2017年浙江省宁波市高三二模数学试卷

浙江省宁波市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm22．若0＜x＜，则xtanx＜1是xsinx＜1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知圆（x﹣2）2+（y+1）2=16的一条直径恰好经过直线x﹣2y﹣3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在直线的方程为（）A．x﹣2y=0 B．2x+y﹣5=0 C．2x+y﹣3=0 D．x﹣2y+4=04．如图，三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）A．B．C．D．5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知F 1，F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．e ＞B ．1＜e ＜C ．e ＞D ．1＜e ＜7．已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M （t ，0）为一个切点，则（ ）A ．t=2B ．t ＞2C ．t ＜2D ．t 与2的大小关系不确定8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F∥平面D 1AE ，则A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值构成的集合是（ ）A ．{t|}B ．{t|≤t≤2}C ．{t|2}D ．{t|2}二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．9．双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．10．抛物线C ：y 2=2x 的准线方程是 ，经过点P （4，1）的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则= ．11．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为 ，外接球的表面积为 ．12．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S ﹣ABC 中，M 是SC 的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S ﹣ABC 的体积为 ，其外接球的表面积为 ．13．将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为 ．14．己知点O为坐标原点，△ABC为圆C1：（x﹣1）2+（y﹣）2=1的内接正三角形，则•（）的最小值为．15．已知动圆过定点F（0，﹣1），且与直线l：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F 是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上．若过F的动直线m交椭圆于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S1为△ABC的面积，S2为△ODE的面积，令Z=S1S2，Z的最小值是．三、解答题（共39分）16．已知命题P：x1，x2是方程x2﹣mx﹣1=0的两个实根，且不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|对任意m∈R恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．17．圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：﹣=1过点P且离心率为．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B，两点，△AOB 的面积为8，直线l与抛物线C相切于Q点，P是l上一点（不与Q重合）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若以线段PQ为直径的圆恰好经过F，求|PF|的最小值．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2且交椭圆C 于A ，B两点（如图），△ABF 1的周长为，原点O 到直线l 的最大距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过F 2作弦AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积最小时直线l 的方程．浙江省宁波市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．2．若0＜x＜，则xtanx＜1是xsinx＜1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵0＜x＜，分别画出y=xtanx（红色曲线），和y=xsinx（绿色曲线），如图所示，由图象可知，∴tanx＞sinx＞0，∴xtanx＜1⇒xsinx＜1，反之不成立，因此xtanx＜1是xsinx＜1的充分不必要条件．故选：A．3．已知圆（x﹣2）2+（y+1）2=16的一条直径恰好经过直线x﹣2y﹣3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在直线的方程为（）A．x﹣2y=0 B．2x+y﹣5=0 C．2x+y﹣3=0 D．x﹣2y+4=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程确定圆心坐标，根据直径和直线的位置关系进行求解即可．【解答】解：由圆（x﹣2）2+（y+1）2=16，得圆心坐标为（2，﹣1），∵圆的一条直径过直线x﹣2y﹣3=0被圆截得的弦的中点，∴直径和直线x﹣2y﹣3=0垂直，则直径对应直线的斜率为﹣2，则直径所在的直线方程为y+1=﹣2（x﹣2），即2x+y﹣3=0，故选：C．4．如图，三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图的画图要求“长对正，高平齐，宽相等”可以找出左视图的宽、高与俯视图的宽、主视图的高的相等关系，进而求出答案．【解答】解：设底面正△ABC的边长为a，侧面VAC的底边AC上的高为h，可知底面正△ABC的高为，∵其主视图为△VAC，∴；∵左视图的高与主视图的高相等，∴左视图的高是h，又左视图的宽是底面△ABC的边AC上的高，===．∴S侧视图故选B ．5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确． 故选：D ．6．已知F 1，F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．e ＞B ．1＜e ＜C ．e ＞D ．1＜e ＜【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用对称性，可得MF 1=F 1F 2=2c ，设直线PF 1：y=（x+c ），代入双曲线方程，得到x 的二次方程，方程有两个异号实数根，则有3b 2﹣a 2＞0，再由a ，b ，c 的关系，及离心率公式，即可得到范围．【解答】解：设点F 2（c ，0），由于F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，不妨设M 在正半轴上，由对称性可得，MF 1=F 1F 2=2c ，则MO==c ，∠MF 1F 2=60°，∠PF 1F 2=30°，设直线PF 1：y=（x+c ），代入双曲线方程，可得，（3b 2﹣a 2）x 2﹣2ca 2x ﹣a 2c 2﹣3a 2b 2=0，则方程有两个异号实数根，则有3b 2﹣a 2＞0，即有3b 2=3c 2﹣3a 2＞a 2，即c ＞a ，则有e=＞． 故选A ．7．已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M （t ，0）为一个切点，则（ ）A ．t=2B ．t ＞2C ．t ＜2D ．t 与2的大小关系不确定【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题意知，圆C 是△AF 1F 2的旁切圆，点M 是圆C 与x 轴的切点，设圆C 与直线F 1A 的延长线、AF 2分别相切于点P ，Q ，则由切线的性质可知：AP=AQ ，F 2Q=F 2M ，F 1P=F 1M ，由此能求出t 的值．【解答】解：由题意知，圆C 是△AF 1F 2的旁切圆，点M 是圆C 与x 轴的切点，设圆C 与直线F 1A 的延长线、AF 2分别相切于点P ，Q ，则由切线的性质可知：AP=AQ ，F 2Q=F 2M ，F 1P=F 1M ，∴MF 2=QF 2=（AF 1+AF 2）﹣（AF 1+AQ ）=2a ﹣AF 1﹣AP=2a ﹣F 1P=2a ﹣F 1M∴MF 1+MF 2=2a ，∴t=a=2．故选A ．8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F∥平面D 1AE ，则A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值构成的集合是（ ）A ．{t|}B ．{t|≤t≤2}C ．{t|2}D ．{t|2}【考点】直线与平面所成的角．【分析】设平面AD 1E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点．分别取B 1B 、B 1C 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，可证出平面A 1MN∥平面D 1AE ，从而得到A 1F 是平面A 1MN 内的直线．由此将点F 在线段MN 上运动并加以观察，即可得到A 1F 与平面BCC 1B 1所成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切取值范围．【解答】解：设平面AD 1E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点分别取B 1B 、B 1C 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，则∵A 1M∥D 1E ，A 1M ⊄平面D 1AE ，D 1E ⊂平面D 1AE ，∴A 1M∥平面D 1AE ．同理可得MN∥平面D 1AE ，∵A 1M 、MN 是平面A 1MN 内的相交直线∴平面A 1MN∥平面D 1AE ，由此结合A 1F∥平面D 1AE ，可得直线A 1F ⊂平面A 1MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．设直线A 1F 与平面BCC 1B 1所成角为θ运动点F 并加以观察，可得当F 与M （或N ）重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角等于∠A 1MB 1，此时所成角θ达到最小值，满足tan θ==2；当F 与MN 中点重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角达到最大值，满足tan θ==2∴A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切取值范围为[2，2]故选：D二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．9．双曲线的焦距是 2 ，渐近线方程是 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程，求出双曲线的几何量，然后求解即可．【解答】解：双曲线可得a=1，b=，双曲线的焦距是2c=2=2．双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．10．抛物线C：y2=2x的准线方程是x=﹣，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则= 9 ．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】根据抛物线的标准方程求得准线方程和焦点坐标，利用抛物线的定义把|AF|+|BF|转化为|AM|+|BN|，再转化为2|PK|，从而得出结论．【解答】解：抛物线C：y2=2x的准线方程是x=﹣，它的焦点F（，0）．过A作AM⊥直线l，BN⊥直线l，PK⊥直线l，M、N、K分别为垂足，则由抛物线的定义可得|AM|+|BN|=|AF|+|BF|．再根据P为线段AB的中点，（|AM|+|BN|）=|PK|=，∴|AF|+|BF|=9，故答案为：．11．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为3π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分．【解答】解：由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分，其主观图如下：∴多面体的体积为1﹣××1×1=．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线．因此其球的表面积是4π•=3π．故答案为：，3π．12．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC的体积为，其外接球的表面积为12π．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【分析】设棱锥的高为SO，则由正三角形中心的性质可得AC⊥OB，AC⊥SO，于是AC⊥平面SBO，得SB⊥AC，结合SB⊥AM可证SB⊥平面SAC，同理得出SA，SB，SC两两垂直，从而求得侧棱长，计算出体积．外接球的球心N在直线SO上，设SN=BN=r，则ON=|SO﹣r|，利用勾股定理列方程解出r．