (3)i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i. (4)i 的周期性：41i i n +=, 42i 1n +=-, 43i i n +=-, 4i 1n =.2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3.复数的定义：形如i(,)a b a b +∈R 的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫 做复数集，用字母C 表示4.复数的代数形式:复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式.5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0知识内容复数6.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC7.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =,b d =二、复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴：复数i(,)z a b a b =+∈R 与有序实数对(),a b 是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i(,)z a b a b =+∈R 可用点(),Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.2.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()0,0，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 3.复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b .三、复数的四则运算1.复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2.复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4.复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++5.乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 6.乘法运算律：(1)()()123123z z z z z z = (2)123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ (3)()1231213z z z z z z z +=+ 7.复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数i x y +(x 、y ∈R )叫复数i a b +除以复数i c d +的商，记为：()(i)i a b c d +÷+或者iia b c d ++ 8.除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()i i i x y c d cx dy dx cy ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y dc bd ac x于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222i ac bd bc adc d c d+-=+++ ②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d ++-+-==++++.∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d +-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22i i c d c d c d +-=+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法. 9.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

复数的概念【第一课时】数系的扩充和复数的概念教学重难点教学目标核心素养复数的有关概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象复数的分类理解复数的分类数学抽象复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？二、新知探究探究点1：复数的概念　下列命题：①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是（ ）A．①B．②C．③D．④解析：对于复数a＋b i（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D．答案：D判断与复数有关的命题是否正确的方法（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．（2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i 的性质．探究点2：复数的分类　当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋（m 2－2m ）i ：（1）为实数？（2）为虚数？（3）为纯虚数？解：（1）当{m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．（2）当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．（3）当{m ≠0，m 2＋m －6m＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，以确定实部和虚部．（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．（3）下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），①z 为实数⇔b ＝0；②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0．探究点3：复数相等　（1）（2019·浙江杭州期末考试）若z 1＝－3－4i ，z 2＝（n 2－3m －1）＋（n 2－m －6）i （m ，n ∈R ），且z 1＝z 2，则m ＋n ＝（ ）A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或（2）若log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，则实数x的值是________．解析：（1）由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m ＋n＝4或0，故选A．（2）因为log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，所以{log2（x2－3x－2）>1，log2（x2＋2x＋1）＝0，即{x2－3x－2>2，x2＋2x＋1＝1，解得x＝－2．【答案：（1）A（2）－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．注意：在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d ∈R时，a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d．若忽略前提条件，则结论不能成立．　三、课堂总结1．复数的有关概念（1）复数的定义形如a＋b i（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．（2）复数集全体复数所构成的集合C＝{a＋b i|a，b∈R}叫做复数集．（3）复数的表示方法复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i（a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．2．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i（a，b，c，d∈R），我们规定：a ＋b i与c＋d i相等当且仅当a＝c且b＝d．3．复数的分类（1）复数z＝a＋b i（a，b∈R）{实数（b＝0），虚数（b≠0）{纯虚数a＝0，非纯虚数a≠0Ｗ.