八年级数学全等三角形中的动点问题专项练习题

八年级数学全等三角形中的动点问题专题强化训练1、在等腰三角形ABC中，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，则DE+DF=10.2、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为8cm。

3、将边长为1的等边三角形OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置。

P1的坐标为(1,0)，P3的坐标为(-1,0)，P50的坐标为(0,-1)，P2019的坐标为(1,0)。

4、在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE。

连接DE、DF、EF。

1）证明△ADF≌△CEF。

首先，AD=CE，AF=BF，因此△ADF≌△BDF，△CEF≌△XXX。

又因为BF=EF，所以△BDF≌△XXX。

因此，△ADF≌△CEF。

2）证明△DFE是等腰直角三角形。

因为AD=CE，所以DE=DF。

又因为AF=BF，所以EF=2DF。

因此，△DFE是等腰直角三角形。

5、在等边三角形ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1个单位的速度沿AB向B和沿CA向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处。

1）在爬行过程中，CD和BE始终相等。

2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小条件不变，证明∠CQE=60°。

3）如果将原题中“沿着CA向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF。

6、如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别为BC、CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形。

八年级数学全等三角形动点问题专题训练1、如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点. （1）如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？2、如图，在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s 的速度移动，点Q点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC 三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？3、如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A点以a厘米/秒运动，设运动的时间为t秒，（1）求CP的长（用含t的式子表示）；（2）若以C、P、Q为顶点的三角形和以B、D、P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P 和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．5、如图所示，有一直角三角形△ABC ，∠C=900，AC=10cm ，BC=5cm ，一条线段PQ=AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AM 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时，△ABC 才能和△APQ 全等？6、如图，在等边ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D,E 处（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB 和CA 的延长线爬行，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中CQE∠60CQE∠的大小条件不变，求证：︒=（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF是否始终等于EF？米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．设运动时间为t秒．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPE与△CQP 是否全等？请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当t为何值时，能够使△BPE 与△CQP全等；此时点Q的运动速度为多少．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？9、如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC= cm．（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．。

一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题1.如图,Rt△ABC在直线l上，且∠ABC= 90°，BC=6cm,AC= 10cm.(1)求AB的长;(2)若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动,则当t为何值时,△ACP为等腰三角形?二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题2、如图，射线MB上MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P 从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求：(1)△PAB为等腰三角形的t值;(2)△PAB为直角三角形的t值;(3) 若AB=5且∠ABM=45。

，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值三、全等三角形：因动点产生的全等三角形问题3.如图，已知△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由;(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?四、三角形面积：因动点产生的三角形面积问题4.△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,∠B=90°, P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动。

(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?;(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到B点后，又继续沿BC向C移动,点Q到达C后，又继续沿CA向A移动,在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q,使△PBQ的面积等于9cm2?若存在，试确定P、Q的位置;若不存在，请说明理由。

五、相遇问题：因动点产生的相遇问题5.如图，在△ABC中，AB= BC= AC= 12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿△ABC的三边运动，已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.(1)点M.N运动几秒后,M、N两点重合?(2)点M.N运动几秒后，可得到等边△AMN?(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN?如果能，请求出此时M、N运动的时间.六、最值问题：因动点产生的最值问题6.如图K 13一6，点P,Q分别是△ABC的边AC,AB上的定点，请你在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短.。

八年级数学全等三角形之动点问题（全等三角形）拔高练习解答题（本大题共8小题，共120分）1. （本小题15分）如图，在等边厶ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D E处，请问（1 ）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中/ CQE的大小保持不变.请利用图（2）情形，求证：/ CQE =60°;（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3）,则爬行过程中，D F始终等于EF是否正确.A核心考点：运动变化型问题2. （本小题15分）如图，已知△ ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点.（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△ BPD与厶CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使厶BPD^A CQP（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿核心考点：正数和负数3. （本小题15分）如图，△ ABC的边BC在直线I上，ACLBC,且AC=BC △ EFP的边FP也在直线I上，边EF与边AC重合，且EF=FP.（1）请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；⑵将厶EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q连接AP, BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；⑶将厶EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q连接AP, BQ•你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由•A(E)31核心考点：全等三角形的判定与性质4. （本小题15分）如图，在厶ABC中，/ CAB=70 .在同一平面内，将厶ABC绕点A旋转到△ AB C的位置,使得CC // AB,则/B' AB = _________________核心考点：全等三角形的判定与性质5. （本小题15分）已知如图（1）,△ ABC中，/ BAC= 90°, AB= AC, AE是过A的一条直线，且B、C在A E的异侧，BDL AE于D, CEL AE于E,求证：（1）BD = DE+ CE （2）若直线AE绕A点旋转到⑵位置时（B D V CE），其余条件不变，问BD与DE CE的关系如何？请予证明.（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时，（BD>CE）,其余条件不变，问BD与DE CE的关系如何？请直接写出结果，不须证明.（4）归纳⑴、（2）、（3），请用简捷语言表述BD DE CE的关系.6. （本小题15分）在图中，直线MN与线段AB相交于点0,/ 1 = / 2 = 45（1）如图，若AO = OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系；（2）将图中的MN绕点O顺时针旋转得到下图，其中AO = OB.求证：AC = BD, AC 丄BD;核心考点：全等三角形的判定与性质7.（本小题15分）如图，A B C 、D 在同一直线上,AB= CD DE// AF,且 DE = AF ,求证：△ AFC^A DE 精选范本，供参考!【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评 和关注，我们将会做得更好】 B .如果将BD 沿着AD 边的方向平行移动，如图,B 点与C 点重合时，如图, B 点在C 点右侧时，其余条请予证明；如果不成立，请说明理由. 核心考点：全等三角形的判定。

