2017年江苏省南通市高考数学二模试卷

2017年江苏省南通市高考数学二模试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．（5分）已知集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B=．2．（5分）已知复数z=，其中i为虚数单位，则复数z的模是．3．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S是．

4．（5分）现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是．

5．（5分）100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．

6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是．

7．（5分）现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．

8．（5分）函数f（x）=的定义域是．

9．（5分）已知{a n}是公差不为0的等差数列，S n是其前n项和，若a2a3=a4a5，S4=27，则a1的值是．

10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2=1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2=9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是．

11．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若•=﹣7，则•的值是．

12．（5分）在△ABC中，已知AB=2，AC2﹣BC2=6，则tanC的最大值是．13．（5分）已知函数f（x）=其中m＞0，若函数y=f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是．

14．（5分）已知对任意的x∈R，3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是．

二、解答题（本题共6小题，共计90分）

15．（14分）已知sin（α+）=，α∈（，π）．

求：（1）cosα的值；

（2）sin（2α﹣）的值．

16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．

求证：（1）DE∥平面B1BCC1；

（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．

17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．

（1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；

（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且=，求直线AB的斜率．

18．（16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．

（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈，≈5.7446）

（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．

19．（16分）已知函数f（x）=，g（x）=lnx，其中e为自然对数的底数．

（1）求函数y=f（x）g（x）在x=1处的切线方程；

（2）若存在x1，x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；

（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．

20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足：

①|a1|≠|a2|；

=（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，其中r，p∈R，且r≠0．

②r（n﹣p）S n

+1

（1）求p的值；

（2）数列{a n}能否是等比数列？请说明理由；

（3）求证：当r=2时，数列{a n}是等差数列．

[选修4-1：几何证明选讲]

21．如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，∠ACB=∠ADC．求证：AD•BC=2AC•CD．

[选修4-2：矩阵与变换]

22．设矩阵A满足：A=，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线

（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．

[选修4-5：不等式选讲]

24．设x，y，z均为正实数，且xyz=1，求证：++≥xy+yz+zx．

[附加题]

25．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．

（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；

（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．

[附加题]

26．设n≥2，n∈N*，有序数组（a1，a2，…，a n）经m次变换后得到数组（b m，

1，b m

，2

，…，b m

，n

），其中b1

，i

=a i+a i+1，b m，i=b m﹣1，i+b m﹣1，i+1（i=1，2，…，n），a n+1=a1，

b m﹣1，n+1=b m﹣1，1（m≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）．

（1）若a i=i（i=1，2，…，n），求b3，5的值；

（2）求证：b m

，i

=a i+j C m j，其中i=1，2，…，n．

（注：i+j=kn+t时，k∈N*，i=1，2，…，n，则a i

+j

=a1）