【解答】解：设O为S在底面ABC的投影，则O为等边三角形ABC的中心，∵SO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥SO，又BO⊥AC，∴AC⊥平面SBO，∵SB⊂平面SBO，∴SB⊥AC，又AM⊥SB，AM⊂平面SAC，AC⊂平面SAC，AM∩AC=A，∴SB⊥平面SAC，同理可证SC⊥平面SAB．∴SA，SB，SC两两垂直．∵△SOA≌△SOB≌△SOC，∴SA=SB=SC，∵AB=2，∴SA=SB=SC=2．∴三棱锥的体积V==．设外接球球心为N，则N在SO上．∵BO==．∴SO==，设外接球半径为r，则NO=SO﹣r=﹣r，NB=r，∵OB2+ON2=NB2，∴ +（）2=r2，解得r=．∴外接球的表面积S=4π×3=12π．故答案为：，12π．13．将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为．【考点】球内接多面体．【分析】若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球，可先求出该球的半径，若将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a=2r ，进而可得答案．【解答】解：若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球，设该小球的半径为r ，则r+1+=，解得：r=，若将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则： a=2r ，解得：a=，故答案为：．14．己知点O 为坐标原点，△ABC 为圆C 1：（x ﹣1）2+（y ﹣）2=1的内接正三角形，则•（）的最小值为 5 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求得圆的圆心和半径，由三角形的中心可得++=，则•（）=（+）•（2﹣），运用向量的数量积的性质和定义，化简可得7﹣2cos∠OC 1A ，再由向量共线可得最小值．【解答】解：圆C 1：（x ﹣1）2+（y ﹣）2=1的圆心为C 1（1，），半径为1，由C 1为正三角形ABC 的中心，可得++=，则•（）=（+）•（+++）=（+）•（2﹣）=22﹣2+•=2×（1+3）﹣1﹣2cos∠OC 1A=7﹣2cos∠OC 1A ，当，同向共线时，cos∠OC 1A 取得最大值1，即有•（）的最小值为7﹣2=5． 故答案为：5．15．已知动圆过定点F （0，﹣1），且与直线l ：y=1相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F 是其一个焦点，又点A （0，2）在椭圆N 上．若过F 的动直线m 交椭圆于B ，C 点，交轨迹M 于D ，E 两点，设S 1为△ABC 的面积，S 2为△ODE 的面积，令Z=S 1S 2，Z 的最小值是 9 ． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】由抛物线的定义可得动圆圆心Q 的轨迹的标准方程，由题意可得c=1，a=2，求得b ，进而得到椭圆方程；显然直线m 的斜率存在，不妨设直线m 的直线方程为：y=kx ﹣1，分别代入抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得三角形的面积，再由不等式的性质，即可得到所求最小值．【解答】解：依题意，由抛物线的定义易得动圆圆心Q 的轨迹M 的标准方程为：x 2=﹣4y ，依题意可设椭圆N 的标准方程为+=1，显然有c=1，a=2，b==，可得椭圆N 的标准方程为+=1；显然直线m 的斜率存在，不妨设直线m 的直线方程为：y=kx ﹣1①联立椭圆N 的标准方程+=1，有（3k 2+4）x 2﹣6kx ﹣9=0，x 1+x 2=，x 1x 2=﹣，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）则有|BC|=|x 1﹣x 2|=•=，又A （0，2）到直线m 的距离d 1=，∴S 1=|BC|d 1=，再将①式联立抛物线方程x 2=﹣4y 有x 2+4kx ﹣4=0，同理易得|DE|=4（1+k 2），d 2=，∴S 2=2，∴Z=S 1S 2==12（1﹣）≥12（1﹣）=9，∴当k=0时，Z min =9． 故答案为：9．三、解答题（共39分）16．已知命题P ：x 1，x 2是方程x 2﹣mx ﹣1=0的两个实根，且不等式a 2+4a ﹣3≤|x 1﹣x 2|对任意m ∈R 恒成立；命题q ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解，若命题p∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围． 【考点】复合命题的真假．【分析】化简命题p ，q ；由p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题知p 与q 有且仅有一个为真．从而得出a 的取值范围．【解答】解：∵x 1，x 2是方程x 2﹣mx ﹣1=0的两个实根， ∴x 1+x 2=m ，x 1•x 2=﹣1，|x 1﹣x 2|=，∴当m ∈R 时，|x 1﹣x 2|min =2．由不等式a 2+4a ﹣3≤|x 1﹣x 2|对任意m ∈R 恒成立， 得：a 2+4a ﹣5≤0， ∴﹣5≤a≤1；∴命题p 为真命题时﹣5≤a≤1． 命题p 为假命题时a ＞1或a ＜﹣5； 命题q ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解， ①当a ＞0时，显然有解， ②当a=0时，2x ﹣1＞0有解，③当a ＜0时，∵ax 2+2x ﹣1＞0有解， ∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a ＜0；从而命题p ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解时a ＞﹣1∴命题q 是真命题时a ＞﹣1，命题q 是假命题时a≤﹣1． ∵p∨q 真，p ∧q 假，∴p 与q 有且仅有一个为真．（1）当命题p 是真命题且命题q 是假命题时﹣5≤a≤﹣1； （2）当命题p 是假命题且命题q 是真命题时a ＞1； 综上所述：a 的取值范围为：﹣5≤a≤﹣1或a ＞1．17．圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线C 1：﹣=1过点P 且离心率为．（Ⅰ）求C 1的方程；（Ⅱ）若椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程． 【分析】（Ⅰ）设切点P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P 的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆C 2的焦点．可设椭圆C 2的方程为（b 1＞0）．把P 的坐标代入即可得出方程．由题意可设直线l 的方程为x=my+，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设切点P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），则切线的斜率为，可得切线的方程为，化为x 0x+y 0y=4．令x=0，可得；令y=0，可得．∴切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形的面积S==．∵4=，当且仅当时取等号．∴．此时P．由题意可得，，解得a 2=1，b 2=2．故双曲线C 1的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线C 1的焦点（±，0），即为椭圆C 2的焦点．可设椭圆C 2的方程为（b 1＞0）．把P 代入可得，解得=3，因此椭圆C 2的方程为．由题意可设直线l 的方程为x=my+，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，化为，∴，．∴x 1+x 2==，x 1x 2==．，，∵，∴，∴+，∴，解得m=或m=，因此直线l 的方程为：或．18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：PA∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角B ﹣DE ﹣C 的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB⊥平面DEF ？证明你的结论．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面BDE．（II）由已知求出平面BDE的一个法向量和平面DEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．（Ⅲ）由已知得PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），由此利用向量法能求出在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．【解答】（I）证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，1，1），，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，取y=﹣1，得．∵=2﹣2=0，∴，又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE，（II）解：由（Ⅰ）知=（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，又==（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，∴cosθ=cos＜，＞=．故二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．（Ⅲ）解：∵ =（2，2，﹣2），=（0，1，1），∴=0，∴PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），则=（2λ，2λ，﹣2λ），==（2λ，2λ，2﹣2λ），由=0，得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴∈（0，1），此时PF=，即在棱PB 上存在点F ，PF=，使得PB⊥平面DEF ．19．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线交抛物线于A ，B ，两点，△AOB 的面积为8，直线l 与抛物线C 相切于Q 点，P 是l 上一点（不与Q 重合）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若以线段PQ 为直径的圆恰好经过F ，求|PF|的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）F 的坐标为，根据三角形的面积即可求出p 的值，问题得以解决；（Ⅱ）设Q （x 0，y 0），P （x 1，y 1）设直线为l ：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），根据韦达定理求出和向量的数量积的运算，即可求出x 1的值，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：F 的坐标为，|AB|=2p ，∴，∴p=4，∴抛物线方程为y 2=8x ； （Ⅱ）设Q （x 0，y 0），P （x 1，y 1）设直线为l ：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），联立方程得利用△=0化简可得：，又∵，可得∴直线l ：y 0y=4（x+x 0），∵，，∴，∵y 1y 0=4（x 0+x 1），∴x 1x 0+2（x 0+x 1）+4=（x 1+2）（x 0+2）=0， ∵x 0＞0， ∴x 1+2=0， ∴x 1=﹣2，即点P 是抛物线准线x=﹣2上的点 ∴PF 的最小值是4．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2且交椭圆C 于A ，B两点（如图），△ABF 1的周长为，原点O 到直线l 的最大距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过F 2作弦AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积最小时直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由题意可得a ，c 的值，由隐含条件求得b 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）分类求出直线AB 的斜率不存在、斜率为0时的四边形AMBN 面积，在设出斜率存在且不为0时的直线方程，联立直线方程和椭圆方程利用弦长公式求得|AB|、|MN|的长度，代入四边形面积公式，换元后利用配方法求得最值，同时得到边形AMBN 面积最小时直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，c=1，∴，又∵a2=b2+c2，∴b=1，∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，有，，∴；当直线AB的斜率为0时，，∴；当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），则直线MN的方程为，联立得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴|AB|===．同理|MN|=，∴|AB|•|MN|=，令t=k2+1（t≥1），，当．即k2+1=2，即k=±1时，．此时设直线AB的方程为y=±（x﹣1）．。

