§9.1 直线方程与两条直线的位置关系

第九章 解析几何第1讲 直线方程和两直线的位置关系一、选择题1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )．A ．3x ＋2y －1＝0B ．2x －3y ＋5＝0C ．3x ＋2y ＋7＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析 由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0. 答案 A2．m ＝－1是直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由两直线垂直⇔3m ＋m(2m －1)＝0⇔m ＝0或－1，所以m ＝－1是两直线垂直的充分不必要条件． 答案 A3．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 解析 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 B4．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )．A ．x －2y ＋4＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解析 由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A5．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )．A.722 B.922 C.1122 D.91010解析 由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得：点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.答案 A6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝( )．A ．4B ．6C.345D.365解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.故m ＋n ＝345.答案 C 二、填空题7．若A (－2,3)，B (3，－2)，C (12，m )三点共线，则m 的值为________．解析 由k AB ＝k BC ，即－2－33＋2＝m ＋212－3，得m ＝12.答案 128．直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是________．解析 设直线方程为为x a －y a ＝1或y ＝kx 的形式后，代入点的坐标求得a ＝5和k ＝－32.答案 y ＝－32x 或x 5－y5＝19．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________. 解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 答案 3510．已知1a ＋1b＝1(a ＞0，b ＞0)，点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为________．解析 点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b 5＝15(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当a 2＝2b 2且a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号． 答案35＋2105三、解答题11．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 解 存在．理由如下．设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△ AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.12．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．解设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，∴a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.13．已知直线l过点P(2,3)，且被两条平行直线l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的线段长为d.(1)求d的最小值；(2)当直线l与x轴平行，试求d的值．解(1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P在两条平行直线l1，l2外．过P点作直线l，使l⊥l1，则l⊥l2，设垂足分别为G，H，则|GH|就是所求的d的最小值．由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|GH|＝|8－(－7)|32＋42＝3.(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y＝3，设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1,3)，B(x2,3)，则3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5.14．已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程．解法一因为l1∥l，所以l2∥l，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等．由两平行直线间的距离公式得|3－(－1)|2＝|m－(－1)|2，解得m＝－5或m＝3(舍去)．所以直线l2的方程为x－y－5＝0.法二由题意知l1∥l2，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．在直线l1上取点M(0,3)，设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)，于是有⎩⎪⎨⎪⎧b －3a ×1＝－1，a ＋02－b ＋32－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－1，即M ′(4，－1)．把点M ′(4，－1)代入l 2的方程，得m ＝－5， 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.。

1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率，能根据斜率判定两条直线平行或垂直．2．掌握直线方程的五种形式的特点与适用范围，能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．3．了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．4．理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能进行简单应用；会求两条平行直线间的距离．1．直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．②范围：倾斜角α的范围为0απ≤<． 2．直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角(90)αα≠的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即tan k α＝，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线l 与x 轴平行或重合时, 0α=, tan 00k ==．②过两点的直线的斜率公式：经过两点11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，的直线的斜率公式为2121y y k x x --＝．③每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在． ④直线的倾斜角α、斜率k 之间的大小变化关系：当[0,)2πα∈时，0,k α>越大，斜率越大；当(,)2παπ∈时，0,k α<越大，斜率越大．3直线方程及其位置关系4．