【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)备选练习：1.7定积分的简单应用]

2013年高中数学 1.7 1定积分的应用教案新人教A版选修2-2一、主要内容：1．面积：了解定积分的元素法，掌握用两条、三条、四条简单曲线所围平面图形的面积，并能根据图形选用以y作积分变量以简化计算过程；会用参数方程求解常用图形（圆、星形线）的面积，能用极坐标求用极坐标表示的圆、阿基米德螺线的图形的面积2．体积：掌握简单图形分别绕x轴、y轴旋转所得旋转体体积，能在平行截面面积为已知时求立体的体积3．弧长：掌握用参数方程所表示的常用曲线（圆、星形线等）的弧长4．功：会求在变力沿直线所作的功5．习题课2学时二、具体的内容分配如下：习题6－1：定积分的元素法，平面图形的面积, 旋转体体积(1)习题6－2：旋转体体积(2)，平面曲线的弧长，变力沿直线所作的功总习题六：三、习题内容：习题6—1一、填空题1、曲线x e y =，x 轴及直线()ln ,ln 0.x a x b b a ==，围成图形面积 是_____2、由曲线θcos 2a r =所围成图形的面积是 二、选择题1、曲线3x y =与直线1,0==y x 围成的面积是（ ） A ．43 B ．1 C ．34 D ．32 2、由x 轴、曲线2x y =和直线32=x 围成的图形面积被直线k x =分成两个相等的面积，则 k 应为（ ）A ．322- B ．612 C ．1 D ．312-三、求解题1、用定积分计算下列图形的面积 （1）由曲线222,1x y x y =+=围成（2）由曲线21y x=与直线4,==y x y 围成（3）由曲线x y 42=与圆()4122=+-y x 围成2、求星形线｛33cos sin x a ty a t==所围成0.的面积 3、求以下极坐标所表示的图形的面积 （1）心形线()θcos 1-=a r 围成（2）对数螺线a r e θ=对应θ从0到2π的一段与极轴所围成 （3）伯努利双纽线θ2cos 22a r =右边一支（即对应θ从4π-到4π的一段）习题 6—2 一、填空题1、连续曲线()x f y = ()()0≥x f ，直线b x a x ==,()b a 及x 轴所围成图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积是______2、曲线2x y =及直线1=y 所围成图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是_______ 二、选择题1、由曲线2x y =与直线x y =围成平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积是（ ）A ．()dx x x ⎰-102π Ｂ．)21d y y π-⎰Ｃ．()⎰-1042dx x x π Ｄ．()dy y y ⎰-102π2、底面为圆422=+y x ，垂直于x 轴的所有截面都是正方形的立体体积为（ ）A. 3121 B. 3210 C. 3242 D. 3185 三、解答题1、求下列旋转体的体积（1）曲线x y sin = ()π≤≤x 0与x 轴所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转（2）曲线x y =与直线2-=x y ，0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y轴旋转（3）星形线｛ta y t a x 33sin cos == ()π≤≤t 0绕x 轴旋转2、求底面为园222R y x =+，而垂直于x 轴的所有截面都是等边三角形的立体的体积习题6—3一、求下列弧线段的长度1、星形线｛ta y ta x 33sin cos ==的全长 2、抛物线x y 2= 从()2,1到()4,4的一段二、根据虎克定律，弹簧的倔强系数为k ，把弹簧拉长x 的拉力为kx f =，求将一根弹簧从原长拉伸x 的长度，外力做的功三、在一个半径为R 的半球形容器里盛放着密度为ρ的液体，求为将液体吸出容器至少应做多少功四、水渠的截面为一等腰梯形，上、下底分别为2m 和1m ，深为2m ，水渠上有一闸门，求渠水满时对闸门的压力（水的密度31000m kg=ρ）。

模块综合检测(能力卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是导学号 10510897( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4C ．y ＝7x ＋2D ．y ＝x －2[答案] D[解析] y′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.2．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x|－(1－i)在复平面上的对应点在导学号 10510898( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x|＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i.∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.3．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f ′(x)的图象是导学号 10510899( )[答案] A[解析] ∵f ′(x)＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ； 又f(x)的顶点在第四象限， ∴－b2>0，∴b<0，排除C ，故选A.4．定义复数的一种运算z 1*z 2=|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋bi ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z*z －的最小值为导学号 10510900( )A.92B.322C.32 D ．94[答案] B[解析] 由题意可得z*z －＝|a ＋bi|＋|a －bi|2＝a 2＋b 2＋a 2＋－22＝a 2＋b 2，∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ， ∴a 2＋b 2＝a 2＋－2＝2a 2－6a ＋9，由二次函数可知当a ＝32时，上式取最小值322.故选B.5．(2016·宜春高二检测)已知函数f(x)＝sinx ＋e x ＋x 2015，令f 1(x)＝f ′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，f 3(x)＝f 2′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，则f 2016(x)＝导学号 10510901( )A ．sinx ＋e xB ．cosx ＋e xC ．－sinx ＋e xD ．－cosx ＋e x[答案] A[解析] f 1(x)＝f ′(x)＝cosx ＋e x ＋2015x 2014，f 2(x)＝f 1′(x)＝－sinx ＋e x ＋2015× 2014x 2013， f 3(x)＝f 2′(x)＝－cosx ＋e x ＋2015×2014×2013x 2012，…，∴f 2016(x)＝sinx ＋e x .6．函数f(x)＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是导学号 10510902( ) A.12 B ．－1 C ．0 D ．1 [答案] D[解析] 由f ′(x)＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x ∈[0，12]，f ′(x)>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x)<0，∴f(x)在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f(x)取到极大值也是最大值，f(12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7．(2016·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k 个格点，则称函数为k 阶格点函数．已知函数：①y ＝sinx; ②y ＝cos(x ＋π6)；③y ＝e x －1;④y ＝x 2.其中为一阶格点函数的序号为导学号 10510903( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．②④[答案] C[解析] 对于①，注意到y ＝sinx 的值域是[－1,1]；当sinx ＝0时，x ＝kπ(k ∈Z)，此时相应的整数x ＝0；当sinx ＝±1时，x ＝kπ＋π2(k ∈Z)，此时没有相应的整数x ，因此函数y ＝sinx 仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y ＝cos(x ＋π6)不是一阶格点函数．对于③，令y ＝e x －1＝k(k ∈Z)得e x ＝k ＋1>0，x ＝ln(k ＋1)，仅当k ＝0时，x ＝0∈Z ，因此函数y ＝e x －1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y ＝x 2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y ＝x 2不是一阶格点函数．综上所述知选C.8．(2016·淄博高二检测)下列求导运算正确的是导学号 10510904( ) A ．(2x )′＝x·2x －1B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x 2D ．(x cosx )′＝cosx －xsinx 2 [答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x )′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcosx)′＝cosx ＋xsinx 2；综上可知选B. 9．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是导学号 10510905( )A ．289B ．1024C ．1225D ．1378[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ， 以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝＋2，图2中满足b n＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.10．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a ＝导学号 10510906( )A ．64B ．32C ．16D ．8[答案] A[解析] y′＝－12x －32，∴k ＝－12a －32y －a －12＝－12a －32(x －a)，令x ＝0，y ＝32a －12y ＝0，x ＝3a ，∴三角形的面积是S ＝12·3a·32a －12＝18，解得a ＝64.11．(2016·全国卷Ⅲ理，12)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有导学号 10510907( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个 [答案] C[解析] 由题意可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．12．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是导学号 10510908( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3][答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ， 当x>0时，a≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t≥1. ∴a≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g(t)＝t －4t 2－3t 3，g′(t)＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g′(t)在[1，＋∞)上为减函数 而且g′(1)＝－16<0，∴g′(t)<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g(t)在[1，＋∞)上是减函数， ∴g(t)max ＝g(1)＝－6，∴a≥－6； 当x<0时，a≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t≤－12，令g′(t)＝0得，t ＝－1，∴g(t)在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g(t)min ＝g(－1)＝－2，∴a≤－2.综上知－6≤a≤－2.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsinxdx ＝________.导学号 10510909[答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsinxdx ＝2⊗2＝2－12＝22.14．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________.导学号 10510910[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n(n ∈N *)[解析] 构造函数f(x)＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f(x)≥0对任意实数x 都成立， ∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n≤0，∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n.15．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：导学号 10510911 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．