（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i （b ∈R ）不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i （b ∈R ）才是纯虚数．四、课堂检测1．若复数z ＝a i 2－b i （a ，b ∈R ）是纯虚数，则一定有（ ）A ．b ＝0B ．a ＝0且b ≠0C ．a ＝0或b ＝0D ．ab ≠0解析：选B ．z ＝a i 2－b i ＝－a －b i ，由纯虚数的定义可得a ＝0且b ≠0．2．若复数z ＝m 2－1＋（m 2－m －2）i 为实数，则实数m 的值为（ ）A ．－1B ．2C ．1D ．－1或2解析：选D ．因为复数z ＝m 2－1＋（m 2－m －2）i 为实数，所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2．3．若复数z ＝（m ＋1）＋（m 2－9）i ＜0，则实数m 的值等于____________．解析：因为z ＜0，所以{m 2－9＝0，m ＋1＜0，解得m ＝－3．答案：－34．已知x 2－x －6x ＋1＝（x 2－2x －3）i （x ∈R ），则x ＝________．解析：因为x ∈R ，所以x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得{x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，x ＋1≠0，解得x ＝3．答案：3【第二课时】复数的几何意义教学重难点教学目标核心素养复平面了解复平面的概念数学抽象复数的几何意义理解复数、复平面内的点、复平面内的向直观想象量之间的对应关系复数的模掌握复数的模的概念，会求复数的模数学运算共轭复数掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复平面是如何定义的？2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？3．复数z＝a＋b i的共轭复数是什么？二、新知探究探究点1：复数与复平面内的点　已知复数z＝（a2－1）＋（2a－1）i，其中a∈R．当复数z在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a的值（或取值范围）．（1）在实轴上；（2）在第三象限．解：（1）若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝1 2．（2）若z对应的点在第三象限，则有{a2－1<0，2a－1<0，解得－1<a<12．故a的取值范围是(－1，12)．互动探究：变条件：本例中复数z不变，若点Z在抛物线y2＝4x上，求a的值．解：若z对应的点（a2－1，2a－1）在抛物线y2＝4x上，则有（2a－1）2＝4（a2－1），即4a2－4a＋1＝4a2－4，解得a＝5 4．利用复数与点的对应解题的步骤（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋b i（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a ，b ）来表示，是解决此类问题的根据．（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解．探究点2：复数与复平面内的向量　在复平面内，复数i ，1，4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C ．求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．解：法一：由复数的几何意义得A （0，1），B （1，0），C （4，2），则AC 的中点为(2，32)，由平行四边形的性质知该点也是BD 的中点，设D （x ，y ），则{x ＋12＝2，y ＋02＝32，所以{x ＝3，y ＝3，即点D 的坐标为（3，3），所以点D 对应的复数为3＋3i ．法二：由已知得OA → ＝（0，1），OB → ＝（1，0），OC →＝（4，2），所以BA → ＝（－1，1），BC → ＝（3，2），所以BD → ＝BA → ＋BC → ＝（2，3），所以OD → ＝OB → ＋BD →＝（3，3），即点D 对应的复数为3＋3i ．复数与平面向量的对应关系（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．探究点3：复数的模　（1）设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i 且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是（ ）A ．－1<a <1B ．a <－1或a >1C ．a >1D ．a >0（2）（2019·贵州遵义贵龙中学期中测试）已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 在复平面内对应点的集合是（ ）A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆解析：（1a 2＋22<（－2）2＋12，即a 2＋4<5（a ∈R ），所以－1<a <1．（2）由题意知（|z |－3）（|z |＋1）＝0，即|z |＝3或|z |＝－1，因为|z |≥0，所以|z |＝3，所以复数z 在复平面内对应点的集合是1个圆．答案：（1）A （2）A求解复数的模的思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．三、课堂总结1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）．（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ） ←――→一一对应 平面向量OZ →．3．复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ → ，则OZ →的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2．4．共轭复数（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．（2）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．（3）复数z 的共轭复数用z － 表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i ．■名师点拨复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为（a ，b ），复数z －＝a －b i 在复平面内对应的点为（a ，－b ），所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称．四、课堂检测1．已知z ＝（m ＋3）＋（m －1）i （m ∈R ）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（－3，1）B ．（－1，3）C ．（1，＋∞）D ．（－∞，－3）解析：选A ．由题意得{m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1．2．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为（ ）A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选D ．由题意可知，点A 的坐标为（－1，－2），则点B 的坐标为（－1，2），故向量OB →对应的复数为－1＋2i ．3．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是____________．解析：依题意，可知z ＝a ＋i （a ∈R ），则|z |2＝a 2＋1．因为0＜a ＜2，所以a 2＋1∈（1，5），即|z |∈（1，5）．答案：（1，5）4．若复数z 1＝2＋b i 与复数z 2＝a －4i 互为共轭复数，则a ＝________，b ＝________．解析：因为z 1与z 2互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝4．答案：2　4。

复数的概念【教学目标】1.了解数的概念的扩充和引入复数的必要性；2.掌握复数的有关概念和复数相等的充要条件；3.感受数系扩充的过程，体会类比思想，提升数系抽象、逻辑推理素养.【重难点】探究从实数系扩充到复数系的过程与方法，提升数学素养.【教学过程】问题一：1.在整数范围内，方程22=x 的解是什么？2.在有理数范围内，方程22=x的解是什么？ 3.在实数范围内，方程22=x的解是什么？问题二： 你知道人们对数的认识是怎么发展的吗？问题三：1.在实数范围内，方程022=+x的解是什么？ 2.若31=+x x ,则=+221x x ,其中的x = 。