三角形全等之动点问题（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6．【思路分析】1．研究背景图形，标注四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．0≤t ≤6DC(2/s) P ：②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，PDCBA此时AP =2t ，AD =4，12ADP S AD AP =⋅⋅△，即16422t =⋅⋅，32t =，符合题意．②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上，P DC BAA BCDABCDP DCB A此时1144822ADP S AD AB =⋅⋅=⨯⨯=△，不符合题意，舍去．③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上，PAB CD此时DP =12-2t ，AD =4，12ADP S AD DP =⋅⋅△，即164(122)2t =⋅⋅-，92t =，符合题意． 综上，当t 的值为32或92时，△ADP 的面积为6．➢ 巩固练习1. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，AB =6，D 为BC 边上一点，AP且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何值时，△PBE≌△QBE．3.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=10 cm，点D为边AB上一点，AD=6 cm．点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设CQBEPA DA点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q 的运动速度．4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？5.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．➢思考小结1.动点问题的处理方法：①______________________；②______________________，________；③______________________，________．2.分析运动过程包括4个方面（四要素）：①起点、________、__________；②_________________________；③根据_____________分段；④所求目标．3.当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是如此．具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．【参考答案】1.当t为4秒时，△BPA≌△ADC2.当x为83秒时，△PBE≌△QBE3. ①当t 为52秒时，△BPD ≌△CPQ ，此时Q 的速度为85cm/s ． ②当t 为3秒时，△BPD ≌△CQP ，此时Q 的速度为2cm/s ． 4. （1）①全等②Q 的速度为4cm/s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等 （2）经过24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇． 5．（1）034351258432t s t t s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，（2）t 为1秒或7秒时，△ABF 与△DCE 全等。

（苏科版）八年级上册数学《第1章全等三角形》专题全等三角形中的动点运动问题（30题）1．（2023春•横山区期末）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为t （s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值为．2．（2022春•普宁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为．1、全等三角形中的动点运动问题，通过点的运动，用代数式表示线段的大小，从而寻找线段间的等量关系，建立方程，进而快速解题.2、解题策略：①明晰点的运动方向和速度；②根据已知和求证的目标，寻找线段或角之间的数量关系，进而解决问题；③有时要用到分类讨论的思想.典型题训练3．（2022秋•攸县期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为cm/s．4．（2023春•吴江区期末）如图，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点E在AB边上，BE＝3cm，点F在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，到达点C后马上折返，向点B运动，点G在线段CD上以vcm/s的速度由C点向D点运动．点F，G同时出发，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t＝秒．5．如图，△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，AD＝BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP 全等时，v＝（）A．3B．4C．2或4D．2或36．（2022秋•高邑县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（）A．2B．2.8C．3D．67．（2022秋•浠水县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．当△ABD≌△ACE时，t的值为（）A．2B．4C．6D．2或68．（2023春•和平区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，满足AC＝7，BC＝12，点P从A 点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为（不考虑两三角形重合的情况）．9．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与直线AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0＜t＜2和2＜t＜4时段BF的长度（用含t的代数式表示）（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且PQ＝AB，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△QP A全等．11．（2022秋•昭阳区期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点Q与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP全等？12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．13．（2022秋•苍溪县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C 运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）（2）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）16．（2022秋•南召县期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm，BC＝15cm，E为AB的中点，若点P在线段BC上以5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．（1）若点Q运动的速度是5cm/s，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当△BPE与△CQP全等时，求出点Q的运动速度．17．（2022春•二七区校级期中）如图，点E在线段CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，点F在线段AB上运动，AD＝4cm，BC＝3cm，且AD∥BC．（1）当点F运动到离点A多少厘米时，△ADE和△AFE全等？为什么？（2）在（1）的情况下，此时BF＝BC吗？为什么？求出AB的长．18．如图，在长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．（注：长方形中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等：①经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；②设运动时间为t秒时，△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△AEP与△BPQ全等．19．（2023春•碑林区校级期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．（1）求BO的长；（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．20．如图1，长方形ABCD中，AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝5cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动的时间均为ts．（1）若点F的运动速度与点E的运动速度相等，当t＝2时：①判断△BEF与△ADE是否全等？并说明理由；②求∠EDF的度数．（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”，且∠A＝∠B＝70°，AB＝7cm，AD＝BC＝5cm，其他条件不变．设点F的运动速度为xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF与△ADE全等？若存在，直接写出相应的x及t的值；若不存在，请说明理由．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D在AC上，且AD＝6cm，过点A作射线AE⊥AC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．（1）如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；（2）如图②，当PD⊥AB于点F时，求此时t的值．22．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD，BD＝14，点E从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒5个单位的速度，沿C→B→C做匀速移动，点G 从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒，G点的移动距离为y．（1）请用含t的代数式表示以下线段：ED＝，当0＜t≤2时，BF＝，当2＜t≤4时，BF＝；（2）请猜想AD与BC的位置关系，并说明理由；（3）在移动过程中，请你探究当t取何值时，△DEG与△BFG全等？并求出此时G点的移动距离y．23．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．24．（2022春•华容县期中）如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．（1）如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D 点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等．请说明理由．②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？相遇点在何处？25．（2022秋•红花岗区期中）如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．（1）当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：S△BEC＝2：1，试求点D，E的运动时间t的值；（2）当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC 全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．26．如图，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在射线AB上以1cm/s的速度由点A出发沿射线AB方向运动，同时，点Q在射线DB上由点D出发沿射线DB方向运动．它们运动的时间为t （s）．（1）若点Q的运动速度是点P的运动速度的2倍，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）设点Q的运动速度为xcm/s（x≠2），是否存在实数x，使△ACP与△BPQ全等？若存在，请画出示意图，将全等的三角形用符号表示出来，并直接写出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．27.（2022秋•沭阳县校级月考）如图①，线段BC＝6，过点B、C分别作垂线，在其同侧取AB＝4，另一条垂线上任取一点D．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以每秒a个单位的速度沿射线CD运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为t（s）．（1）当t＝1，CP＝，用含a的代数式表示CQ的长为；（2）当a＝2，t＝1时，①求证：△ABP≌△PCQ；②求证：AP⊥PQ；（3）如图②，将“过点B、C分别作垂线”改为“在线段BC的同侧作∠ABC＝∠DCB”，其它条件不变．若△ABP与△PCQ全等，直接写出对应的a的值．28．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，①如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．求证：△ACD≌△CBE；②如图2，过点A作AD⊥直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，连接BF交直线l于E，连接CF．求证：DE＝AD+EF．（2）当AC＝8cm，BC＝6cm时，如图3，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF．点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当△MDC与△CEN全等时，求t的值．29．（2022秋•浠水县期中）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．30．（2022秋•原平市校级期中）如图，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于点O，BD=23CD，且AE＝BE．（1）求线段AO的长；（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S；（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．。