浙江省2017年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．“ab＜0”是“|a﹣b|=|a|+|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则（）A．∃a⊂α，a⊥γB．∃a⊂α，a∥γC．∀b⊂β，b⊥γD．∀b⊂β，b∥γ3．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，则下列结论中错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x）在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到4．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足=1，则实数m的取值范围是（）A．[1，+∞）B． C．D．5．若a，b，c＞0，且a（a+b+c）+bc=16，则2a+b+c的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知向量，，满足||=2，||==3，若（﹣2）（﹣）=0，则|﹣|的最小值是（）A．2+B．2﹣C．1 D．27．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知a为实数，函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A．[1，8]B．[3，8]C．[1，3]D．[﹣1，8]二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9．（6分）（2016浙江二模）已知函数f（x）=，则f（3）=；当x＜0时，不等式f（x）＜2的解集为．10．（6分）（2016浙江二模）若函数的最小正周期为2π，则ω=；=．11．（6分）（2016浙江二模）已知实数x，y满足不等式组，若实数，则不等式组表示的平面区域的面积为；若目标函数z=4x+3y的最大值为15，则实数a的值为．12．（6分）（2016浙江二模）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为；表面积为．13．（4分）（2016浙江二模）已知正方形ABCD中，点A（2，1），C（6，﹣3）．若将点A折起，使其与边BC的中点E重合，则该折线所在直线方程为．14．（4分）（2016浙江二模）若正数3x+4y+5z=6，则+的最小值．15．（4分）（2016浙江二模）已知函数，若函数y=f[f（x）﹣a]有6个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）=asinA ﹣bsinB，a≠b．（Ⅰ）求边c；（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．17．在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD=2，BC=AB=1，∠ABC=90°，直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP=2PD，M为线段AC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面ECP；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣P的余弦值．18．设函数f（x）=ax2+b，其中a，b是实数．（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．19．已知椭圆L：=1（a，b＞0）离心率为，过点（1，），与x轴不重合的直线，过定点T（m，0）（m为大于a的常数），且与椭圆L交于两点A，B（可以重合），点C为点A关于x轴的对称点．（Ⅰ）求椭圆L的方程；（Ⅱ）（i）求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；（ii）求△OBC面积的最大值．20．设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=ca n+（c为正实数，n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）证明：当c=2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）；（Ⅱ）求实数c的取值范围，使得数列{a n}是单调递减数列．2017年浙江省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

