2017北京朝阳区高三二模数学试卷(文)含答案(word版含答案)

2017朝阳区高三（上）期末数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（?U A）∩B）=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤2}2．（5分）复数=（）A．2﹣i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i3．（5分）已知非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+b＞0 B．C．ab＜b2D．a3﹣b3＜04．（5分）已知平面向量=（1，0），=（﹣，），则与+的夹角为（）A．B．C．D．5．（5分）若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线上的一点，且|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．或7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A． B．C．D．8．（5分）某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=，S10=．10．（5分）圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为．12．（5分）在△ABC中，已知，则∠C=．13．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是．14．（5分）甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24．（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}是等差数列，求数列{b n}的前n项和．17．（13分）甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了5次预赛成绩记录如下：甲82 82 79 95 87乙95 75 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率：（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．18．（14分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥C﹣DEF的体积．19．（13分）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率乘积为，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若曲线C上的两点M，N满足OM∥PA，ON∥PB，求证：△OMN的面积为定值．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，试求a的取值范围；（III）设函数g（x）=lnx+x﹣e x+1，当a=0时，证明f（x）﹣g（x）≥0．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【解答】∵全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∴?U A={x|x≥1}，则（?U A）∩B={x|1≤x＜2}，故选：C2．【解答】==1﹣i，故选：D．3．【解答】对于A：∵a＜b，则a﹣b＜0，b﹣a＞0，∴A不对．对于B：∵a＜b，当a＜0＜b，则，∴B不对．对于C：∵a＜b，当a＜b＜0，则ab＞b2，∴C不对．对于D：∵a＜b，则a3＜b3，即a3﹣b3＜0，∴D对．故选D．4．【解答】∵向量=（1，0），=（﹣，），∴+=（，），?（+）=（1，0）?（，）=，设与+的夹角为θ，则由cosθ＝==，可得θ＝，故选：B．5．【解答】若函数y=a x在R上是减函数，则0＜a＜1，此时2﹣a＞0，则函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数成立，即充分性成立，若函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数，则2﹣a＞0，即0＜a＜2，则函数y=a x在R上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件，6．【解答】∵M是双曲线上的一点，|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，由正弦定理可得，=，即=，解得sin∠MF2F1=，∴∠MF2F1=60°或120°，当∠MF2F1=60°时，△MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=2．即c=1，∵2a=|MF1|﹣MF2|=﹣1，即a=∴e==+1，当∠MF2F1=120°时，△MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=|MF1|=1．即c=，∵2a=|MF1|﹣MF2|=﹣1，即a=，∴e===，故选：D．7．【解答】由已知中的某四棱锥的三视图，可得：该几何体的直观图如下图所示：其底面面积为：S=2×=，高h=，故体积V==，故选：C8．【解答】设这两项成绩均合格的人数为x，则跳远合格掷实心球不合格的人数为26﹣x，则26﹣x+23+3=32，即这两项成绩均合格的人数是20人，故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S2=a3，∴2a1+d=a1+2d，即2=d，∴a2=2+2=4．S10=10××2=110．故答案为：4，110．10．【解答】把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣1）2=4，可得圆心坐标为（﹣1，1），则圆心到直线3x+4y+14=0的距离d==3．故答案为：311．【解答】第一次，i=1，满足条件，i＜6，i=1+2=3，S=6，第二次，i=3，满足条件，i＜6，i=3+2=5，S=6+10=16，第三次，i=5，满足条件，i＜6，i=5+2=7，S=16+14=30，第四次，i=7，不满足条件i＜6，程序终止，输出S=30，故答案为：3012．【解答】由题意：已知，即b=a由正弦定理=，则有sinA=，∵0°＜A＜135°则C=180°﹣30°﹣45°=105°故答案为：105°13．【解答】先根据约束条件不等式组画出可行域：当直线2x+y=t过点A时，2x+y取得最大值，由，可得A（，）时，z最大是2×=，由约束条件x﹣y≤0，可知≤0，令z=，可得z2==1﹣，令t=，由可行域可得∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．求解的最小值，就是解z2的最大值，即1﹣的最大值，可知∈（﹣∞，﹣1]，显然=﹣1时，z2取得最大值2．所以z，的取值范围是[﹣，0）．故答案为：．[﹣，0）．14．【解答】若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，不符合题意．若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说真话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说真话，不符合题意．故答案为：甲三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．【解答】（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）∴T=．（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]∴﹣1≤2sin（2x+）≤2∴函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣1，最大值为2．16．【解答】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，依题意q＞0．因为，两式相除得：q2+q﹣6=0，解得q=2，q=﹣3（舍去）．所以．所以数列{a n}的通项公式为．…（6分）（Ⅱ）解：由已知可得b1﹣a1=3﹣2=1，b2﹣a2=6﹣4=2，因为{b n﹣a n}为等差数列，所以数列{b n﹣a n}是首项为1，公差为d=1的等差数列．所以b n﹣a n=1+（n﹣1）=n．则．因此数列{b n}的前n项和：=（1+2+3+…+n）+（2+22+23+…+2n）=．…（13分）17．【解答】（1）茎叶图如图，则从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为5×5=25．其中甲的成绩比乙的成绩高的个数为（82，75），（82，80），（79，75），（87，75），（87，80），（87，85）（95，90），（95，75），（95，80），（95，85），（82，75），（82，80）共12个．所以从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，甲的成绩比乙高的概率为；（3）派甲参赛比较合理．理由是．．==31.6．因为甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以甲发挥稳定．18．【解答】证明：（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，且AB⊥BE，所以BE⊥平面ABCD．因为AC?平面ABCD，所以BE⊥AC．又因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD．因为BD∩BE=B，所以AC⊥平面BDE．…（4分）（Ⅱ）设AC∩BD=O，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．设G为DE的中点，连结OG，FG，则OG∥BE，且．由已知AF∥BE，且，则AF∥OG，且AF=OG．所以四边形AOGF为平行四边形．所以AO∥FG，即AC∥FG．因为AC?平面DEF，FG?平面DEF，所以AC∥平面DEF．…（9分）解：（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面ABCD，又因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，所以AD⊥平面ABEF．由（Ⅱ）可知，AC∥平面DEF，所以，点C到平面DEF的距离等于A点到平面DEF的距离，所以V C﹣DEF=V A﹣DEF．因为AB=AD=2AF=2．所以=．故三棱锥C﹣DEF的体积为．…（14分）19．【解答】（Ⅰ）设P（x，y），则，整理得（x≠±2）．…（5分）（Ⅱ）依题直线OM，ON的斜率乘积为．当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=±1．取，则．所以△OMN的面积为．当直线MN的斜率存在时，设方程为y=kx+m．由得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4=0．因为M，N在椭圆C上，所以△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣4）＞0，解得4k2﹣m2+2＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，；所以=．设点O到直线MN的距离为d，则．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得2k2+1=m2…②．由①②，得．…（13分）20．【解答】（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=xe x+x2，因为f'（x）=xe x+2x，所以f'（1）=e+2．又f（1）=1，则所求的切线方程为y﹣1=（e+2）（x﹣1）．化简得：y=（e+2）x﹣e﹣1．…（3分）（Ⅱ）因为f'（x）=x（e x+2a）①当a=0时，函数f（x）=（x﹣1）e x只有一个零点；②当a＞0，函数当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；函数当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=﹣1，f（1）=a，因为x＜0，所以x﹣1＜0，e x＜1，所以e x（x﹣1）＞x﹣1，所以g（x）＞ax2+x﹣1取，显然x0＜0且g（x0）＞0所以f（0）f（1）＜0，f（x0）f（0）＜0．