八年级上册数学《第十二章 全等三角形》专题 全等三角形的应用---动点运动问题（30题）1．（2023春•虹口区校级期末）如图，AB ＝8，BC ＝10，CD 为射线，∠B ＝∠C ，点P 从点B 出发沿BC 向点C 运动，速度为1个单位/秒，点Q 从点C 出发沿射线CD 运动，速度为x 个单位/秒；若在某时刻，△ABP 能与△CPQ 全等，则x ＝ ．【分析】设点P 、Q 的速度为ts ，分两种情形构建方程即可解决问题．【解答】解：设点P 、Q 的速度为ts ，分两种情形讨论：①当AB ＝PC ，BP ＝CQ 时，△ABP ≌△PCQ ，即8＝10﹣t ，解得：t ＝2，∴2x ＝2×1，∴x ＝1；②当BP ＝PC ，AB ＝CQ 时，△ABP ≌△QCP ，即t =12×10＝5，∴5x ＝8，x =85，综上所述，x ＝1或85，故答案为：1或85．【点评】本题考查全等三角形的判定、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2022秋•攸县期末）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AB ＝5cm ，AD ＝BC ＝3cm ，点E 在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 cm/s．【分析】设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，由于∠DAB＝∠ABC，则当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt；当AD＝BF，AE＝BE 时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，然后分别解方程求出x即可．【解答】解：设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，∵∠DAB＝∠ABC，∴当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt，解得t＝2，x＝1；当AD＝BF，AE＝BE时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，解得t＝2.5，x＝1.2，综上所述，点F的运动速度为1或1.2cm/s．故答案为：1或1.2．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．3．（2022春•普宁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 ．【分析】设BE＝3t，则BF＝7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．【解答】解：设BE＝3t，则BF＝7t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，∵BF＝AE，AB＝60，∴7t＝60﹣3t，解得：t＝6，∴AG＝BE＝3t＝3×6＝18；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，∵BE＝AE，AB＝60，∴3t＝60﹣3t，解得：t＝10，∴AG＝BF＝7t＝7×10＝70，综上所述，AG＝18或AG＝70．故答案为：18或70．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．4．如图，△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，AD＝BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP 全等时，v＝（ ）A．3B．4C．2或4D．2或3【分析】表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD 与CQ是对应边两种情况讨论即可．【解答】解：∵AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点，∴BD=12×24＝12cm，设点P、Q的运动时间为t，则BP＝2t，PC＝（16﹣2t）c①当BD＝PC时，16﹣2t＝12，解得：t＝2，则BP＝CQ＝2t＝4，故点Q的运动速度为：4÷2＝2（厘米/秒）；②当BP＝PC时，∵BC＝16cm，∴BP＝PC＝8cm，∴t＝8÷2＝4（秒），故点Q的运动速度为12÷4＝3（厘米/秒）；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．5．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s 的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（ ）A．2或83B．6或83C．2或6D．1或23【分析】设Q运动的速度为xcm/s，则根据△AEP与△BQP得出AP＝BP、AE＝BQ或AP＝BQ，AE＝BP，从而可列出方程组，解出即可得出答案．【解答】解：∵长方形ABCD，∴∠A＝∠B＝90°，∵点E为AD的中点，AD＝8cm，∴AE＝4cm，设点Q的运动速度为xcm/s，①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ，2y=6−2y4=8−xy，解得，x=83 y=32，即点Q的运动速度83cm/s时能使两三角形全等．②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP，2y=8−xy4=6−2y，解得：x=6 y=1，即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等．综上所述，点Q的运动速度83或6cm/s时能使两三角形全等．故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，涉及了动点的问题使本题的难度加大了，解答此类题目时，要注意将动点的运用时间t和速度的乘积当作线段的长度来看待，这样就能利用几何知识解答代数问题了．6．（2022秋•高邑县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（ ）A．2B．2.8C．3D．6【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．【解答】解：当P在AC上，Q在BC上时，如图，过点P，Q，C分别作PE⊥直线l于点E，QF⊥直线l于点F，CD⊥AB于点D，∵∠ACB＝90，∴∠PCE+∠QCF＝90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∵△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣2t＝8﹣3t，解得t＝2；当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣2t＝3t﹣8，解得t＝2.8；当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，由题意得，2t﹣6＝6，解得t＝6．综上，当△CPE与△CQF全等时，t的值为2或2.8或6．∴t的值不可能是3．故选：C．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图﹣基本作图、平行线之间的距离、勾股定理，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．7．（2022秋•浠水县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．当△ABD≌△ACE时，t的值为（ ）A．2B．4C．6D．2或6【分析】当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，由全等三角形的性质求出其解即可．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AB＝AC，BD＝CE．如图，当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，∵CE＝t，BD＝6﹣2t，∴6﹣2t＝t，∴t＝2．如图，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，∵CE＝t，BD＝2t﹣6，∴t＝2t﹣6，∴t＝6．综上所述，当t＝2或6时，△ABD≌△ACE，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．8．（2023春•和平区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，满足AC＝7，BC＝12，点P从A 点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为　（不考虑两三角形重合的情况）．【分析】三角形PEC和三角形QFC要全等，P的对应顶点是C，有两种情况：一种是点P在AC上，点P在BC上时；另一种是点Q到达终点，而P在BC上时，先把各线段的长度表示出来，再让对应边相等，即可构造方程解出t．【解答】解：①当点P在线段AC上，点P在线段BC上时；如图：当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，∴PC＝CQ．由题意知：AP＝t，PC＝7﹣t，BQ＝3t，CQ＝12﹣3t；∴7﹣t＝12﹣3t，解得t＝2.5．②当P在线段BC上，点Q到达终点时，如图：当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，∴PC＝CQ．由题意知：AP＝t，PC＝t﹣7，CQ＝7，∴t﹣7＝7，解得t＝14．综上所述，t的值为2.5或14．【点评】本题考查全等三角形的性质，找到全等三角形的对应边是解题的关键．9．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与直线AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0＜t＜2和2＜t＜4时段BF的长度（用含t的代数式表示）（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值．【分析】（1）根据点F从点B出发、点E从点A出发的速度、结合图形解答；（2）根据题意列出方程，解方程即可；（3）分点E从点A运动至点G、从点G返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．【解答】解：（1）当0＜t≤2时，BF＝4t，当2＜t≤4时，BF＝16﹣4t；（2）由题意得，16﹣4t＝2t，解得t=8 3；（3）当0＜t≤2时，△ADE≌△CDF，则AE＝CF，即8﹣4t＝2t，解得t=4 3，当2＜t≤4时，△ADE≌△CDF，则AE＝CF，即4t﹣8＝2t，解得t＝4，则t=43或4时，△ADE≌△CDF．【点评】本题考查的是全等三角形的性质的应用，根据题意求出函数关系式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且PQ＝AB，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△QPA全等．【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．【解答】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=BCPQ=AB∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝5cm；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=ACPQ=AB，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝10cm，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，当P运动到AP＝BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．