3.类比前几次数的概念的扩展，你有什么想法？例1.指出下列复数的实部与虚部.i 43+，i 32-，i 6，i -，4，2i ，0例2.当实数m 取什么值时，复数i m m z )1()1(-++=是下列数? (1)实数；（2）虚数；（3）纯虚数.练习：当实数m 取什么值时，复数i m m m m z )2(622-+-+=是纯虚数？例3.已知),()1()1(,4321R n m i n m z i z ∈++-=-=，若21z z =，求n m +的值.【课堂总结】1.了解数的概念的扩展；2.复数的有关概念；3.探究新事物的方法。

【补充材料】 16世纪意大利米兰卡当公布了一元三次方程的求根公式。

对于一元三次方程q px x +=3， 则+++=3322742p q q x 3322742p q q+-.这就是解一元三次方程的卡当公式.对于一元三次方程4153+=x x ，利用求根公式得到三个根分别是32±-=x 或3312121212--+-+=x ；而通过因式分解，原方程可以分解为0)14)(4(2=++-x x x ， 它的三个根为32±-=x 或4=x ， 于是就得到3312121212--+-+=x =4， 这在当时是无法理解的。

《复数的概念》教学设计教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：(1)提出问题(用什么方法解决方程x2＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；(2)回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满足原来的运算律)；(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i所满足的条件(使i2＝－1成立，满足原来的运算律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导．复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解．课时分配1课时．1．了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)．2．通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识．3．通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念．~难点：虚数单位i的引进及复数的概念．引入新课请同学们回答以下问题：(1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗(2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗(3)在有理数集Q中，方程x2－2＝0有解吗)活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结．活动成果：问题(1)在自然数集中，方程x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数；问题(2)在整数集中，方程3x－2＝0无解，为此引进分数，整数→有理数；问题(3)在有理数集中，方程x2－2＝0无解，为此引进无理数，有理数→实数．数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾．提出问题：从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充每一次扩充的主要原因是什么每一次扩充的共同特征是什么活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结．活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要．$扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．设计意图回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．探究新知提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成．学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述．类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0的根，即i2＝－1；(2)新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．;设计意图面对新问题的需要，感到扩充实数集的必要性，通过类比，猜想增添的新数需满足的条件．提出问题：同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达实数a与实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示活动设计：学生动手操作，尝试写出新数与实数加法和乘法的运算，然后教师引导，更正不正确的写法，统一新数的特点，为引出复数的概念做铺垫．活动成果：a＋i，b i，a＋b i.根据条件(2)，i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法和加法的交换律，从而都可以把结果写成a＋b i(a，b∈R)的形式．提出问题：形如a＋b i(a，b∈R)的数包括所有实数吗包括你原来没遇到过的新数吗写出实数系经过上述扩充后得到的新数构成的集合C.—活动设计：学生思考，可以讨论，师生共同总结，得出复数的概念．活动成果：形如a＋b i(a，b∈R)的数，包括所有实数，也包括新数b i和a＋b i，实数a 和新数i可以看作是a＋b i(a，b∈R)这样数的特殊形式，即a＝a＋0i，i＝0＋i.实数系经过上述扩充后，得到的新数集C＝{a＋b i|a，b∈R}．我们把形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C叫做复数集，即C＝{a＋b i|a，b∈R}．复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．注意：今后不做特殊说明，a，b∈R，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．设计意图让学生自己添加上这些新数，感受实数系的扩充过程，认识扩充后新数的特点，知道复数的代数形式及有关概念．<提出问题：你认为满足什么条件，可以说这两个复数相等活动设计：学生讨论探究a＋b i＝c＋d i时，实部和虚部应满足的条件，教师补充．活动结果：若a ＋b i ＝c ＋d i(其中a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝b 且c ＝d ，即两个复数相等的充要条件是实部和虚部分别相等．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0.设计意图通过探究讨论，让学生对复数相等的概念达成共识，并揭示复数相等的内涵，利用两复数相等，可以得到关于实数的方程组，进而得到a ，b 的值．理解新知提出问题：对于复数z ＝a ＋b i ，当且仅当a ，b 满足什么条件时，z 为实数，为0，为虚数，为纯虚数活动设计：学生思考、讨论，师生总结．>活动结果：当且仅当b ＝0时，复数z ＝a ＋b i 是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，复数z ＝a ＋b i 为0；当且仅当b ≠0时，复数z ＝a ＋b i 是虚数；当且仅当a ＝0且b ≠0时，复数z ＝a ＋b i 为纯虚数．