[答案] 15[解析] 依题意得n 2＝＋2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋－2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0， 又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.16．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝lnx ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.导学号 10510912[答案] 1－ln2[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝lnx ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，lnx 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －lnx 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋lnx 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1lnx 1＋1＝－x 2x 2＋1＋2＋，解得x 1＝12，从而b ＝lnx 1＋1＝1－ln2.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·大连高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q.导学号 10510913(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．[解析] (1)设z 1＝x ＋yi ，(x 、y ∈R)，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋yi ，(x 、y ∈R)， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋yi x －3＋yi ＝x 2＋y 2－9－6yi－2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y≠0，∴|PQ|<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．18．(本题满分12分)设函数f(x)＝sinx －cosx ＋x ＋1,0<x<2π，求函数f(x)的单调区间与极值.导学号 10510914[解析] f ′(x)＝cosx ＋sinx ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x<2π)，令f ′(x)＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝3π2.x ，f ′(x)以及f(x)变化情况如下表：∴f(x)的单调增区间为(0，π)和(3π2，2π)，单调减区间为(π，3π2)．f 极大(x)＝f(π)＝π＋2，f 极小(x)＝f(3π2)＝3π2.19．(本题满分12分)已知A n (n ，a n )为函数y 1＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y 2＝x 的图象上的点，设c n ＝a n －b n ，其中n ∈N *.导学号 10510915(1)求证：数列{c n }既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较c n 与c n ＋1的大小．[解析] (1)证明：依题意，a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，c n ＝n 2＋1－n. 假设{c n }是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，∴2(5－2)＝2－1＋10－3. ∴25＝2＋10，产生矛盾， ∴{c n }不是等差数列．假设{c n }是等比数列，则c 22＝c 1c 3，即(5－2)2＝(2－1)(10－3)．有6＝65－32－10，产生矛盾， ∴{c n }也不是等比数列． (2)解：∵c n ＋1＝＋2＋1－(n ＋1)>0，c n ＝n 2＋1－n>0， ∴c n ＋1c n ＝＋2＋1－＋n 2＋1－n＝n 2＋1＋n＋2＋1＋＋，0<n 2＋1<＋2＋1，又0<n<n ＋1， ∴n 2＋1＋n<＋2＋1＋n ＋1，∴0<n 2＋1＋n＋2＋1＋＋<1，∴c n ＋1c n<1，即c n ＋1<c n . 20．(本题满分12分)设函数f(x)＝xlnx.导学号 10510916 (1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[18，12]上的最大值和最小值．[解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f(x)＝xlnx ，∴f ′(x)＝lnx ＋1， 令f ′(x)＝0，得x ＝1e ，令f ′(x)>0，得x>1e ，令f ′(x)<0，得0<x<1e，∴f(x)的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f(18)＝18ln 18＝38ln 12，f(12)＝12ln 12，f(1e )＝1e ln 1e ＝－1e ， 又12ln 12<38ln 12， ∴求f(x)在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e.21．(本题满分12分)(2016·贵州高二检测)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a(a>0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….导学号 10510917(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明． [解析] (1)由题意，当n≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a －n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a>0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a·(－12)n －1＝a －n 1.方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a·(－12)1－1，结论a n ＝a －n －1成立．②假设当n ＝k(k≥1，k ∈N)时，a n ＝a －n －1成立，即a k ＝a·(－12)k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a·(－12)k －1＝a·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a －n －1成立．由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a·(－12)n －1，n ∈N *.22．(本题满分12分)(2016·北京文，20)设函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c.导学号 10510918 (1)求曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件． [解析] (1)由f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b. 因为f(0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝bx ＋c. (2)当a ＝b ＝4时，f(x)＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x)＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x)＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f(x)与f ′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c>0且c －3227<0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈(－2，－23)，x 3∈(－23，0)，使得f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝0.由f(x)的单调性知，当且仅当c ∈(0，3227)时，函数f(x)＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)当Δ＝4a 2－12b<0时，f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b>0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f(x)不可能有三个不同零点． 当Δ＝4a 2－12b ＝0时， f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0.当x ∈(－∞，x 0)时， f ′(x)>0，f(x)在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x)>0，f(x)在区间(x 0，＋∞)上单调递增；所以f(x)不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f(x)有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b>0.故a 2－3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b>0，f(x)＝x 3＋4x 2＋4x ＝x(x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件．因此a 2－3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．。

第一章 1.3第1课时一、选择题1．下列语句：①3是无限循环小数；②x2>x；③△ABC的两角之和；④毕业班的学生．其中不是命题的是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[答案] D[解析]对于①能判断真假，对于②、③、④均不能判断真假．故①是命题，②、③、④均不是命题．2．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是() A．p假q假B．“p或q”为真C．“p且q”为真D．p假q真[答案] B[解析]∵{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2<x<3}，∴1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，∴p真．∵∅≠{0}，∴q假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B.3．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是()A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对[答案] B[解析]命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．4．已知p：α为第二象限角，q：sinα>cosα，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]当α为第二象限角时，sinα>0，cosα<0，∴sinα>cosα，但sinα>cosα不能推出α为第二象限角．5．以下四个命题正确的有()①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”是“p且q”的形式，该命题是真命题；②“菱形既是平行四边形又是圆的外切四边形”是“p且q”的形式，该命题是真命题；③“矩形是圆的外切四边形或是圆的内接四边形”是“p或q”的形式，该命题是真命题；④“菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形”是“p或q”的形式，该命题是真命题．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] D[解析]∵矩形是平行四边形，也是圆的内接四边形，菱形是平行四边形，也是圆的外切四边形，但矩形不是圆的外切四边形，菱形不是圆的内接四边形，由p∨q，p∧q的定义知，①②③④都正确．6．已知命题p，q，则命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]p∧q为真⇒p真且q真⇒p∨q为真；p∨q为真⇒p真或q真⇒/ p∧q为真．二、填空题7．p：ax＋b>0的解为x>－b a，q：(x－a)(x－b)<0的解为a<x<b.则p∧q是________命题(填“真”或“假”)．[答案]假[解析]命题p与q都是假命题．8．设命题p：3≥2，q：32∉[23，＋∞)，则复合命题“p∨q”“p∧q”中真命题的是________．[答案]p∨q[解析]3≥2成立，∴p真，32∈[23，＋∞)，∴q假，故“p∨q”为真命题，“p ∧q”为假命题．9．已知命题p：∅⊆∅，q：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p或q”、“p且q”形式的命题中真命题有________个．[答案] 1[解析]命题p为真，命题q为假，故“p或q”为真，“p且q”为假．三、解答题10．分别指出下列各组命题构成的“p∧q”、“p∨q”形式的命题的真假．(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p ：梯形的对角线相等，q ：梯形的对角线互相平分； (3)p ：函数y ＝x 2＋x ＋2的图象与x 轴没有公共点， q ：不等式x 2＋x ＋2<0无解；(4)p ：函数y ＝cos x 是周期函数，q ：函数y ＝cos x 是奇函数． [解析] (1)∵p 为假命题，q 为真命题， ∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题． (2)∵p 为假命题，q 为假命题， ∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题． (3)∵p 为真命题，q 为真命题， ∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题． (4)∵p 为真命题，q 为假命题， ∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题．