11．（2023春•吉安县期末）如图，△ABC中，D为AB的中点，AD＝5厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，再加上BP＝CQ＝3，PC＝BD＝5，则可判断△BPD 与△CQP全等；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解方程得到点P运动的路程为3×10＝30，得到此时点P在BC边上，于是得到结果．【解答】解：（1）∵BP＝3×1＝3，CQ＝3×1＝3，∴BP＝CQ，∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝5，∵CP＝BC﹣BP＝5，∴BD＝CP，在△BPD与△CQP中，BD=CP∠B=∠C，BP=CQ∴△BPD≌△CQP（SAS）；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解得：x＝10，∴点P运动的路程为3×10＝30，∵30＝28+2，∴此时点P在BC边上，∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键．12．如图，∠BAC＝90°，AB＝22，AC＝28．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C 点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？【分析】分类讨论：当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB＝2t，CQ＝3t，AP＝22﹣2t，AQ＝28﹣3t，利用三角形全等得PA＝AQ，即22﹣2t＝28﹣3t；当点P、Q都在AB上，即P点和Q点重合时，△PFA与△QAG全等，此时2t+3t﹣28＝22，当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，则PA＝2t﹣22，AQ＝3t﹣28，由PA＝AQ，即2t﹣22＝3t﹣28；当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA＝QA得2t﹣22＝22，然后分别解方程求出t，再根据题意确定t的值．【解答】解：设P、Q点运动的时间为t，（1）当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB＝2t，CQ＝3t，AP＝22﹣2t，AQ＝28﹣3t，∵△PFA与△QAG全等，∴PA＝AQ，即22﹣2t＝28﹣3t，解得t＝6，即P运动6秒时，△PFA与△QAG全等；（2）当点P、Q都在AB上，即P点和Q点重合时，△PFA与△QAG全等，此时2t+3t﹣28＝22，解得t＝10，（3）当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，则PA＝2t﹣22，AQ＝3t﹣28，∵△PFA与△QAG全等，∴PA＝AQ，即2t﹣22＝3t﹣28，解得t＝6（舍去）；当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA＝QA得2t﹣22＝22，解得t＝22，舍去．综上所述：当t等于6秒或10秒时，△PFA与△QAG全等．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．对于动点问题常利用代数的方法解决．13．（2022秋•苍溪县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．【分析】（1）证明△ABC≌△EDC（SAS），可得∠A＝∠E，然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论；（2）分两种情况讨论：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，可得AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，进而可以解决问题；（3）先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况列方程求解即可．【解答】（1）证明：在△ABC和△EDC中，AC=EC∠ACB=∠ECD，BC=DC∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠A＝∠E，∴AB∥DE；（2）解：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，∴AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，∴线段AP的长为2tcm或（16﹣2t）cm；（3）解：根据题意得DQ ＝tcm ，则EQ ＝（8﹣t ）cm ，由（1）得：∠A ＝∠E ，ED ＝AB ＝8cm ，在△ACP 和△ECQ 中，∠A =∠E AC =EC ∠ACP =∠ECQ，∴△ACP ≌△ECQ （ASA ），∴AP ＝EQ ，当0≤t ≤4时，2t ＝8﹣t ，解得：t =83；当4＜t ≤8时，16﹣2t ＝8﹣t ，解得：t ＝8；综上所述，当线段PQ 经过点C 时，t 的值为83或8．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，列代数式，一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到△ACP ≌△ECQ ．14．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）（2）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以vcm /s 的速度沿CA 向点A 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC ﹣BP 即可得到CP 的长；（2）此题主要分两种情况①当BP ＝CQ ，AB ＝PC 时，△ABP ≌△PCQ ；当BA ＝CQ ，PB ＝PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别计算出t 的值，进而得到v 的值．【解答】解：（1）依题意，得PC＝（10﹣2t）（cm）．故答案为：10﹣2t；（2）①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB＝6cm，∴PC＝6（cm），∴BP＝10﹣6＝4（cm），2t＝4，解得：t＝2，CQ＝BP＝4（cm），v×2＝4，解得：v＝2；②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，∵PB＝PC，∴BP＝PC=12BC＝5（cm），2t＝5，解得：t＝2.5，CQ＝BP＝6（cm），v×2.5＝6，解得：v＝2.4．综上所述：当v＝2.4或2时△ABP与△PQC全等．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过　秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．【解答】解：（1）①△BPD≌△CQP，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1＝1cm，∵AB＝6cm，点D为AB的中点，∴BD＝3cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，∴PC＝4﹣1＝3cm，∴PC＝BD．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP；②假设△BPD≌△CQP，∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，∴点P，点Q运动的时间t=BP1=2秒，∴v Q=CQt=32=1.5cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 1.5x＝x+2×6，解得x＝24，∴点P共运动了24s×1cm/s＝24cm．∵24×1.5＝36，∴点P、点Q在AC边上相遇，∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．【点评】此题主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．16．（2022秋•聊城月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．【分析】（1）经过1秒后，可得BP＝CQ＝3厘米，则PC＝8﹣3＝5厘米，可证明△BPE≌△CQP；（2）由△BPE与△CQP全等可知有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，全等可得BP＝CP或BP＝CQ，或可求得BP的长，可求得P点运动的时间，由CQ＝BE或CQ＝BP可求得Q点运动的路程，可求得其速度．【解答】解：（1）△BPE与△CQP全等，理由如下：当运动1秒后，则BP＝CQ＝3厘米，∴PC＝BC﹣BP＝8﹣3＝5厘米，∵E为AB中点，且AB＝10厘米∴BE＝5厘米，∴BE＝PC，在△BPE和△CQP中BE=PC∠B=∠CBP=CQ∴△BPE≌△CQP（SAS）；（2）∵△BPE与△CQP全等，∴△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，当△BEP≌△CQP时，则BP＝CP，CQ＝BE＝5厘米，设P点运动的时间为t秒，则3t＝8﹣3t，解得t=4 3，∴Q点的运动的速度＝5÷43=154（厘米/秒），当△BEP≌△CPQ时，由（1）可知t＝1（秒），∴BP＝CQ＝3厘米，∴Q点的运动的速度＝3÷1＝3（厘米/秒），即当Q点每秒运动154厘米或3厘米时△BEP≌△CQP．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P，Q是边AC，BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E，设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿AC，BC向点C匀速运动，运动速度都为每秒1个单位，其中一点到达终点C后，另一点也随之停止运动，在运动过程中△APD和△QBE是否保持全等？判断并说明理由；（2）若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t为何值时，△APD和△QBE全等？【分析】（1）根据∠C＝90°，PD⊥AB，QE⊥AB，于是得到∠A+∠APD＝∠A+∠B＝90°，证得∠APD ＝∠B，∠ADP＝∠QEB＝90°，即可得到结论；（2）分两种情况：①0≤t＜83时，点P从C到A运动，则AP＝AC＝CP＝8﹣3t，BQ＝t，求得t＝2，②t≥83时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，求得t＝4．【解答】解：（1）△ADP≌△QBE，理由：∵∠C＝90°，PD⊥AB，QE⊥AB，∴∠A+∠APD＝∠A+∠B＝90°，∴∠APD＝∠B，∠ADP＝∠QEB＝90°，∵AP＝BQ＝t，在△ADP与△QBE中，∠APD=∠B∠ADP=∠QEB AP=BQ，∴△ADP≌△QBE；（2）①0≤t＜83时，点P从C到A运动，则AP＝AC＝CP＝8﹣3t，BQ＝t，当△ADP≌△QBE时，则AP＝BQ，即8﹣3t＝t，解得：t＝2，②t≥83时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，当△ADP≌△QBE时，则AP＝BQ，即3t﹣8＝t，解得：t＝4，综上所述：当t＝2s或4s时，△ADP≌△QBE．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解方程，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．18．如图，在长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．