高二数学复数的定义和复数的坐标表示(教师版)

数学中的复数与坐标数学是一门抽象而精确的学科，其中涉及到许多重要的概念与理论。

在数学中，复数与坐标是两个重要而又相互关联的概念。

本文将从复数的基本概念、复数在坐标系中的表示以及复数在数学问题中的应用等方面进行探讨。

一、复数的基本概念复数是数学中的一种扩充数，并且在解决一些实际问题时非常有用。

复数由一个实数与一个虚数部分组成，虚数由一个实数与单位虚数单位i相乘得到。

其中，i定义为√-1。

一般形式下，复数可以表示为 a + bi，其中a为实数部分，b为虚数部分。

复数有着丰富的运算规则，包括加法、减法、乘法和除法。

在复数的运算规则中，实数部分与虚数部分分别进行运算，最后以复数形式呈现。

复数的共轭是指保持实数部分不变，而虚数部分变号的操作，可表示为a - bi。

二、复数在坐标系中的表示在解析几何中，复数可以在复平面上表示，也称为阿格升图。

复平面可以看作是一个平面直角坐标系，其中x轴表示复数的实部，y轴表示复数的虚部。

复数z的表示为(z.real, z.imag)。

在复平面上，每个点都可以对应一个复数，反之亦然。

例如，原点对应的复数为0，实轴上的点对应的复数为纯实数，虚轴上的点对应的复数为纯虚数。

复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算得到，表示为|z|。

复数的辐角表示复数与正实轴之间的角度，可以用反三角函数计算得到，表示为arg(z)。

在复平面上，两个复数的加减法可以通过向量相加减的方式进行。

两个复数的乘法可以通过两个复数的模和辐角的乘积得到。

复数的除法可以通过两个复数的模和辐角的商得到。

三、复数在数学问题中的应用复数在数学问题中有着广泛的应用。

其中一个重要的应用是在解决多项式方程的过程中。

复数根定理指出，对于一个n次多项式方程，必然存在n个复数根（包括重根的情况）。

这个定理为解决多项式方程提供了强大的工具。

通过复数根定理，我们可以用复数来解决一些看似无解的方程。

此外，复数还广泛应用于信号处理、电路分析、量子力学等领域中。

高中数学复数知识点总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i²=-1）组成的数，一般形式为a+bi，其中a和b都是实数。

实数部分a称为复数的实部，虚数部分b称为复数的虚部。

2. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，即把实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

3. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，即把实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

4. 复数的乘法复数的乘法是通过分配律展开计算的，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=ac+(ad+bc)i+bd(-1)=ac-bd+(ad+bc)i。

5. 复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即分子和分母都乘以分母的共轭形式，然后进行化简，最终得到结果。

例如，(a+bi)/(c+di)的结果为[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

6. 复数的模复数z=a+bi的模记为|z|，它表示复数到原点的距离，它的计算公式为|a+bi| = √(a²+b²)。

7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭记为z，它表示实部不变，虚部相反数的复数，即z=a-bi。

8. 复数的极坐标形式复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arctan(b/a)。

9. 复数的三角形式复数z=r(cosθ+isinθ)的三角形式表示为z=r∙e^(iθ)，其中e^(iθ)=cosθ+isinθ，称为欧拉公式。

10. 复数的指数形式复数z=r∙e^(iθ)的指数形式表示为z=r∙exp(iθ)，其中exp表示自然底数e的指数函数。

11. 复数的乘方复数的乘方可以通过三角形式或指数形式进行计算，即z^n = |z|^n∙(cos(nθ)+isin(nθ))或z^n = |z|^n∙exp(inθ)。

高二数学复数知识点一、复数的概念与定义复数是实数的扩展，它由一个实部和一个虚部组成，一般形式为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1的条件。

