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离散室随机变量及其分布列GKMB咼考目标•考纲解读• 1・理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.• 2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.•考向预测• 1.在实际问题中，考查分布列的概念,并进而分析均值、方差是高考中对本节考查的重点.• 2.在选择、填空中可以考查分布列的特1 no I I e I―r / k 丄丄n 丄 J 丄□:rTrrKQZZYX课前自主预习•知识梳理• 1・离散型随机变量的分布列• (1)如果随机试验的每一个可能的结果都对应于一个数，那1尝这种对应叫做随机变量的取值制严軽列岀，这样的随机变量叫做__________ ・• (2)设离散型随机变量X 可能取的值为召， x 2,…x 门，X 取每一个值x z (/=1,2,…，n)>0•为随机变量x 的概率分布，具有性质：a•离散型随机变量在某一范围内取值的概率 等于它取这个范围内各个值的Pi , =1,2,…,+Pr^+p n -^n ；②P1+P2 —2・超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取〃件，其中含有X件次品数，则事件(X=k)发生的概率为：P(X=k)伙=0丄2,…，m),其中m = min{M, «},且〃WN, MWN, n、M、NUN+称分布列• 3.两点分布为超几何分布列.•如果随机变量X的分布列为1_p•其中0<p<1, q=_,则称离散型随机变量X 服从参数为p的二点分布.•基础自测• 1.袋中有大小相同的红球6个、白球5个,从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能值为（•A. 1,2,…,6•B・1,2,…，7•C・1Z •••, 11•D. 1,2,3,…•［答案］B• 2.下列表中能成为随机变量X 的分布列 的舞（Y0.3 0.4 0.4 ).•［答案］c•解析］选项A z D三个概率之和为1.1>1 ,故A、D错误；选项B中P(X=3)=・0.1 错误,故选C.3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，p（x=O）等于（）1A. 012C3［答案］C［解析］设X的分布列为则“X=0”表示试验失败，“X=l”表示试验成功, 设失败率为0则成功率为2p由p+2p= 1 得p=g.应选 C.•4.抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X, 那么X=4表示的随机试验结果是（）•A. 2颗都是4点•B. 1颗是1点，另一颗是3点•C. 2颗都是2点•D. 1颗是1点，另一颗是3点或2颗都是2占八、、•［答案］D• 5 •若随机变量X的概率分布如下表所示•贝I ［答案］存值为____________ .［解析］，.气+ ” + * + ° = 1, '-a =• 6.由于电脑故障，使得随机变量用勺分布列中部分数据丢失（以恢，y”代替）,其表如下：•同丢失的两个数据依次为__________ . •［答案］2,5•［解析］由于0.20+ 0.10 +0.X5 +0.10 + 0.1y+0.20 = 1 z•得0.x5 + 0.1y=0.40 ,于是两个数据分别• 7・一个袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5 ,在袋中同时取3只，以X表示取出的三只球中的最小号码，写岀随机变量X的分布列.［解析］随机变量X的可能取值为1,2,3.当X=1时，即取出的三只球中最小号码为1,则其他两只球只能在编号为2345的四只球中任取两只，故有P(X=1) = C£_6__3 C?=10 = 5;当X=2时，即取岀的三只球中最小号码为2,则其他两只球只能在编号为345的三只球中任取两只，从七C323故有戶（％=2）=己=73；当X=3时，即取岀的三只球最小号码为3,则其他两个球只能在编号为4,5的两只球中任取两只，故有P（X丄io-因此，X的分布列如表所示: X193 n331 r51010KTDLJL课堂典例讲练随机变量的概念•［例1］写出下列随机变量的可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.•(1)-个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X•(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为X,所得点数的最大值为/•［分析］(1)三个球中,可能有一个白球, 也可能两个，还可能没有・•(2)投掷结果为(/〃 ,其中仁医6,1牛6且/ /GN\利用投掷结果确定X,Z•［解析］⑴河取0,12•x= 0表示所取三球没有白球・•1表示所取三球是一个白球,两个黑球・•X二2表示所取三球是两个白球,一个黑球•• (2)X0勺可能取值有2,345 ,…，12•啲可能取值为123，…,6•若以(/〃表示先后投掷的两枚骰子出现的点数・则X=2表示(1,1) /X=3表示(1,2)(2,1), 乂二4表示(1,3)(2,2)(3,1),X= 12表示(6,6), 丫二1表示(1⑴/•【点评］确定随机变量的取值关键是准确理解所定义的随机变量的含义z明确随机变量所取的值对应的试验结果z是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础•［例2］某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在命题方向随机变量的分布歹I」签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男Q一女的概率为厉・(1)求该小组中女生的人数；(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每3 1个女生通过的概率均为才，每个男生通过的概率为㊁.