浙江省宁波市鄞州区2017-2018学年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|y=2x}，B={y|y=}，则A∩B=( )A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3或x≤1} D．{x|x≥3或0≤x≤1} 2．已知点A=（﹣1，1）、B=（1，2）、C=（﹣3，2），则向量在方向上的投影为( ) A．﹣B．C．﹣D．3．已知实数a，b，则“＜”是“lna＜lnb”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知直线l，m和平面α，β，下列中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若α⊥β，l∥α，则l⊥βD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，如图所示，则将y=f （x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为( )A．y=sin（2x﹣）B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=﹣cos2x6．已知A，B，P是双曲线﹣=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k PA•k PB=，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．2 D．7．若直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则a+b的取值范围( )A．（，3）B．（﹣3，3）C．（﹣3，）D．（﹣1，3）8．设函数f（x）=，则当实数m变化时，方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为( )个．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，每空3分，第13-15题每空4分，共36分．）9．已知sinα=，α∈（0，），则cos（π﹣α）=__________，cos2α=__________．10．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n．则a3=__________，S2015=__________．11．已知某几何体的三视图如图所示（长度单位为：cm），则该几何体的体积为__________cm3，表面积为__________cm2．12．设函数f（x）=是一个奇函数，满足f（2t+3）＜f（4﹣t），则a=__________，t的取值范围是__________．13．若直线y=3x+b与y=nx+m相交，且将圆x2+y2﹣6x﹣8y+21=0的周长四等分，则m+b ﹣n的值为__________．14．设x，y是正实数，且x+y=3，则+的最小值是__________．15．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为__________．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c=2，sinC（cosB﹣sinB）=sinA．（1）求角C的大小；（2）若cosA=，求边b的长．17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PB⊥平面DEF；（2）若AD=2DC，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．18．数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n﹣2S n﹣1=1（n∈N*，n≥2），数列{b n}的前n项和为T n，满足b1=1，T n=n2b n，n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若对n∈N*，恒有S n+1＞成立，求实数λ的取值范围．19．已知抛物线C：y2=4x，过x轴上的一定点Q（a，0）的直线l交抛物线C于A、B两点（a为大于零的正常数）．（1）设O为坐标原点，求△ABO面积的最小值；（2）若点M为直线x=﹣a上任意一点，探求：直线MA，MQ，MB的斜率是否成等差数列？若是，则给出证明；若不是，则说明理由．20．已知函数f（x）=x2﹣（k+1）x+，g（x）=2x﹣k，其中k∈R（1）若f（x）在区间（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；（2）设函数p（x）=，是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得p（x1）=p（x2）？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．浙江省宁波市鄞州区2015届高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|y=2x}，B={y|y=}，则A∩B=( )A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3或x≤1} D．{x|x≥3或0≤x≤1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用函数的定义域以及函数的值域求出两个集合，然后求解交集即可．解答：解：集合A={x|y=2x}={x|x∈R}，B={y|y=}={y|y≥0}，则A∩B={x|x≥0}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域以及函数的值域的求法，集合的交集的求法，考查计算能力．2．已知点A=（﹣1，1）、B=（1，2）、C=（﹣3，2），则向量在方向上的投影为( ) A．﹣B．C．﹣D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知可求，的坐标，根据在方向上的投影为：=（θ为向量的夹角），即可求解．解答：解：由已知可得，=（2，1），=（﹣2，1），∴=2×（﹣2）+1×1=﹣3，||=，设，的夹角为θ，则向量在方向上的投影为：==．故选：C．点评：本题主要考查了向量投影定义的简单应用，属于基础试题．3．已知实数a，b，则“＜”是“lna＜lnb”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：若lna＜lnb，则0＜a＜b，推出＜，∴，“＜”是“lna＜lnb”的充要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数不等式的性质是解决本题的关键．4．已知直线l，m和平面α，β，下列中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若α⊥β，l∥α，则l⊥βD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．解答：解：对于A，若l∥α，l∥β，则α与β可能相交；故A错误；对于B，若l∥α，m⊂α，则l∥m或者异面；故B错误；对于C，若α⊥β，l∥α，则l与β位置关系不确定；故C错误；对于D，若l⊥α，m⊂α，满足线面垂直的性质定理故l⊥m；故D正确；故选D．点评：本题考查了线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为( )A．y=sin（2x﹣）B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=﹣cos2x考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数图象可得A，由T=﹣，可得T，由周期公式可得ω，由（，1）在函数图象上，又|φ|＜，可解得φ，从而可得f（x）=sin（2x+），根据左加右减平移变换规律即可得解．解答：解：由函数图象可得：A=1，周期T=﹣，可得：T=π，由周期公式可得：ω==2，由（，1）在函数图象上，可得：sin（+φ）=1，可解得：φ=2kπ，k∈Z，又|φ|＜，故可解得：φ=，故有：y=f（x）=sin（2x+），则有：f（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，故选：D．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数图象的平移规律，属于基本知识的考查．6．已知A，B，P是双曲线﹣=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k PA•k PB=，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出点A，点P的坐标，求出斜率，将点A，P的坐标代入方程，两式相减，再结合k PA•k PB=，即可求得离心率．解答：解：由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∴k PA•k PB=•=，∵﹣=1，﹣=1，∴两式相减可得=，∵k PA•k PB=，∴=，∴=，即为c2=a2，则e==．故选A．点评：本题考查双曲线的方程，主要考查双曲线的几何性质：离心率的求法，属于中档题．7．若直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则a+b的取值范围( )A．（，3）B．（﹣3，3）C．（﹣3，）D．（﹣1，3）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意画出不等式组表示的平面区域，结合直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点得到关于a，b的不等式组，然后利用线性规划知识求得a+b的取值范围．解答：解：不等式组表示的平面区域如图，联立，解得A（1，2）．联立，解得B（﹣4，0）．联立，解得C（4，﹣4）．要使直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则或．（a，b）所在平面区域如图，联立，解得M（﹣1，﹣2），联立，解得N（2，1），令t=a+b，即b=﹣a+t，∴当直线b=﹣a+t过M时，t有最小值为﹣3；当直线b=﹣a+t过N时t有最大值为3．∴t=a+b的范围是（﹣3，3）．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．8．设函数f（x）=，则当实数m变化时，方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为( )个．A．2 B．3 C．4 D．5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）=，分类得出当m=0时，f（x）=1，或f（x）=﹣1，当m=1时，f（x）=e，或f（x）=0，或f（x）=﹣2，当m＜0时，0＜f（x）＜1，当m＞1时，f（x）＞e，或f（x）＜﹣2，分别运用图象判断根的个数．解答：解：∵函数f（x）=，∴图象为∵方程f（f（x）））=m，∴当m=0时，f（x）=1，或f（x）=﹣1，运用图象判断有4个根，当m=1时，f（x）=e，或f（x）=0，或f（x）=﹣2，运用图象判断有5个根，当m＜0时，0＜f（x）＜1，运用图象判断有3个根，当m＞1时，f（x）＞e，或f（x）＜﹣2，运用图象判断有3个根，故运用排除法得出方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为2个．故选：A点评：本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，每空3分，第13-15题每空4分，共36分．）9．已知sinα=，α∈（0，），则cos（π﹣α）=，cos2α=．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦的诱导公式以及倍角公式求值．解答：解：已知sinα=，α∈（0，），所以cosα=，cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=；故答案为：．点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及倍角公式；关键是熟练掌握公式．10．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n．则a3=2，S2015=2．考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2）可推得该数列的周期为6，易求该数列的前6项，由此可求得答案．解答：解：由a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），得a n+6=a n+5﹣a n+4=a n+4﹣a n+3﹣a n+4=﹣a n+3=﹣（a n+2﹣a n+1）=﹣（a n+1﹣a n﹣a n+1）=a n，所以6为数列{a n}的周期，又a3=a2﹣a1=3﹣1=2，a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3，a6=a5﹣a4=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+3+2﹣1﹣3﹣2=0，∵2015=335×6+5，S2015=335×0+（1+3+2﹣1﹣3）=2，故答案为：2，2．