在复数中，当b不等于零时，我们称b为复数的虚部，而a则是实部。

如果b等于零，则复数退化为实数。

复数的引入，极大地丰富了数学的内涵，使得许多在实数范围内无法解决的问题得以解决。

二、复数的几何意义复数不仅仅是一种代数结构，它还具有丰富的几何意义。

在复平面上，每一个复数z=a+bi可以对应一个点(a,b)，其中a是该点在实轴上的位置，b是该点在虚轴上的位置。

这样，复数与平面上的点建立了一一对应的关系。

复数的这种几何解释，使得我们可以用图形的方式直观地理解和处理复数问题。

三、复数的运算规则复数的运算是复数理论中的重要内容。

两个复数的加法、减法、乘法和除法都有明确的规则。

例如，两个复数相加时，只需将对应的实部和虚部分别相加即可；相乘时，则需要使用分配律，即将一个复数的实部与另一个复数的实部和虚部分别相乘，然后再将结果相加。

复数的除法则稍微复杂，需要引入共轭复数的概念，通过乘以分母的共轭来消除虚部，从而简化计算。

四、复数的模与辐角复数的模（或绝对值）是指复数在复平面上对应的点到原点的距离，用符号|z|表示，计算公式为√(a²+b²)。

复数的辐角（或称为相位角）则是复数向量与实轴正方向的夹角，用符号arg(z)表示。

辐角的计算需要使用反三角函数，并且在计算时需要注意角度的范围。

模和辐角是复数的两个重要属性，它们在解决复数问题时具有重要的应用价值。

五、复数的应用复数在数学的许多领域都有广泛的应用，例如在解析几何中，复数可以用来描述和解决平面上的点和直线的问题；在代数中，复数域是实数域的自然扩展，它使得多项式方程的根的个数不再受限于实数范围内；在物理学中，复数用于处理交变电流、波动等现象；在工程学中，复数则用于信号处理和系统分析等领域。

高考复数知识点总结复数是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的常考知识点。

理解和掌握复数的相关知识，对于提高数学成绩和解决数学问题具有重要意义。

下面我们就来对高考中复数的知识点进行一个全面的总结。

一、复数的定义形如 a ＋ bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。

当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 为实数；当b ≠ 0 时，复数a ＋ bi 为虚数；当 a ＝ 0，b ≠ 0 时，复数 a ＋ bi 为纯虚数。

二、复数的表示形式1、代数形式：z ＝ a ＋ bi（a，b∈R）2、几何形式：在复平面内，复数z ＝a ＋bi 对应点的坐标为（a，b），其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数。

3、三角形式：z ＝ r（cosθ ＋isinθ），其中 r ＝√（a²＋ b²)，cosθ ＝ a/r，sinθ ＝ b/r。

4、指数形式：z ＝ re^（iθ)三、复数的运算1、复数的加法：（a ＋ bi）＋（c ＋ di）＝（a ＋ c）＋（b ＋d）i2、复数的减法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（a c）＋（b d）i3、复数的乘法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（ac bd）＋（ad ＋ bc）i4、复数的除法：（a ＋ bi）÷（c ＋ di）＝（ac ＋ bd)／（c²＋ d²) ＋（bc ad)／（c²＋ d²)i在进行复数运算时，要注意将复数的实部和虚部分别进行运算。

四、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作|z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)。

复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。

五、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。

若 z ＝ a ＋bi，则其共轭复数为z＝ a bi。

共轭复数的性质：1、 z ＋z＝ 2a（实部的 2 倍）2、 z z＝ 2bi（虚部的 2 倍）3、 z·z＝ a²＋ b²＝｜z|²六、复数的方程1、实系数一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）在复数范围内的根的判别式：△＝ b² 4ac当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程有两个共轭虚根。