两直线的平行关系（1）对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有1212//l l k k ⇔=．（2）对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1212//l l A B ⇔2112210,0A B AC A C -=-≠． 5．两条直线的垂直关系（1）对于两条直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有12121l l k k ⊥⇔=-．（2）对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1211l l A B ⊥⇔220A B +=．6．几个重要的公式（1）线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．（2）两点间的距离公式设两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP =（3）点到直线的距离公式设点000(,)P x y ，直线:0l Ax By C ++=，则点000(,)P x y 到直线:l Ax By C ++ 0=的距离d =．（4）两平行线间的距离公式设两条平行直线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=，则这两条平行线之间的距离d =．7．二元一次方程组与直线的关系（1）两条直线相交：对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，若12210A B A B -≠，则方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标．（2）两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，联立后，可得到方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有无数组解，则12,l l 重合． 8．几个重要的对称的求法（1）若点00(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称的点为Q ，可设对称点的坐标是0(,)Q x y ''，则线段PQ 的中点在直线l 上且直线PQ l ⊥，由此可得一个二元一次方程组0000000022()1x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩，解这个方程组得：00,x y ''的值，从而求得对称点的坐标．（2）若直线:0l Ax By C ++=关于点00(,)P x y 对称，由于对称直线必与直线:l Ax +0By C +=平行，故可设对称直线为0:0l Ax By C '++=．因为直线,l l '间的距离是点P 到直线:0l Ax By C ++=的距离的二倍，2=⨯，解这个方程可得0C 的值（注意这里求出的0C 有两个），再结合图形可求得对称直线l '的方程．（3）若直线:0l Ax By C ++=关于直线0000:0l A x B y C ++=对称，则在直线:l Ax0By C ++=上取两点，求出这两点关于直线0l 对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线l 关于直线0l 对称的直线的方程．考点一：直线的倾斜角与斜率 例1．（1）直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的范围是 ． （2）经过P (0，﹣1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，﹣2)，B (2，1)的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角α的范围是 ．【变式探究】（1）直线x sin α﹣y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是 ．（2）已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (﹣1，1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是 ．（3）直线2cos 30([,])63x y ππα--=α∈的倾斜角的变化范围是 ．考点二：直线方程的求法例2．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； （2）直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； （3）直线过点(5，10)，且到原点的距离为5．例3．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，2），B （﹣2，0），C （1，0），分别以△ABC 的边AB 、AC 向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 ． （2）已知直线l 过点P （1，2）且与圆C ：222xy +=相交于A 、B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为 ．（3）已知点A （﹣1，0），B （cos α，sin α），且AB AB 的斜截式方程为 ．（4）已知直线l 过点（3，1），且倾斜角为直线210x y --=倾斜角的2倍，则直线l 的斜截式方程为 ．【变式探究】求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A (﹣1，﹣3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．考点三：直线方程的综合应用 例4．（1）已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．（2）直线20x ay a +-=（a 为正数），当此直线在x 、y 轴上的截距和最小时，正数a的值为 ．（3）已知直线l 1：224ax y a -=-，l 2：22224x a y a +=+，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a ＝ ．【变式探究】已知直线l ：kx ﹣y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．（1）证明：直线l 过定点；（2）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；（3）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S （O为坐标原点），求S 的最小值并求此时直线l 的方程．考点四：两直线的平行与垂直例5．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a ﹣1)y ＋a 2﹣1＝0．（1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）当l 1⊥l 2时，求a 的值．【变式探究】（1）直线l 1：2320x y +-=，l 2：(21)10mx m y +-+=，若l 1与l 2相交，则实数m 的取值范围是 ．（2）已知过点A (﹣2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y ﹣1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3，若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为 ．例6．（1）已知直线l 经过点P （2，1），且与直线2310x y ++=垂直，则直线l 的方程是 ．（2）经过点P （﹣2，3），且与直线250x y +-=平行的直线方程为 ．【变式探究】已知a ，b 均为正数，且直线ax ＋by ﹣6＝0与直线2x ＋(b ﹣3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值是 ．。