一、选择题11．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”；④“菱形的两条对角线互相垂直”．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] ①②都是“p 或q ”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为真命题，故选A.12．下列命题：①方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；②周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ③集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] C[解析] ①中，判别式Δ＝9＋16＝25>0，故①中命题为真命题；②中，周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等，故②中命题为假命题；③中，(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆(A ∪B )，故③中命题为真命题．故选C.13．在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，则|AD →|＝|AC →|·cos ∠CAB ，|BD →|＝|BC →|·cos ∠CBA ，AB →·AC →＝BA →·BC →⇔|AB →|·|AC →|·cos ∠CAB ＝|BA →|·|BC →|·cos ∠CBA ⇔|AC →|·cos ∠CAB ＝|BC →|·cos ∠CBA ⇔|AD →|＝|BD →|⇔|AC →|＝|BC →|，故选C.二、填空题14．分别用“p ∧q ”、“p ∨q ”填空．(1)命题“0是自然数且是偶数”是________形式． (2)命题“5小于或等于7”是________形式．(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式． [答案] (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∨q15．(2014·营口三中期中)设命题P ：a 2<a ，命题Q ：对任何x ∈R ，都有x 2＋4ax ＋1>0，命题P ∧Q 为假，P ∨Q 为真，则实数a 的取值范围是________．[答案] －12<a ≤0或12≤a <1[解析] 由a 2<a 得0<a <1，∴P ：0<a <1；由x 2＋4ax ＋1>0恒成立知Δ＝16a 2－4<0，∴－12<a <12，∴Q ：－12<a <12，∵P ∧Q 为假，P ∨Q 为真，∴P 与Q 一真一假，P 假Q 真时，－12<a ≤0，P 真Q 假时，12≤a <1，∴实数a 的取值范围是－12<a ≤0或12≤a <1. 三、解答题16．已知命题p ：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数；q ：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”形式的复合命题，并指出其真假．[解析] “p 或q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数或不相等． “p 且q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数且不相等． ∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两个相等的实根，故p 真，q 假． ∴p 或q 真，p 且q 假．17．已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解析] 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0.所以－2<a <2，所以命题p ：－2<a <2；又f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则有5－2a >1，即a <2.所以命题q ：a <2. ∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 和q 一真一假．(1)若p 为真命题，q 为假命题，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2a ≥2，此不等式组无解．(2)若p 为假命题，q 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2a <2，解得a ≤－2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．。

反馈练习一、选择题1．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为89，则λ等于( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255[答案] C[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝2－λ＋4λ2＋5×9＝89，所以λ＝－2或255． 2．若a 、b 、c 是非零空间向量，则下列命题中的真命题是( ) A ．(a·b )c ＝(b·c )a B ．若a·b ＝－|a |·|b |，则a ∥b C ．若a·c ＝b·c ，则a ∥b D ．若a·a ＝b·b ，则a ＝b[答案] B[解析] (a ·b )c 是与c 共线的向量，(b ·c )a 是与a 共线的向量，a 与c 不一定共线，故A 假；若a ·b ＝－|a |·|b |，则a 与b 方向相反， ∴a ∥b ，故B 真；若a ·c ＝b ·c ，则(a －b )·c ＝0，即(a －b )⊥c ，不能得出a ∥b ，故C 假； 若a ·a ＝b ·b ，则|a |＝|b |，方向不确定， 故得不出a ＝b ，∴D 假．3．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2[答案] A[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数k ，使b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝(kλ＋k,0,2k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ kλ＋k ＝6，2μ－1＝0，2λ＝2k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝12，λ＝2，k ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝－3，k ＝－3.故选A ．4．同时垂直于a ＝(2,2,1)，b ＝(4,5,3)的单位向量是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，－23，23 B ．⎝⎛⎭⎫－13，23，－23 C ．⎝⎛⎭⎫13，－13，23 D ．⎝⎛⎭⎫13，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23 [答案] D[解析] 设所求向量为c ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝1，检验知选D ．[点评] 检验时，先检验A(或B)，若A 不满足，则排除A 、D ；再检验B ，若A 满足，则排除B ，C ，只要看D 是否成立．5．已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，则以下等式中可能不成立的是( ) A ．DA →·PB →＝0 B ．PC →·BD →＝0 C ．PD →·AB →＝0 D ．P A →·CD →＝0[答案] B[解析] ①⎭⎪⎬⎪⎫DA ⊥AB DA ⊥P A ⇒DA ⊥平面P AB ⇒DA ⊥PB ⇒DA →·PB →＝0；②同①知AB →·PD →＝0；③P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥CD ⇒P A →·CD →＝0； ④若BD →·PC →＝0，则BD ⊥PC ，又BD ⊥P A ，∴BD ⊥平面P AC ，故BD ⊥AC ， 但在矩形ABCD 中不一定有BD ⊥AC ，故选B ．6．已知ABCD 是四面体，O 是△BCD 内一点，则AO →＝13(AB →＋AC →＋AD →)是O 为△BCD重心的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] C[解析] 设E 为CD 中点，AO →＝13(AB →＋AC →＋AD →)＝13AB →＋13(BC →－BA →＋BD →－BA →)＝13AB →＋13(BC →＋BD →)－23BA →＝AB →＋23BE →， ∴BO →＝23BE →．即O 为△BCD 的重心．反之也成立．7．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)[答案] B[解析] 设平面AEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，E (1,1，12)，F (12，0,1)．故AE →＝(0,1，12)，AF →＝(－12，0,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧AE →·n ＝0，AF →·n ＝0，即⎩⎨⎧y ＋12z ＝0，－12x ＋z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12z ，x ＝2z .当z ＝－2时，n ＝(－4,1，－2)，故选B ．8．a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( ) A ．55B ．555C ．355D ．115[答案] C[解析] b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∵|b －a |2＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5t 2－2t ＋2 ＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95≥95，∴|b －a |min ＝355． 9．如图ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°[答案] D[解析] 正方体中，BD ∥B 1D 1，且BD ⊄面CB 1D 1，知BD ∥平面CB 1D 1，A 正确；AC 1在面ABCD 内的射影为AC ，又AC ⊥BD ，由三垂线定理知AC 1⊥BD ．故B 正确；同理可得AC 1⊥B 1D 1，AC 1⊥CD 1，且B 1D 1∩CD 1＝D 1，∴AC 1⊥平面CB 1D 1，故C 正确；由AD ∥BC 知，∠B 1CB 为AD 与CB 1所成的角，应为45°，故D 错误．10．已知△ABC 的顶点A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 的长等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 解法一：设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －1，y ＋1，z －2)，BD →＝(x －5，y ＋6，z －2)，AC →＝(0,4，－3)，∵AD →∥AC →，且BD →⊥AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，4y ＋1＝－3z －2，4(y ＋6)－3(z －2)＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－215，z ＝225.∴|BD →|＝5．解法二：设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ． ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)， 又AC →＝(0,4，－3)，AC →⊥BD →，∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0， ∴λ＝－45，∴BD →＝⎝⎛⎭⎫－4，95，125， ∴|BD →|＝(－4)2＋⎝⎛⎭⎫952＋⎝⎛⎭⎫1252＝5．11．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点F 是侧面CDD ′C ′的中心，若AF →＝AD →＋xAB →＋yAA ′→，则x －y 等于( )A ．0B ．1C ．12D ．－12[答案] A[解析] 如图所示，AF →＝AD →＋DF →， ∴DF →＝xAB →＋yAA ′→， ∴12DC ′→＝xAB →＋yAA ′→， ∵12AB ′→＝12AB →＋12AA ′→ AB ′→＝DC ′→， ∴x ＝y ＝12，x －y ＝0．12．(2014·开滦二中期中)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] A[解析] 取AC 中点F ，则DF 綊BE ，∴DE ∥BF ，∴BF 与平面BB 1C 1C 所成的角为所求， ∵AB ＝1，BC ＝3，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AB ⊥BB 1，∴AB ⊥平面BCC 1B 1，作GF ∥AB 交BC 于G ，则GF ⊥平面BCC 1B 1，∴∠FBG 为直线BF 与平面BCC 1B 1所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12，∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6． 二、填空题13．|a |＝|b |＝|c |＝1，a ＋b ＋c ＝0，则a ·c ＋b·c ＋a·b ＝__________． [答案] －32[解析] 设a ·c ＋b ·c ＋a ·b ＝x ， 则2x ＝(a ＋b )·c ＋(b ＋c )·a ＋(c ＋a )·b ＝－|c |2－|a |2－|b |2＝－3，∴x ＝－32．14．