复数知识内容一、复数的看法1．虚数单位i:（1）它的平方等于 1 ，即i2 1 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律依旧建立．（3） i 与－ 1 的关系 :i 就是1的一个平方根，即方程21 的一个根，方程21 的另一个根是 -i ．x x（4） i 的周期性：i 4n 1i ， i 4n 2 1 ， i 4n 3i ， i 4 n 1 ．实数 a( b0)2．数系的扩大：复数a bibi( b0)纯虚数 bi( a0)虚数 a非纯虚数 a bi( a0)3．复数的定义：形如 a bi( a ，b R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的会集叫做复数集，用字母 C 表示4．复数的代数形式 :平时用字母 z 表示，即z a bi (a ，b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：关于复数 a bi ( a ，b R) ，当且仅当 b0时，复数 a bi( a ，b R) 是实数a；当 b 0 时，复数z a bi 叫做虚数；当a0 且 b0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时，z就是实数 06．复数集与其他数集之间的关系：N 苘Z Q 苘 R C7．两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，假如a，a，b，d，c ，d R ，那么 a bi c di a c ，b d二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数 z a bi( a ，b R ) 与有序实数对 a ，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是b，复数z a bi( a ，b R ) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．关于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 ，0 ，它所确立的复数是z 0 0i 0 表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数 z a bi一一对应复平面内的点 Z (a ，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数z1与z2的和的定义：z1z2 a bi c di a c b d i2．复数z1与z2的差的定义：z1 z2 a bi c di a c b d i3．复数的加法运算满足交换律: z1z2z2z14．复数的加法运算满足联合律: ( z1z2 )z3z1(z2 z3 )5．乘法运算规则：设 z1 a bi ， z2c di ( a、b、c、d R )是任意两个复数，那么它们的积 z1 z2 a bi c di ac bd bc ad i其实就是把两个复数相乘，近似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成1，而且把实部与虚部分别合并．两个复数的积依旧是一个复数．6．乘法运算律：（1） z1 z2 z3z1 z2 z3（2） (z1 z2 ) z3z1 ( z2 z3 )（3） z 1 z 2 z 3z 1 z 2 z 1 z 37． 复数除法定义：满足 c di x yia bi 的复数 x yi ( x 、 y R )叫复数 abi 除以复数 cdi 的商，记为：(a bi)c di 也许abic di8． 除法运算规则：设复数 a bi ( a 、 b R ) ，除以 c di ( c ， d R )，其商为 x yi （ x 、 yR ) ，即 ( a bi) c dixyi ∵ xyi c dicx dydx cy i∴ cxdydx cy i a bix ac bdcx dy ac 2d 2由复数相等定义可知，解这个方程组，得dxcyb bc，yadc 2d 2于是有 : (a bi)cdi ac bdbc adi2 222cdcd ②利用c di c di c 22abi的分母有理化得：d 于是将 c di原式a bi (abi)( c di) [ ac bi ( di)] (bc ad)ic di (cdi)( cdi)c2d2(acbd ) (bc ad)i ac bd bc adc 2d 2 c 2 d 2 c 2d 2 i ．∴ ( (abi)c di ac bd bc adc 2d 22d 2ic评论 : ①是惯例方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采纳的分母有理化思想方法，而复数 c di 与复数 c di ，相当于我们初中学习的3 2 的对偶式 3 2 ，它们之积为1是有理数，而 c di c dic 2d 2 是正实数．所以可以分母实数化．把这类方法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

关于复数的知识点总结复数是数学中处理多个实体的运算，在学习中也是重要的知识点之一。

本文将总结关于复数的相关知识，包括定义、表示、性质、运算法则以及各类运算技巧等。

一、定义复数是一种特殊的数据类型，具有实部和虚部两个成分，是由实数和虚数的结合组成的，表示的形式为a+bi (a, b 为实数，i为虚数单位，示指数为1的实数)。

二、表示1、笛卡尔坐标表示：复数可以用笛卡尔坐标的形式来表示，即在复平面上的一点，表示成（x，y），其中x为实部，y为虚部，即z=x＋iy。

2、极坐标表示：复数可以用极坐标系来表示，即以极点为原点，以直线r为半径，以θ表示弧度，其中θ＝tan-1（y/x）为角度，即z＝r e^iθ。

三、性质1、实部和虚部都为实数：复数的实部和虚部都是实数，但实部和虚部均可为零，即0+0i也是一个复数，记作0。

2、复数的运算：复数的运算、比较、求倒数和次方等都与实数的运算性质基本相同，且复数的运算也遵循统一的规则：（1）复数的相加：复数的相加等于它们的实部和虚部的相加。

（2）复数的相减：复数的相减等于它们的实部和虚部的相减。

（3）复数的相乘：复数的相乘等于它们的实部相乘加上虚部相乘。

（4）复数的相除：复数的相除等于它们除以分母的实部相乘加上虚部相乘。

3、复数的模：复数的模(magnitude)定义为复数的绝对值，表示为|z|，其实是复数的模的平方的开放，即|z|＝√（x^2＋y^2）。

复数的模也可以用极坐标表示，即|z|＝r。

四、运算法则1、复数乘以共轭复数：复数乘以共轭复数等于实部和虚部的乘积，即(a+bi)*(a-bi)=a^2+b^2。

2、复数求倒数：复数求倒数时，除以复数的模并化简，即1/z=1/|z|*（a/|z|-bi/|z|）。

3、复数次方：复数次方是指复数的乘方，比如z^2=(a+bi)^2=a^2＋2abi＋ b^2i^2=a^2-b^2+2abi，其中i^2=-1，即z^2=a^2-b^2+2abi。

复数知识点总结一、复数的定义复数是指形如＄a ＋ bi$ 的数，其中＄a$ 和＄b$ 均为实数，＄i$ 为虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$ 。

