第四章 气体内的输运过程_电子教案白

从以上三式可得出的理论结果与实验结果有偏差，是因为在上述 简单理论中，我们把分子看作刚球，认为它们的碰撞截面σ不随 T 改变，而这是与实际不尽相符的。考虑到碰撞截面σ随 T 的升 高而略有减小，就可定性的理解实验结果。 2、η、κ和 D 之间的关系
κ = cV η
或
κ =1 ηcV
Dρ D 1 =1 = 或 η η ρ
2 2 解 ： Z = 2πd v n = 2πd
8k 1 1 8kT p = 2π d 2 p ⋅ πm k T πm kT
故 C 对。 若在 T1 、T2 例： 某理想气体在 T1 、T2 时的速率分布曲线如图所示， 时的压强相等，则平均自由程关系为下面答案的哪一个？ A λ1 > λ2 ； B λ1 = λ2 ； C λ1 < λ2 ； D 无法比较
第四章 气体内的输运过程
第一节 气体分子的平均自由程
一、 分子的平均自由程和碰撞频率
非平衡→平衡
分子平均速率高，但扩散慢。
1、定义：平均碰撞频率 Z ：一分子单位时间与其他分子碰撞平 均次数。平均自由程 λ ：分子连续两次碰撞之间所走平均路程。
2、 Z 、 λ 推导
分子直径
d ，以 v 运动，其他分子不动， n 为数密度，有 Z = nπd 2v
1 1 (t + r + 2s )kTA − (t + r + 2s)kTB 2 2 dt 时间内通过 dS 面输运的总能量：
1 1 dQ = nvdSdt (t + r + 2s)k(TA − TB ) 6 2
TA − TB = −2λ( dT ) dz z0
dT 1 1 dQ = − nv λ (t + r + 2 s )k( )z0 dSdt 3 2 dz
与
dQ dT 1 1 = −κ ⋅ dS 对比 κ = nv λ (t + r + 2 s )k dt dz 3 2
dU 1 = (t + r + 2s)Nk dT 2
N 为分子数
CV =
CV 1 Nk c = = ( t + r + 2 s ) 比定容热容 V M 2 M M—气体的质量
导热系数： κ = 3、讨论
第二节 输运过程的宏观规律
一、黏性现象
1、规律（牛顿黏性定律） 。 流体内各部分流速不同，发生内摩擦现象。相邻流体层之间——
F = η( 内摩擦力（黏性力） ：
du ) z0 dS dz
−2
du dK = − η ( ) z0 dSdt η ：黏性系数，单位： N ⋅ s ⋅ m 冲量： dz
du 动量沿流速减小的方向输运， dz > 0 ， dK < 0 ，黏性系数总
解： λ1 =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
λ2 = kT
kT = 2π d 2 p
1.38 × 10 23 × 273 = 8.71 × 10 −8 −10 2 5 2π (3.10 × 10 ) × 1.013 × 10
m
2π d 2 p 2
=
1.38 × 10 23 × 273 2π (3.10 × 10 −10 ) 2 × 1.333 × 10 −3
− dN =
1 Ndx λ
−
dN dx = N λ
ln N = −
x +C λ
x = 0 时， N = N 0 , ln N 0 = C 得
N = N 0e −x / λ
N 表示 N0 个分子中自由程大于 x 分子数。分子按自由程分布规律
− dN =
1 N 0 e − x / λ dx dN 表示自由程介于 x ~ x + dx 分子数。 λ
是正的，所以加一负号。 2、 黏性现象的微观解释 黏性现象在微观上是由于气体内定向动 1 量输运的结果。由 A 部通过 dS 移到 B 部的分子数 dN = nvdSdt 6 交换一对分子沿 Z 轴正向输送的动量 dk = muZ0 − λ − muZ 0 + λ
dk = − m ⋅ 2λ(
du )z dz 0
解： λ =
1 = 2πd 2 n
kT ∵ vp = 2πd 2 p
2 kT m
而
v p2 > v p1
m 相同∴
T2 > T1 又 p1、p2 相等∴ λ2 > λ1 。故选 C
例：一定量的理想气体， V = const ，当 P2 = 4P 1 时，下面 那一个 答案正确？ A Z 2 = Z1 ， λ2 = λ1 ；
Q
8 RT v= πM
λ=
kT 2 πd 2 p
T 3/ 2 ∴ D∝ pM 1/ 2
在相同温度下，对两种不同质量的气体分子，分子质量小的气体 扩散得快，而分子质量大的气体扩散得慢，在化学上常根据这一 原理来分离同位素。例如，在分离铀的同位素 238U 和 235U 时，先 将铀变成氟化铀（UF6） ，UF6 在室温下是气体，将它进行多次扩 散，最后便得到分离了的 238U 和 235U。