点评：本题考查求数列的通项及前n项和公式，注意解题方法的积累，找出数列的周期是解决本题的关键，属于中档题．11．已知某几何体的三视图如图所示（长度单位为：cm），则该几何体的体积为16cm3，表面积为34+6cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一侧面垂直于底面的四棱锥，结合图中数据求出它的体积与表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，且侧面PCD⊥底面ABCD；∴该四棱锥的体积为V四棱锥=×6×2×4=16，侧面积为S侧面积=S△PAB+2S△PBC+S△PCD=•6+2••2+•6•4=6+22，S底面积=6×2=12，∴S表面积=S侧面积+S底面积=6+22+12=34+6．故答案为：16，34+6．点评：本题考查了利用几何体的三视图求空间几何体的体积与表面积的应用问题，是基础题目．12．设函数f（x）=是一个奇函数，满足f（2t+3）＜f（4﹣t），则a=1，t的取值范围是（，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件根据奇函数的性质求得a的值，从而得到f（x）的解析式；由所给的不等式结合f（x）的图象可得|2t+3|＜|4﹣t|，解此绝对值不等式，求得t的范围．解答：解：函数f（x）=是一个奇函数，设x＜0，则﹣x＞0，且f（﹣x）=﹣f（x），即﹣a（﹣x）（﹣x+2）=﹣x（x﹣2），化简可得ax（2﹣x）=x（2﹣x），∴a=1．即f（x）=，故函数f（x）为R上的减函数，它的图象如图．由f（2t+3）＜f（4﹣t），可得2t+3＞4﹣t，求得t＞，求得t∈（﹣7，），故答案为：1，（，+∞）．点评：本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的单调性的应用，解绝对值不等式，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．13．若直线y=3x+b与y=nx+m相交，且将圆x2+y2﹣6x﹣8y+21=0的周长四等分，则m+b ﹣n的值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，两直线相较于圆心，且两直线互相垂直，把圆心坐标代入两直线方程，再根据两直线斜率之积等于﹣1，求得m、n、b的值，即可求得m+b﹣n的值．解答：解：由题意知，圆心（3，4）为两直线的交点，且两直线互相垂直，∴，解得，∴m+b﹣n=，故答案为：．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，判断圆心（3，4）为两直线的交点，且两直线互相垂直是解题的关键，属于基础题．14．设x，y是正实数，且x+y=3，则+的最小值是．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：由已知可得+==，分离之后结合基本不等式即可求解解答：解：∵x+y=3，x＞0，y＞0∴+====x+1+y+1+﹣8=﹣11+16（）=﹣11+（=﹣11（2））=当且仅当即x=y=时取等号故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用解题的关键是对已知式在进行化简，配凑基本不等式成立的条件15．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由已知，结合向量的基本运算可求得=，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC解答：解：∵=2∴===∵AD=||=，AC=||=3，A=，设AB=c∴=||||cosA=则13==∴13=1整理可得，2c2﹣54=0∵c＞0解可得，c=3由余弦定理可得，a2=c2+b2﹣2bc•cosA=点评：本题主要考查了解三角形的简单应用，解题中要注意结合向量知识，要灵活的运用基本公式三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c=2，sinC（cosB﹣sinB）=sinA．（1）求角C的大小；（2）若cosA=，求边b的长．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出tanC的值，即可确定出C的度数；（2）由cosA的值求出sinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（A+C），把各自的值代入求出sin（A+C）的值，即为sinB的值，再由c，sinC的值，利用正弦定理求出b的值即可．解答：解：（1）由题意得sinC（cosB﹣sinB）=sinA，整理得：sinCcosB﹣sinBsinC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，即﹣sinBsinC=sinBcosC，∵sinB≠0，∴tanC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（2）∵cosA=，∴sinA==，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×（﹣）+×=，由正弦定理得：=，则b==．点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PB⊥平面DEF；（2）若AD=2DC，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，再由条件证出PB⊥平面EFD；（2）取AB中点G，PD中点H，连接EH，HG，连接AH，确定∠GHA为所求直线BE与平面PAD所成的角即可．解答：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD…（2）解：取AB中点G，PD中点H，连接EH，HG，连接AH．∵E是PC中点，∴，∴EBGH为平行四边形，…∵PD⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD连接AH，…∴∠GHA为所求直线BE与平面PAD所成的角．…∵AD=2DC，∴在Rt△ADH中，AH=DC …∴在Rt△AGH中，AG=CD，∴sin∠GHA==．…点评：本题考查了线线、线面平行的相互转化，通过中位线证明线线平行，再由线面平行的判定得到线面平行；考查直线BE与平面PAD所成角的正弦值，属于中档题．18．数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n﹣2S n﹣1=1（n∈N*，n≥2），数列{b n}的前n项和为T n，满足b1=1，T n=n2b n，n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若对n∈N*，恒有S n+1＞成立，求实数λ的取值范围．考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过a n﹣2a n﹣1=（S n﹣2S n﹣1）﹣（S n﹣1﹣2S n﹣2）=0可得数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，进而可得其通项；通过=及b n=••…••b1=可得结论．（Ⅱ）由题只需要对任意正整数λ＜恒成立．通过﹣=可得数列的单调性，进而可得结论．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得a2=2，当n≥3时，S n﹣1﹣2S n﹣2=1，∴a n﹣2a n﹣1=（S n﹣2S n﹣1）﹣（S n﹣1﹣2S n﹣2）=0，即a n=2a n﹣1，又∵a2=2a1，所以数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a n=2n﹣1，n∈N*；当n≥2时，T n﹣1=（n﹣1）2b n﹣1，∴=，∴b n=••…••b1=，显然对n=1也成立．故b n=，n∈N*；（Ⅱ）由题意S n=2n﹣1，只需要对任意正整数λ＜恒成立．记C n=，当n≥2时，C n﹣C n﹣1=﹣=，当n≥3时数列{C n}递增；当n≤2时数列{C n}递减．易知n=3或2时有最小的项C2=C3=，综上：λ＜．点评：本题考查求数列的通项，考查数列的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．19．已知抛物线C：y2=4x，过x轴上的一定点Q（a，0）的直线l交抛物线C于A、B两点（a为大于零的正常数）．（1）设O为坐标原点，求△ABO面积的最小值；（2）若点M为直线x=﹣a上任意一点，探求：直线MA，MQ，MB的斜率是否成等差数列？若是，则给出证明；若不是，则说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）联立直线AB与抛物线方程，利用韦达定理可得结论；（2）设M（﹣a，t），通过计算2k MQ与k MA+k MB的值即得结论．解答：解：（1）设直线AB的方程为：my=x﹣a，联立方程组，消去x可得：y2﹣4my﹣4a=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4a，∴S△AOB=•a•|y1﹣y2|=2a，所以当m=0时，S△AOB有最小值2a；（2）结论：直线MA，MQ，MB的斜率成等差数列．证明如下：设M（﹣a，t），∴k MQ=，而k MA+k MB=+=（*）因为x1x2==a2，x1+x2=m（y1+y2）+2a=4m2+2a，代入（*）式，可得k MA+k MB==﹣，∴k MA+k MB=2k MQ，所以直线MA，MQ，MB的斜率成等差数列．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及到韦达定理、斜率的计算、等差中项的性质、三角形的面积计算公式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数f（x）=x2﹣（k+1）x+，g（x）=2x﹣k，其中k∈R（1）若f（x）在区间（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；（2）设函数p（x）=，是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得p（x1）=p（x2）？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得△=（k+4）（k﹣2），分类讨论，分别求出实数k的取值范围，再取并集，即得所求．（2）根据g（x）在（0，+∞）单调递增，其值域为（﹣k，+∞），f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（，+∞），即可得出结论．解答：解：（1）由题意知△=（k+4）（k﹣2）…①当f（1）f（4）＜0时，．…②当f（1）f（4）=0时，k=或k=，经检验k=符合．…③当△=0时，k=2或k=﹣4，经检验k=2符合．…④当时，解得2＜k＜．…综上2≤k＜…（Ⅱ）显然g（x）在（0，+∞）单调递增，其值域为（﹣k，+∞）…∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，≥0即k≥﹣1．∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（，+∞）…∴而k≥﹣1，∴这样的k不存在．…点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，体现了化归与转化、以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2020届浙江省宁波市2017级高三二模考试数学试卷★祝考试顺利★说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分,全卷共6页,满分150分,考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式柱体的体积公式：V ＝Sh,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高； 锥体的体积公式：13V Sh =,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高；台体的体积公式：121()3V S S h =,其中S 1、S 2分别表示台体的上､下底面积,h 表示台体的高；球的表面积公式：S ＝4πR 2；球的体积公式：343V R π=,其中R 表示球的半径； 如果事件A,B 互斥,那么P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A,B 相互独立,那么P(A ·B)＝P(A)·P(B)；如果事件A 在一次试验中发生的概率是p,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k)＝C n k p k (1－p)n －k (k ＝0,1,2,…,n)。