（注：长方形中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等：①经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；②设运动时间为t秒时，△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△AEP与△BPQ全等．【分析】（1）①当t＝1时，AP＝BQ，∠A＝∠B，AE＝PB，从而可证明△EAP≌Rt△PBQ；②当t≤4时，AP＝BQ＝t，S＝S梯形AEQB﹣S AEP﹣S PBQ；当4＜t≤6时，点P与点B重合，S＝2t；（2）如图3所示：因为△AEP≌△BQP，所以AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3，从而可求得t＝2，点Q运动的速度为＝3÷2＝1.5cm/秒．【解答】解：（1）①当t＝1时，AP＝1，BQ＝1，∴AP＝BQ．∵E是AD的中点，∴AE=12AD＝3．∵PB＝AB＝AP＝4﹣1＝3，∴AE＝PB．在Rt△EAP和Rt△PBQ中，AE=PB ∠A=∠B AP=BQ，∴Rt△EAP≌Rt△PBQ．∴∠APE＝∠BQP，∵∠BQP+∠BPQ＝90°，∴∠APE+∠BPQ＝90°，∴∠EPQ＝90°，∴PE⊥PQ；②如图1所示连接QE．图1Ⅰ、当t≤4时，AP＝BQ＝t，S梯形AEQB =12（AE+BQ）•AB=12×4×（3+t）＝2t+6．S△AEP =12AE•PA=12×3t=32t，S△PBQ=12PB•BQ=12×（4﹣t）t＝2t−12t2．∴S＝2t+6−32t﹣（2t−12t2）．整理得：S=12t2−32t+6，如图2所示：Ⅱ、当4＜t≤6时，点P与点B重合，S=12QB•AB=12×4×t＝2t．∴S与t的函数关系式为S=2−32t+6(0＜t≤4)＜t≤6)；（2）如图3所示：∵△AEP≌△BQP，PA≠BQ，∴AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3．∴t＝AP=12AB=12×4＝2．∴点Q运动的速度为＝3÷2＝1.5cm/秒时，△AEP≌△BQP．故答案为：1.5．【点评】此题是四边形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、函数的解析式、一元一次方程的综合应用，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．19．（2023春•碑林区校级期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．（1）求BO的长；（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．【分析】（1）由AAS证明Rt△BDO≌Rt△ADC，根据对应边相等求得BO的长；（2）分情况讨论点F分别在BC延长线上或在BC之间时△AOP≌△FCQ，根据对应边相等求得t值．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，∴∠ACD＝∠AOE，∴∠BOD＝∠ACD．又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD，∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS），∴BO＝AC＝6．（2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝6﹣4t，∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2．②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝4t﹣6，∴t＝4t﹣6，解得t＝2．综上，t＝1.2或2．【点评】本题考查全等三角形的判定．这部分内容是初中几何中非常重要的内容，一定要深刻理解，做到活学活用．20．如图1，长方形ABCD中，AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝5cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动的时间均为ts．（1）若点F的运动速度与点E的运动速度相等，当t＝2时：①判断△BEF与△ADE是否全等？并说明理由；②求∠EDF的度数．（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”，且∠A＝∠B＝70°，AB＝7cm，AD＝BC＝5cm，其他条件不变．设点F的运动速度为xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF与△ADE全等？若存在，直接写出相应的x及t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①根据SAS证明：△BEF≌△ADE；②由①：△BEF≌△ADE得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，证明△DEF是等腰直角三角形可得结论；（2）分两种情况：①如图2，当△DAE≌△EBF时，②如图3，当△ADE≌△BFE时，分别根据AD＝BE，AE＝BF，列方程组可得结论．【解答】解：（1）①△BEF≌△ADE，理由如：当t＝2时，AE＝BF＝2，∴BE＝AB﹣AD＝7﹣2＝5，∵AD＝5，∴BE＝AD，∵∠A＝∠B＝90°，∴△BEF≌△ADE；②由①得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，∵∠A＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BEF+∠AED＝90°，∴∠DEF＝180°﹣（∠BEF+∠AED）＝90°，∵DE＝EF∴∠EDF＝∠EFD，∵∠EDF+∠EFD＝90°，∴∠EDF＝45°；（说明：用其他方法的，请参照此评分标准给分）（2）存在，①如图2，当△DAE≌△EBF时，∴AD＝BE，AE＝BF，则5=7−t t=xt∴x＝1，t＝2；②如图3，当△ADE≌△BFE时，AE＝BE，AD＝BF，则t=7−t 5=xt，∴x=107，t=72．（说明：每正确写出一对x、t的值，给1分．）【点评】本题考查四边形综合题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定、三角形全等的性质和判定及动点运动等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D在AC上，且AD＝6cm，过点A作射线AE⊥AC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．（1）如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；（2）如图②，当PD⊥AB于点F时，求此时t的值．【分析】（1）由PD⊥BD、∠C＝90°可推出∠PDA＝∠CBD，即可根据ASA判定△PDA≌△DBC；（2）由PD⊥AB，AE⊥AC可推出∠APF＝∠CAB，即可根据AAS判定△APD≌△CAB，再由全等三角形的性质即可得解．【解答】（1）证明：如图①，∵PD⊥BD，∴∠PDB＝90°，∴∠BDC+∠PDA＝90°，又∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠PDA＝∠CBD，又∵AE⊥AC，∴∠PAD＝90°，∴∠PAD＝∠C＝90°，又∵BC＝6cm，AD＝6cm，∴AD＝BC，在△PAD和△DCB中，∠PAD=∠CAD=CB，∠PDA=∠CBD∴△PDA≌△DBC（ASA）；（2）解：如图②，∵PD⊥AB，∴∠AFD＝∠AFP＝90°，∴∠PAF+∠APF＝90°，又∵AE⊥AC，∴∠PAF+∠CAB＝90°，∴∠APF＝∠CAB，在△APD和△CAB中，∠APD=∠CAB∠PAD=∠C，AD=CB∴△APD≌△CAB（AAS），∴AP＝AC，∵AC＝8cm，∴AP＝8cm，∴t＝8．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA判定△PDA≌△DBC、根据AAS判定△APD≌△CAB是解题的关键．22．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB＝10，如图作∠DBO＝∠ABO，∠CAy＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．（1）①求证：△ACO≌△EDO；②求出线段AC、BD的位置关系和数量关系；（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PG⊥CD于点G，QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPG与△OQF全等？【分析】（1）①根据全等三角形的判定定理ASA证得结论；②利用①中全等三角形的性质得到：AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时（ii）当点P、Q都在y轴上时，（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止时，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）①如图，∵∠DBO＝∠ABO，OB⊥AE，∴∠BAO＝∠BEO，∴AB＝BE，∴AO＝OE，∵∠CAy＝∠BAO，∴∠CAy＝∠BEO，∴∠DEO＝∠CAO在△ACO与△EDO中，∠CAO=∠DEO OA=OE∠AOC=∠DOE，∴△ACO≌△EDO（ASA）；②由①知，△ACO≌△EDO，∴∠C＝∠D，AC＝DE，∴AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：6﹣t＝8﹣2t，解得t＝2（秒），（ii）当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：6﹣t＝2t﹣8，解得t=143（秒），（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，则PO＝QO得：t﹣6＝2t﹣8，解得t＝2（秒）不合题意；当点Q提前停止时，有t﹣6＝6，解得t＝12（秒），综上所述：当两动点运动时间为2、143、12秒时，△OPE与△OQF全等【点评】本题考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质，正确的理解题意是解题的关键．23．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；（2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P 在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=12BC=92cm，此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+92=332，移动的时间为：332÷3=112秒，②当点P在BA上时，如图①﹣2若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD=12AB，即点P为BA中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+152=572cm，移动的时间为：572÷3=192秒，故答案为：112或192；（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5，∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）=154cm/s，②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）=9332cm/s，综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速度为154cm/s或9332cm/s．。