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a＜0时，由f'（x）=x（e x+2a）=0，得x=0，或x=ln（﹣2a）．若，则ln（﹣2a）≤0．故当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）在单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）至多有一个零点．又当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上没有零点．所以函数f（x）不存在两个零点．若，则ln（﹣2a）＞0．当（ln（﹣2a），+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（ln（﹣2a），+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（ln（﹣2a），+∞）至多有一个零点．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＞0；当x∈（0，ln（﹣2a））时，f'（x）＜0；所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单增，（0，ln（﹣2a））上单调递减，所以函数f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上的最大值为f（0）=﹣1＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上没有零点．所以f（x）不存在两个零点．综上，a的取值范围是（0，+∞）．…（9分）（III）证明：当a=0时，f（x）﹣g（x）=（x﹣1）e x+e x﹣lnx﹣x﹣1．设h（x）=xe x﹣lnx﹣x﹣1，其定义域为（0，+∞），则证明h（x）＞0即可．因为，所以h'（0.1）＜0，h'（1）＞0．又因为，所以函数h'（x）在（0，+∞）上单调递增．所以h'（x）=0有唯一的实根x0∈（0，1），且．当0＜x＜x0时，h'（x）＜0；当x＞x0时，h'（x）＞0．所以函数h（x）的最小值为h（x0）．所以=1+x0﹣x0﹣1=0．所以f（x）﹣g（x）≥0．…（14分）。

2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。

2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B是（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|0＜x＜2}2．（5分）已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=（）A．3 B． C．4 D．103．（5分）某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为（）A．16 B．16.2 C．16.6 D．16.84．（5分）“”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，1）内是减函数的是（）①f（x）=﹣x3②③f（x）=﹣sinx④．A．①③B．①④C．②③D．③④6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（）A．4 B．C．D．7．（5分）阿波罗尼斯（约公元前262﹣190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．若点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．一段圆弧D．一条线段二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为．10．（5分）已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C的方程是．11．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，则=．12．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x2+y2的最小为．13．（5分）高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）图1矩形中白色区域面积等于图2矩形中白色区域面积；（2）图1阴影区域面积用a，b，c，d表示为；（3）图2中阴影区域的面积为；（4）则柯西不等式用字母a，b，c，d可以表示为（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：．14．（5分）如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°﹣α．后退l（单位m）至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为m；旗杆BA的高为m．（用含有l和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，f（x）≥0．16．（13分）已知由实数构成的等比数列{a n}满足a1=2，a1+a3+a5=42．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a2+a4+a6+…+a2n．17．（13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．选手乙的接发球技术统计表（Ⅰ）观察图，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC．已知D是BC的中点，AB=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求三棱锥A1﹣AB1D的体积．19．（14分）已知椭圆的一个焦点坐标为（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点E（3，0），过点（1，0）的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点，直线ME与直线x=5相交于点F，试证明：直线FN与x轴平行．20．（13分）已知函数f（x）=xcosx+a，a∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程f'（x）=0（f'（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B是（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|0＜x＜2}【解答】解：集合A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|lnx＞0}={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=（）A．3 B． C．4 D．10【解答】解：由z+i=3，得z=3﹣i，∴|z|=．故选：B．3．（5分）某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为（）A．16 B．16.2 C．16.6 D．16.8【解答】解：由题意得：14×0.1+15×0.2+16×0.3+18×0.2+20×0.2=16.8，故选：D．4．（5分）“”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当时，cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=1﹣2×=1﹣1=0，即充分性成立，若cos2α=0，则cos2α=1﹣2sin2α=0，即sin2α=，即sinα=±，则sinα=，不一定成立，即“”是“cos2α=0”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，1）内是减函数的是（）①f（x）=﹣x3②③f（x）=﹣sinx④．A．①③B．①④C．②③D．③④【解答】解：①f（x）是奇函数在（0，1）递减，符合题意；②函数f（x）是偶函数，不合题意；③函数f（x）是奇函数，在（0，1）递减，符合题意；④f（x）是奇函数，x∈（0，1）时，f（x）=，f′（x）=＞0，f（x）在（0，1）递增，不合题意；故选：A．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（）A．4 B．C．D．【解答】解：由四棱锥的三视图得该四棱锥是倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=3，棱锥的高为h=2，故该四棱锥的体积：V===4．故选：A．7．（5分）阿波罗尼斯（约公元前262﹣190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：设A（1，0），B（﹣1，0），P（x，y）则，化简得（x+3）2+y2=8如图，当点P到AB（x轴）距离最大时，△PAB面积的最大值，∴△PAB面积的最大值是．故选：A．8．（5分）如图，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．若点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．一段圆弧D．一条线段【解答】解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α平面α与平面ABCD有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为一条线段．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为48．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=2执行循环体，S=2，i=2不满足条件i＞4，执行循环体，S=4，i=3不满足条件i＞4，执行循环体，S=12，i=4不满足条件i＞4，执行循环体，S=48，i=5此时，满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为48．故答案为：48．10．（5分）已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C的方程是．【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线的焦点在x 轴上，且c=2，设双曲线的方程为﹣=1，又由双曲线的一条渐近线方程为x+y=0，则有=1，又由c=2，则有a2+b2=c2=4，解可得a2=b2=2，则双曲线的方程为；故答案为：．11．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，则=2．【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，∴∠ABC=120°，∴=﹣•=﹣||•||•cos120°=﹣2×2×（﹣）=2，故答案为：2．12．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x2+y2的最小为8．【解答】解：根据变量x，y满足约束条件，画出可行域：z=x2+y2表示O（0，0）到可行域的距离的平方，由图形可知，原点到直线x+y﹣4=0的距离的平方最小，则z=x2+y2的最小值是：（）2=8．故答案为：8．13．（5分）高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）图1矩形中白色区域面积等于图2矩形中白色区域面积；（2）图1阴影区域面积用a，b，c，d表示为S1=bd+ac；（3）图2中阴影区域的面积为；（4）则柯西不等式用字母a，b，c，d可以表示为（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：由图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，图2中的面积为S2=（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab=ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等；∵sin∠BAD≤1，则（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当=时，取等号．