设计意图让学生进一步理解复数的代数形式，明确复数z ＝a ＋b i 为实数、虚数和纯虚数的充要条件．提出问题：实数系扩充到复数系后，实数集R 与复数集C 有怎样的关系你能类比实数的分类，对复数进行合理的分类吗试用韦恩图表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系．活动设计：小组讨论，学生尝试分类，教师引导归纳．活动结果：实数集R 是复数集C 的真子集.复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0虚数b≠0当a ＝0时为纯虚数 复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系用图表示如下： ?设计意图让学生了解数系扩充后复数的正确分类及各数系之间的包含关系．提出问题：任意两个复数可以比较大小吗若可以，请说明进行比较的方法；若不可以，请说明理由．活动设计：让学生思考，议论后发言，教师点拨．学情预测：学生可能不知所云，无法下结论，也可能类比实数的大小比较，认为可以比较大小．活动结果：若两个复数都是实数，则可以比较大小；否则就不能比较大小．因此，一般说来，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较其大小．-运用新知例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.思路分析：根据复数的代数形式及实部和虚部的概念找出各复数的实部和虚部，根据虚数、纯虚数的概念判断．解：①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部0，虚部为0，是实数．点评：复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．巩固练习符合下列条件的复数一定存在吗若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．;(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．解答：(1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2实数m 取什么数值时，复数z ＝m ＋1＋(m －1)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．#思路分析：因为m ∈R ，所以m ＋1，m －1都是实数．由复数z ＝a ＋b i 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的取值．解：(1)当m －1＝0，即m ＝1时，复数z 是实数；(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；(3)当m ＋1＝0，且m －1≠0，即m ＝－1时，复数z 是纯虚数．点评：这是一道巩固复数概念的题目，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数的实部和虚部；然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程(或不等式)的方法求出相应的m 的取值．变式练习已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝______.提示：由M ∩N ＝{3}知，3∈M ，即有(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，~所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1. 例3已知(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x ，y 的值．思路分析：根据两复数相等的概念，列出关于x 与y 的方程组，可求得x ，y 的值．解：根据复数相等的定义可得，⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－3－y ，解得x ＝52，y ＝4. 点评：根据两复数相等的定义求其中参数值的问题，应首先将复数转化为代数形式，并确定其实部和虚部，然后利用两复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等列出相应的方程组，然后解方程组求出参数的值．变练演编1．给出实数－1、1和0，你能构成哪些不同的复数2．已知复数z ＝(x 2＋5x ＋6)＋(x 2－2x －15)i(x ∈R )，需要添加条件：____________，即可求实数x 的值．]答案：1.可以构成不同的复数有：－1＋i，－1＋0i，1－i，1＋0i，i，－i；2．可以添加的条件很多，如z为实数，z为虚数，z为纯虚数，z＝0，z＝6－15i等等．达标检测1．下列说法正确的是()①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集．A．①②③ B．①②④C．②④ D．①②③2．a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的()【A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为()A．1 B．1或－4C．－4 D．0或－44．以2i－5的虚部为实部，以5i－2i2的实部为虚部的复数是__________．答案或提示：3．C(提示：由两复数相等的条件列出关于a的方程组)（4．2＋2i(提示：先确定两个已知复数的实部和虚部，注意：i2＝－1)课堂小结可以先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律等．1．内容知识：2．解题规律方法：3．思想方法：布置作业设计说明本节课的教学设计以问题为驱动，通过不断提出问题，研究问题，解决问题，使学生回顾旧知识获得新知识，完成数系的扩充和复数概念的教学．复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，本课时将已有知识和新学知识通过问题链设计教学，让学生体验已学过的数集的扩充历史，体会数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；通过小组合作学习，使学生了解数的发展过程和规律，对各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识，从而学生更容易积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类以及两复数相等的条件．备课资料数的发展史数的概念是从实践中产生和发展起来的．早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N.随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展．为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数．这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集．有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数．所谓无理数，就是无限不循环小数．有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集．数因为生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾．但是，数集扩到实数集R以后，像x2＝－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位．并由此产生了复数．。