全等三角形之动点问题（综合测试）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，在长方形ABCD中，BC=8cm，AC=10cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P，Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )时，△PQC是以PQ为底的等腰三角形．A.5B.C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=18，BC=12，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由C点向A点匀速运动，连接DP，QP．设点P的运动时间为t秒，解答下列问题：（1）根据点P的运动，对应的t的取值范围为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.（上接第2题）（2）若某一时刻△BPD与△CQP全等，则t的值与相应的CQ的长为( )A.t=2，CQ=9B.t=1，CQ=3或t=2，CQ=9C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6D.t=1，CQ=3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第2，3题）（3）若某一时刻△BPD≌△CPQ，则a=( )A. B.2C.3D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.在梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于E，且AD=8，EC=6，BE=14．动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿DA向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿BC向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．请回答下列问题：（1）线段PD，QE的长可用含t的式子分别表示为( )A.3t；8-2tB.2t；8-2tC.2t；14-3tD.2t；14-3t或3t-14答案：C解题思路：6.（上接第5题）（2）连接DQ，当t为何值时，△DQE≌△DCE．根据题意可建等式为( )A.3t=6B.14-3t=6C.14-3t=8D.14-3t=6或3t-14=6答案：B解题思路：7.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=10cm．动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动时间为t秒．请回答下列问题：（1）点P在线段CD上运动的时间范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：8.（上接第7题）（2）当时，△ABP的面积S可用含t的式子表示为( )cm2．A.12t-96B.-6t+78C.-12t+156D.6t-48答案：B解题思路：9.已知：如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点B出发沿BC-CD-DA方向以每秒2个单位的速度运动，到达点A时停止运动．连接AP，BP．设点P运动时间为t秒，请回答下列问题：（1）当点P在线段CD上运动时，线段CP的长可用含t的式子表示为( )A.8-2tB.2t-8C.18-2tD.16-2t答案：B解题思路：10.（上接第9题）（2）若△ABP的面积为16，则t的值为( )A.1B.2C.2或10D.2或6答案：C解题思路：。