给出命题：①在▱ABCD 中，AB →＋AD →＝AC →；②在△ABC 中，若AB →·AC →>0，则△ABC 是锐角三角形；③在梯形ABCD 中，E 、F 分别是两腰BC 、DA 的中点，则FE →＝12(AB →＋DC →)；④在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、DA 的中点，则FE →＝12(AB →＋DC →)．以上命题中，正确命题的序号是______________．[答案] ①③④[解析] 本题考查向量的有关运算．①满足向量运算的平行四边形法则，①正确；AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A >0⇒∠A <90°，但∠B 、∠C 无法确定，△ABC 是否是锐角三角形无法确定，②错误；③符合梯形中位线，正确；④如图：DC →＝DA →＋AC →；DC →＋AB →＝DA →＋AB →＋AC →＝DA →＋2AE →＝2(F A →＋AE →)＝2FE →，则FE →＝12(AB →＋DC →)．15．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点，则异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值是__________．[答案]105[解析] 如图，建立空间直角坐标系，则A (4,0,0)，C (0,4,0)，D 1(0,0,4)，E (0,4,2)，AC →＝(－4,4,0)，D 1E →＝(0,4，－2)．cos 〈AC →，D 1E →〉＝1632×20＝105．∴异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值为105． 16．若△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝8，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一点，则PM 的最小值为__________．[答案] 27[解析] 由条件知PC 、AC 、BC 两两垂直，设CA →＝a ，CB →＝b ，CP →＝c ，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a＝0，∵∠BAC ＝60°，AB ＝8，∴|a |＝CA ＝8cos60°＝4，|b |＝CB ＝8sin60°＝43．|c |＝PC ＝4， 设AM →＝xAB →＝x (b －a )，则PM →＝PC →＋CA →＋AM →＝－c ＋a ＋x (b －a )＝(1－x )a ＋x b －c ，|PM →|2＝(1－x )2|a |2＋x 2|b |2＋|c |2＋2(1－x )x a ·b －2x b ·c －2(1－x )a ·c ＝16(1－x )2＋48x 2＋16＝32(2x 2－x ＋1)＝64⎝⎛⎭⎫x －142＋28， ∴当x ＝14时，|PM →|2取最小值28，∴|PM →|min ＝27．三、解答题17．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，用DA →，DC →，DD ′→表示向量BD ′→，AE →．[解析] (1)BD ′→＝DD ′→－DB →＝－DA →－DC →＋DD ′→． (2)AE →＝AA ′→＋A ′E →＝DD ′→＋12A ′C ′→＝DD ′→＋12AC →＝DD ′→＋12(DC →－DA →)＝－12DA →＋12DC →＋DD ′→．18．如图所示，已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心．求证：PQ ∥平面ACD ．[证明] ∵P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心． ∴PQ →＝EQ →－EP →＝13ED →－13EA →＝13(ED →－EA →)＝13AD →． ∴PQ →∥AD →，即PQ ∥AD ，又PQ ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴PQ ∥平面ACD ．19．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1； (3)求AC 1与CB 1所成角的余弦值．[解析] ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直．如图所示，以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、CC 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．(1)∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)． ∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1．(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，则E (0,2,2)． ∵DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)．∴DE →＝12AC 1→，∴DE ∥AC 1．∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1．(3)∵AC 1→＝(－3,0,4)，CB 1→＝(0,4,4)， ∴cos 〈AC 1→·CB 1→〉＝AC 1→·CB 1→|AC 1→|·|CB 1→|＝225．∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225．20．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝6，AA 1＝4，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且CP ＝2，Q 是DD 1的中点，求：(1)M 到直线PQ 的距离； (2)M 到平面AB 1P 的距离．[解析] 如图，建立空间直角坐标系B －xyz ，则A (4,0,0)，M (2,3,4)，P (0,4,0)，Q (4,6,2)．(1)∵QM →＝(－2，－3,2)，QP →＝(－4，－2，－2)， ∴QM →在QP →上的射影为QM →·QP →|QP →|＝(－2)×(－4)＋(－3)×(－2)＋2×(－2)(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＝566，故M 到PQ 的距离为 |QM →|2－⎝⎛⎭⎫5662＝17－256＝4626．(2)设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1P 的法向量，则n ⊥AB 1→，n ⊥AP →， ∵AB 1→＝(－4,0,4)，AP →＝(－4,4,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋4z ＝0，－4x ＋4y ＝0.因此可取n ＝(1,1,1)，由于MA →＝(2，－3，－4)， 那么点M 到平面AB 1P 的距离为d ＝|MA →·n ||n |＝|2×1＋(－3)×1＋(－4)×1|3＝533， 故M 到平面AB 1P 的距离为533． [点评] 求点P 到直线l 的距离时，在直线l 上任取一点Q ，则QP →在l 上射影的长度为m ＝|QP →|·|cos 〈QP →，n 〉|(n 为直线l 的一个方向向量)，即m ＝|QP →·n ||n |， 于是P 到l 的距离d ＝|QP ―→|2－m 2．21．(2014·浙江理，20)如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝2．(1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)求二面角B －AD －E 的大小．[解析] (1)在直角梯形BCDE 中，∵DE ＝BE ＝1，CD ＝2，∴BD ＝BC ＝2，在三角形ABC 中，AB ＝2，BC ＝2，AC ＝2，∴AC ⊥BC ．∵平面ABC ⊥平面BCOE ，而平面ABC ∩平面BCDE ＝BCAC ⊥BC ，∴AC ⊥平面BCDE ，∴AC ⊥DE ，又∵DE ⊥DC ，∴DE ⊥平面ACD ．(2)由(1)知分别以CD →、CA →为x 轴、z 轴正方向．过C 作CM ∥DE ，以CM 为y 轴建立空间直角坐标系．则B (1,1,0)，A (0,0，2)，D (2,0,0)，E (2,1,0)∴AB →＝(1,1，－2)，AD →＝(2,0，－2)，DE →＝(0,1,0)设平面ABD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·AB →＝n 1·AD →＝0，解得n 1＝(1,1，2)．设平面ADE 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·AE →＝n 2·AD →＝0，解得：n 2＝(1,0，2)设二面角B －AD －E 的大小为θ，易知θ为锐角，cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝1＋0＋26×3＝32， ∴二面角B －AD －E 的平面角为π6． 22．(2014·浙北名校联盟联考)已知在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 为棱CC ′上任意一点，AB ＝BC ＝2，CC ′＝1．(1)求证：平面ACC ′A ′⊥平面BDE ；(2)若点P 为棱C ′D ′的中点，点E 为棱CC ′的中点，求二面角P －BD －E 的余弦值．[解析] (1)∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∵CC ′⊥平面ABCD ，∴BD ⊥CC ′，又CC ′∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC ′A ′，∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ACC ′A ′．(2)以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以DD ′为z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，E (0,2，12)，P (0,1,1)，设平面BDE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，∵DB →＝(2,2,0)，DE →＝(0,2，12)， ∴⎩⎨⎧ m ·DB →＝2x ＋2y ＝0，m ·DE →＝2y ＋12z ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝4，∴m ＝(1，－1,4)， 设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∵DP →＝(0,1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DP →＝y ＋z ＝0， 令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，∴n ＝(1，－1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝63， ∴二面角P －BD －E 的余弦值为63．。

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 [答案] D[解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确．2．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a ∥ b 则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°[答案] A[解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2， (a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14 [答案] D[解析] AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1,6，λ－3)， ∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0， 解得λ＝－14，故选D ．4．(2013·北师大附中月考)若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋b[答案] C[解析] 因为a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D ；故选C ．5．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)[答案] D[解析] ∵l ∥α，∴a ·n ＝0，经检验知选D ．6．(2013·清华附中月考)已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°[答案] B[解析] 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →＝AC →＋CD →＋DB →， ∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1．cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12⇒〈AB →，CD →〉＝60°，故选B ．7．(2013·安徽省合肥一中期末)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( )A ．12，－12B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12[答案] A[解析] 由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故选A ．8．已知A (－1,1,2)，B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且AD →＝2DB →，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )A ．116B ．－116C ．12D ．