【解答】解：图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，由图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，图2中的面积为S2=（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab=ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等；∵sin∠BAD≤1，则（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当=时，取等号．故答案为：S1=bd+ac；由图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，图2中的面积为S2=（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab=ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等；∵sin∠BAD≤1，则（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当=时，取等号．14．（5分）如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°﹣α．后退l（单位m）至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为lsinαm；旗杆BA的高为m．（用含有l和α的式子表示）【解答】解：由题意可知∠BP1C=α，∠AP1C=90°﹣α，P1P2=l，∠BP2C=，∴∠P2BP1=∠BP1C﹣∠BP2C=，∴P2B=P1P2=l，∴BC=P1Bsin∠BP1C=lsinα．P1C=P1Bcos∠BP1C=lcosα，在Rt△AP1C中，tan∠AP1C=，即tan（90°﹣α）=，∴=，∴AC=，∴BA=AC﹣BC=﹣lsinα=，故答案为：lsinα，．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，f（x）≥0．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin2x+cos2x+sin2x﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）+1；所以函数f（x）的最小正周期为T==π；…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=，当x∈时，，，；当，即x=0时，f（x）取得最小值0；所以当时，f（x）≥0．…（13分）16．（13分）已知由实数构成的等比数列{a n}满足a1=2，a1+a3+a5=42．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a2+a4+a6+…+a2n．【解答】解：（Ⅰ）由可得2（1+q2+q4）=42．由数列{a n}各项为实数，解得q2=4，q=±．所以数列{a n}的通项公式为a n=2n或a n=（﹣1）n﹣12n．（Ⅱ）当a n=2n时，；当a n=（﹣1）n﹣12n 时，．17．（13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．选手乙的接发球技术统计表（Ⅰ）观察图，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术．…（2分）（Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A，B，正手拉球4次，分别记为a，b，c，d．则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd．其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd．则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率．…（10分）（Ⅲ）正手技术更稳定．…（13分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC．已知D是BC的中点，AB=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求三棱锥A1﹣AB1D的体积．【解答】（Ⅰ）证明：因为△ABC为正三角形，且D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为侧棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BB1，所以BB1⊥底面ABC．又因为AD⊂底面ABC，所以BB1⊥AD．而B1B∩BC=B，所以AD⊥平面BB1C1C．因为AD⊂平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面BB1C1C．（Ⅱ）证明：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．由已知得，四边形A1ABB1为正方形，则E为A1B的中点．因为D是BC的中点，所以DE∥A1C．又因为DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A1C∥平面AB1D，所以A1与C到平面AB1D的距离相等，所以．由题设及AB=AA1=2，得BB1=2，且．所以，所以三棱锥A1﹣AB1D的体积为．19．（14分）已知椭圆的一个焦点坐标为（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点E（3，0），过点（1，0）的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点，直线ME与直线x=5相交于点F，试证明：直线FN与x轴平行．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的一个焦点坐标为（2，0），则有所以a2=5，b2=1．所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论：①当直线l的斜率不存在时，此时MN⊥x轴．设D（1，0），直线x=5与x轴相交于点G，易得点E（3，0）是点D（1，0）和点G（5，0）的中点，又因为|MD|=|DN|，所以|FG|=|DN|．所以直线FN∥x轴．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．因为点E（3，0），所以直线ME的方程为．令x=5，所以．由消去y得（1+5k2）x2﹣10k2x+5（k2﹣1）=0．显然△＞0恒成立．所以，因为==，所以y2=y F．所以直线FN∥x轴．综上所述，所以直线FN∥x轴．20．（13分）已知函数f（x）=xcosx+a，a∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程f'（x）=0（f'（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xcosx+a，得f′（x）=cosx﹣xsinx．∴曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=cosx﹣xsinx，则g'（x）=﹣sinx﹣（sinx+xcosx）=﹣2sinx﹣xcosx．当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，则函数g（x）为减函数．又∵g（0）=1＞0，g（1）=cos1﹣sin1＜0，∴有且只有一个x0∈（0，1），使g（x0）=0成立．∴函数g（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点，即方程f′（x）=0在区间（0，1）内有且只有一个实数根；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，由于F′（x）=f（x），即f（x）=xcosx+a在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号．∵当x∈（0，1）时，函数g（x）为减函数，∴在（0，x0）上，g（x）＞g（x0）=0，即f′（x）＞0成立，函数f（x）为增函数；在（x0，1）上，g（x）＜g（x0）=0，即f′（x）＜0成立，函数f（x）为减函数．则函数f（x）在x=x0处取得极大值f（x0）．当f（x0）=0时，虽然函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点x0，但f （x）在x0两侧同号，不满足F′（x）在区间（0，1）内有且只有一个极值点的要求．由于f（1）=a+cos1，f（0）=a，显然f（1）＞f（0）．若函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号，则只需满足：，即，解得﹣cos1≤a＜0．第21页（共21页）。

北京市朝阳区2017届高三二模数学试题（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i 为虚数单位，则复数z =i(12i)+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是（ ）A ．23B ．31C ．32D ．633．“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数π()sin()(0)6f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π，则（ ）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为（ ）A ．12B ． 24C ．36D ． 48 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（ ）AB ．C ．3D ．7．已知函数log ,0,()3,40a x x f x x x >⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩(0a >且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)(1,)+∞UD ．(0,1)(1,4)U8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某 中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是（ ）A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 ，离心率是 ． 10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 ．11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a = ，9S = ．12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为 ． 13．已知满足,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值8，则实数k的值为．14．已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A Î，存在,i j a a B Î()i j ≠，使得12i j x a a λλ=+（12,{1,0,1}λλ?），则称B 为A 的一个基集．若{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，则其基集B 元素个数的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A =． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180 cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．17．（本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=︒．