两条直线的位置关系一、两直线平行、相交与重合的条件1．已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2i ＋B 2i ≠0，i ＝1,2)． (1)l 1与l 2相交的条件：A 1B 2-A 2B 1≠0或．(A 2B 2≠0)(2)l 1与l 2平行的条件：A 1B 2-A 2B 1=0而B 1C 2-B 2C 1≠0或A 2C 1-A 1C 2≠0; 或(A 2B 2C 2≠0(3)l 1与l 2重合的条件：A 1= A 2, B 1= B 2, C 1= C 2 ( ) 或．(A 2B 2C 2≠0)2.已知两直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)l 1∥l 2的条件：k 1＝k 2且b 1≠b 2.(2)l 1与l 2重合的条件：k 1＝k 2且b 1＝b 2. (3)l 1与l 2相交的条件：k 1≠k . 二、两直线垂直的条件1．两直线垂直的条件 (1)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2i ＋B 2i ≠0)， l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(2)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 类型一 两条直线平行例1：判断下列各组中两条直线的位置关系．(1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＋1＝0；(2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2； (4)l 1：x ＝5，l 2：x ＝6.解析：有两条直线的位置关系判定公式判定直线的关系.答案：(1)A 1＝3，B 1＝－1，C 1＝4；A 2＝2，B 2＝－6，C 2＝1.∵A 1A 2≠B 1B 2，∴l 1与l 2相交．(2)A 1＝2，B 1＝－6，C 1＝4；把l 2化为x －3y ＋2＝0，∴A 2＝1，B 2＝－3，C 2＝2. ∵A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，∴l 1与l 2重合． (3)A 1＝2－1，B 1＝1，C 1＝－3；A 2＝1，B 2＝2＋1，C 2＝－2.∵A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，∴l 1与l 2平行．(4)l 1与l 2平行．练习1：判定下列每组中所给两直线l 1与l 2的位置关系．(1)l 1：x ＋2y －3＝0，l 2：2x ＋4y ＋1＝0.(2)l 1：y ＝－3x ＋1，l 2：y ＝13x ＋2.(3)l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x －6y ＋2＝0. 答案：(1)平行 (2)相交 (3)重合 练习2：下列命题：①若直线1l 与2l 的斜率相等，则12//l l ；②若直线12//l l ，则两直线的斜率相等；③若直线12,l l 的斜率均不存在，则12//l l ；④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；⑤如果直线12//l l ，且1l 的斜率不存在，那么2l 的斜率也不存在．其中正确命题的序号为 ___ ．答案：④⑤例2、已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2 (1)相交；(2)平行；(3)重合．解析：充分利用条件，但要考虑直线垂直于x 轴或平行于x 轴的情况． 答案： 当m ＝0时，则l 1：x ＋6＝0，l 2：2x －3y ＝0，∴l 1与l 2相交；当m ＝2时，则l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：3y ＋4＝0， ∴l 1与l 2相交；当m ≠0，m ≠2时，A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m.当A 1A 2＝B 1B 2时，1m －2＝m3，解得m ＝－1，或m ＝3.当A 1A 2＝C 1C 2时 ，1m －2＝62m，解得m ＝3. 综上所述，(1)当m ≠－1，且m ≠3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2≠B 1B 2方程组有惟一解，l 1与l 2相交； (2)当m ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2＝B 1B 1，A 1A 2≠C 1C 2方程组无解，l 1与l 2平行； (3)当m ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2方程组有无数组解，l 1与l 2重合． 练习1：(2014·辽宁大连市第三中学高一期末测试)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则实数a 的取值是( )A ．－1或2B ．0或1C ．－1D ．2答案：∵l 1∥l 2，∴a (a －1)－2＝0， ∴a ＝－1或2.当a ＝2时，l 1与l 2重合，∴a ＝－1.练习2：已知两直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋(a ＋4)y ＋2＝0，若l 1∥l 2，求a 的值． 答案：当a ＝－4时，l 1：4x －3y ＋3＝0与l 2：4x ＋2＝0不平行，∴a ≠－4.∵l 1∥l 2，∴－a 3＝－4a ＋4，∴a 2＋4a －12＝0，∴a ＝2或a ＝－6.当a ＝－6时，l 1：－6x ＋3y －3＝0，即2x －y ＋1＝0，l 24x －2y ＋2＝0，即2x －y ＋1＝0， 此时l 1与l 2重合，∴a ≠－6.当a ＝2时，l 1：2x ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y ＋2＝0，即2x ＋3y ＋1＝0，∴l 1∥l 2. 综上可知，a ＝2.例3：试求三条直线ax ＋y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0构成三角形的条件． 解析：三条直线构成三角形，则任两条直线都相交，且不能相交于一点． 答案：解法一：任两条直线都相交，则a 1≠1a ，a 1≠11，故a ≠±1. 且三条直线不共点，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0x ＋y ＋a ＝0的交点(－1－a,1)不在ax ＋y ＋1＝0上，即a (－1－a )＋1＋1≠0，a 2＋a －2≠0，(a ＋2)(a －1)≠0，∴a ≠－2且a ≠1，综合上述结果，此三条直线构成三角形的条件是a ≠±1，a ≠－2.解法二：∵三条直线能构成三角形，∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点，若l 1、l 2、l 3交于一点，则l 1：x ＋y ＋a ＝0与l 2：x ＋ay ＋1＝0的交点P (－a －1,1)在l 3：ax ＋y ＋1＝0上， ∴a ·(－a －1)＋1＋1＝0，∴a ＝1或a ＝－2.若l 1∥l 2，则有1a ＝1，a ＝1.若l 1∥l 3，则有1a ＝1，a ＝1. 若l 2∥l 3，则有1a＝a ，a ＝±1.∴l 1、l 2、l 3构成三角形时，a ≠±1，a ≠－2.练习1：三条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：x －y ＝0，l 3：x ＋ay －3＝0能构成三角形，求实数a 的取值范围．答案：∵kl 1＝－1，kl 2＝1，∴当a ＝±1时，l 3与l 1、l 2中一条平行，此时三条直线不能构成三角形．又l 1与l 2交点为(1,1)，若点(1,1)在l 3上，则a ＝2，综上可知：a ≠2，且a ≠±1时，三条线可构成三角形．练习2：直线l 经过2320x y -+=和3420x y --=的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．答案：由23203420x y x y -+=⎧⎨--=⎩ 得410x y =⎧⎨=⎩∴交点坐标是()14,10∵直线l 与两坐标轴围成等腰直角三角形 ∴其斜率为1± ∴所求直线的方程为：()1014y x -=±- 即40x y --=或240x y +-=类型二 两条直线垂直例4：当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解析：在利用k 1·k 2＝－1判定垂直关系时，一定要注意直线的斜率是否有可能不存在这一情况．答案：解法一：①当1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直；②当2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直；③若1－a ≠0且2a ＋3≠0，则直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，∴a ＝－1. 