习 题 解 答
1、氢气在 1.0atm，15oC 时的平均自由程为 1.18x10-7m，求氢分 子的有效直径。 解：由 λ= kT 2π d 2 p 得: d=
kT 2π pλ
代入数据
得:d=2.7x10-10 (m) 2、氮分子的有效直径为 3.8×10-10m,求其在标准状态下的平均自
由程和连续两次碰撞间的平均时间. 解:由 λ =
1 ρ v λ cV 3
dT ≠ 0 迁移量：热量 Q dz
cv 为
产生原因：
宏观规律： 定容比热。
dQ dT 1 = −κ ⋅ dS 热导率公式：κ = ρ v λ cv 3 dt dz
三、扩散现象
1、规律（斐克定律） 。 从密度大的地方移向密度小的质量： dM = − D( D——气体的扩散系数，单位： m
kT 2π d p
2
代入数据得:
λ =5.8×10
-8
(m)
λ 5.8 × 10 −8 t = = -10 v RT 代入数据得: t =1.3×10 (s) 1.59 M
4、某种气体分子在 25℃时的平均自由程为 2.63×10-7m。 (1)已知分子的有效直径为 2.6×10-10m，求气体的压强。 (2)求分子在 1.0m 的路程上与其它分子的碰撞次数。 解： （1）由
T2 = P2 4 P = 1 = 4T1 → Z 2 kn kn
= 2 Z1 ∵ λ =
例：试估计下列两种情况下空气分子的平均自由程 :（1）273 K、
−3 1.013 × 10 5 Pa 时； （2 ）273 K 、1.333 × 10 Pa 时。 （空气分子 −10 有效直径 ： d = 3.10 × 10 m ）
Z = 2πd 2v n = 2π (2 ×10−10 )2 ×1.70 ×103 × 2.69 ×1025
v 1.70 ×103 λ= = = 2.125 ×10−7(m) 9 Z 8.00 × 10
例：一定量的理想气体贮于固定体积的容器中，初态的温度 T0 ，
若温度升高到 4T0 平均速率 v 0 ， 平均自由程 λ0 ， 平均碰撞频率 z 0 ， 时，求 v 、 z 、 λ 解：Q v =
κ 根据实验结果，ηc V
Dρ 介于 1.3 到 2.5 之间， η 介于 1.3 到 1.5
之间，具体数值都因为气体的不同而异。这个事实说明系数实际 上都并不等于 1/3，而且都与气体的性质有关。在上述简单理论 中，除了用到刚球模型外，还作了许多简化假设，例如：未考虑 分子按速率的分布，认为所有的分子都以相同的速率 v 运动，都 具有相同的自由程λ；认为分子受到一次碰撞就被完全“同化” ； 等等。
= 6.62 m
例：求氢气在标准状态下，分子的碰撞频率和平均自由程。 氢气 d = 2 × 10 解：
−10
米
v=
8kT 8 RT RT = = 1.60 = 1.70 × 103 m / s πm πM M ∴n = p = 2.69 × 1025 （个／m3 ） kT
Q p = nkT
= 8.00 ×109 s −1
1 4
B Z 2 = 2 Z1 ， λ2 = λ1 ；
C Z 2 = 2Z1 ， λ2 = λ1 ；
1 4
D Z 2 = 4Z1 ， λ2 = λ1 ；
8kT 由 题 意 ， n = const ， πm
1 = const ∴ λ2 = λ1 B 对。 2πd 2 n
解 ： Z = 2πd 2v n = 2πd 2n
2
dρ )z dSdt dz 0
⋅ s −1
(
dρ ) z0 表示 z 0 = 0 处的密度梯度 dz
是分子在热运动中输运质量的过程。
这个定律对任意两种不同气体的相互扩散过程同样适用。 2、扩散现象的微观解释 dt 内通过 dS 面沿 Z 轴正方向输运的气体的质量为
1 1 1 dM = m( nAvdSdt − nB vdSdt ) = vdSdt( ρ A − ρ B ) 6 6 6 1 dρ 1 dρ = − vdSdt ⋅ 2λ( )z = − v λ( )z dSdt 6 dz 0 3 dz 0
8RT ∝ T M
∴ v = 2v0
∴ z = 2 z0
Q z = 2πd 2 vn ∝ v
λ = λ0
二、 分子按自由程的分布 自由程在 x ~ x + dx 内分子有多少。 在单位长度上，每个分子平均碰撞 1/λ次，在 dx 上，碰撞 dx/ λ次，N 个分子在 dx 上平均碰撞 Ndx/λ次，分子数减少量：
1 du 1 du dk = − nmv λ ( ) dSdt = − ρ v λ ( )z0 dSdt z0 总动量 3 dz 3 dz