点Q 为线段1A B 上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ 平面1A DE ？若存在，求出1AQ 的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1134A Q AB =时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y a b+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求OEG ∠的大小．19．（本小题满分14分）已知函数2()e xf x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b ÎR ． （Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值； （Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．20．（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件：①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值； （Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．参考答案一、选择题二、填空题三、解答题：（15）解：（Ⅰ）因为2sinB A，所以2b =． 所以a =． 所以222cos 232a c b B ac b +-===．（Ⅱ）因为2a =，所以b c ==又因为cos B =sin B = 所以11sin 2223ABCSa c B =⋅⋅=⨯=． （16）解：（Ⅰ）根据题意得：(0.00520.02020.040)101a ⨯++⨯+⨯=． 解得 0.010a =．（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则1450.051550.11650.21750.41850.21950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(145195)0.051550.1(165185)0.21750.4=+⨯+⨯++⨯+⨯1715.57070172.5=+++=．所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm ．（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm 以上的概率约为14． 由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3．所以00331327(0)()()4464P X C ==⋅=；11231327(1)()()4464P X C ==⋅=；2213139(2)()()4464P X C ==⋅=；3303131(3)()()4464P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列为因为X ~1(3)4B ，，所以344EX =⨯=． （17）解：（Ⅰ）因为11,60A D DC A DC =∠=︒，所以△1A DC 为等边三角形． 又因为点F 为线段CD 的中点，所以1A F DC ⊥．由题可知1,ED A D ED DC ⊥⊥，所以ED ⊥平面1A DC ． 因为1A F ⊂平面1A DC ，所以ED ⊥1A F ．又EDDC D =，所以1A F ⊥平面BCDE ．所以1A F BE ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1A F⊥平面BCDE ，FG DC ⊥，如图，建立空间直角坐标系，则(0,0)F ，(0,1,0)D -，(0,1,0)C ，(1,1,0)E -，1A ，(2,1,0)B ．设平面1A DE 的一个法向量为(,,)x y z =n，1(0,1,A D =-,(1,0,0)DE =， 所以10,0.n n A D DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令1z =，所以y =(0,=n 假设在线段1A B 上存在点Q ，使FQ 平面1A DE ．设11AQ A B λ=，(]0,1λ∈.又1(2,1,A B =，所以1(2,,)AQ λλ=．所以(2,)Q λλ.则(2,)FQ λλ=.所以0FQ ⋅==n .解得，12λ=. 则在线段1A B 上存在中点Q ，使FQ平面1A DE．且1AQ =（Ⅲ）因为1134A Q A B =，又1(2,1,A B =，所以133(,,24AQ =．所以33(,,244Q ．又因为3(,0,0)2G，所以3(0,,44GQ =．因为(0,),=n 设直线GQ 与平面1A DE 所成角为θ，则1sin .2GQ GQ θ⋅===n n直线GQ 与平面1A DE 所成角为30︒. （18）解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =．所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=． 令1y =-，得C 0(,1)1x y --． 又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-． 因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++- 20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥．90OEG ∠=︒．（19）解：（Ⅰ）()e 2x F x x b =--，则()e 2xF x '=-.令()e 20,xF x '=->得ln 2x >，所以()F x 在(ln 2,)+∞上单调递增. 令()e 20,x F x '=-<得ln 2x <，所以()F x 在(,ln 2)-∞上单调递减. （Ⅱ）因为()e 21xf x x '=+-，所以(0)0f '=，所以l 的方程为1y =.依题意，12a-=，1c =.于是l 与抛物线2()2g x x x b =-+切于点(1,1)，由2121b -+=得2b =.所以2,2, 1.a b c =-==（Ⅲ）设()()()e (1)xh x f x g x a x b =-=-+-,则()0h x ≥恒成立.易得()e (1).x h x a '=-+ （1）当10a +≤时，因为()0h x '>，所以此时()h x 在(,)-∞+∞上单调递增.①若10a +=，则当0b ≤时满足条件，此时1a b +≤-；②若10a +<，取00x <且01,1b x a -<+ 此时0001()e (1)1(1)01x b h x a x b a b a -=-+-<-+-=+，所以()0h x ≥不恒成立． 不满足条件；（2）当10a +>时，令()0h x '=，得ln(1).x a =+由()0h x '>，得ln(1)x a >+；由()0h x '<，得ln(1).x a <+所以()h x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 要使得“()e (1)0x h x a x b =-+-≥恒成立”，必须有“当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥”成立. 所以(1)(1)ln(1)b a a a ≤+-++.则2(1)(1)ln(1) 1.a b a a a +≤+-++- 令()2ln 1,0,G x x x x x =-->则()1ln .G x x '=-令()0G x '=，得 e.x =由()0G x '>，得0e x <<；由()0G x '<，得 e.x >所以()G x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减, 所以，当e x =时，max ()e 1.G x =-从而，当e 1,0a b =-=时，a b +的最大值为e 1-.综上，a b +的最大值为e 1-.（20）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2.（Ⅱ）因为10-≤≤n a n ，所以20,1032≤≤≤≤a a ，又数列}{n a 的前3项互不相等，（1）当02=a 时，若13=a ，则3451a a a ====， 且对3≥n ，12)2(0+-=-++n m n n m 都为整数，所以2=m ； 若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，24)2(20+-=-++nm n n m 都为整数，所以4=m ； （2）当12=a 时，若03=a ，则3450a a a ====，且对3≥n ，n m n n m 1)2(01+=-⋅++都为整数， 所以1-=m ，不符合题意；若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，23)2(21+-=-++nm n n m 都为整数，所以3=m ； 综上，m 的值为2,3,4.（Ⅲ）对于1≥n ，令12n n S a a a =+++， 则11111+=+≤+=<++++nS n n S n a S n S n S n n n n n n . 又对每一个n ，nS n 都为正整数，所以11++n S n m S n S n =≤≤≤1...1，其中“<”至多出现1-m 个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有n S n S n n =++11成立. 当n S n S n n =++11时，则nS S n S n S S a n n n n n n =-+=-=++)1(11. 从而22)1(2212112122+-+=+++=+++=+++++++++n a a a n a n a n S a a n S n n n n n n n n n . 由题设知1212||12<++≤+-++n n n a a n n ，又22++n S n 及1+n a 均为整数， 所以=++22n S n =+1n a 11+=+n S n S n n ，故1212n n n S S S n n n ++====++常数. 从而==-+=-=++n S S n S n S S a n n n n n n )1(11常数.故存在正整数M ，使得n M 时，n a 为常数.。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类） 2017．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知i 为虚数单位，则复数z =i(12i)+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是 A ．23 B ．31 C ．32 D ．63 3．“0,0x y >>”是“2y xx y +≥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D4．已知函数π()sin()(0)6f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π，则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5则共有不同分法的种数为 A ．12 B ．24 C ．36 D ． 486．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为 B. C.3 D.7．已知函数log ,0,()3,40a x x f x x x >⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩(0a >且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)(1,)+∞UD ．(0,1)(1,4)U8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”． 某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场 传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 ，离心率是 ．10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 ．11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a = ，9S = ． 