13[答案] B[解析] 设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x ＋1，y －1，z －2)，AB →＝(2，－1，－3)，DB →＝(1－x ，－y ，－1－z )，∵AD →＝2DB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2(1－x )，y －1＝－2y ，z －2＝－2－2z .∴⎩⎨⎧x ＝13，y ＝13，z ＝0.∴D (13，13，0)，CD →＝(13－λ，－λ，－1－λ)，∵CD →⊥AB →，∴CD →·AB →＝2(13－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－116．9．(2013·河南省开封月考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为()A ．1B ．52C ．62D ．32[答案] C[解析] 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (1,1，2)，F (2,1，22)，所以|EF |＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－22)2＝62，故选C ．10． (2013·陕西省高新一中期末)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，则点B 到直线A 1C 的距离为()A ．27B ．2357C ．357D ．1[答案] B[解析] 过点B 作BE 垂直A 1C ，垂足为E ，设点E 的坐标为(x ，y ，z )，则A 1(0,0,3)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，A 1C →＝(1,2，－3)，A 1E →＝(x ，y ，z －3)，BE →＝(x －1，y ，z )．因为⎩⎪⎨⎪⎧A 1E →∥A 1C →BE →·A 1C →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 2＝z －3－3x －1＋2y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝57y ＝107z ＝67，所以BE →＝(－27，107，67)，所以点B 到直线A 1C 的距离|BE →|＝2357，故选B ．11．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12B ．22C ．13D ．16[答案] C[解析] 如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，A (1,0,0)，C (0,2,0)．从而D 1E →＝(1,1，－1)，AC →＝(－1,2,0)，AD 1→＝(－1,0,1)， 设平面ACD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝0，－a ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，a ＝c .令a ＝2，则n ＝(2,1,2)． 所以点E 到平面ACD 1的距离为 h ＝|D 1E →·n ||n |＝2＋1－23＝13．12．如图所示，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC 1的中点，设GF ，C 1E 与AB 所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°[答案] D[解析] 建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B (2,0,0)，A (2,2,0)，G (0,0,1)，F (1,1,0)，C 1(0,0,2)，E (1,2,1)．则BA →＝(0,2,0)，GF →＝(1,1，－1)，C 1E →＝(1,2，－1)，∴cos 〈BA →，GF →〉＝|BA →·GF →||BA →|·|GF →|＝13，cos 〈BA →，C 1E →〉＝|BA →·C 1E →||BA →|·|C 1E →|＝23，∴cos α＝13，sin α＝23，cos β＝23，sin β＝13，cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝90°． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当AP →·BP →取最小值时，点P 的坐标为__________．[答案] (12，0,0)[解析] 设P (x,0,0)，则AP →＝(x －1，－2,0)，BP →＝(x ，－1,1)， AP →·BP →＝x (x －1)＋2＝(x －12)2＋74，∴当x ＝12时，AP →·BP →取最小值74，此时点P 的坐标为(12，0,0)．14．已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为__________．[答案] 14[解析] 设上、下底面中心分别为O 1、O ，则OO 1⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、OO 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB ＝2，A 1B 1＝1，∴AC ＝BD ＝22，A 1C 1＝B 1D 1＝2，∵平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ，∴∠B 1BO 为侧棱与底面所成的角，∴∠B 1BO ＝60°， 设棱台高为h ，则tan60°＝h 2－22，∴h ＝62， ∴A (0，－2，0)，D 1(－22，0，62)，B 1(22，0，62)，C (0，2，0)，∴AD 1→＝(－22，2，62)，B 1C →＝(－22，2，－62)，∴cos 〈AD 1→，B 1C →〉＝AD 1→·B 1C →|AD 1→|·|B 1C →|＝14，故异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为14．15．三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线P A 与底面ABC 所成角的大小为________________．[答案] 45°[解析] 由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴BC ＝2，∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°， 取BC 边中点E ，则 PE ＝22，AE ＝22， 又P A ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠P AE ＝45°， ∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ， ∴BC ⊥平面P AE ， ∴平面P AE ⊥平面ABC ，∴∠P AE 为直线P A 与平面ABC 所成角．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________．[答案]102[解析] 过B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N ．则可求得AM ＝12，BM ＝32，CN ＝12，DN ＝32，MN ＝1．由于BD →＝BM →＋MN →＋ND →，∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝(32)2＋12＋(32)2＋2(0＋0＋0)＝52，∴|BD →|＝102．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)若e 1、e 2、e 3是三个不共面向量，则向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？请说明理由．[解析] 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3λ1－λ2＝22λ1＋λ2＝－1λ1＋3λ2＝－4⇒λ1＝15，λ2＝－75．即c ＝15a －75b ．∴a 、b 、c 共面．18．(本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG→．[解析] ∵BG ＝2GD ， ∴BG →＝23BD →．又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， ∴PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b )＝23a －13b ＋23c ． 19．(本小题满分12分)如图所示，在四面体ABCD 中，AB ，BC ，CD 两两互相垂直，且BC ＝CD＝1．(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)求二面角C －AB －D 的大小；(3)若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度． [解析] 解法一：(1)∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ， ∴CD ⊥平面ABC ． 又∵CD ⊂平面ACD ， ∴平面ACD ⊥平面ABC ．(2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥BD ．∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角． ∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°． ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．(3)过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面ACD ⊥平面ABC ， ∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°． 在Rt △BHD 中，BD ＝2， ∴BH ＝22． 又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1， ∴∠BCH ＝45°，∴在Rt △ABC 中，AB ＝1． 解法二：(1)同解法一．(2)设AB ＝a ，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则B (0,0,0)，A (0,0，a )，C (0,1,0)，D (1,1,0)，BD →＝(1,1,0)，BA →＝(0,0，a )．平面ABC 的法向量CD →＝(1,0,0)，设平面ABD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有BD →·n ＝x ＋y ＝0，BA →·n ＝az ＝0，∴z ＝0，取y ＝1，则x ＝－1， ∴n ＝(－1,1,0)．∴cos 〈CD →，n 〉＝CD →·n |CD →||n |＝－22，由图可知二面角C －AB －D 为锐角，∴二面角C －AB －D 的大小为45°．(3)AC →＝(0,1，－a )，CD →＝(1,0,0)，BD →＝(1,1,0)．设平面ACD 的一个法向量是m ＝(x ′，y ′，z ′)，则AC →·m ＝y ′－az ′＝0，CD →·m ＝x ′＝0，令z ′＝1，∴y ′＝a ，则m ＝(0，a,1)． ∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°， ∴cos 〈BD →，m 〉＝BD →·m |BD →||m |＝a a 2＋1·2＝cos60°，解得a ＝1，∴AB ＝1．20．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1＝5，E 、F 分别为D 1D 、B 1B 上的点，且DE ＝B 1F ＝1．(1)求证：BE ⊥平面ACF ； (2)求点E 到平面ACF 的距离．[解析] (1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,5)，E (0,0,1)，F (2,2,4)．∴AC →＝(－2,2,0)，AF →＝(0,2,4)，BE →＝(－2，－2,1)，AE →＝(－2，0,1)． ∵BE →·AC →＝0，BE →·AF →＝0，∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A ．∴BE ⊥平面ACF ．(2)解：由(1)知，BE →为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离d ＝|AE →·BE →||BE →|＝53． 故点E 到平面ACF 的距离为53． 21．(本小题满分12分)(2014·浙江文，20)如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝2．(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．[解析] (1)取CD 中点G ，连结BG ．∵∠CDE ＝∠BED ＝90°，∴BE ∥CD ．又CD ＝2，BE ＝1，∵BE 綊DG ，∴四边形DEBG 为矩形，∴BG ＝DE ＝1，∠BGC ＝90°又GC ＝12CD ＝1，∴BC ＝2． 又AC ＝2，AB ＝2，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC ．又∵平面ABC ⊥平面BCDE 且交线为BC ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BCDE ．(2)解法1：过点E 作EF ⊥BC 交BC 延长线于F ，由(1)知EF ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ，∴EF ⊥平面ABC ，连结AF ，则∠EAF 即为AE 与平面ABC 所成的角．由已知得∠GBC ＝45°，∴∠EBF ＝45°∴BF ＝EF ，又BE ＝1∴BF ＝EF ＝22， 在Rt △AFC 中，AC ＝2，CF ＝BC ＋BF ＝2＋22＝322， ∴AF ＝2＋184＝262， ∴tan ∠EAF ＝EF AF ＝22262＝1313， ∴直线AE 与平面ABC 所成角的正切值为1313． 解法2：过C 作DE 的平行线CG ，以C 为原点，CD 、CG、CA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图．