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量X,求X的分布列.［解析］(1)设该小组中有n个女生.「S 1Q根据是题意，得■厂二餐・解得n=6, n=4(舍去).•••该小组中有6个女生.(2)由题意，X 的取值范为0丄2,3・1111 J 1 1 仃)•••P (x=o )px 产厂话 P(X=1)=C2；逅嘗+可3X 4 = 5_16?P(X=2) = C 21 ，P(X=3)= |2X |跟踪练习❶•••盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5 的球3个.第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）•记第一次与第二次取得球的标号之和为X•求随机变量X的分布列.•［解析］由题意可得,随机变量用勺取值是23467,10.•HP（X= 2） = 0.3x0.3 = 0.09 ,•p（X= 3）= C21 x0.3x0.4 = 0.24. •p（X=4） = 0.4X0.4 = 0.16 z•P（X=6） = 2X0.3X0.3 = 0.18 z•p（X=7） = 2X0.4X0.3 = 0.24 zR1±f X -101P121 —2(i寸MB q，则（1为离散型随机变量分布列的性质及应用•［例3］设X是一个随机变量，其分布列为A.1［解析］f+(l—2g)+『=l,、/2解得<7=1+ 2 ?乂1— 2q±0,『三0,故q=i —［答案］D跟踪练习❷••已知某离散型随机变量§的分布列如下:•则常数k的值为（）In— 1 n(2n— 1)［解析］k+3k+5k+ …+ （2卅一1）£= 1,［答案］A命题方向瞩超几何分布•【例4］某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用x表示其中的男生人数，求X的分布列.•【分析］刈艮从超几何分布，利用超几何分布的概率公式. 1J［解析］依题意随机变量X服从超几何分布,厂4—R所以P(X=k)=6r44 伙=0丄2,3,4)・C6°C44 1AP(x=o)=_c^r=2io,C G G3 4P(X=1)=_ C 4厂0P(X=4)=~i-T-= 5o •••X 的分布列为 C 104 ="35^C 62C 42 3 c 104 ■ ~C 63C 41 8 c 104 - "2r P(X=2) =P(X=3) =•［点评］对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给岀，超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个如.跟踪练习❸•••某校组织一次冬令营活动，有8名同学参力口，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学.•(1)求X的分布列；•(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率. •［分析］利用超几何分布的概率公式.［解析］(l)x〜H(3,5,8), X可取0丄2,3・C33 1怒=0尸张，Cs1^215 Cs2^115 p^x=^=~cr=^ p^x=2^=~cr=^•••X的分布列为(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为：, 15 , 15 45P(XT)+P(X=2 尸而+西二站.•［点评］超几何分布中的概率问题属于古典概型的范畴,这类问题在古典概型中占较大的比例,因而归纳为一种常用的概率分布・用好超几何分布的概率公式有助于提咼正确率/缩减思维量-SXFFDB思想方法点拨-1.所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数X,而在随机变量的概念中，随机变量X是试验结果.• 2.对于随机变量X的研究，需要了解随机变内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.•3.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求岀X取各个值的概率.•4.掌握离散型随机变量的分布列，须注思:•(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机实际上是：上为“事件”,下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列•(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.•5.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. •6.处理有关离散型随机变量的应用问题,关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量.KHQHZY课后强化作业。