全等三角形的动点问题
一、两点同时运动
题1：如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的速度为多少cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等。

二、三点同时运动
题2：如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝8，BD＝10，点E从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动，点G从点B出发，沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒，求t为何值时，△DEG和△BFG全等。

如图，AB＝12cm，∠CBA=∠DBA=60°，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3cm/s的速度由点B向点A 匀速运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D匀速运动，设点Q的速度为xcm/s，当△BPQ与△ACP 全等时，x的值为多少？。

全等三角形之动点问题（综合测试）1、如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA 以1cm／s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm／s的速度向点C运动．几秒后，△PBQ的面积为9cm2？第1题图第2题图第3题图2、如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1m/s，点Q运动的速度是2m/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）填空：△ABC的面积为（2）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．（3）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．(4)当△BPQ是直角三角形时，求t的值3、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F，问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由。

第1页共8页三角形全等之动点问题（习题）
例题示范
例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB-BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，
DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为
6．
【思路分析】
1．研究背景图形，标注
四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°．
2．分析运动过程，分段
①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应
的时间范围．
0≤t ≤6
2s 2s 2s D C B A (2/s) P ：②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t ≤，46t ≤，需要
对每一段分别进行分析．
3．表达线段长，建等式
①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，
P
D
C
B A 此时AP=2t ，AD=4，
1
2ADP S AD AP △，
即1
6422t ，
3
2t ，符合题意．
②当24t ≤时，即点P 在线段BC 上，
P D C B A A B C D A B C D。

例1、如图，已知正方形ABCD中，正方形的四边相等，四个角都是直角．边长为40厘米，点E在AB边上，BE=25厘米．如果点P在线段BC上以7厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少厘米/秒时，能够使ΔBPE与ΔCQP全等.练习1、如图，已知正方形ABCD中，正方形的四边相等，四个角都是直角．边长为10厘米，点E 在AB边上，BE=6厘米．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使ΔBPE与ΔCQP全等．练习2、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90∘，AB=BC=5cm，CD=4cm.点P从点C出发以1cm/s的速度沿CB向点B匀速移动，点M从点A出发以1.5cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，点N从点D出发以a cm/s的速度沿DC向点C匀速移动.点P、NN同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为t s.当a为多少时，ΔPBM与ΔPCN全等.变式1、如图,AB＝6cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，AC＝BD＝4cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．求当点Q 的运动速度为多少时，△ACP与△BPQ全等练习1、如图所示，已知ΔABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，∠ABC=∠ACB，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点出发向A点运动．设运动时间为t秒．（1）若点P的速度3cm/s，用含t的式子表示第t秒时，BP=______cm，CP=______cm．若点Q 运动速度与点P的运动速度相等，经过______秒ΔBPD≌ΔCQP；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且点P的速度比点Q的速度慢1cm/s时，点Q 的运动速度为______cm/s时，能够使ΔBPD与ΔCPQ全等.练习2、如图，在△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛D、E，它们同时出发，分别以每分钟1米和2米的速度由A向B和由C向A爬行，AB=AC=6米，请问：当ΔABE≅ΔACD时，它们用了______分钟.变式2、如图所示，有一直角三角形△ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=4cm，一条线段PQ=AB，P、Q 两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，如果点P在线段AC上以2厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在射线AM上由A点向M点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△ABC与△APQ全等.练习：如图,AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝5cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A 向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．当点Q的运动速度为cm/s时，△ACP与△BPQ全等补充练习：1、如图，已知△ABC中，AB=AC=18厘米，∠B=∠C，BC=13厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒，ΔBPD≌ΔCQP（点B、P、D分别与点C、Q、P对应）2、如图，AB=6，BC=12，AB⊥BC于点B，直线l⊥BC于点C,点P从点B开始沿射线BC以2cm/s的速度移动，过点P作PQ⊥PA，交直线l于点Q。

完整)全等三角形动点问题提高题1.已知等边三角形ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，D为AB的中点。

现点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。

1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则1秒钟时，△BPD与△CQP全等，因为它们都是等腰三角形，且∠BPD=∠CQP；2）若点Q的运动速度为v，则当v=2厘米/秒时，△BPD≌△CQP。

接着，若点Q以v速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则它们第一次在AC上相遇，此时所用时间为3秒。

2.已知△XXX的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，XXX与XXX重合，且EF=FP。

1)观察可得，AP=AB，BP=BC，且AP与BP垂直；2)将△EFP沿直线l向左平移，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，则BQ=2AP，且AP与BQ垂直；3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ，则BQ=2AP，且AP与BQ不垂直。

3.在△ABC中，∠CAB=70°。

在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠B′AB=20°。

4.已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。

1)连接BD和CE，证明BD＝DE＋CE；2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，则BD＜DE＜CE；3)若直线AE绕A点旋转到(3)位置时(BD＞CE)，其余条件不变，则CE＜DE＜BD；4)综合以上结论，得出BD、DE、CE构成一个等差数列，公差为CE。