则C (0,0,0)，A (0,0，2)，B (1,1,0)，E (2,1,0)，∴AE →＝(2,1，－2)，AB →＝(1,1，－2)，CA →＝(0,0，2)，设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·CA →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2z ＝0， 令x ＝1得n ＝(1，－1,0)．设AE 与平面ABC 所成的角为α，则sin α＝cos 〈n ，AE →〉＝|n ·AE →||n |·|AE →|＝114，∴tan α＝1313． 22．(本小题满分14分) (2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD 相交于点O ，若∠DAB ＝∠DBF ＝60°，且F A ＝FC ．(1)求证：FC ∥平面EAD ；(2)求二面角A －FC －B 的余弦值．[解析] (1)证明：∵四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∴AD ∥BC ，DE ∥BF ．∵AD ⊄平面FBC ，DE ⊄平面FBC ，∴AD ∥平面FBC ，DE ∥平面FBC ，又AD ∩DE ＝D ，AD ⊂平面EAD ，DE ⊂平面EAD ，∴平面FBC ∥平面EAD ，又FC ⊂平面FBC ，∴FC ∥平面EAD ．(2)连接FO 、FD ，∵四边形BDEF 为菱形，且∠DBF ＝60°，∴△DBF 为等边三角形， ∵O 为BD 中点．所以FO ⊥BD ，O 为AC 中点，且F A ＝FC ，∴AC ⊥FO ，又AC ∩BD ＝O ，∴FO ⊥平面ABCD ，∴OA 、OB 、OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，设AB ＝2，因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，则BD ＝2，OB ＝1，OA ＝OF ＝3，∴O (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (－3，0,0)，F (0,0，3)，∴CF →＝(3，0，3)，CB →＝(3，1,0)，设平面BFC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CF →＝0，n ·CB →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3z ＝0，3x ＋y ＝0， 令x ＝1，则n ＝(1，－3，－1)，∵BD ⊥平面AFC ，∴平面AFC 的一个法向量为OB →＝(0,1,0)．∵二面角A －FC －B 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，∴cos θ＝|cos 〈n ，OB →〉|＝|n ·OB →||n |·|OB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－35＝155， ∴二面角A －FC －B 的余弦值为155．。

第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2013·四川文，5)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．23 B ．2 C. 3 D ．1[答案] D[解析] 由y 2＝8x 可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d ＝|2－3×0|12＋(－3)2＝1.2．已知椭圆x 2a 2＋y 225＝1(a >5)的两个焦点为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 经过焦点F 1，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．20C ．241D ．441[答案] D[解析] 由椭圆定义可知，有|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，∴△ABF 2的周长L ＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a . 由题意可知b 2＝25,2c ＝8，∴c 2＝16a 2＝25＋16＝41，∴a ＝41，∴L ＝441，故选D. 3．椭圆x 2m 2＋y 23－m ＝1的一个焦点为(0,1)，则m ＝( )A ．1B ．－1±172C ．－2或1D ．－2或1或－1±172[答案] C[解析] ∵焦点在y 轴上，∴3－m >m 2. 由3－m －m 2＝1得m ＝1或－2，∴选C.4．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x[答案] C[解析] ∵2b ＝2,2c ＝23，∴b ＝1，c ＝3，∴a 2＝c 2－b 2＝3－1＝2，∴a ＝2，故渐近线方程为y ＝±22x .5．(2013·天津理，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1B ．32C ．2D ．3 [答案] C[解析] ∵e ＝2，∴b 2＝3a 2，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3x ，不妨设A ＝(－p 2，3p2)，B (－p 2，－3p 2)，则AB ＝3p ，又三角形的高为p 2，则S △AOB ＝12×p 2×3p ＝3，即p 2＝4，又p >0，∴p ＝2.6．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率，则lge 1＋lge 2( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于1 [答案] C[解析] ∵lge 1＋lge 2＝lga 2－b 2a＋lg a 2＋b 2a＝lga 4－b 4a 2<lg a 2a2＝lg1＝0，∴lge 1＋lge 2<0. 7．(2014·长春市期末调研)经过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为( )A ．2B ． 3C. 2 D ． 5[答案] A[解析] 由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，∴ba ＝tan60°＝3，∴b ＝3a ，代入a 2＋b 2＝c 2中得4a 2＝c 2，∴e 2＝4，∵e>1，∴e ＝2，故选A.8．(2014·天津理，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B ．x 220－y 25＝1C.3x 225－3y 2100＝1 D ．3x 2100－3y 225＝1[答案] A[解析] 由于一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y ＝2x ＋10.则ba＝2，结合a 2＋b 2＝c 2，c ＝5得，a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线标准方程为x 25－y 220＝1，选A.9．(2013·新课标Ⅱ理，11)设抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x [答案] C[解析] 由已知F (34p,0)，A (0,2)，M (y 203p ，y 0)，∵AF ⊥AM ，∴k AF ·k AM ＝－1， 即2－34p ×2－y 0－y 203p＝－1， ∴y 20－8y 0＋16＝0，∴y 0＝4，∴M (163p ，4)， ∵|MF |＝5，∴5＝(34p －163p)2＋16， ∴(34p －163p)2＝9.∴3p 4－163p ＝3或3p 4－163p ＝－3， ∴9p 2－36p －64＝0，①或9p 2＋36p －64＝0， 由①得∴p ＝－43(舍)，p ＝163.由②得p ＝43(p ＝－163舍)，∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .10．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2、P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为( )A.36 B ．13C.33D ．12[答案] C[解析] 由题意，设|PF 2|＝x ，∵∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∴|F 1F 2|＝3x ， ∴由椭圆的定义知2a ＝3x ，又∵2c ＝3x ， ∴离心率为e ＝c a ＝2c 2a ＝3x 3x ＝33，故选C.11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y[答案] C[解析] 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p ×40,2p ＝452，所以抛物线的方程应为y 2＝452x ，所给选项中没有y 2＝452x ，但方程x 2＝－452y 中的“2p ”的值为452，所以选项C 符合题意．12．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D ．x 218＋y 29＝1[答案] D[解析] 设A 点坐标的(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1.两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a 2，又∵k ＝－1－01－3＝12，∴b 2a 2＝12，又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9， ∴b 2＝9，a 2＝18，即标准方程为x 218＋y 29＝1，故选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．椭圆x 24＋y 23＝1的两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，使∠F 1PF 2＝90°的点P 有________个．[答案] 0[解析] 设a >b >0，c ＝a 2－b 2，以O 为圆心，以c 为半径画圆；当c <b 时，圆与椭圆无公共点，此时椭圆上无满足要求的点；当c ＝b 时，圆与椭圆切于短轴的两个端点，此时满足要求的点有两个，即椭圆短轴两个端点；当c >b 时，椭圆与圆有四个交点，此时满足条件的点有这四个点，这里a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝1，b ＝3，因此这样的点P 不存在．14．(2014·湖北部分重点中学高二期中)过抛物线x 2＝18y 的焦点作直线交抛物线于A 、B两点，线段AB 的中点M 的纵坐标为2，则线段AB 的长为________．[答案] 32[解析] 分别过A 、B 、F 、M 作准线的垂线，垂足依次为A 1、B 1、F 1、M 1，则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，又|MM 1|＝y M ＋132＝2＋132＝6532. ∴|AB |＝6516. 15．(2013·辽宁理，15)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e＝________.[答案] 57[解析] 本题考查椭圆的几何性质，解三角形问题． 在△ABF 中，由余弦定理得，cos ∠ABF ＝|AB |2＋|BF |2－|AF |22|AB |·|BF |，∴|BF |2－16|BF |＋64＝0，∴|BF |＝8，设右焦点为F 1，因为直线过原点，∴|BF 1|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF 1|＝14，∴a ＝7， ∵O 为Rt △ABF 斜边AB 的中点， ∴|OF |＝12|AB |＝5，∴c ＝5，∴e ＝57.16．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52.其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． [答案] ③④[解析] 显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2014·云南景洪市一中期末)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |.(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2，设A (x 1，y 1)，B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 41＋b 2， 解得b ＝22. 18．(本小题满分12分)(2014·银川九中一模)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程． (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．[解析] 设所求圆的半径为r ，则圆的方程为(x －2)2＋y 2＝r 2. 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎨⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y .得x 2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．①当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； ②当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 19．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→. [解析] (1)由题意知双曲线的方程是标准方程． ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ， ∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.把点(4，－10)代入双曲线方程得，λ＝6. ∴所求双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)双曲线的焦点为F 1(－23，0)、F 2(23，0)． ∵M 点在双曲线上，∴32－m 2＝6，m 2＝3.∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝0.20．(本小题满分12分)(2014·安徽文，21)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．