第I 卷(选择题部分,共40分)一､选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U ＝{－2,－1,0,1,2,3},集合A ＝{－1,0,1},B ＝{－1,1,2},则(U ðA)∪(U ðB)＝A.{－1,1}B.{－2,3}C.{－1,0,1,2}D.{－2,0,2,3}2.已知复数z 是纯虚数,满足z(1－i)＝a ＋2i(i 为虚数单位),则实数a 的值是A.1B.－1C.2D.－23.已知实数x,y 满足约束条件1435x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z ＝3x ＋y 的最大值是。

浙江省宁波市数学高三理数第二次质量普查调研考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·湖北期中) 设集合M={y|y=2sinx，x∈[﹣5，5]}，N={x|y=log2（x﹣1）}，则M∩N=（）A . {x|1＜x＜5}B . {x|1＜x≤0}C . {x|﹣2≤x≤0}D . {x|1＜x≤2}2. （2分） (2016高三上·厦门期中) 锐角△ABC，则z=（sinA﹣cosB）+i（cosA﹣sinB）对应点位于复平面的（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2016高一下·新疆开学考) 已知f（x）= ，则f（3）为（）A . 2B . 3C . 4D . 54. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=x2 ，值域为{1，4}的“同族函数”共有（）A . 7个B . 8个C . 9个D . 10个5. （2分）下列曲线中，离心率为2的是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P 恰好自由曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P （B|A）等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·乾安期末) 下表是考生甲（600分）、乙（605分）、丙（598分）填写的第一批段3个平行志愿，而且均服从调剂，如果3人之前批次均未被录取，且3所学校天津大学、中山大学、厦门大学分别差1人、2人、2人未招满.已知平行志愿的录取规则是“分数优先，遵循志愿”，即按照分数从高到低的位次依次检索考生的院校志愿，按照下面程序框图录取.执行如图的程序框图，则考生甲、乙、丙被录取院校分别是（）A . 天津大学、中山大学、中山大学B . 中山大学、天津大学、中山大学C . 天津大学、厦门大学、中山大学D . 中山大学、天津大学、厦门大学8. （2分） (2020高三上·贵阳期末) 已知非零向量满足，则与的夹角为（）A .B .C .D .9. （2分）已知点在同一个球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·合肥期末) 若函数在上是增函数，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为A .B .C .D .12. （2分） (2017高一上·惠州期末) 已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）b 有两个零点，则a的取值范围是（）A . a＜0B . a＞0且a≠1C . a＜1D . a＜1且a≠0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·长沙开学考) 若实数x，y满足，则z=3x+y的最小值为________．14. （1分）圆台的上、下底面面积分别为π和49π，过其轴的中点且平行两底的截面面积为________．15. （1分）在△ABC中，若A=60°，C=45°，b=4，则此三角形的最小边是________．16. （1分） (2017高二上·阜宁月考) 若不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2018高二上·兰州月考) 已知数列是等差数列，是等比数列，且，， .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前10项和 .18. （10分）炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据，如下表所示：（1）据统计表明，之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明（，则认为y与x 有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系，r精确到0.001）；（2）建立y关于x的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；（3）根据（2）中的结论，预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关系数参考数据：，.19. （10分） (2019高三上·通州期中) 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，平面ABCD ，，点E ， F为PC ， PA的中点．（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；（2）二面角E—BD—F的大小；（3）设点M在PB(端点除外)上,试判断CM与平面BDF是否平行，并说明理由．20. （10分） (2017高二上·阳高月考) 如图，已知矩形四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．（1）求对角线所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程；（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程。