12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为 ． 13．已知,x y 满足,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值8，则实数k 的值为 ．14．已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A Î，存在,i j a a B Î()i j ≠，使得12i j x a a λλ=+（12,{1,0,1}λλ?），则称B 为A 的一个基集．若{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，则其基集B 元素个数的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A =． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积． 16．（本小题满分13分） 从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；俯视图正视图侧视图（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180 cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．17．（本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=︒．点Q 为线段1A B上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ 平面1A DE ？若存在，求出1AQ 的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1134A Q AB = 时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y a b +=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求OEG ∠的大小．19．（本小题满分14分）已知函数2()e xf x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b ÎR ．（Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值；（Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值． 20．（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件：①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++ 的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项； （Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类） 2017.5a 身高(cm) B A 1F C E D QG 图2图1 A B C D E F G三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2sinB A =，所以2b =．所以a =所以222cos 232a c b B ac b +-===．…………7分（Ⅱ）因为2a =，所以b c ==cos 3B =，所以sin 3B =．所以11sin 222ABC S a c B =⋅⋅=⨯= ．…………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得：(0.00520.02020.040)101a ⨯++⨯+⨯=．解得0.010a =．……3分（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x，则1450.051550.11650.21750.41850.21950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ (145195)0.051550.1(165185)0.21750.41715.57070172.5=+⨯+⨯++⨯+⨯=+++=． 所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm ． …………7分（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm 以上的概率约为14．由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3．所以00331327(0)((4464P X C ==⋅=；11231327(1)()(4464P X C ==⋅=；2213139(2)(()4464P X C ==⋅=；3303131(3)((44P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列如下表。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类） 2017.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知i 为虚数单位，则复数z =(1i)i +对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（2）已知x y >，则下列不等式一定成立的是 （A ）11x y< （B ）2log ()0x y -> （C ）33x y <（D ） 11()()22x y<（3）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是（A ）15 （B ）29 （C ） 31 （D ） 63（4）“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）将函数()cos 2f x x =图象上所有点向右平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则实数a 的最大值为 （A ）π8 （B ）π4 （C ）π2 （D ）3π4（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（A（B） （C ）3 （D）（7）已知过定点(20)P ，的直线l与曲线y =相交于Α，Β两点，Ο为坐标原点，当ΑΟΒ∆的面积最大时，直线l 的倾斜角为（A ）150 （B ）135 （C ）120 （D ）30（8）“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a ，b ，c （a b c >>且,,a b c *∈N ），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是(A)甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙都有可能第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）已知集合{}121x A x -=>错误！未找到引用源。

北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三期末文科数学2017．1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U R =，集合{}1A x x =<，{}20B x x =-<，则()U C A B =（ ）A ．{}2x x >B ．{}12x x <≤C ．{}12x x ≤<D ．{}2x x ≤2．复数21i=+（ ） A ．2i -B ．22i -C ．1i +D ．1i -3．已知非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．0a b +>B ．11a b>C ．2ab b <D ．330a b -<4．已知平面向量()10=， a，12⎛=- ⎝⎭b ，则a 与+a b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3πC ．3π2 D ．6π5 5．已知0a >，且1a ≠，则“函数x y a =在R 上是减函数”是“函数()32y a x =-在R 上是增函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别是12F F 、，M是双曲线上的一点，且1MF =21MF =，1230MF F ∠=，则该双曲线的离心率是（ ）A1B1 CD17．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形， 该四棱锥的体积为（ ） A．3B ．23C ．43D8．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试。

跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（ ）俯视图正视图侧视图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ．若12a =，23S a =，则2a =_______，10．圆22:2220C x y x y ++--=的圆心到直线34140x y ++=的距离是11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为_______． 12．在ABC ∆中，已知45B AC ∠=︒=，，则C ∠=_______．13．设D 为不等式组0033x y x y x y ≥-≤+≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，对于区域内除原点外的任一点()A x y ，，则2x y +的最大值是_______的取值范围是14．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖。

数学学科测试 （文史类）2018．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．{}2320A x x x =-+<，{}1B x x =≥，则=A BA ．(],2-∞B ．()1+∞，C ．()12，D ．[)1+∞，()21i -=A. B. C. 2i - D. 2+i,x y 满足不等式组220101,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，，则3z y x =-的最小值是A.B.C.D.72-ABC △中，ππ1,,64a A B =∠=∠=，则5.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如图，角，均以为始边，终边与单位圆分别交于点，，则OA OB ⋅= A. sin()αβ- B. sin()αβ+C. cos()αβ-D. cos()αβ+上的奇函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且0a b +>，0b c +>，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值A ． 恒为正B ．恒为负C ．恒为0D ．无法确定 获得者得分比其他人都多，且获胜场次却比其他A. 5B. 6C. 7第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S =．22143x y -=的焦点坐标是_________，渐近线方程是___________． 11. 已知0,0x y >>，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为. 12. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是_________.xOy 中，点（不过原点）到轴，轴的距离之和的2倍等于点的轨迹所围成的图形的面积是.14. 如图，已知四面体ABCD的棱平面，且AB =，其余的棱长均体ABCD 始为．四面体ABCD 以所在的直线为轴旋转弧度，且四面终在水平放置的平面的上方．如果将四面体ABCD 在平面内正投影面积看成关于的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小正周期为；()S x 的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)已知函数过点(,1)2π，()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经a ∈R ．