[解析] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |及|AB |＝4得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1， 又∵△ABF 2的周长为16，∴由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. ∴|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， 由椭圆定义知：|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ， 在△ABF 2中，由余弦定理得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，∴(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0， ∴a ＝3k ，于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ， ∴|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2 ∴F 2A ⊥AB ，F 2A ⊥AF 1， ∴△AF 1F 2是等腰直角三角形， 从而c ＝22a ，所以椭圆离心率为e ＝c a ＝22. 21．(本小题满分12分)(2014·重庆万州分水中学期中)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明2m －k 为定值．[解析] (1)∵e ＝32＝c a ，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝34，∴a ＝2b ，再由a ＋b ＝3得a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则BP 方程为y ＝k (x －2)(k ≠0且k ≠±12)，①将①代入x 24＋y 2＝1，解得P (8k 2－24k 2＋1，－4k4k 2＋1)，又直线AD 的方程为y ＝12x ＋1，②①与②联立解得M (4k ＋22k －1，4k2k －1)，由D (0,1)，P (8k 2－24k 2＋1，－4k4k 2＋1)，N (x,0)三点共线可得N (4k －22k －1，0)，所以MN 的斜率为m ＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．22．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设椭圆的方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵F (2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝3＋5＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.∵a 2＝b 2＋c 2， ∴b 2＝12，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1.消去y ，得3x 2＋3tx＋t 2－12＝0.∵直线l 与椭圆有公共点，∴Δ＝(3t )2－12(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3. 另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4， 可得，|t |94＋1＝4，∴t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，故符合题意的直线l 不存在．。

第二章 2.4 第3课时一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 2．抛物线y ＝14x 2的焦点关于直线x －y －1＝0的对称点的坐标是( )A ．(2，－1)B ．(1，－1)C ．(14，－14)D ．(116，－116)[答案] A[解析] y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点为(0,1)，其关于x －y －1＝0的对称点为(2，－1)．3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3[答案] D[解析] 设A (y 214，y 1)，B (y 224，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB →＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝(－4)216－4＝－3，故选D.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 [答案] B[解析] 由定义|AB |＝5＋2＝7， ∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有两条．5．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是( ) A ．1 B ．2 C.58 D ．158[答案] D[解析] 如图所示，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线l 的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′，由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2，又|PQ |＝y 0＋18，∴y 0＋18＝2，∴y 0＝158.6．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3[答案] B[解析] 设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B.二、填空题7．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 m 时，量得水面宽8 m ，当水面升高1米后，水面宽度是________m.[答案] 4 2[解析] 设抛物线拱桥的方程为x 2＝－2py ，当顶点距水面2 m 时，量得水面宽8 m ， 即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p ， ∴p ＝4，则抛物线方程是x 2＝－8y ， 水面升高1 m 时，即y ＝－1时，x ＝±2 2. 则水面宽为42m.8．(2014·吉林省吉林市二模)已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|P A |＋|PO |的最小值是__________________．[答案] 213[解析] 由|AF |＝4及抛物线定义得A 到准线的距离为4.∴A 点横坐标为－2，∴A (－2,4).又原点关于准线的对称点的坐标为B (4,0)， 所以|P A |＋|PO |的最小值为：|AB |＝36＋16 ＝213. 三、解答题9．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O .[解析] 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (p2，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程设为：x ＝my ＋p2代入抛物线方程得：y 2－2pmy －p 2＝0若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1、y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2 因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，所以点C 的坐标为(－p2，y 2)，故直线CO 的斜率为：k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点．10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k .∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2.∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(－1k)2＋4. ∵S △OAB ＝10， ∴10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.一、选择题11．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 B ．2 C ．5 D ． 6[答案] C[解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .∵渐近线与y ＝x 2＋1相切， ∴x 2＋ba x ＋1＝0有两相等根，∴Δ＝b 2a 2－4＝0，∴b 2＝4a 2，∴e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝ 5. 12．(2014·长春市期末调研)抛物线y 2＝9x 与直线2x －3y －8＝0交于A ，B 两点，则线段AB 中点的坐标为( )A ．(1138，－274)B ．(1138，274)C ．(－1138，－274)D ．(－1138，274)[答案] B[解析] 由2x －3y －8＝0得，x ＝32y ＋4，代入y 2＝9x 中得y 2－272y －36＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22＝274，x 0＝x 1＋x 22＝12(32y 1＋4＋32y 2＋4)＝34(y 1＋y 2)＋4＝32y 0＋4＝1138，故选B.13．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13 B ．23C.23 D ．223[答案] D[解析] 设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)y 2＝8x消去y 得，k 2x 2＋4x (k 2－2)＋4k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4(2－k 2)k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴4(2－k 2)k 2＝5，∴k 2＝89， ∵k >0，∴k ＝223.二、填空题14．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是______________________．[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．15．在已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M 、N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为________．[答案] k >14或k <－14[解析] 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线y ＝kx ＋92对称， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k ，y 0＝k ×(－12k )＋92＝4. 因中点P 在y ＝x 2内，有4>(－12k )2⇒k 2>116，∴k >14或k <－14.三、解答题16．已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥ OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．[解析] 由A 、B 两点在抛物线y 2＝6x上，可设A (y 216，y 1)，B (y 226，y 2)．因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0.由OA →＝(y 216，y 1)，OB →＝(y 226，y 2)，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36，①∵点A 、B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226， 化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24. 将①式代入，得y 1＋y 2＝－6.②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝610.17．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解析] (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， ∴p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .消去x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0， 解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55， 可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 综上知：t ＝1.所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.。

定积分的简单应用（填空题：容易）1、若，则实数的值是 .2、由曲线所围成的封闭图形的面积为________3、如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为___________.4、已知，则函数的单调递减区间是______.5、定积分的值为．6、_____________．7、曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为 .8、曲线与所围成的封闭图形的面积s=9、已知，则．10、曲线和曲线围成的图形面积是11、的值等于 .12、曲线与直线围成的封闭图形的面积是 .13、在平面直角坐标系内，由曲线所围成的封闭图形的面积为．14、二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为．15、．16、由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为______________．17、定积分．18、计算定积分：．19、已知函数，则。