5.在图中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°。

1）若AO=OB，则AO=BD，且AO与BD垂直；2）将MN绕点O顺时针旋转得到下图，其中AO=OB，则AC=BD，且AC与BD垂直。

第1页共8页三角形全等之动点问题（习题）
例题示范
例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB-BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，
DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为
6．
【思路分析】
1．研究背景图形，标注
四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°．
2．分析运动过程，分段
①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应
的时间范围．
0≤t ≤6
2s 2s 2s D C B A (2/s) P ：②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t ≤，46t ≤，需要
对每一段分别进行分析．
3．表达线段长，建等式
①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，
P
D
C
B A 此时AP=2t ，AD=4，
1
2ADP S AD AP △，
即1
6422t ，
3
2t ，符合题意．
②当24t ≤时，即点P 在线段BC 上，
P D C B A A B C D A B C D。

三角形全等之动点问题（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6．【思路分析】1．研究背景图形，标注四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．0≤t ≤62s2sDC(2/s) P ：②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，PDCB A此时AP =2t ，AD =4，12ADP S AD AP =⋅⋅△，即16422t =⋅⋅，32t =，符合题意．②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上，PDC B A AB CDABCDP DCB A此时1144822ADP S AD AB =⋅⋅=⨯⨯=△，不符合题意，舍去．③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上，PAB CD此时DP =12-2t ，AD =4，12ADP S AD DP =⋅⋅△，即164(122)2t =⋅⋅-，92t =，符合题意． 综上，当t 的值为32或92时，△ADP 的面积为6．➢ 巩固练习1. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，AB =6，D 为BC 边上一点，AP且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何值时，△PBE≌△QBE．3.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=10 cm，点D为边AB上一点，AD=6 cm．点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设CQBEPA DA点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q 的运动速度．4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？5.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．➢思考小结1.动点问题的处理方法：①______________________；②______________________，________；③______________________，________．2.分析运动过程包括4个方面（四要素）：①起点、________、__________；②_________________________；③根据_____________分段；④所求目标．3.当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是如此．具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．【参考答案】1.当t为4秒时，△BPA≌△ADC秒时，△PBE≌△QBE2.当x为833. ①当t 为52秒时，△BPD ≌△CPQ ，此时Q 的速度为85cm/s ．②当t 为3秒时，△BPD ≌△CQP ，此时Q 的速度为2cm/s ． 4. （1）①全等②Q 的速度为4cm/s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等 （2）经过24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇． 5．（1）034351258432t s tt s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，（2）t 为1秒或7秒时，△ABF 与△DCE 全等。

全等三角形动点问题提高题1.如图，已知△ABC 中， AB=AC=12 厘米， BC=9 厘米，点 D 为 AB 的中点．（1 ）如果点P 在线段 BC 上以 3 厘米 / 秒得速度由 B 点向 C 点运动，同时点Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动．①若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等， 1 秒钟时，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CQP？（2 ）若点 Q 以（ 1 ）② 中的运动速度从点 C 出发，点P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？2.如图，△ABC 的边 BC 在直线 l 上， AC⊥ BC，且 AC=BC；△EFP 的边 FP 也在直线 l 上，边EF 与边 AC 重合，且 EF=FP.(1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系；(2)将△EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时， EP 交 AC 于点 Q，连接 AP， BQ，猜想并写出BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将△EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时， EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q，连接AP， BQ.你认为（ 2 ）中所猜想的BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.3.如图，在△ABC 中 , ∠ CAB=70°在.同一平面内, 将△ABC 绕点 A 旋转到△AB′C′的位置 , 使得CC′∥ AB,则∠ B′ AB= _________4. 已知如图 (1) ，△ABC 中，∠ BAC＝ 90 °， AB＝ AC，AE 是过 A 的一条直线，且 B、 C 在AE 的两侧， BD⊥AE 于 D， CE⊥ AE 于 E，求证： (1)BD ＝ DE＋ CE； (2) 若直线 AE 绕 A 点旋转到(2) 位置时 (BD ＜CE)，其余条件不变，问 BD 与 DE、 CE 的关系如何 ?请予证明． (3) 若直线AE 绕 A 点旋转到图 (3) 位置时， (BD ＞ CE)，其余条件不变，问 BD 与 DE、CE 的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4) 归纳 (1) 、 (2) 、 (3) ，请用简捷语言表述BD、 DE、 CE 的关系．5.在图中，直线MN 与线段 AB 相交于点O，∠ 1 = ∠ 2 = 45 °．（1 ）如图，若AO = OB，请写出AO 与 BD 的数量关系和位置关系；（2 ）将图中的MN 绕点 O 顺时针旋转得到下图，其中AO = OB．求证： AC = BD， AC ⊥ BD；6.如图， A、B、 C、D 在同一直线上，AB＝ CD， DE∥ AF，且 DE＝ AF，（1）求证：△AFC≌△DEB.（2 ）如果将BD 沿着 AD 边的方向平行移动，如图， B 点与 C 点重合时，如图， B 点在 C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由．7.如图 ,E、 F 分别为线段 AC 上的两个动点 ,且 DE⊥ AC 于 E 点 ,BF⊥ AC 于 F 点 ,若 AB=CD,AF= CE,BD 交 AC 于 M 点,（ 1）求证： MB=MD ，ME=MF （ 2 ）当 E、 F 两点移到至如图所示的置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。

三角形全等之动点问题（随堂测试）
1. 已知：如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，点E 为BC 上一点，且CE =2．动
点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC -CD -DA 向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒． （1）请用含t 的式子表达△ABP 的面积S ．
（2）是否存在某个t 值，使得△ABP 和△DCE 全等？若存在，
请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．
【思路分析】
1. 研究背景图形
2. 分析运动过程，分段
目标：_____________
由运动过程确定每段对应的时间范围，分别是__________、
_____________、_____________． 3. 表达线段长，建等式（从动点的运动开始表达）
【过程书写】
【参考答案】
思路分析：略
（1）
（2）t 为1秒或7秒时，△A BP 与△DCE 全等 s P : 0343512
58432
t s t
t s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，A B P E C D D
C E B A D
C E B A。