（Ⅰ）求的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最小值． 16．(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前项和2(,,*)n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24a S ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；1正视图1 1侧视图俯视图（Ⅱ）设2n a nb =，求数列{}n b 的前项和．17． (本小题满分13分)（Ⅱ）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率. 18．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中，△PBC 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，ABDC ，AD DC ⊥，5,4,3AB AD DC ===.（Ⅰ）求证：平面PDC ；（Ⅱ）当平面PBC 平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点，使得这两点所在直线与直线垂直，并给出证明．．.19． (本小题满分14分)2，其左顶点在圆已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>的离心率为22:4O x y +=上（为坐标原点）．（I ）求椭圆的方程；(II) 过点作直线AQ 交椭圆于另外一点，交轴于点.为椭圆上一点,且 //OP AQ ，求证：2AQ AR OP⋅为定值.20． (本小题满分13分)已知函数()e xf x x =，()1g x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，求的值； （Ⅱ）若方程()()0f x g x -=在(2,2)-上恰有两个不同的实数根，求的取值范围;（Ⅲ）若对任意1[2,2]x ∈-，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得21()()f x g x =，求的取值范围.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试答案（文史类） 2018．5三、解答题（本题满分80分） 15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意得2sin(sin cos )1222a πππ+-=，即2(10)1a +-=， 解得1a =．()2sin (sin cos )1f x x x x =+-22sin 2sincos 1x x x =+-sin 2cos2x x =-)4x π=-．由222242k x k πππ-+π≤-≤+π（k ∈Z ），得322244kx k ππ-+π≤≤+π， 所以388k x k ππ-+π≤≤+π， 所以函数()f x 的单调递增区间是3[,88k k k ππ-+π+π](∈)Z ．……………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知())4f x x π=-．当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，所以sin(2)124x π-≤-≤．所以1()f x -≤≤所以当244x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值．……………13分 16.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意得3,16424.p q p q +=⎧⎨+=⎩即3,4 6.p q p q +=⎧⎨+=⎩. 解得1,2.p q =⎧⎨=⎩ 所以22n S n n =+.当2n ≥时，221(2)[(1)2(1)]21nn n a S S n n n n n -=-=+--+-=+．因为13211a ==⨯+也适合上式， 所以21(*)n a n n =+∈N . ……………7分（Ⅱ）因为23121242n n n n b b +++==，且131228a b ===， 所以数列{}n b 是以为首项，为公比的等比数列，所以8(14)8(41)143n nn T -==--．……………… 13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）这10年中栽种银杏数量的中位数为3700株.设平均数为，则34003300360036003700420044003700+4200+4200=383010x +++++++=株.……… 4分（Ⅱ）根据表中数据，满足条件的年份有2009，2010，2011，2013，2014共5年.从这5年中抽取2年，有2009，2010；2009，2011；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2010，2013；2010，2014；2011，2013；2011，2014；2013，2014共10种情况.设事件表示“任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多”.则事件包括2009，2010；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2011，2013；2011，2014共6种情况. 所以63()==105P A . 答：任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多的概率为35………………13分 18.（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为AB DC ，又因为AB PDC ⊄平面，DC PDC ⊂平面， 所以//AB 平面PDC ．……3分（Ⅱ）取BC 中点，连接PF .又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PBC 平面ABCD =BC ，所以PF ⊥平面ABCD . 在直角梯形ABCD 中，因为ABDC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，5AB =，所以BC =，且1=(35)4162ABCD S +⨯=梯形. 又因为3PB =，BF =,所以2PF =.所以1132162333P ABCDABCD V S PF -=⋅=⋅⋅=梯形.……………… 9分 （Ⅲ）,A P 点为所求的点. 证明如下：连接,AF AC . 在直角梯形ABCD 中，因为AB DC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，所以5AC =.因为5AB =，点为中点，所以AF BC ⊥. 又因为BC PF ⊥,AFPF F =，所以BC PAF ⊥平面.又因为PA PAF ⊂平面，所以PA BC ⊥.…………14分 19. （本小题满分14分）解：（I ）因为椭圆的左顶点在圆22:4O x y +=上， 令0y =，得2x =±，所以2a =．又离心率为2，所以c e a ==，所以c =， 所以2221b a c =-=， 所以的方程为2214x y +=．…………5分(II)证明：设00(,)P x y ，易知00x ≠，有222200001,444x y x y 即+=+=， 设(,)Q Q Q x y ，直线AQ 方程为00(2)y y x x =+，联立22001,4(2).x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即 22222200000(4)161640x y x y x y x +++-=，即2222000440x y x y x ++-=， 所以2024Q x y -+=-，即2024Q x y =-，所以，2200224244Q x y y +=-+=-. 故有：2022002(44)22=2Q x AQ AR AQ AR y OPOPx x x OP+⋅-⨯⋅=⋅==. …………14分. 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知()(1)xf x x e '=+，(0)1f '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，所以1a =-.……………… 3分（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，(2,2)x ∈-.则()(1)e ,()(2)e 0x x h x x a h x x '''=+-=+>所以，()h x '在区间(2,2)-上单调递增.依题意，(2)0(2)0h h '-<⎧⎨'>⎩，解得221(,3e )e a ∈-.所以0(2,2)x ∃∈-，使得0()0h x '=，即00(1)e 0xx a +-=, 于是()h x 的最小值为0000()e 1xh x x ax =--.依题意，0(2)0(2)0()0h h h x ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，，，因为000020000000()e 1e (1)e 1e 10xxxxh x x ax x x x x =--=-+-=--<,所以，解得22111(,e )e 22a ∈+-.……………… 8分 （Ⅲ）()(1)e x f x x '=+⋅，令()0f x '=，得1x =-.当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当(12)x ∈-，时，()0f x '>，函数()f x 为增函数. 所以函数()f x 的最小值1(1)ef -=-. 又2(2)2e f =.显然当0x <时，()0f x <. 令2()e ,1x t x x x =<-.则2()(2)e .xt x x x '=+令()0t x '=，得2x =-或.所以()t x 在()2-∞-，内为增函数，在()21--，内为减函数.所以max 24()(2)1e t x t =-=<.所以2e 1xx <. 又1x <-，所以1e xx x >.而当1x <-时，()11,0x∈-，所以当(],1x ∈-∞-时，1(),0e f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；当(1,0)x ∈-时，1(),0e f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1) 当0a =时，()1g x =，符合题意；(2) 当0a >时，易得()[21,21]g x a a ∈-++.依题意2210212e a a -+≥⎧⎨+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩所以此时102a <≤.(3) 当0a <，则()[2121]g x a a ∈+-+，，依题意2210212e a a +≥⎧⎨-+<⎩，， 所以21,21e ,2a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪>-+⎪⎩所以102a -≤<.综上11[,]22a ∈-.……………13分。

