八年级数学 几何动点问题专题

初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。

一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC ＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC 上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．解答：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544ED CD C=⋅∠=⨯=，254EC=．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PM DMQN DN==．所以34QN PM=，43PM QN=．图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QN PM==．所以319444CQ CN QN=+=+=．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QN PM ==．所以1531444CQ CN QN =+=+=． （3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3tan 4QD DN QPD PD DM ∠===．在Rt △ABC 中，3tan 4BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ． 因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CHC CQ =，可得5425258CQ =÷=． 所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）． 此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．图5 图6考点伸展：如图6，当△CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形，PB ＝PD ．在△BDP 中可以直接求解256BP =． 二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题 例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ． ① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1思路点拨：1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点． 2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能． 解答：（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）． Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5． 因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=． 解得1211t =，2211t =．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时211t = ③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =，所以535tt-=．解得258t=．如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，5t=．不存在∠ONM＝90°的可能．所以，当258t=或者5t=时，△MON为直角三角形．图4 图5考点伸展：在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．图6 图7三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题例3：（2010年山西省中考第26题）在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．解答：(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝35，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．(2) 因为OE＝2EB，所以223E Bx x==，243E By y==，E(2,4)．设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得5,2 4.bk b=⎧⎨+=⎩解得12k=-，5b=．所以直线DE的解析式为152y x=-+．(3) 由152y x=-+，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝55．①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,52)，点N的坐标为(－5,52)．②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．由△NPO∽△DOF，得NP PO NODO OF DF==，即51055NP PO==．解得5NP=，25PO=．此时点N的坐标为(25,5)-．图3 图4考点伸展如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．图5 图6四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题例4：（2013年苏州中考28题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t=s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF与△FCG 相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．解答：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，即：10﹣t=3t，解得t=2.5；（2）分两种情况，讨论如下：①若△EBF∽△FCG，则有，即，解得：t=2.8；②若△EBF∽△GCF，则有，即，解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2．∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（6﹣3t）2=（3t）2解得：t=；过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，由勾股定理得：ON 2+EN 2=OE 2，即：62+（5﹣t ）2=（10﹣t ）2解得：t =3.9．∵≠3.9，∴不存在实数t ，使得点B ′与点O 重合．考点伸展：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在． 拓展练习：1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。

人教版八上数学专题7 动点问题1.在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧作△ADE，且AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1) 如图，当点D在BC的延长线上移动时，若∠BAC=25∘，则∠DCE=；(2) 设∠BAC=α，∠DCE=β．①当点D在线段BC上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．2.如图，AB=AC=16，BC=10，点D为AB的中点，点P在边BC上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点M在边CA上由点C向点A匀速运动．(1) 若点M的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CMP是否全等？并说明理由．(2) 若点M的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点M的运动速度为多少时，△BPD会与△CMP全等？3.如图，等边三角形ABC的边长为15cm，点M，N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达点B 时，点M，N同时停止运动．设运动时间为t．(1) 当M，N两点重合时，求t的值．(2) 当△AMN是等边三角形时，求t的值．(3) 当点M，N在BC边上运动时，是否存在t值，使△AMN是以MN为底边的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．4.如图，AE∥BC，∠A=90∘，BC=AC=6cm，在EA上取一点D，连接BD，CD，使得∠1=∠2．(1) 求证：△DBC是等腰三角形．(2) 若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，设运动时间为t s．①当t为何值时，DP平分∠BDC？②若点Q同时以3cm/s的速度沿C→A→E运动，当点P到达点C时，点P，Q同时停止运动．当t为何值时，△PCQ是等腰三角形？答案1. 【答案】(1) 25∘(2) ①如图1，当点D在线段BC上移动时，α与β之间的数量关系是α+β=180∘．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，即∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴∠B=∠ACE．∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABC，又∠BAC=180∘−∠ACB−∠ABC，∴∠DCE=180∘−∠BAC．又∠BAC=α，∠DCE=β，∴α+β=180∘．②当点D在BC的延长线或反向延长线上时，α=β；当点D在线段BC上时，α+β=180∘．【解析】(2) ②如图2，当点D在BC的反向延长线上时，α=β．综上，当点D在BC的延长线或反向延长线上时，α=β；当点D在线段BC上时，α+β= 180∘．2. 【答案】(1) △BPD与△CMP全等．理由如下：经过1秒后，BP=CM=2，则CP=8．∵AB=16，点D为AB的中点，∴BD=12AB=8．∴BD=CP．∵AB=AC，∴∠B=∠C．在△BPD和△CMP中，{BD=CP,∠B=∠C, BP=CM,∴△BPD≌△CMP（SAS）．(2) 由题意，得BP≠CM．∵AB=AC，∴∠B=∠C．又△BPD与△CMP全等，∴△BPD≌△CPM．由（1）得BD=8，∴BD=CM=8，BP=CP．又BC=BP+CP=10，∴BP=5．8÷52=165．∴点M的运动速度为每秒165个单位长度．3. 【答案】(1) 根据题意，得2t−t=15，解得t=15．∴当M，N两点重合时，t的值为15．(2) 如答图1，当△AMN是等边三角形时，AN=AM．由题意，得AN=15−2t，AM=t．∴15−2t=t．解得t=5．∴当△AMN是等边三角形时，t的值为5．(3) 存在，理由如下：如答图2，当△AMN是以MN为底边的等腰三角形时，AM=AN．∴∠AMN=∠ANM．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠B=60∘．∴△ACN≌△ABM(AAS)．∴CN=BM．∴CM=BN．由题意，得CM=t−15，BN=15×3−2t=45−2t，∴t−15=45−2t，解得t=20．∴当t的值为20时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形．4. 【答案】(1) ∵AE∥BC，∴∠1=∠DBC，∠2=∠DCB．又∠1=∠2，∴∠DBC=∠DCB．∴DB=DC．∴△DBC是等腰三角形．(2) ① ∵△DBC是等腰三角形，∴当点P是BC的中点时，DP平分∠BDC．∴BP=12BC=3．∴t=31=3(s)．即当t=3s时，DP平分∠BDC．②分两种情况讨论：（i）如图，当点Q在AC上时，PC=QC，即6−t=3t．解得t=1.5．（ii）如图，当点Q在AE上时，QP=QC，AQ=12PC，即3t−6=12(6−t)．解得t=187．综上所述，当t为1.5s或187s时，△PCQ是等腰三角形．。

