线性代数第二次讨论课内容

线性代数讨论课考纲解析知识点13.5熟练掌握矩阵秩的求法：阶梯型法（P74）；以及矩阵秩和向量组秩之间的关系：学会用矩阵秩的求法来确定向量组秩（P76，P77），并熟练找出极大线性无关组（P30）；能够利用最大线性无关组线性表示其他向量（P30）。

讨论练习题：（1、）已知向量组：1234(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1,2,2,0).t t tt αααα⎧=-⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩（2、）向量组[]10,0,0α=，[]21,0,0α=，[]31,2,0α=，[]45,2,0α=的一个极大线性无关组是（ ）。

A.23,αα B. 14,αα C. 13,αα D. 234,,ααα（3）求向量组123411240156,,,229141132αααα--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的秩 . （4）求矩阵的秩：101000100001100001100111A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；11240156,229141132B --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦考纲解析知识点23.2了解矩阵的逆和逆存在的条件（第三章第2节，P67，P68）；熟练掌握矩阵逆的求法：伴随矩阵法（P67）和初等变换法（P68，P69）；了解初等矩阵的定义，以及初等矩阵与初等变换之间的关系（P69，P70）； 讨论练习题：（1） 设矩阵A =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥1213，且有3542A AB ⎡⎤'+=⎢⎥⎣⎦，求（1）1A - （2）矩阵B ．（2） 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=343122321A 的逆矩阵。

（3）求矩阵A=012114210⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵。

（3） 用初等变换法求解方程组123123122123433x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（4） 用初等变换法求解方程组①AX=B;②XA=B; ③,AX B X +=01011111,20,10153A B X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦其中求 考纲解析知识点32.2熟练掌握证明一个向量组线性相关或线性无关的方法和逻辑格式（P24，P25），熟练掌握向量由向量组的线性表示（例如：能够证明类似于P37-P38的第1-8题）；了解向量组等价的概念，知道如何证明向量组之间的等价（P27，P28）； 讨论练习题： (1)设n n ααβααβαβ++=+== 121211,,, 、n αα,,1 线性无关, 证明:n ββ,,1 线性无关.(2) 已知向量组123,,ααα线性无关，1123,βααα=++2122,βαα=+312335βααα=-+-，证明向量组123,,βββ线性相关。

《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。

2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。

3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。

二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。

2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。

2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。

3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。

五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。

2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。

3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。

4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。

同济大学线性代数教案第二章方阵的行列式线性代数教学教案第二章方阵的行列式授课序号01121212()12(1)n n np p p p p np p p p a a a τ-∑L L L称为由2n 个元素(,1,2,,)ij a i j n =L 构成的n 阶行列式，记为111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =L LM M O M L，即：1212121112121222()1212(1)n n nn n p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑L L L LL M M O M L.其中12np p p ∑L 表示对所有的n 阶全排列12n p p p L 求和,数(),1,2,,ij a i j n =L 称为行列式的(),i j 元素，其中第一个下标i 称为元素ij a 的行标，第二个下标j 称为元素ij a 的列标. 方阵A 的行列式: 记矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L LM M O M L A ，则行列式通常也称为方阵A 的行列式，记为A . 有时为了表明行列式是由元素ij a 构成的，也简记为det()ij a =A 、ij n na ⨯或ij na .二阶行列式:1212121112()12112212212122(1)p p p p p p a a a a a a a a a a τ=-=-∑.三阶行列式: 123123123111213()212223123313233(1)p p p p p p p p p a a a A a a a a a a a a a τ==-∑112233132132122331132231122133112332=++---a a a a a a a a a a a a a a a a a a .二、三阶行列式也可借助于对角线法则来记忆：11122122a a a a授课序号02授课序号03授课序号04精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。

教学·信息 课程教育研究 Course Education Ressearch 2016年11月 下旬刊140· ·线性代数实际教学问题讨论朱晓星 袁 泉（南京航空航天大学理学院数学系 210016）【摘要】本文分析了线性代数课程的内容特点，教学中所面临的实际环境，以及目前较为普遍多样的授课模式，探讨在课程内容衔接、主线确立、学习规律、数学之美、慕课模式借鉴等方面进行优化教学。

【关键词】线性代数 线性方程组 矩阵 秩【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）11-0140-02一、研究背景线性代数作为诸多理工科课程的基础课程，尽管本身学时不长，但对于后续课程的学习却起着关键性的作用。

在教学过程中既要使学生获得必要的基础知识, 同时又具有必要的基本能力。

能力的形成与思想方法的掌握是密不可分的。

代数学的基本思想方法有技巧性的数学方法、逻辑性的数学方法、宏观性的数学方法等[1]。

关于如何合理安排教授内容章节来教授线性代数，许多高校组织了学者进行探讨教改，并且整理出版了自己的教材，其中以同济大学的教改成果尤为突出，其出版的《线性代数》第三版还获得了2000年中国高校科学技术二等奖。