＄a$ 被称为实部，记作＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作＄Im(z)＄。

例如：＄3 ＋ 2i$ ，其中 3 是实部，2 是虚部。

二、复数的表示形式1、代数形式就是我们常见的＄a ＋ bi$ 。

2、几何形式在平面直角坐标系中，以＄x$ 轴为实轴，＄y$ 轴为虚轴，复数＄a ＋ bi$ 可以用点＄（a, b)＄来表示。

3、三角形式复数＄z ＝ a ＋ bi$ 可以表示为＄z ＝ r(＼cos\theta ＋ i\sin\theta)＄，其中＄r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄称为复数的模，＄＼theta$ 称为复数的辐角。

4、指数形式根据欧拉公式＄e^｛i\theta} ＝＼cos\theta ＋ i\sin\theta$ ，复数可以表示为＄z ＝ re^｛i\theta}＄。

三、复数的运算1、加法＄（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i$例如：＄（3 ＋ 2i) ＋（1 4i) ＝ 4 2i$2、减法＄（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i$例如：＄（5 ＋ 3i) （2 i) ＝ 3 ＋ 4i$3、乘法＄（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i$例如：＄（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i) ＝－4 ＋ 7i$4、除法＄＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋d^2}i$例如：＄＼frac{1 ＋ 2i}｛1 i} ＝＼frac{3}｛2} ＋＼frac{1}｛2}i$四、复数的模复数＄z ＝ a ＋ bi$ 的模为＄｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。

高二数学复数知识点总结【导语】高二年级有两大特点：一、教学进度快。

一年要完成二年的课程。

二、高一的新鲜过了，距离高考尚远，最容易玩的疯、走的远的时候。

导致：心理上的迷茫期，学业上进的缓慢期，自我束缚的疏松期，易误入歧路，大浪淘沙的挑选期。

因此，直面高二的挑战，认清高二，认清高二的自己，认清高二的任务，显中意义十分重大而迫切。

作者高二频道为你整理了《高二数学复数知识点总结》，期望对你的学习有所帮助！【一】复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。

全部复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示情势叫做复数的代数情势，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

明显，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是由于，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍旧成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。