7. 1复数的概念教学设计讲授新课知识探究(一)：数系的扩充和复数的概念思考4：把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配率。

那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？依照以上设想，把实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加，结果记作a+bi.思考5：以上这些数有什么特点呢？所有实数以及i都可以写成a+bi(名关£的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。

复数的概念(1俄们把形如a + bi(a,b G我炳数叫做复数。

其中z•叫做虚数单位，且z2 = -1(2性体复数构成的集合C = \a+bi\a,b e用叫做复数集。

这样，方程/+1 = 0在复数集C中就有解x=z•了。

复数的代数形式复数通常用字母z表示，即z = a+切(a£聂)复数z = a+阮都有R。

其中的a与6分别叫做复数z的实部与虚部艮口复数z =。

+ bi(a, b e R)其中，a是实部，b是虚部，i为虚数单位，且尸=-1复数的相等在复数集C = \a+bi\a,be犬担任取两个麴+bi，c+di(a,b,c,d eR) 我们规定：a + bi^c + di^等当且仅当a = c且b = d 虚数与纯虚数(1)对于复数a + bi(a,beR),当且仅当& = 0时，z= a,它是实数；当且仅当a = Z> = 0时，z = 0,它是实数0；(2)对于复数a+庆(a,beR),当时，z = a+bi,它叫做虚数；当4 = 0且〃*0时，z = bi,它叫做纯虚数。

J当。

=0时,z是实数。

复^z = a + bi \当。

时次是虚数。

特别地，血=0时，Z是纯虚数。

思考：复数集C和实数集R有什么联系？我们已经知道复数有如下分类：复数z = a +少当。

=0时,z是实数。

学生探究如何进行数系扩充。

教学目标1.在问题情境中,了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾,在数系的扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.3了解复数的代数表示教学重点1.理解复数的概念及复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示教学难点1.理解复数相等的充要条件.2.理解复数的概念及数系的扩充过程.高考考点课型新授课教具教法诱思探究教学过程教学环节教师活动预设学生活动预设新课引入诱思探究引导学生思考理解数的扩充过程.生活中的数学数学发展的需要问题1.昨天新冠状病毒肺炎确诊病例达到40239（14:00），新增病例有3073人，昨天钟南山院士发表的一篇文章中称根据最新的数据病毒致死率约为1.4%。

那么同学们通过上面一段话，得到了哪些信息？答：确诊人数，新增人数，可以进一步的通过运算算出增长率，以及病毒致死率。

希望同学们在家里也要注意个人卫生，少出门，不出门，做好每天的学习。

问题 2.数应用于生活的方方面面，那么咱们这些数在生活中又是如何产生和发展的呢?数学的生活中的发展过程,远古时期人们为了统计捕获的猎物和采集的野果等用手指、石子或刻痕数个数，从而创造了自然数1,2,3，……，后来人们把表示无的0也归入自然数，形成了自然数集。

大约在四千年前，在公平分配物质的时候，人们发现自然数不够用.于是产生了分数.两千年前中国人发现,具有相反意义的两种量,例如收入与支出,上升与下降,入库与出库等等,可以用相反数表示,从此数的研究进入了有理数的范畴.后来为了表示边长为1的正方形的对角线的长度为多少,我们进一步把数的范围扩展到无理数,此时有理数和无理数构成了我们目前为止所研究的数的最大范围实数.数的扩展是我们生活的实际需要,也是数学自身发展所要求的.请大家自己来看一下这个表格中的问题:方程在该集合内有解吗?为了求出该方程的解我们要把数集扩展到______?N 无ZZ 无QQ 无RR 无我们为了解决方程的解的问题,数学家欧拉在1777年首次提出了用平方表示-1.学生回答2=a 练习：1.已知复数||||.z z 且为何值时，最小，并求最小值22||zx x i xRz z z mx n mn n已知复数为何值时，最小?的模最小时，对应的复平面内的点的图象上，其中的最小值.。