我校也依据本校学生特点，重新编写了《线性代数》[2]教程，在此基础上，进行了一系列教改探讨及教学建设，该课程也被评选成为江苏省精品课程。

二、教授线性代数课程面临环境1.学生初次学习线性代数课程，会觉得该课程概念多而且抽象，实际生活中也难找到佐证。

行列式，方程组、矩阵、二次型等概念框架思路不同，彼此间也难发现其深层次联系，证明繁多，且思路与高等数学证明体系完全不同，初学者极易产生畏惧心理。

2.针对线性代数课程中所遇问题，很多专家学者给出了不同的授课模式，诸如探究式课堂教学、问题解决型课堂教学等模式，然而，对于以上的教学模式，首先对授课人数有了要求，小班教学情况下，才有探究式教学的空间，这对教职工人数和工作量安排提出了较高的要求，在一般工科学校中很难有这样的教学环境；问题解决型更是对学生的基本数学素养有较高的要求，这对于线性代数这样的为大一大二学生而设的基础必修课而言，也有由较大的难度。

《讨论》精品课件汇报人：2023-12-12•引言•基础知识•核心技术目录•案例分析•实践与探索•总结与展望01引言当前社会对高质量讨论的需求学生在校期间对于讨论技能的欠缺教师在教学中对于讨论环节的忽视培养学生掌握良好的讨论技能提高学生批判性思维及分析问题能力帮助学生建立正确的价值观和世界观结合线上与线下教学，创新教学模式课程设计针对性强，紧密结合学生需求注重学生参与，充分调动学生学习积极性02基础知识集合的定义、性质、分类；函数的概念、定义域、值域、单调性、奇偶性等。

集合与函数微积分线性代数极限、导数、积分、级数的概念和计算方法。

矩阵、向量、线性方程组、特征值等概念和计算方法。

030201数学基础牛顿运动定律、重力加速度、动量守恒定律、机械能守恒定律等。

力学静电场、恒定电流、磁场、电磁感应等。

电磁学光的干涉、衍射、偏振等。

光学物理基础原子核外电子排布、原子序数、元素周期表等。

原子结构共价键、离子键、金属键等类型及特点。

分子结构氧化还原反应、酸碱反应、沉淀反应等及其特点。

化学反应化学基础03核心技术实验设计根据研究目的和要求，设计合理的实验方案，包括实验对象、实验方法和实验流程等，确保实验结果的准确性和可靠性。

文献综述掌握相关文献的搜集、整理和分析方法，能够全面、准确地了解和梳理研究领域的发展动态和趋势。

数据分析掌握数据分析的基本方法和技能，能够对实验数据进行系统、全面的分析和解读，挖掘出数据背后的规律和意义。

研究方法数据处理技能掌握各种数据处理软件的使用方法和技巧，能够对实验数据进行处理、整理和分析，提取出有价值的信息。

实验报告撰写能够按照规范的格式和要求撰写实验报告，准确、清晰地表达实验结果和结论。

实验操作规范熟悉各种实验仪器的使用方法和操作流程，保证实验过程的规范性和安全性。

实验技能1 2 3利用各种数据可视化工具和技术，将复杂的数据转化为直观、易懂的图表和图像，帮助人们更好地理解和分析数据。

大二线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科，对于学习数学、物理学、计算机科学等领域都具有重要的作用。

在大二的学习中，线性代数是一门必修课程，本文将对大二线性代数的知识点进行归纳，以帮助读者更好地理解和掌握相关概念和技巧。

一、向量与向量空间1. 向量的定义与性质2. 向量的线性运算（加法和数乘）3. 向量的内积和外积4. 向量的线性相关性与线性无关性5. 极大线性无关组与极大线性无关集6. 向量空间的基与维数二、线性方程组1. 线性方程组的定义与解集2. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组3. 初等变换与线性方程组的等价性4. 线性方程组的解的性质与特解的构造5. 齐次线性方程组的矩阵表示三、矩阵与行列式1. 矩阵的定义与性质2. 矩阵的加法与数乘3. 矩阵乘法与矩阵的转置4. 子矩阵与主子式5. 行列式的定义与性质6. 行列式的计算方法（余子式与代数余子式）7. 克拉默法则与逆矩阵的求解四、线性映射与线性变换1. 线性映射的定义与性质2. 线性映射的矩阵表示与性质3. 线性映射的核与像4. 线性映射的维数公式5. 线性变换的定义与性质6. 线性变换的矩阵表示与性质7. 特征值与特征向量五、特殊矩阵与特殊线性变换1. 对称矩阵与正交矩阵2. 对称线性变换与正交线性变换3. 施密特正交化过程与正交矩阵的求解4. 对角矩阵与相似矩阵5. 幂等矩阵与幂零矩阵总结：大二线性代数涵盖了向量与向量空间、线性方程组、矩阵与行列式、线性映射与线性变换、特殊矩阵与特殊线性变换等多个知识点。