综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.解法二：∵直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1. 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.练习1：判断下列各组中两条直线l 1与l 2是否垂直． (1)l 1：2x －y ＝0，l 2：x －2y ＝0；(2)l 1：2x －4y －7＝0，l 2：2x ＋y －5＝0； (3)l 1：2x －7＝0，l 2：6y －5＝0. 答案：(1)不垂直．∵k 1＝2，k 2＝12，∴k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直． (2)垂直．k 1＝12，k 2＝－2，∴k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1：x ＝72，l 2：y ＝56，故l 1⊥l 2.练习2：如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，则l 2的斜率为( )A ．－33B.33C ．－ 3D. 3 答案：C例5：若直线(a ＋2)x ＋(1－a )y ＝a 2(a >0)与直线(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．2解析：由题意得，(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＝1， 又∵a >0，∴a ＝1. 答案：A练习1：若直线l 1：(2a ＋5)x ＋(a －2)y ＋4＝0与直线l 2：(2－a )x ＋(a ＋3)y －1＝0互相垂直，则( )A ．a ＝2B ．a ＝－2C ．a ＝2或a ＝－2D ．a ＝2,0，－2 答案：C练习2：已知直线2ax ＋y －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0垂直，则实数a 的值等于( )A.12B.32C ．0或12D ．0或32答案：C1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案：A 2．经过两条直线2x ＋y －4＝0和x －y ＋1＝0的交点，且与直线2x ＋3y －1＝0平行的直线方程是( )A ．2x ＋3y －7＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －8＝0D ．2x －3y ＋2＝0 答案：C3．直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 答案：C4．直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0垂直，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 答案：B5．过点P (－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0 答案：B6. 以A (－2,1)、B (4,3)为端点的线段的垂直平分线的方程是( )A ．3x －y ＋5＝0B ．3x －y －5＝0C ．3x ＋y －5＝0D ．3x ＋y ＋5＝0 答案：C7. l 1过点A (m,1)、B (－3,4)，l 2过点C (0,2)、D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 答案：08.求过直线x －y －2＝0和4x －2y －5＝0的交点且与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直的直线方程．答案：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝04x －2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝－32.∴过点(12，－32)且与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直的直线方程为y ＋32＝32(x －12)，即6x －4y －9＝0._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－16，12B.⎝⎛⎭⎫－12，12C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，－16∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案：A2．对于直线ax ＋y －a ＝0(a ≠0)，以下说法正确的是( )A ．恒过定点，且斜率与纵截距相等B ．恒过定点，且横截距恒为定值C ．恒过定点，且与x 轴平行D ．恒过定点，且与x 轴垂直 答案：B3．和直线3x ＋4y －7＝0垂直，并且在x 轴上的截距是－2的直线方程是________________． 答案：4x －3y ＋8＝0 4．下列命题：①若两条直线平行，则其斜率必相等；②若两条直线垂直，则其斜率的乘积必是1-；③过点()1,1-且斜率为2的直线方程是121y x -=+；④同垂直于x 轴的两条直线都和y 轴平行或重合．其中真命题的由 ．答案：④5．已知三角形三顶点A (4,0)、B (8,10)、C (0,6)，求：(1)AC 边上的高所在的直线方程； (2)过A 点且平行于BC 的直线方程．答案：(1)k AC ＝6－00－4＝－32，∴AC 边上的高所在的直线的斜率k ＝23，其方程为y －10＝23(x －8)，即2x －3y ＋14＝0.(2)k BC ＝6－100－8＝12，∴过A 点且平行于BC 的直线方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.能力提升6．设P 1(x 1，y 1)是直线l ：f (x ，y )＝0上一点，P 2(x 2，y 2)是不在直线l 上的点，则方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0所表示的直线与l 的关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交D ．位置关系不确定 答案：A7. 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|y －3x －1＝2，x 、y ∈R ，B ＝{(x ，y )|4x ＋ay －16＝0，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则a 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－2D ．－4或2答案：C8. 已知直线3ax －y ＝1与直线⎝⎛⎭⎫a －23x ＋y ＋1＝0互相垂直，则a 的值是( ) A ．－1或13B ．1或13C ．－13或－1D ．－13或1答案：D 由(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0，得m (2x －y ＋5)＋(x ＋2y ＋10)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5＝0x ＋2y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3.故无论m 取何值，直线(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0都过定点(－4，－3)．9. 无论m 取何值，直线(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0都过定点________．答案：(－4，－3)10. 已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋C ＝0垂直相交于点(1，m )，则a ＝________，C ＝________，m ＝________.答案：∵直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋C ＝0垂直，∴－a 2·25＝－1，∴a ＝5.又∵点(1，m )在直线5x ＋2y －1＝0上，∴m ＝－2.又∵点(1，－2)在直线2x －5y ＋C ＝0上， ∴C ＝－12.11. 