2017学年浙江省第二次五校联考数学（理科）试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记; 2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n kk n n =-=- ．球的表面积公式24RS π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=， 其中R 表示球的半径．棱柱的体积公式Sh V =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．棱锥的体积公式Sh V 31=， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++=， 其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则ii 31+=A ．i 4143- B ．i 4143+ C ．i 2123+ D ．i 2123-2．设集合}20|{<≤∈=x Z x M ，}4|{2≤∈=x R x P ，则=P M A ．}1{ B. }1,0{ C ． M D ．P 3． 函数R x xx f ∈-=),32sin(2)(π的最小正周期为A ．2π B ．π C ．π2 D ．π4 4． R c b a ∈,,.则“c b a ,,成等比数列”是“ac b =”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且0222=-++a bc c b ，则cb C a --︒)30sin(的值为A ．21B ．23C ．21-D ．23-6．在平面直角坐标系中，不等式2|2||2|≤++-x y 表示的平面区域的面积是A ．8B ．4C ．24D ．227．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直 观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其 中俯视图中椭圆的离心率为 A ．2 B ．21 C ．22D ．428．如图， ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 是边BC 上的动点，AD BE ⊥于E ，则CE 的最小值为 A ．1 B ．32- C ．13-D ．239．已知椭圆C:1222=+y x ，点521,,,M M M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则直线1021,,,AP AP AP 这10条直线的斜率乘积为A ．161-B ．321- C ．641D ．10241- 10．下列四个函数:①23)(x x x f +=;②x x x f +=4)(;③x x x f +=2sin )(; ④x x x f sin 2cos )(+=中 ，仅通过平移变换就能使函数图像为奇函数或偶函数图像的函数为A ．① ② ③B ．② ③ ④C ．① ② ④D ．① ③ ④（第8题）非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共2811．二项式52)1(x -的展开式中6x 的系数为 ▲ ．12．若某程序框图如图所示，13．若非零向量,，满足||||=+，)(λ+⊥， 则=λ ▲ ．14．已知函数)32cos(2sin )(π++=x x a x f 的最大值为1， 则=a ▲ ．15．对任意R x ∈，都有)()1(x f x f =+，)()1(x g x g -=+，且)()()(x g x f x h =在]1,0[上的值域]2,1[-．则)(x h 在]2,0[上 的值域为 ▲ ．16．两对夫妻分别带自己的3个小孩和2个小孩乘缆车游玩，每一缆车可以乘1人，2人或3人，若小孩必须有自己的父亲或母亲陪同乘坐，则他们不同的乘缆车顺序的方案共有 ▲ 种． 17．已知：长方体1111D C B A ABCD -，4,4,21===AA AD AB ，O 为对角线1AC 的中点，过O 的直线与长方体表面交于两点N M ,，P 为长方体表面上的动点，则⋅的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，（第12题）记随机变量X 为取出2球中白球的个数，已知125)2(==X P ． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望．19．（本题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且⎩⎨⎧≥==)2(2)1(2n a n S n n ．（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设)log )(log (11212+++++=n n n n n n S S S S S b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20．（本题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 是正方形，PD CD =，︒=∠︒=∠120,90CDP ADP ，G F E ,,分别为PB ,（Ⅰ）求证:平面//EFG 平面PCD ;（Ⅱ）求二面角B EF D --的平面角的大小21．（本题满分15分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点)0,1(-F ，离心率为22，函数=)(x f x x 4321+， （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；FBP（Ⅱ）设)0)(0,(≠t t P ，)0),((t f Q ，过P 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，求∙的最小值，并求此时的t 的值．22．（本题满分14分） 已知R ∈a ，函数1ln )(-+-=ax e xxx f （e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若1=a ，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若)(x f 的最小值为a ，求a 的最小值．2013学年浙江省第二次五校联考数学（理科）答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ； 2．B ； 3．D ； 4．D ； 5．A ； 6．A ； 7．C ； 8．C ； 9．B ； 10．D ．二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．10-； 12．60137； 13．2； 14． 0或3；15．]2,2[-； 16． 648； 17．]8,8[-．三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）18. 解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则125)2(292===C C X P n ，即12589)1(=⨯-n n ，解得6=n ．（Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：3412522111210)(=⨯+⨯+⨯=X E ．19.解:（Ⅰ）2≥n 时,)(221--==n n n n S S a S2,211==-S S S n n 所以n n S 2=⎩⎨⎧=≥=-1)(n 22)(21n a n n（Ⅱ）12121)12)(2(1211++-+=++++=++n n n n b n n n n n n12131121213212212211211132221++-=++-++++-+++-+=+++=++n n n b b b T n n n nn20. 解：（Ⅰ）因为G E ,分别为AP BP ,中点,所以AB EG //, 又因为ABCD 是正方形,CD AB //,所以CD EG //,所以//EG 平面PCD . 因为F E ,分别为BC BP ,中点,所以PC EF //,所以//EF 平面PCD . 所以平面//EFG 平面PCD .（Ⅱ）法1.易知CD AD ⊥,又PD AD ⊥,故分别以DA DC ,为x 轴和z 轴,不妨设2===PD CD AD 则)1,0,2(),2,0,2(F B ,)0,3,1(-P所以)1,23,21(E)0,23,23(),1,0,0(-==设),,(111z y x =是平面BEF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00m FB 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=023230111y x z 取⎪⎩⎪⎨⎧===031111z y x ,即)0,3,1(=m 设),,(222z y x n =是平面DEF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+02323022222y x z x 取⎪⎩⎪⎨⎧-===231222z y x 设二面角B EF D --的平面角的大小为θ2222231,cos =⨯+=>=< 所以22cos -=θ,二面角B EF D --的平面角的大小为π43.法 2. 取PC 中点,联结DM EM ,则BC EM //,又⊥AD 平面PCD,BC AD //,所以⊥BC 平面PCD ,所以⊥EM 平面PCD ,所以DMEM ⊥,PC EM ⊥.因为DP CD =,则PC DM ⊥,所以 ⊥DM 平面又因为PC EF //,所以EM EF ⊥所以DEM ∠就是二面角B EF D --不妨设2===PD CD AD ,则1=EM ,1=DM ,4π=∠DEM .所以二面角B EF D --的平面角的大小为π43.21. 解：（Ⅰ）1=c ,由⎪⎩⎪⎨⎧=-=122122b a a 得1,2==b a ,椭圆方程为1222=+y x（Ⅱ）若直线l 斜率不存在,则∙=2)4321(2-+t t FBP设直线)(:t x k y l -=,)0,(),,(),,(02211x Q y x B y x A ),(),,(202101y x x y x x -=-=222021022122120201210201))(()1())(())(())((t k x x x x t k x x k t x t x k x x x x y y x x x x ++++-+=--+--=+--=∙ 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(1222t x k y y x 得0224)12(22222=-+-+t k tx k x k 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+2222122212122214k t k x x k t k x x 21)43212(22)4321(22220-=∙+-≥-+=-=∙t t t t x QB QA 故 故∙的最小值为21-,此时36±=t .22. 解:（Ⅰ）1=a 时,1ln )(-+-=x e x x x f ,12ln 1)('-+--=x e xx x f 当1>x 时,0ln 11ln 1)('222>+-=+-->x x x x x x f 当10<<x 时,0ln 11ln 1)('222<+-=+--<xx x x x x f 所以)(x f 的单调减区间为),1,0(单调增区间为),1(+∞. （Ⅱ）由题意可知:a e xx ax ≥+--1ln 恒成立,且等号可取. 即0ln 1≥---x ax xe ax 恒成立,且等号可取. 令x ax xe x g ax ln )(1--=- )1)(1()('1x e ax x g ax -+=- 由011=--x e ax 得到x x a ln 1-=,设x x x p ln 1)(-=,22ln )('x x x p -= 当2e x >时,0)('>x p ;当20e x <<时,0)('<x p .)(x p 在),0(2e 上递减,),(2+∞e 上递增.所以22min 1)()(ee p x p -== 当21e a -≤时, x x a ln 1-≤,即011≤--x e ax , 在)1,0(a-上,0)(',01≤>+x g ax ,)(x g 递减; 在),1(+∞-a上,0)(',01≥<+x g ax ,)(x g 递增. 所以)1()(min ag x g -= 设],0(12e a t ∈-=,)0(1ln )()1(22e t t et t h a g ≤<+-==- 011)('2≤-=t et h ,)(t h 在],0(2e 上递减,所以0)()(2=≥e h t h 故方程0)1()(min =-=a g x g 有唯一解21e a =-,即21ea -=. 综上所述,当21e a -≤时,仅有21ea -=满足)(x f 的最小值为a , 故a 的最小值为21e -.。

2017年浙江省普通高等学校招生考试模拟卷参考答案数学（一）一、选择题1.答案B 。

解：[][)2,2,0,M N =-=+∞，[]0,2M N ∴=。

2.答案C.解：由题意知点A 、B 的坐标为(6,5)A 、(2,3)B -，则点C 的坐标为(2,4)C ， 则24i z =+，从而220z z z ⋅==。

3.答案B 。

解：因为向量b 在向量a 方向上的投影为2，则有2a b a=，即有6a b =。

则2()963a a b a a b -=-=-=。

4.答案A 。

解：由3)4(log 21-=f ，得(2)3f -=-，又)(x f 是奇函数，则有(2)3f =，即23a =，而0a >，故a =5.答案D 解法1：从6名候选人中选出3人，担任团生活委员的有155A =种不同的选举结果；担任团支部书记、团组织委员的有2520A =种不同的选举结果；故总共有520100⨯=种不同的选举结果。