通过对以上知识点的归纳和总结，我相信读者对大二线性代数的概念和技巧有了更清晰的理解。

希望读者能够在学习过程中注重理论的学习与实践的运用，通过练习和应用将理论知识转化为实际解决问题的能力。

线性代数是一门重要的数学学科，对于培养科学思维和解决实际问题都具有重要的作用，希望读者能够在以后的学习和工作中充分发挥线性代数的作用。

第六章二次型二次型的一个重要议题就是化二次型为标准型,即通过变量的代换,将其化简为一个只含平方项的二次型.一个二次型总可与一对实对称方阵联系着,这实际上就是用一个线性变换将此方阵对角化.本章内容即以此议题为中心展开,兼及正定二次型及正定矩阵的一些基本性质.一、教学目标与基本要求：1 二次型与其标准型的矩阵关系定义6.1.1设A ,B 都是n 阶方阵.若存在满秩(可逆)方阵C ,使B AC C =T ,则称B 是A 的合同矩阵,亦称B 与A 合同.类似于矩阵的等价关系及相似关系,合同关系亦具有以下性质:(1)自反性:任意方阵与自身合同；(2)对称性:若B 与A 合同,则A 与B 合同；(3)传递性:若B 与A 合同,D 与B 合同,则D 与A 合同.定理6.1.1设A 为对称阵.若B 与A 合同,则B 亦是对称阵,且)()(A R B R =. 2化二次型为标准型上一节的讨论表明,对于任意二次型x x A f T =,总可求得一个正交阵C ,作变换y x C =,就把f 化为标准型2222211T nn y y y f λλλ+++== Λy y . 这里n λλλ,,, 21是A 的全部特征值,对角阵)diag(21n λλλ,,, =Λ. 该节主要举例化二次型为标准型还须指出,由于实对称阵的特征值是确定的,二次型经正交变换化得的标准型,在不考虑各平方项次序的意义下是唯一的.但是,所用的正交变换却不唯一,这因为在构造正交阵时,选取属于各特征值的特征向量的方式并不唯一,只要它们独立即可.用正交变换化二次型为标准型,具有保持二次型所表示的几何图形的形状不变的优点.但是,也可以用别的多种方法去寻求多种满秩(可逆)的线性变换,把二次型化为标准型.如用初等变换法,拉格朗日(Lagrange )配方法等.3 正定二次型定理6.3.1(惯性定理) 任意一个秩为r 、系数为实数的二次型)(1n x x f ,,均可化为规范型.而且,不论用何种满秩线性变换,所化得的规范型是唯一的.换言之,该二次型的正、负惯性指数是唯一确定的.定义6.3.1设有实系数二次型x x A x x f n T 1)(=,,如果对于任意的θx ≠=T 1][n x x ,, ,都有(1)0T >=x x A f ,则称f 为正定二次型,并称实对称阵A 是正定的(可记为A ＞0)；(2)0T <=x x A f ,则称f 为负定二次型,并称实对称阵A 是负定的(可记为A ＜0). 如果一个二次型既不是正定的也不是负定的,则称它是不定二次型.定理6.3.2对于实系数二次型x x A x x f n T 1)(=,,而言,下述命题等价:(1) f 是正定的.(2) f 的正惯性指数为n .(3)A 的特征值均大于零.(4)存在n 阶可逆实方阵B ,使B B A T =.定理6.3.3 对实对称阵A 而言,下述命题等价:(1) A 是正定的.(2) A 的特征值全大于零.(3)存在可逆实方阵B ,使B B A T =.(4) A 与单位阵E 合同.推论若A 是正定的,则0det >A .定理6.3.4 n 阶对称阵][ij a A =正定的充分必要条件是: A 的各阶主子式都为正,即 0det 1111>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡rr r r a a a a )21(n r ,,, =. 而A 负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,偶数阶主子式为正,即0det )1(1111>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-rr r r r a a a a )21(n r ,,, =. 二、本章各节教学内容及学时分配：第一节二次型与其标准型的矩阵关系 2课时第二节化二次型为标准型 2课时第三节正定二次型2课时三、本章教学内容的重点难点：本章主要学会如何对角化一个矩阵.四、本章教学内容的深化和拓宽：指导学生对角化矩阵解决几何实际问题。