2017 年沈阳市高中三年级教课质量监测（一）数学（文科）参照答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参照，假如考生的解法与本解答不一样，可依据试题的主要考察内容对比评分标准制定相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题（本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分）1. D2. A3. B4. A5.C6. C7. A8. D9. D 10. C 11. A12. C简答与提示：1. 【命题企图】 此题考察复数的共轭复数及复数运算.【试题分析】 Dz z (1 2i )(1 2i ) 5. 应选 D.2. 【命题企图】 此题考察会合运算 .【试题分析】 A 由 A { x | 1 x 3} ， B { x | 2x 2} . 应选 A.3. 【命题企图】 此题考察充足必需条件知识 .【试题分析】 B 由祖暅原理得如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等 . 应选 B.4.【命题企图】 此题考察直线与圆的有关知识 .【试题分析】 A圆心到直线的距离为10，进而弦长为30 . 应选 A.25. 【命题企图】 此题主要考察点线面地点关系 .【试题分析】 C 依据面面垂直的性质定理， 只有在面内垂直于交线的直线才垂直另一个平面. 应选 C.6.【命题企图】 此题主要考察等差数列 . 【试题分析】 C{ a n }是以 2 为公差的等差数列， a n2n7,| a 1 | | a 2 | L | a 6 |53113 5 18. 应选 C.7. 【命题企图】 此题主要考察线性规划问题 .x y 1 0 的上方地区和直线【试题分析】 A 不等式组所表示的平面地区位于直线x y 1 0 的上方地区，依据目标函数的几何意义确立z2. 应选 A.8. 【命题企图】 此题考察三视图 .【试题分析】 D1 8四棱锥的体积 V2 2 2.应选D.339. 【命题企图】 此题考察函数图象问题 .【试题分析】 D 由函数定义域及值域 . 应选 D.10. 【命题企图】 此题主要考察三角函数的有关知识. 【试题分析】 C因为方程有两个解，因此11. 【命题企图】 此题主要考察程序框图 .1 m 1. 应选 C. 22【试题分析】 A 第一次履行循环体有，3 3 m, b,a 1,| a b | 0.5 ，第二次履行循环22体有， m53 5b | 0.25 ，第三次履行循环体有，,b, a,| a4 24m11 ,b 3, a 11,| ab | 0.125 d . 应选 A.82812. 【命题企图】 此题考察指数函数与对数函数的图象.【试题分析】 C 利用数形联合思想画出指数函数与对数函数图象. 应选 C.二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）1013. 9514.1 15. 3016.3简答与提示：13. 【命题企图】 此题考察统计学中数字特点有关知识.【试题分析】50 9230 90 95 .2014. 【命题企图】 此题考察导数的几何意义 .【试题分析】 f ( x ） e x (sin x cos x), f (0)1 .15. 【命题企图】 此题考察等比数列有关知识 .【试题分析】 由条件可求得 q 2, a 1 2, 因此 S 4 30 .16. 【命题企图】 此题考察双曲线问题 .【试题分析】 设直线方程为 y xc ，分别求与渐近线 ybx 的交点， y 1bc ，aa by 2bc ，又 y 11，可得b1 ，即 e 1 ( b )210 .a by 2 2a3a3三、解答题17. (本小题满分 12分)【命题企图】 此题考察三角函数性质及正余弦定理等.uuur uuur( 3 cos x,1 sin x) ，【试题分析】 (1)OP ( 3,1), QP（2 分）f ( x) 3 3cos x 1 sin x4 2sin( x) ， （4 分）f ( x) 的最小正周期为 23；（6 分）(2) 因为 f ( A)4 ，所 sin( A)0，因为 0A，因此 A2 （ 8 分），33因为 S ABC1bc sin A1bc sin23 3，因此 bc 3 ，（ 10 分）2 23 2 4依据余弦定理 a 2 b 2 c 22bc cos ( b c )2 2 bc 9，因此 b c 2 3 ，3 bc即三角形的周长为 3 2 3 .（12 分）18. (本小题满分 12 分 )【命题企图】 本小题主要考察学生对概率统计知识的理解，以及统计事例的有关知识，同时考察学生的数据办理能力 .【试题分析】 解：（ 1）女性用户和男性用户的频次散布表分别以下左、右图：频次频次组距组距0.040.040.0350.0350.030.030.0250.0250.020.020.0150.0150.010.010.0050.005O50 60 70 80 90 100评分O 506070 80 90 100 评分由图可得女性用户的颠簸小，男性用户的颠簸大.（4 分）（ 2）运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户， 评分不低于 80 分有 6 人，此中评分小于 90分的人数为 4 ，记为 A, B, C , D ，评分不小于 90 分的人数为 2 ，记为 a, b ，设事件 M 为“两名用户评分都小于 90 分”从 6 人人任取 2 人，（6 分）基本领件空间为{( AB),( AC),( AD ),( Aa),( Ab),( BC ),( BD ),( Ba),( Bb),( CD ),(Ca),( Cb ),( Da ),( Db ),( ab)} ，共有 15 个元素 .（8 分）M {( AB),( AC ),( AD ),( BC ),( BD ),( CD)} ，共有 6 个元素 .（10分）6 2 （12分）P(M ).15519. (本小题满分 12 分 )【命题企图】 此题以四棱锥为载体， 考察直线与平面垂直与几何体体积算法问题等 . 此题考察学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题分析】（ 1）PA 平面 ABCD , AB 平面 ABCD , PA AB ,（ 2 分） 平面 ABCD 为矩形， AB AD , PA AD A , AB 平面 PAD , （ 4 分） PD 平面 PAD , AB PD , PA AD , E 为 PD 中点，PD AE, AE AB A PD 平面 ADE（6 分） (2)取 PC 的中点为 O ，连结 OB,OD ，由（ 1）知 AB 平面 PAD ， AB // CD ，CD 平面 PAD , PO 平面 PAD , CD PD ,则 OD1PCOP OC ,PA 平面 ABCD , BC 平面 ABCD ,PA BC ,2BCAB, PAABA,BC平面 PAB , PB 平面 PAB , BCPB ,则 OB OP OC（ 8 分）即 PC 2AB 2 AD 2 AP 222 22 (2 7) 236, PC6 ,V4 (3)236 （12分）320. (本小题满分 12 分 )【命题企图】 本小题主要考察函数与导数的知识，详细波及到导数的运算，用导数来研究函数的单一性等，考察学生解决问题的综合能力.【试题分析 】（ 1）设切点为 M （ x 0 ， f ( x 0 )) ，直线的切线方程为 y f (x 0 ) k ( x x 0 )f ( x) a1 k f (x 0 ) a1 （2 分）， ，xx 0即直线的切线方程为y ax 0 ln x 0 ( a1)( x x 0 ) ，又切线过原点O ,x 0因此ax 0 ln x 0 ax 0 1，由 ln x 01 ，解得 x 0 e ，因此切点的横坐标为 e . （ 4 分）（ 2）因为不等式 axln xa( 2 x x 2 ) 对 x [1 ，) 恒建立 ,因此 ax 2ax ln x 0对x[1，) 恒建立 .设 g (x)ax 2ax ln x ， g ( x)2ax a1 . (5 分)1x①当 a0 时，g ( x) a(2 x0 ，g (x) 在 [1 ， ) 上单一递减，1)x即 g ( x) g(1) 0 ， a 0 不切合题意 .(7 分)②当 a0 时，2ax 2 ax 121 2 a g (x)设 h( x)2axax1 2a( x)1 ，x48在 [1，) 上单一递加，即h( x) h(1) a 1.(9 分)（ i ）当 a1时，由 h( x) 0 ，得 g ( x)0 ，g( x) 在 [1 ，) 上单一递加，即 g ( x) g(1) 0 ， a 1 切合题意；(10 分)（ ii ）当 0 a 1时， a1 0 ， x 0[1 ，) 使得 h(x 0 ) 0 ，则 g ( x) 在[1， x 0 )上单一递减，在 (x 0 ，) 上单一递加，g( x 0 ) g(1)0，则 0 a1不合题意 .(11 分)综上所述， a 1 .(12 分)21. (本小题满分 12 分 )【命题企图】 本小题考察直线与椭圆的地点关系及标准方程，考察学生的逻辑思想能力和运算求解能力 .【试题分析】(1). 因为以 F 1F 2 为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点，因此b c 1 ，a2 ，即椭圆 C 的方程为x 2y 2 1，(3 分)2设直线 AB 的方程为 y(2). 依据题意，直线 A, B 的斜率存在， k(x 1) ，(4 分) 与 x221联立，得 (1 2 2 ) x 24 2 x 2 k 22 0 ，(5 分)ykk2设 A( x 1, y 1), B( x 2 , y 2 ) ， AB 的中点为 M (x 0 , y 0 ) ， x 1x 24k 2, x 1x 22k 2 2 ，1 3k2 1 2k2k 2y 1y 2k(x 1 1) k( x 2 1)2k 2，即M(2 , k 2 ) ，(7 分)12k1 2k 2k1设直线 AB 的垂直均分线为y1 k 21 (x 2k2 22 ), 令 y0 ，得 x p1 k2 2 ，2kk 1 2k2k因为 x p( 1,0)，因此 0 k 21(9 分)4 2|AB|2) (x 1 x 2 ) 24x 1 x 2(1 k 2) (4k 22 )22k 2 2(1 k1 2k 42k 212 2 (1 2k 2) 2 (11 2 )(3 2,2 2).(12 分)1 2k1 2k222. (本小题满分 10 分 )【命题企图】 本小题主要考察极坐标系与参数方程的有关知识，详细波及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化 .【试题分析】 (1) 由 C 1 : x 2 y 2 4x 0, l : x2 y3 0 .(5 分)（2） P( ,22), 直角坐标为 (2, 2) ， Q(2cos ,sin), M (1 cos ,11 sin ) ，42|1 cos2 sin3|10 ) |，M 到 l 的距离 d55 | sin(4进而最大值为 10(10 分).523.(本小题满分 10 分)【命题企图】 本小题主要考察不等式的有关知识，详细波及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容 . 本小题要点考察考生的化归与转变思想.3x a b, xa【试题分析 】 (1)因为ab ，因此 f ( x) | x a || 2x b | = x a b,a xb，223x a b, xb2明显 f ( x) 在 (, b] 上单一递减， f (x) 在 [ b, ) 上单一递加， 2 b b 2 b因此 f ( x) 的最小值为f ( ) a ，因此 a 1 ， .（ 5 分）222 2a b 2(2)因为 a2btab 恒建立，因此a2b t 恒建立 ,aba 2b1 2 ( 12)(2 a b) 11(1 4 2a2b ) 1(1 4 2 2a 2b ) 9 ,abb a b a2 2 ba 2b a2当 ab2 时， a 2b获得最小值9，因此9t ，即实数 t 的最大值为 9 .（10 分）3 ab222。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2017．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i 为虚数单位，则复数z =i(12i)+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是 A ．23 B ．31 C ．32 D ．633．“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数π()sin()(0)6f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π，则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A ．12B ． 24C ．36D ． 48 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为AB． C ．3 D．7．已知函数log ,0,()3,40a x x f x x x >⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩(0a >且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)(1,)+∞UD ．(0,1)(1,4)U 8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某 中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场 传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场 知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手最后得分为各场 得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 ，离心率是 ．