(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。

复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。

复数的概念与坐标表示基础概念一、基础知识概述复数的概念是整个复数内容的基础．复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的充要条件，以及虚数、纯虚数等概念的理解，都应促进对复数实质的理解，即复数实际上是一有序实数对．类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的几何表示．用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数有了直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合． 二、重难点知识归纳 1、虚数单位i ：由于解方程的需要，人们引进了一个新数i ，叫做虚数单位． 并且规定：（1）它的平方等于1-，即12-=i ．（2）实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律，仍然成立． 2、复数：形如bi a +（R b a ∈ ,）的数叫作复数，其中a ，b 分别叫作复数bi a +的实部、虚部，复数常用字母z 表示．全体复数组成的集合叫作复数集，一般用字母C 表示． 注意：（1）实数集R 和虚数集都是复数集C 的真子集，且C R =⋃}{虚数，∅=⋂}{虚数R ． （2）复数bi a z +=（R b a ∈ ,）的虚部是b ，而不是bi ． 3、复数相等的条件：如果a ，b ，c ，R d ∈，那么d b c a di c bi a ==⇔+=+ ,；00==⇔=+b a bi a ． 4、复数的坐标表示：任何一个复数bi a z +=与复平面内的一点),(b a Z 对应，复平面内任意一点),(b a Z 又可以与以原点为起点，点),(b a Z 为终点的向量OZ 对应．这些对应都是一一对应． 向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模，记作||z 或||bi a +．容易看出22||||b a r bi a z +==+=．典型例题例1、已知实数a ，x ，y 满足0)(222=-++++i y x a xy a a ，则点),(y x 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆心在原点的圆 C ．圆心不在原点的圆 D ．椭圆 解析：因为a ，x ，R y ∈，所以R xy a a ∈++222，R y x a ∈-+， 所以⎩⎨⎧=-+=++)2(0)1(0222 y x a xy a a将x y a -=)2(代入)1(得：02)(2)(2=+-+-xy x y x y ， 即02222=+-+y x y x ，亦即：2)1()1(22=++-y x ． 答案：C例2、求当m 为何实数时，复数i m m m m m z )152(3622--++--=是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数． 分析：由复数bi a z +=（R b a ∈ ,）是实数、虚数和纯虚数的条件，把问题归结为解方程或解不等式的问题．解题过程中应重视分母不为零这一条件的约束． 解析：（1）当⎩⎨⎧=--≠+0152032m m m ，即5=m 时，z 是实数．（2）当⎩⎨⎧≠--≠+0152032m m m ，即5≠m 且3-≠m 时，z 是虚数．（3）当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=+--015203622m m m m m ，即3=m 或2-=m 时，z 是纯虚数．例3、复数)3(log )33(log 222-+--=x i x x z ，设z 在复平面上对应的点为Z ． （1）求证：复数z 不能是纯虚数；（2）若点Z 在第三象限内，求x 的取值范围；（3）若点Z 在直线012=+-y x 上，求x 的值． 解析：第（1）小题为否定式命题，宜用反证法；第（2）小题由z 对应的点在第三象限，知其实部与虚部均小于0；第（3）小题由z 对应的点满足直线方程而求出x 的值． （1）证明：（反证法）若z 为纯虚数，则有0)33(log 22=--x x ，1332=--x x ， 解得1-=x ，或4=x ．当1-=x 时，)3(log 2-x 无意义，当4=x 时，0)3(log 2=-x ，复数z 不能是纯虚数．（2）由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<-->->--0)3(l o g 0)33(l o g 030332222x x x x x x ，解得42213<<+x ， 即当42213<<+x 时，点Z 在第三象限内．（3）由题意得01)3(log 2)33(log 222=+----x x x ， 解得15=x ，或15-=x （舍去），即当15=x 时，点Z 在直线012=+-y x 上．例4、设C z ∈，那么满足下列条件的点Z 的集合分别是什么图形？（1）4||=z ；（2）4||2<<z ．解析：（1）复数z 的模等于4，就是说向量OZ 的模（即点Z 与原点O 之间的距离）等于4，所以满足条件4||=z 的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以4为半径的圆．（2）不等式4||2<<z 可化为不等式组⎩⎨⎧><2||4||z z ，不等式4||<z 的解集是圆4||=z 内部所有的点组成的集合，不等式2||>z 的解集是圆2||=z 外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集，也就是满足条件4||2<<z 的点Z 的集合．容易看出，所求的集合是以原点O 为圆心，以2及4为半径的两圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界． 例5、已知复数)()4(21R m i m m z ∈-+= 和)()sin 3(cos 22R i z ∈++=λθλθ ，若21z z =，求证：7169≤≤-λ．证明：由复数21z z =，可得⎩⎨⎧+=-=θλθsin 34cos 22m m ． 从而有169)83(sin 4sin 3sin 4sin 34222--=-=--=θθθθλm ．∵1sin 1≤≤-θ，∴当83sin =θ时，169min -=λ．当1sin -=θ时，7max =λ，∴7169≤≤-λ．例6、（全国卷I ）如果复数)1)((2mi i m ++是实数，则实数=m （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-解析：R i m m m mi i m ∈++-=++)1()()1)((322． ∴013=+m ，∴1-=m ． 答案：B例7、（全国卷I ）设a 是实数，且211i ia +++是实数，则=a （ ）A ．21 B ．1 C ．23 D ．2解析： ∵R i a a i i a i i a ∈-++=++-=+++2121212)1(211，∴021=-a ，解得1=a ．答案：B基础练习一、选择题1、如果用C 表示全集和复数集，R 表示实数集，I 表示纯虚数集，那么有（ ） A ．I R C = B ．}0{=I R C ．I C R C = D ．∅=I R2、若复数i m m m m z )23(23222+-+--=是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．1或2 B ．21-或2 C ．21-D ．23、在复平面内，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、C 分别对应于复数i 21+，i +-2，i 21--，则顶点D 对应的复数为（ ）A ．i 21-B ．i +2C ．i -2D ．i 21+-4、复数)()1()1(2R m i m m z ∈-++= ，z 在复平面内的对应点（ ） A ．不在第四象限 B ．不在第三象限 C ．只能在第四象限 D ．不在第二象限5、复平面内对应于复数bi a -和bi a --（R b a ∈ ,）的两点的对称关系是（ ） A ．关于虚轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于实轴对称 D ．关于直线x y =对称6、=⋅-i i 2)1(（ ）A ．i 22-B ．i 22+C ．2D ．2- 7、设复数i 2321+-=ω，则=+ω1（ ）A ．ω-B ．2ωC ．ω1-D ．21ω8、下面给出四个不等式，其中正确的是（ ）A ．i i 23>B ．|41||32|i i ->+C ．42|2|i i =-D ．i i ->29、复数6cos3sinππi z -=，则=||z （ ）A ．26 B ．43 C ．1 D ．210、如果复数ai z +=3满足条件2|2|<-z ，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．)22,22( - B ．)2,2( - C ．)1,1( - D ．)3,3( - 二、填空题11、已知复数)()65(322R k i k k k k z ∈+-+-= ，且0<z ，则=k _______．12、若R y x ∈ ,，且iiy ix 315211-=---，则=x ______，=y _______．13、若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是_________．14、在复平面内，O 是原点，OA 、OC 、AB 表示的复数分别为i +-2、i 23+、i 51+，那么BC 表示的复数为__________． 三、解答题15、设点),(y x 在直线143=+y x 上移动，且vi u yix +=+1，试求动点),(v u 的轨迹．16、如图所示，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0、i 23+、i 42+-，试求： （1）AO 表示的复数，BC 所表示的复数； （2）对角线CA 所表示的复数；（3）对角线OB 所表示的复数及OB 的长度．。