平行四边形的两邻边的方程是x ＋y ＋1＝0和3x －y ＋4＝0，对角线的交点是O ′(3,3)，求另外两边的方程．答案：建立如图所示的直角坐标系，根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝03x －y ＋4＝0，得顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，14.因为O ′是对角线AC 的中点，且O ′为(3,3)，所以顶点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫294，234.由x ＋y ＋1＝0知，k AB ＝－1，所以k CD ＝－1，由点斜式得y －234＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －294，即x ＋y －13＝0.因为k AD ＝3，所以k BC ＝3，由点斜式得y －234＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －294，即3x －y －16＝0，∴另外两边的方程分别为x ＋y －13＝0,3x －y －16＝0.12.已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．答案：(1)设点C 的坐标为(m ，n )，∵k BH ＝12，∴k AC ＝－2，∴n －1m －5＝－2. 又点C (m ，n )在直线2x －y －5＝0上， ∴2m －n －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2m －n －5＝0n －1m －5＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝3.∴点C 的坐标为(4,3)．(2)设点B 的坐标为(a ，b )，则a －2b －5＝0，AB 的中点M 的坐标为(a ＋52，1＋b2)，∴2×a ＋52－1＋b2－5＝0，即2a －b －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a －2b －5＝02a －b －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－3.∴点B 的坐标为(－1，－3)， ∴直线BC 的方程为y －3－3－3＝x －4－1－4，即6x －5y －9＝0.。

两条直线的位置关系讲义一、知识梳理1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.(2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 注意：1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )．(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )．2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.4．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.5．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.( )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上．( ) 题组二：教材改编2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋13．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.题组三：易错自纠4．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－35．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______．6．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________.三、典型例题题型一：两条直线的位置关系典例已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．思维升华：(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．题型二：两直线的交点与距离问题1．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是_____．2．若直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为___________．思维升华：(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．题型三：对称问题命题点1：点关于点中心对称典例过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．命题点2：点关于直线对称典例如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．3 3 B．6C．210 D．25命题点3：直线关于直线的对称问题典例已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．跟踪训练：已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线．注意：用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例1求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．二、垂直直线系由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系．可以考虑用直线系方程求解．典例2求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．三、过直线交点的直线系典例3经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为______．四、反馈练习1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定2．“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝04．一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B ．2 C ．3 D ．45．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423 B ．42 C.823D ．22 6．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点 ( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)7．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.9．已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a ＝________，此时点P 的坐标为________．10．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________．11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12； ③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．13．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为()A．(－2,4) B．(－2，－4)C．(2,4) D．(2，－4)14．已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，则12a＋2c的最小值为________．15.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．16．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是______________．。