10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 ． 11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a = ，俯视图正视图侧视图9S = ．12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为 ． 13．已知,x y 满足,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值8，则实数k 的值为 ．14．已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A Î，存在,i j a a B Î()i j ≠，使得 12i j x a a λλ=+（12,{1,0,1}λλ?），则称B 为A 的一个基集．若 {1,2,3,4,5,6,7,8,A =，则其基集B 元素个数的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180 cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．a 身高(cm)17．（本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=︒．点Q 为线段1A B 上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ平面1A DE ？若存在，求出1A Q 的长，若不存在，请说明理由； （Ⅲ）当1134AQ A B =时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y a b+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 O E G ∠的大小．19．（本小题满分14分）图1图2BA 1FCED QG ABCDEFG已知函数2()e x f x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b ÎR ． （Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值；（Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．20．（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件：①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值； （Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类） 2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2sin B A =，所以2b =．所以a =所以222cos 232a c b B ac b +-===． …………7分 （Ⅱ）因为2a =，所以b c ==又因为cos B =sin B =．所以11sin 222ABCSa c B =⋅⋅=⨯=． …………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得：(0.00520.02020.040)101a ⨯++⨯+⨯=．解得 0.010a =． …………3分（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则1450.051550.11650.21750.41850.21950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(145195)0.051550.1(165185)0.21750.4=+⨯+⨯++⨯+⨯1715.57070172.5=+++=．所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm ． …………7分（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm 以上的概率约为14． 由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3．所以00331327(0)()()4464P X C ==⋅=； 11231327(1)()()4464P X C ==⋅=； 2213139(2)()()4464P X C ==⋅=； 3303131(3)()()4464P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列为因为X ~(3)4B ，，所以13344EX =⨯=．…………………………………13分 （17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为11,60A D DC A DC =∠=︒，所以△1A DC 为等边三角形． 又因为点F 为线段CD 的中点， 所以1A F DC ⊥．由题可知1,ED A D ED DC ⊥⊥， 所以ED ⊥平面1A DC ．因为1A F ⊂平面1A DC ，所以ED ⊥1A F ． 又EDDC D =，所以1A F ⊥平面BCDE ．所以1A F BE ⊥．…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1A F ⊥平面BCDE ，FG DC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)F ，(0,1,0)D -，(0,1,0)C ，(1,1,0)E -，1A ，(2,1,0)B ．设平面1A DE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，1(0,1,A D =-,(1,0,0)DE =，所以10,0.n n A D DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，所以y =(0,=n 假设在线段1A B 上存在点Q ，使FQ 平面1A DE ．设11AQ A B λ=，(]0,1λ∈. BA 1FCED QG又1(2,1,A B =，所以1(2,,)AQ λλ=．所以(2,)Q λλ.则(2,)FQ λλ=.所以0FQ ⋅=+=n . 解得，12λ=. 则在线段1A B 上存在中点Q ，使FQ 平面1A DE ．且1AQ = ……………………10分（Ⅲ）因为1134AQ A B =，又1(2,1,A B =，所以133(,,24A Q =．所以33(,24Q ．又因为3(,0,0)2G ，所以3(0,,)44GQ =．因为(0,=n 设直线GQ 与平面1A DE 所成角为θ，则1sin .2GQ GQ θ⋅===n n直线GQ 与平面1A DE 所成角为30︒. ………………………………14分 （18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =． 所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，得C 0(,1)1x y --． 又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-． 因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥．90OEG ∠=︒． ……………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()e 2x F x x b =--，则()e 2xF x '=-.令()e 20,xF x '=->得ln 2x >，所以()F x 在(ln 2,)+∞上单调递增.令()e 20,x F x '=-<得ln 2x <，所以()F x 在(,ln 2)-∞上单调递减. …………4分 （Ⅱ）因为()e 21x f x x '=+-，所以(0)0f '=，所以l 的方程为1y =.依题意，12a-=，1c =. 于是l 与抛物线2()2g x x x b =-+切于点(1,1)， 由2121b -+=得2b =.所以2,2, 1.a b c =-== …………8分（Ⅲ）设()()()e (1)xh x f x g x a x b =-=-+-,则()0h x ≥恒成立.易得()e (1).xh x a '=-+ （1）当10a +≤时，因为()0h x '>，所以此时()h x 在(,)-∞+∞上单调递增.①若10a +=，则当0b ≤时满足条件，此时1a b +≤-； ②若10a +<，取00x <且01,1bx a -<+ 此时0001()e (1)1(1)01xbh x a x b a b a -=-+-<-+-=+，所以()0h x ≥不恒成立．不满足条件； （2）当10a +>时，令()0h x '=，得ln(1).x a =+由()0h x '>，得ln(1)x a >+； 由()0h x '<，得ln(1).x a <+所以()h x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 要使得“()e (1)0xh x a x b =-+-≥恒成立”，必须有“当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥”成立. 所以(1)(1)ln(1)b a a a ≤+-++.则2(1)(1)ln(1) 1.a b a a a +≤+-++- 令()2ln 1,0,G x x x x x =-->则()1ln .G x x '=- 令()0G x '=，得 e.x =由()0G x '>，得0e x <<；由()0G x '<，得 e.x >所以()G x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减, 所以，当e x =时，max ()e 1.G x =-从而，当e 1,0a b =-=时，a b +的最大值为e 1-.综上，a b +的最大值为e 1-. …………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分 （Ⅱ）因为10-≤≤n a n ，所以20,1032≤≤≤≤a a ，又数列}{n a 的前3项互不相等， （1）当02=a 时，若13=a ，则3451a a a ====，优质文档优质文档 且对3≥n ，12)2(0+-=-++nm n n m 都为整数，所以2=m ； 若23=a ，则3452a a a ====， 且对3≥n ，24)2(20+-=-++nm n n m 都为整数，所以4=m ； （2）当12=a 时，若03=a ，则3450a a a ====，且对3≥n ，n m n n m 1)2(01+=-⋅++都为整数，所以1-=m ，不符合题意；若23=a ，则3452a a a ====， 且对3≥n ，23)2(21+-=-++nm n n m 都为整数，所以3=m ； 综上，m 的值为2,3,4. …………8分 （Ⅲ）对于1≥n ，令12n n S a a a =+++， 则11111+=+≤+=<++++nS n n S n a S n S n S n n n n n n . 又对每一个n ，n S n 都为正整数，所以11++n S n m S nS n =≤≤≤1...1，其中“<”至多出现1-m 个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有n S n S n n =++11成立. 当n S n S n n =++11时，则nS S n S n S S a n n n n n n =-+=-=++)1(11. 从而22)1(2212112122+-+=+++=+++=+++++++++n a a a n a n a n S a a n S n n n n n n n n n . 由题设知1212||12<++≤+-++n n n a a n n ，又22++n S n 及1+n a 均为整数， 所以=++22n S n =+1n a 11+=+n S n S n n ，故1212n n n S S S n n n ++====++常数. 从而==-+=-=++nS S n S n S S a n n n n n n )1(11常数. 故存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数. ………………………………13分。