复数知识点归纳总结一、复数的定义复数是指大于零的数字，包括实数和虚数。

在复数中，实部和虚部分别用来表示横轴和纵轴上的坐标，形成一个二维坐标系。

二、复数的表示1. 简单位分法表示：a+bi2. 模幅相位表示：r(cosθ + i sinθ)三、复数的性质1. 加减法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i2. 乘法：(a+bi)(c+di) = ac - bd + (ad+bc)i(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi3. 除法：(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i四、复数的共轭对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。

五、复数的模和幅角对于复数a+bi，其模r为sqrt(a^2+b^2)，幅角θ为arctan(b/a)。

六、复数的比较对于两个复数a+bi和c+di，当a>c时，a+bi>c+di；当a=c时，若b>d时，a+bi>c+di。

七、复数的指数形式指数形式为r(cosθ + i sinθ)，其中r为模，θ为幅角。

八、复数的牛顿迭代法通过迭代公式z_{n+1} = z_n - f(z_n)/f'(z_n)计算非线性方程的近似解，其中f(z)为非线性函数，z_n为已知迭代值。

九、复数的应用1. 信号处理在信号处理中，复数经常用于表示信号的频率和相位，以及信号的变换和滤波。

2. 电路分析在电路分析中，复数经常用于表示电压和电流的相位和幅值，在交流电路中进行计算和分析。

3. 控制系统在控制系统中，复变量经常用于表示控制器的频率响应和稳定性分析。

十、复数的应用举例1. 信号处理中的傅里叶变换傅里叶变换将时域的信号转换成频域的表示，利用复数的模和幅角来表示信号的频率和相位。

2. 电路分析中的阻抗分析利用复数的表示方法，可以将电阻、电感、电容等元件用复阻抗的形式来表示，简化电路分析和计算。

人教版高二数学必修第四册《复数的几何意义》说课稿一、引言在高中数学中，复数是一个非常重要的概念。

复数的引入不仅拓宽了数的域，使得我们可以解决更多的数学问题，同时也具有深刻的几何意义。

本课程旨在通过学习《复数的几何意义》，让学生了解并体会复数的几何意义，从而帮助他们更好地理解复数及其在数学中的应用。

二、教学目标通过本节课的学习，学生将达到以下教学目标： 1. 理解复数的几何意义及其在平面内表示； 2. 能够用向量表示复数，并进行复数相加、相减、相乘的运算； 3. 能够解决与复数相关的几何问题。

三、教学内容1. 复数的引入及定义首先，我们将回顾复数的引入，描述复数的定义及其表示方法。

复数是由实部和虚部组成的，可以用a+bi来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

2. 复数的几何意义接下来，我们将讲解复数的几何意义。

复数可以用向量表示，实部对应向量在实轴上的投影，虚部对应向量在虚轴上的投影。

我们可以直观地理解复数在平面内的表示，并通过几个例子演示。

3. 复数的运算然后，我们将学习关于复数的运算。

复数的加法减法可以通过向量的相加减来完成。

复数的乘法可以通过向量乘法和极坐标形式来理解。

我们将通过具体的例题进行讲解和练习，帮助学生掌握复数的运算规则。

4. 解决几何问题最后，我们将应用所学的复数知识解决几何问题。

例如，平面上的旋转、缩放等问题都可以通过复数的运算来表示和解决。

我们将带领学生分析和解决一些实际问题，培养他们运用复数解决几何问题的能力。

四、教学方法1.探究方法：通过引导学生提出问题，思考并探索复数的几何意义和运算规律，培养他们的自主学习和解决问题的能力。

2.演示法：通过具体的几何图形演示复数的表示和运算，帮助学生直观地理解和记忆。

3.实践方法：通过解决实际问题，培养学生应用复数解决几何问题的能力。

五、教学步骤步骤一：复习导入1.复习上节课所学的复数的引入和定义。

2.引导学生思考：复数在平面内的几何意义是什么？步骤二：讲解复数的几何意义1.通过一些例子，让学生感受复数在平面内的表示。

复数的概念及四种表示方法1. 复数是数学中的一种数形结构，表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