20、= ．21、计算= ．22、计算：= .23、等于．24、________.25、定积分___________;26、＝。

27、求曲线，所围成图形的面积.28、由曲线，直线所围图形面积S= .29、定积分= .30、定积分的值为____________.31、计算定积分(x2+sinx)dx=.32、求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为_______。

33、已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为________．34、dx + .35、曲线＝x与y＝围成的图形的面积为______________．36、＝________________。

37、设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.38、一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位：)处,则力做的功为焦.39、由直线，，曲线及轴所围成的图形的面积是．40、计算定积分 .41、已知求 .42、曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．43、在的展开式中的常数项为p，则 .44、设＝，则二项式展开式中含项的系数是。

第三章 3.2 第3课时一、选择题1．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．8[答案] C[解析] ∵l ∥α，∴l 与平面α的法向量垂直． 故2×1＋12×m ＋1×2＝0，解得m ＝－8，故选C ．2．若n ＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( ) A ．(1，－2,0) B ．(0，－2,2) C ．(2，－4,4) D ．(2,4,4) [答案] C[解析] ∵(2，－4,4)＝2(1，－2,2)＝2n ， ∴(2，－4,4)可作为α的一个法向量． 二、填空题3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →．其中正确的是__________．[答案] ①②③[解析] AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →． AP →·AD →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →， ∵AP →⊥AB →，AP →⊥AD →，AB →∩AD →＝A ，∴AP →⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量． 三、解答题4．已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，且P A ⊥底面ABCD ，如果BC ⊥PB ，求证四边形ABCD 是矩形．[证明] 由条件知AP →⊥AB →，AP →⊥AD →，AD →＝BC →，∵BC ⊥PB ，∴BC →·PB →＝0， 即AD →·(AB →－AP →)＝0， ∴AD →·AB →－AD →·AP →＝0， ∵AD →·AP →＝0，∴AD →·AB →＝0，∴AD ⊥AB ，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．5．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，D 为AB 边中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 在CD 上，求证：AB ⊥PC ．[证明] 设CA →＝a ，CB →＝b ，OP →＝v ． 由条件知，v 是平面ABC 的法向量， ∴v ·a ＝0，v ·b ＝0，∵D 为AB 中点，∴CD →＝12(a ＋b )，∵O 在CD 上，∴存在实数λ，使CO →＝λCD →＝λ2(a ＋b )，∵CA ＝CB ，∴|a |＝|b |， ∴AB →·CP →＝(b －a )·⎣⎡⎦⎤λ2(a ＋b )＋v ＝λ2(a ＋b )·(b －a )＋(b －a )·v ＝λ2(|b |2－|a |2)＋b ·v －a ·v ＝0， ∴AB →⊥CP →，∴AB ⊥PC ．6．在正三棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△P AB 的重心，E 、F 分别为BC 、PB 上的点，且BE EC ＝PF FB ＝12．求证：平面GEF ⊥平面PBC ．[证明] 证法一：如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以P A ，PB ，PC 所在直线分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．令P A ＝PB ＝PC ＝3，则A (3,0,0)，B (0，3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0，1,0)，G (1,1,0)，P (0,0,0)，于是P A →＝(3,0,0)，FG →＝(1,0,0)， 故P A →＝3FG →，∴P A ∥FG ．而P A ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC ． 又FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PBC ． 证法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则 E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)．∴EF →＝(0，－1，－1)，EG →＝(1，－1，－1)．设平面EFG 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则有n ⊥EF →，n ⊥EG →．∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x －y －z ＝0.令y ＝1，得z ＝－1，x ＝0，即n ＝(0,1，－1)． 显然P A →＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·P A →＝0，∴n ⊥P A →，即平面PBC 的法向量与平面EFG 的法向量互相垂直，∴平面EFG ⊥平面PBC ．7．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点，求证：PC ⊥平面BEF ．[解析] 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22， 四边形ABCD 是矩形，∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)． 又E 、F 分别是AD 、PC 的中点， ∴E (0，2，0)，F (1，2，1)．∴PC →＝(2,22，－2)，BF →＝(－1，2，1)，EF →＝(1,0,1)， ∴PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，PC →·EF →＝2＋0－2＝0， ∴PC →⊥BF →，PC →⊥EF →，∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF ． 又BF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF ．一、选择题8．已知A (3,0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1,4，－1)，则 AB →·AC →＝－3×(－1)－2×4＋5＝0． ∴AB →⊥AC →，故△ABC 为直角三角形． 又|AB →|≠|AC →|故选C ． 二、填空题9．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为__________________．[答案] (－12，12，1)[解析] 设M (x ，y ，z )，又AB →＝(－1,1,0)，AM →＝(x ，y ，z －1)，CM →＝(x －1，y －2，z ＋3)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＋y －2＝0，x ＝－y ，z －1＝0.∴x ＝－12，y ＝12，z ＝1，∴点M 的坐标为(－12，12，1)．三、解答题10．如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1． (1)求证：BC 1⊥AB 1； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D ．[证明] 如图，以C 1点为原点，C 1A 1、C 1B 1、C 1C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)∵BC 1→＝(0，－2，－2)，AB 1→＝(－2,2，－2)， ∴BC 1→·AB 1→＝0－4＋4＝0， ∴BC 1→⊥AB 1→，∴BC 1⊥AB 1．(2)取A 1C 的中点E ，∵E (1,0,1)，∴ED →＝(0,1,1)，又BC 1→＝(0，－2，－2)，∴ED →＝－12BC 1→，且ED 和BC 1不共线，则ED ∥BC 1．又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ，故BC 1∥平面CA 1D ．[点评] 第(2)问可求出CD →＝(1,1,0)，CA 1→＝(2,0，－2)，BC 1→＝(0，－2，－2)， ∴BC 1→＝－2CD →＋CA 1→， ∴BC 1→与CD →、CA 1→共面，∵BC 1⊄平面CA 1D ，∴BC 1∥平面CA 1D ．还可以先求出平面CA 1D 的法向量n ，证明BC 1→·n ＝0．11．如图， 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD ＝G ．求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1．[证明] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由题意知：D (0,0,0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，B 1E →＝(0，－2，－4)，EF →＝(－2，2，0)． 设平面B 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则n ·B 1E →＝－2y －4z ＝0，n ·EF →＝－2x ＋2y ＝0． 解得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1得n ＝(1,1，－24)， 又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC →＝(－22，22，0)， 而n ·AC →＝1×(－22)＋1×22＋(－24)×0＝0，即n ⊥AC →．∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1．12．在棱长AB ＝AD ＝2，AA 1＝3的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是平面BCC 1B 1上的动点，点F 是CD 的中点．试确定点E 的位置，使D 1E ⊥平面AB 1F ．[解析] 建立空间直角坐标系如图，则A (0,0,0)，F (1,2,0)，B 1(2,0,3)，D 1(0,2,3)，设E (2，y ，z )，则D 1E →＝(2，y －2，z －3)，AF →＝(1,2,0)，AB 1→＝(2,0,3)，∵D 1E ⊥平面AB 1F ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧D 1E →·AF →＝0，D 1E →·AB 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2(y －2)＝0，4＋3(z －3)＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝53.∴E (2,1，53)即为所求．13．(2014·银川市一中二模)已知正方形ABCD 的边长为1，AC ∩BD ＝O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使AC ＝1，得到三棱锥A －BCD ，如图所示．(1)若点M 是棱AB 的中点，求证：OM ∥平面ACD ； (2)求证：AO ⊥平面BCD ； (3)求二面角A －BC －D 的余弦值．[解析] 在△AOC 中，∵AC ＝1，AO ＝CO ＝22， ∴AC 2＝AO 2＋CO 2，∴AO ⊥CO ．又∵AC 、BD 是正方形ABCD 的对角线，∴AO ⊥BD, CO ⊥BD ，即AO 、CO 、BD 两两垂直，以O 为原点，OC 、OD 、OA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则C (22，0,0)，D (0，22，0)，A (0,0，22)，B (0，－22，0)． (1)∵M 为AB 的中点，∴M (0，－24，24)，OM →＝(0，－24，24)，DA →＝(0，－22，22)， ∴OM →＝12DA →，∴OM ∥DA ，∵OM ⊄平面ACD ，∴OM ∥平面ACD ．(2)由于AO ⊥BD ，AO ⊥OC ，OC ∩BD ＝0，∴AO ⊥平面BCD ．(3)易知OA →＝(0,0，22)是平面BCD 的一个法向量．AC →＝(22，0，－22)，BC →＝(22，22，0)，设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·BC →＝0，n ·AC →＝0． 即⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(22，22，0)＝0，(x ，y ，z )·(22，0，－22)＝0.所以y ＝－x 且z ＝x ，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，得n ＝(1，－1,1)．从而cos 〈n ，OA →〉＝n ·OA →|n |·|OA →|＝33，易知二面角A －BC －D 为锐二面角，∴二面角A －3 BC－D的余弦值为3．。