动点问题专题训练一、（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）若是点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①假设点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，通过1秒后，BPD △与CQP △是不是全等，请说明理由；②假设点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）假设点Q 以②中的运动速度从点C 动身，点P 以原先的运动速度从点B同时动身，都逆时针沿ABC △三边运动，求通过量长时刻点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△． ············································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，那么45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时刻433BP t ==秒，P∴515443Q CQ v t===厘米/秒． ·································································· （7分） （2）设通过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得1532104x x =+⨯， 解得803x =秒． ∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴通过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ········································· （12分） 二、（09齐齐哈尔）直线364y x =-+与坐标轴别离交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点动身，同时抵达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿线路O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时刻为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为极点的平行四边形的第四个极点M 的坐标．解（1）A （8，0）B （0，6） ················ 1分 （2）86OA OB ==， 10AB ∴=点Q 由O 到A 的时刻是881=（秒）∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） ·· 1分 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = ········································································································· 1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， ····························· 1分 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ······································································ 1分（自变量取值范围写对给1分，不然不给分．）（3）82455P ⎛⎫⎪⎝⎭， ···························································································· 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， ···················································· 3分3（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8别离与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P . （1）连结PA ，假设PA =PB ，试判定⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为极点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8）， ∴OA =4，OB =8. 由题意，OP =－k ， ∴PB =P A =8+k .在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.∵△PCD为正三角形，∴DE=12CD=32，PD=3，∴PE 33.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴332,45AO PEAB PB PB=即，∴315 PB=∴3158PO BO PB=-=∴3158)P-，∴3158 k=.当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,315－8)，∴k=315－8，∴当k 315－8或k=315－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为极点的三角形是正三角形.4（09哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A动身，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时刻为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求现在直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：5（09河北）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 动身沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，抵达点A 后立刻以原先的速度沿AC 返回；点Q 从点A 动身沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、QACBQED图16的运动，DE 维持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时动身，当点Q 抵达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时刻是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的进程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（没必要写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的进程中，四边形QBED 可否成为直角梯形？假设能，求t 的值．假设不能，请说明理由； （4）当DE 通过点C 时，请直接．．写出t 的值．解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC，4BC =， 得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅， 即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 现在∠AQP =90°． 由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP AC AB=， 即335t t -=． 解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．现在∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=， 即353t t -=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =． ①点P 由C 向A 运动，DE 通过点C ．连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 通过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】图4P图56（09河南））如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α． （1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，现在AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，现在AD 的长为 ；（2）当90α=°时，判定四边形EDBC 是不是为菱形，并说明理由．解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分 （2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,∴∠A =300.∴AB =4,AC 3∴AO =12AC 3……………………8分 在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC .又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分7（09济南）如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点动身沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点动身沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时刻为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探讨：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．解：（1）如图①，过A 、D 别离作AK BC ⊥于K ，DH BC⊥于H ，那么四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==．················································································ 1分 在Rt ABK △中，2sin 45424AK AB =︒==．O E CBDA α lOCA（备用图）A D CB N2cos 454242BK AB =︒== ·························································· 2分 在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==∴43310BC BK KH HC =++=++= ················································· 3分（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，那么四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= ············································································· 4分 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG =··················································································· 5分 即10257t t -= 解得，5017t = ···················································································· 6分（3）分三种情形讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103t =·························································································· 7分②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t-==（图①） A D C B K H （图②） A D C B G MNA DCB M N （图③） （图④） A D CB M NH E又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD == ∴535t t -= 解得258t = ······················································································· 8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC =即553t t -= ∴258t = ·························································································· 8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方式同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴FC MCHC DC =即1102235tt -= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 ··············· 9分8（09江西）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是不是发生改变？