2. 复数的实部是指复数a + bi中的实数部分a，虚部是指复数a + bi中的虚数部分bi。

3. 复数的共轭是指将复数a + bi中的虚数部分b取相反数，即变为a - bi。

复数的共轭可以表示为conjugate(a + bi)或者a*。

4. 复数可以表示为直角坐标形式，即a + bi，其中a表示复数在实轴上的位置，b表示复数在虚轴上的位置。

直角坐标形式也可以用于表示复数之间的运算。

5. 复数还可以表示为极坐标形式，即r(cosθ + isinθ)，其中r表示复数到原点的距离，θ表示复数与正实轴的夹角。

极坐标形式可以通过欧拉公式e^(iθ)来表示。

6. 复数的模是指复数a + bi到原点的距离，即|r| = sqrt(a^2 + b^2)。

7. 复数的幅角是指复数a + bi与正实轴的夹角，可以表示为arg(a + bi)或者θ。

8. 复数之间的加法是将实部分和虚部分分别相加，即(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。

9. 复数之间的减法是将实部分和虚部分分别相减，即(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。

10. 复数之间的乘法是根据公式(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i进行计算，实部相乘后减去虚部相乘后的结果，然后加上实部与虚部相乘的结果。

这些是关于复数的基本概念及表示方法。

复数在数学中有着广泛的应用，特别是在电学、物理学和工程学等领域中。

复数的运算规律和性质可以帮助我们解决许多实际问题。

复数知识点总结在数学的领域中，复数是一个非常重要的概念。

它不仅在理论上丰富了数学的体系，而且在实际应用中，如物理学、工程学等领域，都发挥着不可或缺的作用。

接下来，让我们一起深入了解复数的相关知识。

一、复数的定义复数是指形如\（a ＋ bi\）的数，其中\（a\）和\（b\）均为实数，＼（i\）是虚数单位，满足\（i^2 ＝－1\）。

＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。

例如，＼（3 ＋ 2i\）就是一个复数，其中\（3\）是实部，＼（2\）是虚部。

二、复数的表示形式1、代数形式就是我们刚刚提到的\（a ＋ bi\），这是最常见也是最基本的表示形式。

2、几何形式在平面直角坐标系中，以\（x\）轴为实轴，＼（y\）轴为虚轴，复数\（a ＋ bi\）可以用坐标\（（a, b)＼）来表示。

这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。

3、三角形式复数\（z ＝ a ＋ bi\）可以表示为\（z ＝r(cosθ ＋isinθ)＼），其中\（r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），＼（tanθ ＝＼frac{b}｛a}＼）。

4、指数形式根据欧拉公式\（e^｛iθ} ＝cosθ ＋isinθ\），复数还可以表示为\（z ＝ re^｛iθ}＼）。

三、复数的运算1、加法和减法两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和差为：＼（z_1 ± z_2 ＝（a_1 ± a_2) ＋（b_1 ± b_2)i\）2、乘法＼（z_1 ＼times z_2 ＝（a_1 ＋ b_1i) ＼times （a_2 ＋ b_2i)＼）＼＼begin{align}＆＝a_1a_2 ＋ a_1b_2i ＋ a_2b_1i ＋ b_1b_2i^2\＼＆＝（a_1a_2 b_1b_2) ＋（a_1b_2 ＋ a_2b_1)i＼end{align}＼3、除法＼＼frac{z_1}｛z_2}＝＼frac{a_1 ＋ b_1i}｛a_2 ＋ b_2i}＝＼frac{（a_1 ＋ b_1i)（a_2 b_2i)｝｛（a_2 ＋ b_2i)（a_2 b_2i)｝＼＼＼begin{align}＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2 ＋（a_2b_1 a_1b_2)i}｛a_2^2 ＋b_2^2}＼＼＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2} ＋＼frac{a_2b_1 a_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2}i＼end{align}＼四、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。

复数的坐标表示方法【原创实用版2篇】目录（篇1）1.复数的基本概念2.复数的坐标表示方法3.复数的几何意义4.复数的运算及其应用正文（篇1）1.复数的基本概念复数是实数的扩展，它可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。