解法2：从6名候选人中选出3人，不含甲的有3560A =种不同的选举结果； 从6名候选人中选出3人，含有甲的有21252240C A A =种不同的选举结果；故总共有6040100+=种不同的选举结果。

6.答案D. 解：475628a a a a +=⎧⎨=-⎩，得474728a a a a +=⎧⎨=-⎩，解得4742a a =⎧⎨=-⎩或4724a a =-⎧⎨=⎩。

若474,2a a ==-，则有1108,1a a =-=，此时1107a a +=-。

若472,4a a =-=，则有1101,8a a ==-，此时1107a a +=-。

综合有1107a a +=-。

7.答案C 解：在ABC ∆中，220sin sin sin sin A B a b A B A B <⇔<⇔<<⇔<，2212sin 12sin cos 2cos 2A B A B ⇔->-⇔>，故选C 。

2017年浙江省宁波市⾼三⼆模数学试卷2017年浙江省宁波市⾼三⼆模数学试卷⼀、选择题（共10⼩题；共50分）1. 已知全集，，则A. B.C. D.2. 把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则A. B. C. D.3. 的展开式中含项的系数为A. B. C. D.4. 随机变量的取值为，，．若，，则A. B. C. D.5. 已知平⾯，和直线，，若，则“”是“，且”的A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设，则函数的零点之和为A. B. C. D.7. 从，，，，这五个数字中选出三个不相同数组成⼀个三位数，则奇数位上必须是奇数的三位数个数为A. B. C. D.8. 如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第⼆、四象限的公共点，若，且，则与离⼼率之和为A. B. C. D.9. 已知函数，则下列关于函数的结论中，错误的是A. 最⼤值为B. 图象关于直线对称C. 既是奇函数⼜是周期函数D. 图象关于点中⼼对称10. 如图，在⼆⾯⾓中，，均是以为斜边的等腰直⾓三⾓形，取中点，将沿翻折到，在的翻折过程中，下列不可能成⽴的是A. 与平⾯内某直线平⾏B. 平⾯C. 与平⾯内某直线垂直D.⼆、填空题（共7⼩题；共35分）11. 已知函数，则函数的最⼩正周期为，振幅的最⼩值为．12. 某⼏何体的三视图如图所⽰（单位：），则该⼏何体的表⾯积是，体积是．13. 已知，是公差分别为，的等差数列，且，，若，，则；若为等差数列，则．14. 定义，已知函数，其中，，若，则实数的范围为；若的最⼩值为，则．15. 已知，，为坐标原点，若直线：与所围成区域（包含边界）没有公共点，则的取值范围为．16. 已知向量，满⾜，，若恒成⽴，则实数的取值范围为．17. 若，，则的最⼤值为．三、解答题（共5⼩题；共65分）18. 在中，内⾓，，所对的边分别是，，，已知．（1）求的值；（2）若，的⾯积为，求的值．19. 如图，在四棱锥中，为正三⾓形，四边形为直⾓梯形，，，平⾯平⾯，点，分别为，的中点，．（1）证明：直线平⾯；（2）求直线与平⾯所成⾓的正弦值．20. 设函数，．（1）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；（2）当时，记的极⼩值为，求的最⼤值．21. 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意⼀点，过点的直线交于另⼀点，交轴的正半轴于点，且有．当点的横坐标为时，为正三⾓形．（1）求的⽅程；（2）若直线，且和有且只有⼀个公共点，试问直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22. 已知数列中，，，，为的前项和．证明：时．（1）；（2）．答案第⼀部分1. C 【解析】因为且，则．2. A 【解析】由，故．3. C 【解析】⼆项展开式通项为，故含的系数为．4. B 【解析】设，，由分布列的性质得，⼜由，联⽴可得，，所以．5. B【解析】如图，由可得或，故由不⼀定能推出且，反之若且，由线⾯平⾏的性质定理和判定定理易得，故是且成⽴的必要不充分条件．6. C 【解析】画出函数的图象如图，则要使，只需或，由得，或，由得或，故所求零点之和为．7. B 【解析】三个不相同的数组成三位数，⾸位与末位只能⽤奇数，中间位随意，故先排⾸位末位得．8. A 【解析】如图，连接，，由椭圆与双曲线的对称性知，⼜，所以，，⼜，故．9. D 【解析】选项正误原因当时故图象关于对称易得故为奇函数且由选项得即得故周期为不⼀定为故图象不关于点中⼼对称10. A【解析】选项正误原因因为直线与平⾯相交于点故平⾯内的直线与直线或相交或异⾯不可能平⾏因为与异⾯所以过可以作⼀平⾯与平⾏当点落在此平⾯时平⾯因为直线与平⾯相交于点故过点能作⼀条直线与垂直则在平⾯内与所作的那条直线平⾏的⽆数条直线均与垂直过点作因为所以当在平⾯上的阴影落在上时第⼆部分11. ，【解析】函数，故最⼩正周期为，振幅．12. ，【解析】⼏何体为两个相同长⽅体组合，长⽅体的长宽⾼分别为，，，所以体积为，由于两个长⽅体重叠部分为⼀个边长为的正⽅形，所以表⾯积为．13. ，【解析】易知数列是⾸项为，公差为的等差数列，则，由，，得，即得，化简得．14. ；【解析】做出函数的图象如图，要使需，要使的最⼩值为，需在第⼀象限的交点纵坐标为，从⽽得，故有．15.【解析】因为（含边界）与直线没有公共点，故得三个点，，在直线的同⼀侧，⼜代⼊，故有代⼊均⼩于．即有其表⽰的平⾯区域如图阴影部分，设则有，平移直线，易知经过点时最⼩，计算可得点的坐标为，故，⽆最⼤值，故的取值范围为．16.【解析】因为，且，如图，可得．⼜，故要使恒成⽴只需恒成⽴，即为或恒成⽴．由得，因为，所以没有使恒成⽴，由恒成⽴得恒成⽴，即只需或．⼀题多解设向量，夹⾓为，由两边平⽅得，，⼜，故要使恒成⽴，只需恒成⽴，即为或恒成⽴．由得，因为，所以没有使恒成⽴，由恒成⽴得恒成⽴，即只需或．17.【解析】当时，；当时，，令，则可化为．设，因为该⽅程⼀定有解，故得．综上的最⼤值为．第三部分18. （1）因为，所以由正弦定理得，⼜因为，所以，且为锐⾓，所以．（2）由（）知，，由正弦定理得，，，因为，所以．19. （1）取中点，连接，，如图，易知，．因为，平⾯，平⾯．得平⾯，同理平⾯，⼜，平⾯，平⾯，所以，平⾯平⾯．⼜平⾯，所以直线平⾯．（2）解法⼀：连接，．如图，因为平⾯平⾯，平⾯平⾯，且，所以平⾯，⼜平⾯，所以．⼜因为，，平⾯，平⾯，所以平⾯，平⾯平⾯．过点作于点，连接，由平⾯平⾯可知，平⾯．所以直线与平⾯所成⾓为．在直⾓三⾓形中，求得，在直⾓三⾓形中，求得，所以，．解法⼆：由，易得，⼜为中点．所以，因为为正三⾓形，。