假设不变，求出PMN △的周长；假设改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是不是存在点P ，使PMN △为等腰三角形？假设存在，请求出所有知足要求的x 的值；假设不存在，请说明理由.（图⑤）A DCBH N MFA DE BFC图4（备用）A DEBFC图5（备用）A DE BFC图1 图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ····················· 1分∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ··········· 2分∴112BG BE EG ====， 即点E 到BC····································· 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ················································································· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ······································ 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，那么MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==．··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．现在，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分当MP MN=时，如图4，这时MC MN MP ===现在，615x EP GM ===-=图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图1A D E BF CG图2A D EBF CPNMG H当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．现在，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(53-时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分9（09兰州）如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标别离为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 动身沿A →B →C →D 匀速运动， 同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点抵达D 点时，两点同时停止运动， 设运动的时刻为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时刻t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及极点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求现在P 点的坐标；(4)若是点P 、Q 维持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 可否相等，假设能，写出所有符合条件的t 的值；假设不能，请说明理由．解：（1）Q （1，0） ······················································································· 1分点P 运动速度每秒钟1个单位长度． ······························（2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，那么BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB 中，228610AB =+= 3分 过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MP AB AF BF ==． 1068t AM MP∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==．AB CDEF G H M NPQ Oxy设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） ················································ 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大． ························· 6分 现在P 的坐标为（9415，5310） ． ····································································· 7分 （4） 当 53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等． ················································ 9分10（09临沂）数学课上，张教师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ． 通过试探，小明展现了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，那么AM =EC ，易证AME ECF △≌△，因此AE EF =．在此基础上，同窗们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，若是把“点E 是边BC 的中点”改成“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你以为小颖的观点正确吗？若是正确，写出证明进程；若是不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你以为小华的观点正确吗？若是正确，写出证明进程；若是不正确，请说明理由．ADFC GE B图1ADF C GE B 图2 ADFC GB图3解：（1）正确． ···················································· （1分） 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． （2分）BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°．AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）． ··································································· （5分） AE EF ∴=． ························································································· （6分） （2）正确． ····················································· （7分） 证明：在BA 的延长线上取一点N ． 使AN CE =，连接NE ． ·································· （8分） BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． ·································································· （10分） AE EF ∴=． ························································································ （11分） 11（09天津）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ． （Ⅰ）假设折叠后使点B 与点A 重合，求点C（Ⅱ）假设折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确信y 的取值范围；（Ⅲ）假设折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求现在点C 的坐标．解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-.AD F C GE B M A DFG E B N于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+， 即()22242m m -=+，解得32m =. ∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，. ·················································································· 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，， 则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ ···························································································· 6分 由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴ 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤. ····································································· 7分 （Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠. 又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△. 有OB OC OA OB''=，得2OC OB ''=. ·································································· 9分 在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，那么02OC x =. 由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C的坐标为()016. ···································································· 10分12（09太原）问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后取得折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值．图（1）ABCD EFMN类比归纳在图（1）中，假设13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；假设14CE CD =，则AMBN的值等于 ；假设1CE CD n =（n 为整数），那么AMBN的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广 如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后取得折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）解：方式一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． ···································· 1分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． ∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-． 在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =． ········································· 3分 在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，方法指导：为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（2） N A B C DEF M N 图（1-1）A BC DEF M。