复数在科学、工程和数学分析等领域具有广泛的应用。

2.复数的坐标表示方法复数可以用直角坐标系中的点来表示。

在复平面上，横坐标表示实部，纵坐标表示虚部。

例如，复数 3+4i 可以表示为平面上的点 (3, 4)。

这种表示方法使得我们可以直观地描绘复数的几何性质，从而方便分析和计算。

3.复数的几何意义复数在复平面上的位置具有特定的几何意义。

实部表示点在 x 轴上的坐标，虚部表示点在 y 轴上的坐标。

复数的模长表示点到原点的距离，幅角表示点与 x 轴正半轴的夹角。

通过研究复数在复平面上的几何性质，我们可以更好地理解复数的概念和运算规律。

4.复数的运算及其应用复数的加法、减法、乘法和除法都可以通过复平面上的几何变换来直观地表示。

例如，复数的乘法可以看作是平面上的缩放变换，复数的除法可以看作是平面上的平移变换。

复数的运算规律和几何变换在解决实际问题中具有重要意义，如在信号处理、控制系统和量子力学等领域。

总之，复数的坐标表示方法为我们提供了一种直观、形象的描绘复数的方法，同时也有助于我们更好地理解复数的几何性质和运算规律。

目录（篇2）1.复数的基本概念2.复数的坐标表示方法3.复数的几何意义4.复数的运算及其应用正文（篇2）1.复数的基本概念复数是实数的扩展，它由实部和虚部组成，通常表示为 a+bi 的形式，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i^2=-1。

复数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。

2.复数的坐标表示方法复数在平面直角坐标系中可以表示为一个点，其实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。

例如，复数 3+4i 在坐标系中的表示为点 (3, 4)。

高中复数的知识点一、复数的定义1、形如\（a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\），＼（i\）为虚数单位，＼（i^2 ＝－1\））的数叫做复数。

＼（a\）叫做复数的实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）叫做复数的虚部，记作\（Im(z)＼）。

当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为实数；当\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为虚数；当\（a ＝ 0\）且\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为纯虚数。

二、复数的表示1、代数形式：＼（z ＝ a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\））2、几何形式复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，＼（x\）轴叫做实轴，＼（y\）轴叫做虚轴。

复数的坐标表示：复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应复平面内的点\（Z(a,b)＼）。

复数的模：复数\（z ＝ a ＋ bi\）的模\（＼vert z\vert ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。

三、复数的运算1、复数的加法法则：＼（（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）几何意义：复数的加法对应复平面内向量的加法。

2、复数的减法法则：＼（（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i\）几何意义：复数的减法对应复平面内向量的减法。

3、复数的乘法法则：＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）4、复数的除法法则：＼（＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i\）（＼（c ＋ di ＼neq 0\））四、共轭复数1、定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。

复数\（z ＝ a ＋ bi\）的共轭复数记为\（＼overline{z} ＝ a bi\）。

复数的运算与坐标表示复数是由实部和虚部组成的数。

在复数的运算中，我们可以进行加法、减法、乘法和除法的操作。

本文将介绍复数的基本概念、运算规则以及坐标表示方式。

一、复数的基本概念复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。

实部和虚部都可以是实数。

二、复数的加法和减法复数的加法和减法可以直接对实部和虚部进行运算。

假设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，则它们的加法和减法运算如下：加法：z1+z2=(a+c)+(b+d)i减法：z1-z2=(a-c)+(b-d)i三、复数的乘法复数的乘法需要应用乘法的基本规则和虚数单位i的平方等于-1。

假设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，则它们的乘法运算如下：乘法：z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i四、复数的除法复数的除法需要应用除法的基本规则和虚数单位i的平方等于-1。

假设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，则它们的除法运算如下：除法：z1/z2=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i五、复数的坐标表示复数可以使用坐标在复平面上进行表示。

复平面是由实轴和虚轴组成的平面，实轴表示实部，虚轴表示虚部。

将复数z=a+bi表示在复平面上，可以将实部a对应于横坐标，虚部b对应于纵坐标。

例如，复数2+3i可以表示为复平面上的一个点(2, 3)。

在复平面上，可以进行复数的加法和减法。

复数的加法表示为在复平面上两个点的坐标相加，复数的减法表示为在复平面上两个点的坐标相减。

六、总结复数的运算涉及加法、减法、乘法和除法。

在进行复数的运算时，需要对实部和虚部进行分别操作，并应用虚数单位i的平方等于-1。

复数也可以使用复平面上的坐标进行表示，实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。

复数的运算与坐标表示提供了一种便捷的方式来处理涉及实部和虚部的数学问题。

通过掌握复数的基本概念、运算规则和坐标表示方法，我们可以更好地理解和应用复数的概念。