几何模型------动点最值问题教学内容 入门测试1、如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点．若AE=2，当EF+CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为( C )A.15°B.22.5°C.30°D.45°2、如图所示，正方形ABCD 的面积为36，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为( A )3、4、A.6 B.8 C.9 D.12知识导学几何最值问题所涉及到原理{几何最值问题{1.两点之间线段最短2.垂线段最短3.三角形两边之差小于第三边（由1推导而来）4.圆外一点到圆上距离最值问题（由1推导而来）分类 细分 大致分析思路一线线段最值 单动点型 1、关键是找到动点的运动轨迹2、再利用最短路径原理解题双动点型 利用等量代换、和差关系、勾股定理或三角形边角关系转化为单动点问题知识讲解知识点一：单线段的最值问题【知识梳理】类型一：动点轨迹--直线型考法指导动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

类型二：动点轨迹--圆或圆弧型（初三学了圆之后再讲）类型三：动点轨迹--不确定型考法指导动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。

平行四边形之动点问题（北师版）（专题）一、单选题(共6道，每道15分)1.如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=3．动点P从点A出发，沿AD方向以每秒3个单位的速度向点D匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CD方向以每秒1个单位的速度向点D匀速运动．连接QP并延长，交BA的延长线于点M，设运动的时间为t秒，则当t=( )时，四边形AQDM是平行四边形．A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD=12cm，AC=6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t=( )时，四边形AECF是平行四边形．A.2B.3C.6D.12答案：A解题思路：运动路线分析图：依题意，设BE=t，则OE=6-t，OF=2t．若四边形AECF为平行四边形，则OE=OF，即6-t=2t，解得t=2，故选A．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且，BC=6cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动．设运动时间为x秒，则当x=( )时，四边形ABQP是平行四边形．A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：运动路线分析图：依题意，AP=x，CQ=2x，∵BC=6，∴QB=6-2x，若四边形ABQP是平行四边形，则AP=BQ，∴x=6-2x，解得x=2．故选B．试题难度：三颗星知识点：略4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且BC=6cm，AD=9cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，( )秒时直线PQ将四边形截出一个平行四边形．A.3或B.或C.2或3D.2或答案：C解题思路：运动路线分析图：设运动时间为t，结合题意可得：CQ=2t，AP=t，共分两种情况：①当四边形APQB是平行四边形时，AP=BQ，即：t=6-2t，解得t=2；②当四边形CDPQ是平行四边形时，PD=CQ，即：9-t=2t，解得t=3．综上，故选C．试题难度：三颗星知识点：略5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=15，∠ABC=60°．点P从点B出发沿B→A→D以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动；同时点Q从点C出发沿C→B以每秒3个单位长度的速度向点B匀速运动，当点Q到达点B时，P，Q同时停止运动．设P，Q的运动时间为t秒．（1）点P在AD上运动过程中，当t=( )秒时，PQ∥AB．A.3B.4C.2D.2.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略6.（上接第5题）（2）如图，过点Q作QE⊥BC交线段DA或AB于点E，设△BQE的面积为S，则S与t的函数关系式为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：略。

八年级几何之动点问题中考数学动点几何问题动点求最值：例1：在正方形ABCD中，面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P，使PD+PE的值最小，则其最小值是多少？例2：在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得最小值时，△APD中AP边上的高为多少？一定两动型：例3：在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC于点D，M、N分别是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？例4：在正方形ABCD中，边长为2，E为AB的中点，P 是AC上的一动点，连接BP，EP，则PB+PE的最小值是多少？例5：在⊙O的半径为2的圆上，点A、B、C满足OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上的一动点，PA+PC的最小值是多少？例6：在∠AOB=45°的情况下，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是多少？例7：在△ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm，(1)求△ABC的面积；(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半；(3)在第（2）问题前提下，P、Q两点之间的距离是多少？例8：在梯形ABCD中，DC∥AB，A=90°，AD=6cm，DC=4cm，BC的坡度i=3∶4，动点P从A出发以2cm/s的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连结PQ，设△PBQ的面积为y，求y与t 的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？例9、在直角三角形$ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$\angle B=60^\circ$，$BC=2$。

动态问题一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 类型：1.利用图形想到三角形全等，相似及三角函数2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6.动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论二、例题：1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。

当t= 时，四边形是平行四边形； 当t= 时，四边形是等腰梯形.2、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为3、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．4、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．OE CDα lC B ED 图1 N M A B C DE M N 图2A CB E D N M 图3经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动A D F C G EB 图1 AD FG E B 图3A D FC G E B 图2①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？。

动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。

当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为 53、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2, ∴∠A =300.∴AB =4,AC =23. ∴AO =12AC=3 .在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2.∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形4、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.O E CDA α lOCA （备用图） CB AE D 图1 N M A B C D EM N 图2A CB E D N M 图3(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 解：（1）正确． 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠． 90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=． （2）正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值AD FC G E B 图1 AD FG B 图3A D FC GE B 图2A D F C GB M A D FC G E B N7、在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,E为AB的中点,过点E作EF‖BC交CD于点F.AB=4,BC=6, ∠B=60°。